(1)I Conjecture de Goldbach (7 juin 1742

I Conjecture de Goldbach (7 juin 1742) : tout nombre pair sup´erieur ou ´egal `a 4 est somme de deux nombres premiers.

I Euler : D´ecouverte d’une loi tout extraordinaire des nombres par rapport `a la somme de leurs diviseurs→programmation du calcul de la somme par la formule de r´ecurrence fournie dans l’article d’Euler puis programmation du calcul de la somme par la formule de r´ecurrence provenant de la th´eorie des formes modulaires (cf. ´equation de Chazy)

I Arithm´etique des tissus de Lucas (Anne-Marie D´ecaillot)

I 2x = 40

3 5 7 9 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 2931 33 35 37

3 5 7 9 11 13 15 17 19 37 35 33 31 29 27 25 23 21

I La ligne i repr´esente la divisibilit´e par 2i+ 1 ;

I Les lignes correspondant aux nombres compos´es n’´eliminent pas de colonne suppl´ementaire par rapport aux lignes correspondant aux nombres premiers ;

I Sym´etrie miroir selon l’axe passant par x de fa¸con `a ramener toutes les impossibilit´es sur un intervalle deux fois plus petit ;

I nb de lignes =b√

2xc(il augmente de 1 `a chaque fois que 2x est le double d’un carr´e de nombre premier)

I nb de colonnes =b^x−1₂ c (il augmente de 1 une fois sur deux)

I La fonction qui compte les nombres de d´ecompositions de Goldbach semble passer par des minima locaux `a chaque double de premier ou double de carr´e de premier ;

I Il semblerait que la fonction suivante puisse minorer le nombre de d´ecompositions de Goldbach :

jx−1 2

k Y

p nombre premier impair ≤b√ 2xc

1− 2

p