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Conjecture de Goldbach (1742) On cherche les DG (d´ecomposants de Goldbach) de

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(1)

Conjecture de Goldbach (1742)

On cherche les DG (d´ecomposants de Goldbach) de n= 98.

Un DG den est forc´ement premier `a n, puisqu’il est premier et qu’il ne peut diviser n (s’il divise n, son compl´ementaire `a n est compos´e). Il v´erifie donc la congruence pϕ(n) ≡1 (mod n) en vertu du th´eor`eme d’Euler.

Or,





98 ≡0 (2)

≡2 (3)

≡3 (5)

≡0 (7)

Donc p, un DG de n, est ´egalement solution du syst`eme de congruences





p ≡1 (2)

≡1 (3)

≡1,2,4 (5)

≡1,2,3,4,5,6 (7)

Denise Chemla () Combinatoire de congruences 22 septembre 2013 1 / 1

(2)

Solutions potentielles

Par le th´eor`eme des restes chinois, chaque sous-syst`eme de congruences du syst`eme disjonctif ci-dessus est ´equivalent `a une seule congruence du premier degr´e dans Z/(Q

pipremier≤√ npi)Z. On dispose donc de :

Y

p-n

(p−2)Y

p|n

(p−1)

´equations du premier degr´e de la forme x ≡a(mod Q

pipremier≤√ npi)

`a r´esoudre, chacune d’entre elles fournissant un nombre

< Q

pipremier≤√

npi dont on sait qu’il est premier et jamais congru `a n.

Denise Chemla () Combinatoire de congruences 22 septembre 2013 2 / 1

(3)

Solutions effectives

Pourquoi l’un de ces nombres est-il forc´e d’appartenir au groupe des unit´es ?

Le fait que Q

pipremier≤√ npi

ϕ(n) >1 le garantirait-il ?

Denise Chemla () Combinatoire de congruences 22 septembre 2013 3 / 1

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