M1 – Théorie de Galois – Université Lyon I – 2011-2012 1 Éléments entiers surZ
Définition :Soitx∈C. On dit quexest entier surZs’il existea1, ..., an∈Z tels que :
xn+a1xn−1+...+an= 0 . exemple :√
2 est entier surZ
Proposition 1 Soitp/q∈Q. Sip/q est entier surZ, alors p/q∈Z. Démonstration :On peut supposerpetqpremiers entre eux. Alors :
pn+a1pn−1q+...+anqn = 0 .
Doncq|pn. Orq est premier àpdoncq=±1. q.e.d.
Proposition 2 Soitx∈C. Sont équivalentes : i)xest entier surZ;
ii) Z[x]est un Z−module de type fini ;
iii) il existe un anneauAqui contientxet1et qui est unZ−module de type fini.
Démonstration : i)⇒ii) : supposons quexn+a1xn−1+...+an = 0pour certainsai ∈Z. Alors leZ−module de type finiZ+...+Zxn−1est stable par multiplication par Zet parxc’est doncZ[x].
ii)⇒iii) : facile.
iii)⇒i) : Soit Aun anneau qui contientx,1et qui est de type fini comme Z−module. Soientb1, ..., bn des générateurs.
Pour touti, on a :xbi=ai,1b1+...+ai,nbn pour certainsai,j∈Z. SoitM la matricexIn−(ai,j)∈Mn(A).
Siv=
b1
... bn
∈An, alors on a M v= 0.
NotonsN la transposée de la comatrice deM. On a :N M = d´etM In. Donc :N M v= 0⇒d´etM bi= 0pour tout1≤i≤n. Donc d´etM = 0car 1 est une combinaisonZ−linéaire desbi.
Or d´etM est le polynôme caractéristique de la matrice (ai,j) ∈ Mn(Z) évalué en x. Ce polynôme caractéristique est donc un polynôme à coefficients
entiers unitaire qui annulex. q.e.d.
Corollaire 3 Soientx, y∈Centiers surZ, alorsx+yetxy sont entiers sur Z.
Démonstration : Montrons par exemple que xy est entier sur Z : soient b1, ..., bm des générateurs du Z−module Z[x] et c1, ..., cn des générateurs du Z−module Z[y]. Alors Z[x]Z[y] est un Z−module de type fini engendré par lesbicj. C’est aussi un anneau qui contient1et xy. q.e.d.
Notation : on poseZ le sous-anneau deC formé des éléments entiers sur Z.
Corollaire 4 Soitf(X)un polynôme unitaire à coefficients entiers. Alors tous les facteurs unitaires de f(X)dansQ[X]sont à coefficients entiers.
Démonstration : Soitp(X)un facteur unitaire def(X)dansQ(X). On a : p(X) = (X−x1)...(X−xd)
2
pour certainsxi ∈C. Le coefficient dep(X)de degrékest : ak= X
i1<...<id−k
xi1...xid−k .
Lesxi sont en particulier racines def donc entiers sur Z. On a donc ak ∈Z. Or ak ∈ Q car p(X) est à coefficients dans Q. Comme Q∩Z = Z, on a :
ak∈Zpour toutk. q.e.d.
Application : irréductibilité des polynômes cyclotomiques SoitΦn(X) :=
n−1
Y
k=1 k∧n=1
(X−e2ikπ/n).
Le polynômeΦn(X)est unitaire à coefficients entiers. Soitf(X)le polynôme minimal unitaire dee2iπ/nsurQ. On af(X)|Xn−1doncf(X)∈Z[X]d’après le corollaire précédent.
Nous allons montrer que si pest un nombre premier qui ne divise pasn, si zest une racine def, alorszp est aussi une racine de f.
Par l’absurde : Si z est une racine de f et si pourtant f(zp) 6= 0, alors notonsz1, ..., zd les racines (distinctes) def. On a :
f(zp) = (zp−z1)...(zp−zd) . Soit∆ = (−1)n(n−1)/2Q
i6=j(ui−uj), où lesui sont les racines n−ièmes de 1, le discriminant deXn−1. C’est un élément entier surZcar lesui le sont.
Comme leszi et zp sont des racinesn−ièmes de1, on a : f(zp)|∆
dansZ. Or, dansZ/pZ[X], on a :
f(Xp) =f(X)p
d’où :f(Xp) =f(X) modpZ[X]. On en déduit quef(zp) = 0 modpZ. Donc p|∆ dans Z. Autrement dit, il existe q ∈ Z tel que pq = ∆. On a q= ∆/p∈Q∩Z=Z. Ainsi,p|∆dansZ.
Or, on a :
∆ = (−1)n(n−1)/2
n
Y
i=1
(Xn−1)0(ui)
=±
n
Y
i=1
nun−1i
=±nn .
Doncp|nn ce qui est absurde car on a supposé quepne divise pasn.
Soitkun entier premier àn. On ak=p1...prpour certains nombres premiers pi qui ne divisent pasn.
Commezk = ((zp1)p2)···, on a par récurrence :zk racine def. DoncΦn(X) divisef(X). Commef(X)diviseΦn(X), on obtientΦn(X) =f(X)etΦn(X) est irréductible surQ.
Exemple : Φ4(X) =X2+ 1.
