Section 8

MAT-4072-2

Mathématiques d’appoint pour l’électricité

Section 8

Calculs vectoriels

Site web CSPO : http://revimathfp.weebly.com/

http://www.sylvainlacroix.ca/

Sylvie Leblond Gilles Coulombe

1

Mise en situation

Un de vos collèges de travail a observé à l’aide d’un oscilloscope les ondes V1, V2 et V3 d’un circuit électrique. Il a dessiné les vecteurs de phase qui

représentent ces ondes et vous transmet l’information suivante :

Il vous demande de calculer la tension de la source E de ce circuit. Comment allez-vous procéder?

Vous savez que la tension de la source E est la somme vectorielle des tensions aux bornes des charges V1, V2 et V3. Il vous suffit donc d’effectuer cette

opération pour obtenir le résultat.

2

Partie 1 : Notion de vecteurs

1.Scalaire

Dans la vie courante, on utilise souvent un seul nombre pour exprimer une certaine quantité :

j’ai 51 ans je pèse 72,5 kg

ce bureau mesure 60 cm

Dans ces expressions qui décrivent, l’âge, la masse, une longueur, il suffit d’utiliser un seul nombre réel. Ces nombres sont des scalaires.

2. Vecteur

Pour d’autres types de grandeurs, un nombre seul ne suffit pas à décrire complètement la situation :

aujourd’hui, le vent sur le lac souffle à 15 km/h du nord-est ce matin, j’ai roulé sur 10 km en direction nord

Dans ces expressions, les quantités sont caractérisées par une grandeur, une direction et un sens. Ces nombres sont des vecteurs.

En résumé

Un vecteur, c’est une quantité scalaire ayant :

Dans cet exemple, le vecteur a une norme (grandeur) de 4 cm et un angle

 une grandeur (ex.: 4 cm)

 une direction (ex.: 32

au-dessus de l’horizontal)

 un sens (flèche A vers B)

3

3. Vocabulaire lié aux vecteurs

Norme : la grandeur d’un vecteur

Angle d’orientation : la direction et le sens d’un vecteur sont définis par l’angle d’orientation ; cet angle est formé par la flèche qui représente le vecteur et la partie positive d’un axe horizontal qui passe par l’origine du vecteur.

L’angle est mesuré en tournant dans le sens anti-horaire.

4. D’autres façons d’exprimer des vecteurs

Voici des exemples d’autres expressions de vecteurs, et leurs équivalences à l’angle d’orientation utilisé en mathématique.

A) On connait l’angle par rapport à la verticale

Par exemple, un angle de 30° par rapport à la verticale (à droite ou à gauche de celle-ci) correspond à un angle d’orientation de α = 60° ou de α = 120°.

Vecteur

angle d’orientation de α = 40°

Vecteur a une norme de 3 cm et un angle d’orientation de α = 130°

OU

2cm 3cm

4 B) On connait l’angle par rapport à l’horizontal

Par exemple, un angle de 30° par rapport à l’horizontale correspond à un angle d’orientation de α = 30° ou de α = 150°.

C) On connait l’angle par rapport aux points cardinaux

Par exemple, un angle de S 35°O (35° à l’ouest du sud) correspond à un angle d’orientation de α = 235°.

OU

N

S O E

Démonstration Geogebra : Norme et angle d’orientation d’un vecteur

http://www.geogebratube.org/student/m88352

5

Exercice 1

À l’aide d’une règle et d’un rapporteur, tracez le vecteur décrit (α est le symbole pour l’angle d’orientation).

a) de 2 cm, α = 25° b) de 2,5 cm; α = 125°

c) de 4 cm, α = 230° d) de 5 cm; α = 170°

6 e) de 3,5 cm et un angle de 60° à f) de 3,5 cm et un angle de droite de la verticale N 70°O à l’ouest du nord

5. Vecteur et plan cartésien

Dans un plan cartésien, on peut identifier un vecteur à l’aide de coordonnées (x,y).

Le vecteur comporte 2 composantes :

composante horizontale (en x): X

– X

= ΔX

composante verticale (en y) :

Y

– Y

= ΔY

7 Exemple 1

Voici un exemple d’un vecteur qui a comme point de départ l’origine du plan cartésien.

Composante horizontale (déplacement en x) : 3 – 0 = 3 Composante verticale (déplacement en x) : 4 – 0 = 4

On écrit :

Exemple 2

On peut écrire :

Composante horizontale X2 – X1 = ΔX

Composante verticale Y2 – Y1 = ΔY

+ 5

+ 2 ^{ΔX = X}

^{– X}

= 7 – 2 = 5

ΔY = Y

– Y

= 3 – 1 = 2

8 Exemple 3

On écrit :

Exemple 4

On écrit :

+ 3

- 2

+ 2

+ 1

ΔX = X

– X

= 5 – 2 = 3 ΔY = Y

– Y

= 1 – 3 = -2

ΔX = X

– X

= -1 – (-3) = 2

ΔY = Y

– Y

= -1 – (-2) = 1

9

6. Trouver la norme d’un vecteur

Afin de trouver la norme d’un vecteur, il suffit d’utiliser ses composantes dans la formule de Pythagore.

Reprenons les exemples 1 à 4 : 1.

2.

3.

Composante horizontale X2 – X1 = ΔX

Composante verticale Y2 – Y1 = ΔY

La norme de ce vecteur est 5.

+ 5

+ 2

+ 3

- 2

10 4.

Exercice 2

Trouvez la norme des vecteurs suivants.

a) Le vecteur AB, étant donné d) Le vecteur BA, étant donné A (0 ;7,5) et B (4,0) A (-3,1) et B (-1,-5)

b) Le vecteur CD, étant donné e) Le vecteur CB, étant donné C (-4 ;5,2) et D (-1,5 ;0) B (0,6) et C (0,-2)

c) Le vecteur AC, étant donné f) Le vecteur CD, étant donné A (2,0) et C (-3,0) C (5,5 ;-1) et D (4,3 ;-6)

+ 2

+ 1

11

7. Trouver l’angle d’orientation d’un vecteur

Exemple 1

Reproduisons le triangle rectangle :

Il faut utiliser les valeurs absolues des composantes.

Dans cet exemple, l’angle obtenu de 22° correspond à l’angle d’orientation α puisque l’angle entre l’axe horizontal positif et le vecteur est dans le sens anti-horaire.

L’angle d’orientation de ce vecteur est donc de 22°.

+ 5

+ 2

θ

2 unités

5 unités

Rappel

Dans un triangle rectangle, la tangente de l’un des angles aigus est le rapport entre la mesure du côté opposé à cet angle et la mesure du côté adjacent à cet angle.

θ

12 Exemple 2

Reproduisons le triangle rectangle (valeurs absolues des composantes) :

L’angle obtenu de 34° n’est pas l’angle d’orientation puisqu’il est dans le sens horaire. Pour obtenir l’angle d’orientation α il faut faire une autre étape.

Un angle de 34° sous l’horizontale (axe positif) est situé dans le 4

quadrant et équivaut à l’angle d’orientation suivant :

α = 360° - θ

α = 360° - 34° = 326°

L’angle d’orientation de ce vecteur est donc de 326°.

+ 3

- 2

θ

2 unités 3 unités

θ

θ = 34°

α = 326°

13 Exemple 3

L’angle obtenu de 53° n’est pas l’angle d’orientation puisqu’il est obtenu à partir de l’axe horizontal négatif en plus d’être dans le sens horaire. Pour obtenir l’angle d’orientation α il faut faire une autre étape.

Un angle de 53° au-dessus de l’horizontale (axe négatif) est situé dans le 2

quadrant et équivaut à l’angle d’orientation suivant:

α = 180° - θ

α = 180° - 53° = 127°

L’angle d’orientation de ce vecteur est donc de 127°.

- 3 + 4

θ

3 unités 4 unités

θ

θ = 53° α = 127°

14 Exemple 4

L’angle obtenu de 31° n’est pas l’angle d’orientation puisqu’il est obtenu à partir de l’axe horizontal négatif. Pour obtenir l’angle d’orientation α il faut faire une autre étape.

Un angle de 31° au-dessous de l’horizontale (axe négatif) est situé dans le 3

quadrant et équivaut à l’angle d’orientation suivant :

α = 180° + θ

α = 180° + 31° = 211°

L’angle d’orientation de ce vecteur est donc de 211°.

θ

5 unités

3 unités - 5

- 3

θ

θ = 31°

α = 211°

15

Résumé du calcul de l’angle d’orientation d’un vecteur

Soit le vecteur

On calcul l’angle θ avec la relation suivante : ⇨

Selon la position du vecteur dans le plan cartésien, l’angle d’orientation α est obtenu avec l’un des calculs suivants :

X+

Y

X+

Y X

Y X Y

Démonstration Geogebra : Norme et angle d’orientation d’un vecteur par quadrant http://www.geogebratube.org/student/m88360

16

Exercice 3

Trouvez la norme et l’orientation des vecteurs suivants :

17

Exercice 4

Trouvez la norme et l’orientation des vecteurs suivants :

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8. Trouver les composantes d’un vecteur à partir de la norme et de l’angle d’orientation

Prenons le vecteur qui a une norme de et un angle d’orientation de α.

Rappel

α

y x

Pour calculer la composante horizontale de , on utilise le rapport cos.

Pour calculer la composante verticale de , on utilise le rapport sin.

Exemple :

Calculons la composante horizontale et verticale du vecteur qui a une norme de 7 unités et un angle d’orientation de 40°

Donc

19

Exercice 5

Trouvez la composante horizontale des vecteurs suivants.

20

Partie 2 : Opérations sur les vecteurs

1. Relations entre deux vecteurs

Se dit de vecteurs qui sont perpendiculaires. La différence entre leur angle d’orientation est de 90° ou 270°.

Si deux vecteurs colinéaires ont en plus la même norme, ils sont non seulement colinéaires, mais aussi :

1. équipollents : si même norme et même angle d’orientation (même direction et sens)

2. opposés : si même norme et même direction mais de sens contraire (la différence entre les angles d’orientation est de 180°)

A) Vecteurs orthogonaux

Orthogonaux = perpendiculaires

v u

OU

B) Vecteurs colinéaires (ou linéairement indépendant) Colinéaires = parallèles

u

(peu importe le sens et la grandeur)

v

21

2. Addition de vecteurs

Voici une méthode géométrique qui permet de trouver le résultat de la somme de deux vecteurs, appelée la résultante.

Exemple 1

Trouver la résultante de la somme des vecteurs et , sachant que

et .

Étape 1

Tracer l’un des vecteurs à partir de l’origine du plan cartésien

Étape 2

À partir de l’extrémité de , tracer un vecteur équipollent à

vecteur initial

22 Étape 3

Compléter le triangle en traçant la résultante qui part de l’origine du vecteur , et qui rejoint l’extrémité du

vecteur

Sur le graphique :

Preuve algébrique :

Exemple 2

Trouver la somme des vecteurs et

Exemple 3

Trouver la somme des vecteurs et

vecteur initial

Preuve algébrique :

vecteur initial

Preuve algébrique :

Démonstration Geogebra : Somme de vecteurs à partir de leurs coordonnées

http://www.geogebratube.org/student/m102443

23

Exercice 6

Trouvez la somme des vecteurs suivants.

a) et c) et

b) et

24

2. Soustraction de vecteurs

Soustraire un vecteur équivaut à additionner son opposé.

Exemple

Trouver la résultante de la différence des vecteurs et , sachant que

et .

Étape 1

Tracer les deux vecteurs

Étape 2

Trouver l’opposé du vecteur Si alors

Étape 3

Effectuer l’addition Sur le graphique :

Preuve algébrique :

25

Exercice 7

Effectuez les opérations demandées.

a) c)

si et si et

b) d)

si et si et

26

3. Produit d’un scalaire par un vecteur

Il est possible de multiplier un scalaire par un vecteur.

Exemple 1

Effectuer géométriquement et algébriquement , sachant que .

Géométriquement

Exemple 2

Effectuer géométriquement et algébriquement , sachant que . Géométriquement

Algébriquement

Algébriquement

Capsule vidéo : Opérations sur les vecteurs

http://revimathfp.weebly.com/capsule-opeacuterations-sur-les-vecteurs.html

27

4. Combinaison linéaire de vecteurs

Il est possible d’effectuer des opérations sur des vecteurs qui sont multipliés par un scalaire.

Exemple

Sachant que et , trouver

Solution algébrique

Représentation géométrique

1. Vecteurs

3. Somme des vecteurs

28

Exercice 8

Calculez algébriquement les expressions suivantes.

29

5. Addition de vecteurs à partir de la norme et de l’angle d’orientation

La trigonométrie demeure un outil indispensable à l’étude des vecteurs. Elle nous permet de trouver la norme et l’angle d’orientation de la résultante de deux vecteurs.

Voici deux exemples, et leurs étapes de résolution.

Exemple 1

Deux vecteurs, et , forment un angle de 40°. L’angle d’orientation de est de 25°. Déterminer la norme de la résultante de + , ainsi que son angle d’orientation.

Étape 1

Calculer les composantes de .

Étape 2

Calculer les composantes de . Son angle d’orientation est de 40° + 25° = 65°

α = 25°

8

y

x n

α = 65°

y

x n 6

30 Étape 3

Calculer algébriquement les composantes de la résultante de + .

Étape 4

Calculer la norme de .

Étape 5

Calculer l’angle d’orientation de .

Comme les composantes x et y sont toutes deux positives (1

quadrant), la mesure de l’angle d’orientation α est donc égale à θ.

α = θ =

Donc, le vecteur a une norme de 13,17

et son angle d’orientation est de 41,98°.

31 Exemple 2

Soit les deux vecteurs et (voir le schéma). Déterminer la norme de la résultante de + , ainsi que la mesure de son angle d’orientation.

Étape 1

Calculer les composantes de .

Étape 2

Calculer les composantes de . Son angle d’orientation est 180° - 40° = 140°

Étape 3

Calculer algébriquement les composantes de la résultante de et .

α = 35°

4

y

x n

40°

y

x n

5

α = 140° Note :

sin 40° = sin 140° « y » positif dans le 1^er et 2^e quadrant cos 40° = -cos 140° « x » positif dans le 1^er quadrant

« x » négatif dans le 2^e quadrant

32 Étape 4

Calculer la norme de .

Étape 5

Calculer l’angle d’orientation de .

Comme la composante x est négative et la composante y est positive, le vecteur se trouve dans le 2

quadrant. La mesure de l’angle d’orientation α n’est donc pas égale à θ. Il faut la calculer avec la formule suivante :

Donc, le vecteur a une norme de 5,53 et son angle d’orientation est de 95,71°.

Démonstration Geogebra : Somme de vecteurs à partir de leur norme et leur angle d’orientation http://www.geogebratube.org/student/m102451

unités

33

Exercice 9

Trouvez la norme et l’angle d’orientation du vecteur résultant de .

34

Exercice 10

Trouvez la norme et l’angle d’orientation du vecteur résultant demandé.

= 8 = 13 = 11,7

Orientation : 286° Orientation : 206° Orientation : 135°

35

36

Exercice 11

Trouvez la norme et l’angle d’orientation du vecteur résultant demandé.

= 7 = 9 = 14,6

Orientation : 35° Orientation : 132° Orientation : 247°

37