DS 7 : 4h

DS 7 : 4h

Vendredi 16 février 2018

L’usage des calculatrices n’est pas autorisé

L’étudiant attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction, même si tout résultat qui n’est pas explicitement dans le cours de MPSI ou de MP doit être démontré. Si un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d’énoncé, il le signalera sur sa copie et

poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il a été amené à prendre.

Consignes à respecter sous peine d’être pénalisé :

•Changer de copie (ou au moins de feuille) à chaque exercice ou partie d’un problème.

• Numéroter les questions (et le cas échéant la partie).

•Souligner les résultats intermédiaires dans une démonstration à tiroirs, faire une phrase de conclusion et encadrer le résultat.

Exercice 1 :

1) Déterminer le rayon de convergenceR de la série entière X(−x)ⁿ

3n+ 1 2) a) Calculer pournentier naturel la valeur de

Z 1

0

t³ⁿ dt

b) En déduire, en justifiant avec soin la permutation des symbolesΣetR, la valeur de la somme

∞

X

n=0

(−x)ⁿ 3n+ 1

lorsquex∈]−R, R[.

Il pourra être utile pour les calculs de poser a=√³ x. 3) Montrer que la série

X (−1)ⁿ 3n+ 1 est convergente et calculer sa somme

∞

X

n=0

(−1)ⁿ 3n+ 1

Exercice 2 :

1) a) Montrer que pour toutx∈R

sin(3x) =−4 sin³(x) + 3 sin(x) b) Soit

f : R^∗ → R

x 7→ ^sin(x)_x2 −¹_x

i) Montrer que la fonctionf admet un prolongement par continuité surRque l’on noteraϕ.

ii) Montrer queϕadmet un développement en série entière que l’on déterminera.

iii) Pourquoiϕest-elle de classe C^∞ surR? 2) On pose

I= Z +∞

0

sin³(x) x² dx a) Montrer queI existe.

b) Pour touta >0on pose

I(a) = Z +∞

a

sin³(x) x² dx i) Justifier l’existence des intégrales suivantes et montrer que

Z +∞

a

sin(3x) x² dx= 3

Z +∞

3a

sin(x) x² dx

ii) Montrer qu’il existe deux constantesC etD que l’on déterminera telles que I(a) =C

Z 3a

a

ϕ(x)dx+D iii) En déduire la valeur deI

Exercice 3 :

On s’intéresse ici à l’ensembleS des fonctionsy∈C²(R,R)solutions de l’équation différentielle

∀t∈R, y⁰⁰(t)−y(t) = 1 ch(t) On admet que cet ensemble est formé des fonctionsy du type :

y:t7→tsh(t)−ch(t) ln(ch(t)) +ach(t) +bsh(t) 1) a) Existe-t-il des solutions impaires dansS?

b) Expliciter l’unique solutionθ∈S paire telle queθ(0) = 1.

2) Donner sans démonstration le développement en série entière de la fonction ch en précisant son rayon de convergence :

ch(t) =

+∞

X

k=0

akt^2k

3) a) Montrer l’existence et l’unicité d’une unique suite réelle (que l’on ne cherchera pas à déterminer explicitement mais que l’on définira par récurrence)(b_k)_k∈Ntelle que

b0a0= 1 et∀n∈N^∗

n

X

k=0

bka_n−k= 0

b) Préciserb0,b1et b2.

c) Démontrer par récurrence que

∀n∈N, |b_n| ≤1 On pourra considérer comme connu que ch(1)≤2.

d) En déduire que pourt∈]−1,1[la série de somme g(t) =

+∞

X

n=0

bnt²ⁿ converge absolument avec de plus

ch(t).g(t) = 1 Conclure que

t7→ 1 ch(t) est développable en série entière sur]−1,1[.

4) On suppose qu’il existe une suite réelle(u_n)_n∈Navecu₀= 1telle que la série entière définie par f(t) =

∞

X

n=0

unt²ⁿ

ait un rayon de convergenceR≥1 et vérifie

∀t∈]−1,1[, y⁰⁰(t)−y(t) = 1 ch(t) a) Déterminer pour toutn∈Nune relation entreun+1, un et bn. b) En déduire qu’une telle suite est unique et montrer par récurrence que

∀n∈N, |un| ≤1

c) En déduire que la fonctionθ est développable en série entière sur l’intervalle]−1,1[. d) Justifier que

x7→ln(ch(x)) est développable en série entière sur l’intervalle]−1,1[.

Exercice 4 :

1) Quelle est la période de la fonctiontan?

2) Représenter la fonctiontansur l’intervalle]−^π₂,^π₂[.

3) Démontrer l’existence d’une suite de polynômes(Tn)_n∈N telle que ;

— T₀(X) =X

— pour tout natureln, ∀x∈

−^π₂,^π₂

, tan⁽ⁿ⁾(x) =T_n(tan(x))oùtan⁽ⁿ⁾désigne la dérivéen-ième de la fonctiontan.

On explicitera une relation de récurrence vérifiée entreTn et Tn+1. 4) Expliciter les polynômesT1,T2,T3.

5) Soitn∈N. Démontrer que les coefficients du polynôme Tn sont des entiers naturels. Quel est le degré du polynômeTn?

6) Justifier qu’il existe une unique suite de nombres entiers naturels(tn)n∈N telle que

∀n∈N^∗ , ∀x∈i

−π 2,π

2 h

,tan(x) =

n

X

j=0

t_j

(2j+ 1)!x^2j+1+ Z x

0

(x−t)²ⁿ⁺¹

(2n+ 1)! T_2n+2(tan(t))dt

On citera précisément le théorème utilisé.

Dans la suite on noteraI un intervalle ouvert symétrique par rapport à0etf de classeC^∞deIdansR.

On note

∀x∈I , R_n(x) = 1 (n−1)!

Z x

0

f⁽ⁿ⁾(t)(x−t)ⁿ⁻¹ dt

On suppose aussi quef est impaire et que

∀n∈N^∗ , ∀x∈I , f⁽ⁿ⁾(x)≥0 7) Justifier que

∀n∈N^∗ , ∀x∈I , Rn(x) = f⁽ⁿ⁾(0)

n! xⁿ+Rn+1(x) 8) Soitb∈Itel que b >0.

a) Montrer que la suite(Rn(b))n≥1est convergente.

b) Soientx∈[0, b]etn∈N^∗. i) Justifier

R_n(x) = xⁿ (n−1)!

Z 1

0

f⁽ⁿ⁾(tx)(1−t)ⁿ⁻¹dt

ii) En déduire que

0≤Rn(x)≤ xⁿ (n−1)!

Z 1

0

f⁽ⁿ⁾(tb)(1−t)ⁿ⁻¹ dt iii) Démontrer que

Rn(x)≤x b

ⁿ Rn(b) c) En déduire que

∀x∈]−b, b[, f(x) =

+∞

X

n=0

f⁽ⁿ⁾(0) n! xⁿ 9) Démontrer

∀x∈i

−π 2,π

2 h

,tan(x) =

∞

X

n=0

tn

(2n+ 1)!x²ⁿ⁺¹ 10) Que peut-on dire du rayon de convergence de cette série entière ?

Exercice 1 : d’après E3a MP 2009 B.

1) On peut appliquer la règle de d’Alembert des séries entières (comme ³ⁿ⁺⁴_3n+1 → 1 on en déduit que R = 1), mais il est préférable de discuter de la valeur de sup{r >0|(anrⁿ)_Nest bornée} qui est 1 par double inégalité.

2) a) On a

Z 1

0

t³ⁿ dt= 1 3n+ 1 b) On fixex∈]−1,1[et on pose pourt∈[0,1],

u_n(t) = (−x)ⁿt³ⁿ

Les fonctionsu_n sont continues par morceaux, et la série converge simplement avec pour somme

s(t) =

+∞

X

n=0

(−x)ⁿt³ⁿ = 1 1 +xt³

sest bien continue sur[0,1].

Reste à vérifier qu’on peut échanger les signesPet R.

• 1ère méthode : on peut remarquer que pour |x|<1, on a||un||∞=|x|ⁿ qui est le terme général d’une série numérique convergente. Donc la série de fonctionsPu_n est normalement convergente sur[0,1]. On peut donc intervertirPetR.

• 2ème méthode : on peut aussi utiliser le théorème de convergence dominée et vérifier l’hypothèse de domination.

Pour tout naturelN

N

X

n=0

u_n(t)

=

1−(−xt³)^N+1 1 +xt³

≤ 2 1 +xt³

qui est bien une fonction continue par morceaux et intégrable sur[0,1](puisqu’elle y est continue).

On peut donc appliquer le théorème de convergence dominée.

Dans tous les cas,

∞

X

n=0

Z 1

0

un(t) = Z 1

0

∞

X

n=0

un(t)

donc

∞

X

n=0

(−x)ⁿ 3n+ 1 =

Z 1

0

dt 1 +xt³ Reste à calculer l’intégrale...

On posea=√³

xet on décompose en éléments simples 1

1 +xt³ = 1 3

1 1 +at − 1

6a

2a²t−1 1−at+a²t² +1

2

1 at−¹₂²

+³₄

et donc

Z 1

0

dt

1 +xt³ = 1

3aln(1 +a)− 1

6aln(1−a+a²) +√

3(arctan(

√ 3

3 (2a−1)) +π 6)

3) La série

X (−1)ⁿ 3n+ 1 est convergente par le théorème spécial des séries alternées.

De plus si x∈ [0,1] la sérieP(−x)ⁿ

3n+1 est aussi alternée donc on peut majorer son reste en module par

xⁿ⁺¹

3n+4 donc par _3n+4¹ .

Il y a donc convergence uniforme de la série de fonctions sur[0,1], donc la somme est continue, donc la valeur en1 est la limite de la valeur trouvée au 2) :

∞

X

n=0

(−1)ⁿ 3n+ 1 = lim

x→1

Z 1

0

dt

1 +xt³ =ln 2 3 +π√

3 9

Exercice 2 : d’après E3a PC 2010 B.

1) a) Pour montrer que pour toutx∈R

sin(3x) =−4 sin³(x) + 3 sin(x) deux méthodes :

soit on écrit que

sin(3x) =Im(e^3ix) =Im((cos(x) +isin(x))³) et on développe par la formule du binôme, soit on écrit

sin(3x) = sin(2x+x) et on développe par les formules de trigo.

b) Soit

f : R^∗ → R

x 7→ ^sin(x)_x2 −¹_x

i) En écrivant un DL à l’ordre2 desin , sin(x) =x+o(x²)il est clair que f a pour limite0 en 0 donc que la fonctionf admet un prolongement par continuité surRϕvérifiantϕ(0) = 0.

ii) Pour toutx∈R^∗ on a

ϕ(x) =f(x) =

∞

X

n=0

(−1)ⁿx²ⁿ⁺¹ (2n+ 1)! . 1

x² −1 x=

∞

X

n=1

(−1)ⁿx²ⁿ⁻¹ (2n+ 1)!

Comme ceci est vrai aussi pourx= 0 on en déduit queϕadmet un développement en série entière avec rayon infini.

iii)ϕest donc de classeC^∞ surRcar somme d’une série entière de rayon infini.

2) On pose

I= Z +∞

0

sin³(x) x² dx a) Posons pourx∈]0,+∞[,f(x) = ^sin_x³2^(x) dx.

Cette fonction est continue.

En0 elle est prolongeable par continuité donc intégrable.

En+∞on la majore en module par _x¹2 qui est intégrable sur[1,+∞[doncf aussi.

DoncI existe.

b) Pour touta >0on pose

I(a) = Z +∞

a

sin³(x) x² dx

i) Les deux intégrales considérées sont bien définies car la fonction est continue sur l’intervalle semi-ouvert et les deux fonctions dominées en module en l’infini par _x¹2 qui est intégrable sur [1,+∞[ .

On posex= ₃^t dans la première (changement de variable de classeC¹ bijectif et strictement croissant) et on obtient l’égalité.

Z +∞

a

sin(3x) x² dx= 3

Z +∞

3a

sin(x) x² dx ii) Le résultat du 1) a) montre que

I(a) = Z +∞

a 3

4sin(x)−¹₄sin(3x)

x² dx= 3

4 Z +∞

a

sin(x) x² dx−1

4 Z +∞

a

sin(3x)

x² dx= 3 4

Z 3a

a

sin(x) x² dx grace à la question précédente.

On en déduit

I(a) = 3 4

Z 3a

a

ϕ(x) + 1

x dx= 3 4

Z 3a

a

ϕ(x) +3 4ln(3) iii) Par définition deI, Iest la limite quanda→0deI(a).

ϕétant continue surRelle possède une primitiveF continue surRet comme I(a) =3

4(F(3a)−F(a)) +3 4ln(3) on en déduit à la limite

I=3 4ln(3)

Exercice 3 : d’après E3a PC 2013 A.

On s’intéresse ici à l’ensembleS des fonctionsy∈C²(R,R)solutions de l’équation différentielle

∀t∈R, y⁰⁰(t)−y(t) = 1 ch(t) On admet que cet ensemble est formé des fonctionsy du type :

y:t7→tsh(t)−ch(t) ln(ch(t)) +ach(t) +bsh(t)

1) a) On a obtenuy comme somme d’une fonction pairet7→t sh(t)−ch(t) ln(ch(t)) +ach(t)(qui n’est jamais la fonction nulle) et d’une fonction impairet7→bsh(t). Elle ne peut donc pas être impaire.

1) b)y est paire si et seulement sib = 0. Elle vérifie y(0) = 1 si et seulement si a= 1. Il y a donc une unique fonctionθ définie parθ(t) =tsh(t)−ch(t) ln(ch(t)) + ch(t).

2) Le DSE dechest connu :ak = _(2k)!¹ avec un rayon infini.

3) a) Puisque a₀= 1 on ab₀ = 1 et pourn ≥0,b_n =−Pn−1

k=0b_ka_n−k donc la suite (b_n) est définie de manière unique par récurrence.

3) b)b0= 1,b1=−b0a1=−¹₂, b2=−b0a2−b1a1=−₂₄¹ +¹₄ = ₂₄⁵. 3) c)|b0|= 1. Supposons|bk| ≤1 pour0≤k≤n−1.

On en déduit|b_n| ≤Pn−1

k=0|b_k||a_n−k| ≤Pn−1

k=0a_n−k ≤P+∞

j=1a_j = ch(1)−1≤1 puisque ch(1)≤2. On a montré la propriété pourn. L’inégalité est démontrée par récurrence.

3) d)|bnt²ⁿ| ≤t²ⁿ donc la série définissantg(t)converge absolument pour|t|<1.

Pour|t|<1la série entière produit de Cauchy des deux séries(Pa_nt²ⁿ)et(Pb_nt²ⁿ)converge. Son terme général est donné parc_n=Pn

k=0b_ka_n−k = 0sin≥1 et c₀=a₀b₀= 1. On en déduit que ch(t)g(t) = 1 pour|t|<1.

4) a) Pour|t|<1≤R on peut écriref⁰⁰(t) =P+∞

n=12n(2n−1)unt²ⁿ⁻². Après avoir changén enn+ 1 on obtient par unicité des coefficients d’un DSE :(2n+ 2)(2n+ 1)un+1−un=bn.

4) b) Puisqueu₀= 1la suite (u_n)est définie de manière unique par récurrence.

On a |u0| = 1. Supposons |un| ≤ 1. On en déduit |un+1| = (2n+2)(2n+1)^|un+bn| ≤ (2n+2)(2n+1)² ≤ 1 puisque

|u_n| ≤1et |b_n| ≤1. On a démontré la majoration par récurrence.

4) c) Définissons la suite (un)par u0 = 1et la relation de récurrence un+1 = (2n+2)(2n+1)^un+bn . Puisqu’elle vérifie|u_n| ≤1pour toutn≥0la série entière définie parf(t) =P+∞

n=0u_nt²ⁿ a un rayon de convergence R≥1. La fonctionf vérifie alorsf⁰⁰(t)−f(t) = _ch(t)¹ d’après le calcul fait au 4)a)

De plusf(0) =u0= 1etf est paire.f est donc égale à l’unique solution deS, paire et telle quef(0) = 1, doncf =θ. On a bien montré queθpossède un DSE sur]−1,1[.

4) d) Puisque θ(t) =tsh(t)−ch(t) ln(ch(t)) + ch(t)on déduit pour |t|<1 : ln(ch(t)) =g(t)(t sh(t)− θ(t)) + 1. comme les fonctionsg,shetθpossèdent un DSE sur]−1,1[on en déduit queψ:t7→ln(ch(t)) possède un DSE sur]−1,1[(car le produit de deux fonctions ayant un DSE possède aussi un DSE).

Exercice 4 : d’après un énoncé de concours.

1) La fonctiontan a pour périodeπ puisque son ensemble de définition est invariant parx7→x+π et quetan(x+π) = ^sin(x+π)_cos(x+π)= ⁻₋^sin(x)_cos(x) = tan(x).

2) La fonctiontanest strictement croissante et impaire sur

−^π₂,^π₂ et elle a pour limite +∞ en ^π₂. La stricte croissance detansur]−π/2, π/2[montre queπest la plus petite période positive detan. 3) Démontrons par récurrence surnl’existence de la suite (T_n).

tan⁽⁰⁾(x) = tanx=T0(tanx)en posantT0(X) =X.

Supposons pour un entiernl’existence d’un polynômeTn vérifianttan⁽ⁿ⁾(x) =Tn(tanx).

En dérivant la fonction composée on obtient :tan⁽ⁿ⁺¹⁾(x) =T_n⁰(tanx)(1 + tan²(x)).

En posantTn+1= (1 +X²)T_n⁰ on obtienttan⁽ⁿ⁺¹⁾(x) =Tn+1(tanx)oùTn+1 est un polynôme.

La propriété est bien démontrée par récurrence.

4)T₁= 1 +X²,T₂= (1 +X²)×2X = 2X³+ 2X etT₃= (1 +X²)×(6X²+ 2) = 6X⁴+ 8X²+ 2. 5) On démontre par récurrence surnqueT_n est un polynôme de degrén+ 1à coefficients dansN.

C’est vrai pourn= 0puisque T0=X a pour degré 1.

Supposons le vrai pour un entier n. De T_n+1 = (1 +X²)T_n⁰ on déduit que T_n+1 est un polynôme à coefficients entiers (T_n⁰ l’étant) et qu’il a pour degrén+ 2(le degré deT_n⁰ estn+ 1−1 =n). On a bien démontré la propriété par récurrence.

6) Appliquons la formule de Taylor avec reste intégral : sif est de classeC^N+1 sur[a, b]alorsf(b) =PN

k=0 (b−a)^k

k! f^(k)(a) +Rb a

(b−t)^N

N! f^(N+1)(t)dt.

Prenonsf = tan,a= 0, b =xet N = 2n+ 1. La fonctiontanétant impaire, ses dérivées d’ordre pair sont aussi des fonction impaires et donc s’annulent en 0. On obtient bien la formule demandée en posant tj = tan^(2j+1)(0)et en utilisantf⁽²ⁿ⁺²⁾(t) =T2n+2(tant).

7) On effectue une intégration par parties sur[0, x]⊂I :

Rn(x) = Z x

0

(x−t)ⁿ⁻¹

(n−1)! f⁽ⁿ⁾(t)dt= ï

−(x−t)ⁿ n! f⁽ⁿ⁾(t)

ò^x

0

+ Z x

0

(x−t)ⁿ

n! f⁽ⁿ⁺¹⁾(t)dt=xⁿ

n!f⁽ⁿ⁾(0)+Rn+1(x)

8) a) Puisque f⁽ⁿ⁾ ≥ 0 et b > 0 (donc b−t ≥ 0), la suite (Rn(b)) est positive. De plus Rn+1(b) = Rn(b)−^b_n!ⁿf⁽ⁿ⁾(0)≤Rn(b). La suite est décroissante, minorée par 0 donc elle converge.

8) b) i) En effectuant le changement de variable défini part=xuon obtient : R_n(x) =R1

0

(x−xu)ⁿ⁻¹

(n−1)! f⁽ⁿ⁾(xu)x du= _(n−1)!^xn R1

0(1−u)ⁿ⁻¹f⁽ⁿ⁾(xu)du.

ii) On sait déjà queR_n(x)≥0 puisque x≥0. Commef⁽ⁿ⁺¹⁾ ≥0, la fonctionf⁽ⁿ⁾ est croissante donc f⁽ⁿ⁾(ux)≤f⁽ⁿ⁾(ub)et puisque1−u≥0 etx≥0 on obtient bien la majoration demandée.

iii) Avec i. et ii. on obtient

Rn(x)≤x b

ⁿ bⁿ (n−1)!

Z 1

0

(1−u)ⁿ⁻¹f⁽ⁿ⁾(tb)t=x b

ⁿ Rn(b)

c) Appliquons à nouveau la formule de Taylor avec reste intégral à l’ordre n pour la fonction f sur l’intervalle[0, x](avecx >0).

f(x) = Pn k=0x^k

k!f^(k)(0) +R_n+1(x)et puisque 0 ≤R_n(x)≤ ^x_bn

R_n(b) tend vers 0 quand n tend vers +∞(car0<^x_b <1) on obtient bienf(x) =P+∞

n=0 f⁽ⁿ⁾(0)

n! xⁿ.

Puisquef est impaire, lesf⁽²ⁿ⁾(0)sont nuls et l’égalité s’étend donc auxxdans]−b,0[par imparité des deux membres de l’égalité.

9) La fonction tanvérifie les conditions demandées pour f : elle est de classe C^∞ sur

−^π₂,^π₂ et pour x∈

0,^π₂, tan⁽ⁿ⁾(x) = T_n(tan(x)) ≥ 0 puisque T_n est à coefficients dansN et tan(x) ≥ 0. Pour tout x∈

0,^π₂on peut trouver unb∈

x,^π₂et le résultat du I B.8.(c) s’applique. Avectan⁽²ⁿ⁾(0) = 0 et en posantt_n= tan⁽²ⁿ⁺¹⁾(0)on obtient le résultat demandé.

10) D’après la question précédente le rayon de convergence est au moins égal à ^π₂. Mais s’il était supérieur à ^π₂, la fonction tangente aurait une limite finie en ^π₂, ce qui est faux. Le rayon de convergence est donc égal à ^π₂.