Section européenne Fonction 6
Thème 17 – Fonctions trigonométriques
À la fin de ce chapitre, vous devez être capable de :
• Connaître les valeurs des sinus et cosinus des angles de 0o , 30o, 45o, 60o , 90o.
• La notion de radian n’est pas exigible.
17.1 Un vélodrome est une piste circulaire pour les coureurs cyclistes. On y circule en partant de A et dans le sens indiqué par la flèche. On choisit comme unité de longueur le rayon de la piste donc le rayon vaut r= 1.
O
× ×A
1. Roger a parcouru la moitié de la piste ; il est arrivé en C : a. Placer C.
b. Quelle est la valeur exacte de la longueur de l’arcAC? c. A quelle mesure d’angle (en degrés) correspond ce parcours ? 2. Roger a parcouru les 34 de la piste. Il est arrivé en D.
a. Placer D.
b. Quelle est la valeur exacte de la longueur de l’arc AD correspondant à ce parcours ?
c. A quelle mesure d’angle (en degrés) correspond ce parcours ? 3. Roger a parcouru un arc de longueur π2.
a Placer son point d’arrivée B.
Définition 1 radian
On considère un cercle de centreO et de rayon 1.
On choisit sur ce cercle un pointAorigine.
On peut alors définir une nouvelle unité de mesure d’angle appeléeradian(abrévi- ation rad).
M étant un point du cercle, dans cette unité, la mesure de l’angleAOM\ est égale à la longueur de l’arcAM.
17.2 Graduations principales
Le but de cet exercice est de placer les mesures principales connues en radian. On placera les points sur un cercle identique au précédent.
1. a. Comment trace-t-on au compas la moitié d’un angle ?
b. En remarquant que π4 est la moitié de . . .. . ., placer sur le cercle le point M4 de graduation π4.
2. a.
π
3 = 2π... donc pour placer π3, il suffit de partager le cercle en. . . parties égales.
b. Placer sur le cercle le point M3 de graduation π3.
3. En remarquant que π6 est la moitié de . . .. . ., placer sur le cercle le point M6 de graduation π6.
4. En remarquant que 3π4 = 3× π4, placer la graduation 3π4 . 5. Placer de même les graduations 5π3 , 7π6 .
17.3 Angles orientés
1. Sur le cercle précédent, on a placé un point M3 vérifiant OAM\3 = π3 rad.
Sur ce même cercle, placer un point M3′ , distinct de M3 tel que OAM\3′ = π3 rad.
Définition 2 Sens direct-Positif-Trigonométrique
On appelle sens positif ou sens direct ou sens trigonométrique, le sens inverse des aiguilles d’une montre (sens giratoire).
Définition 3 angle orientés
Pour distinguer les deux points M3 et M3′ correspondants à un même angle géométrique, on utilisera les notations suivantes :
• (−OA−−→;−OM−−−−−→3) au lieu de OAM\3 et puisque pour passer de −OA−−→à −OM−−−−−→3, on a un angle de π3 en tournant dans le sens trigonométrique, on écrira(−OA−−→;−OM−−−−−→3) = +π3 rad,
• (−OA−−→;
−−−−−−→
OM3′) au lieu de OAM\3′ et puisque pour passer de −OA−−→à −OM−−−−−→3′, on a un angle de−π3 en tournant dans le sens trigonométrique, on écrira(−OA−−→;
−−−−−−→
OM3′) =−π3 rad, Les angles(−OA−−→;−OM−−−−−→3)et(−OA−−→;
−−−−−−→
OM3′)sont appelésangles orientés.
2. Placer sur le cercle précédent les points E,F, G etH tels que :
a. (−OA−−−−→;−OE−−−−→) = −π 4 b. (−OA−−−−→;−OF−−−−→) = −π
6
c. (−OA−−−−→;−OG−−−−→) = −5π 6 d. (−OA−−−−→;−OH−−−−−→) = −7π
3 17.4 Tracer un cercle trigonométrique.
1. En noir, placer dessus à l’aide du compas, les points correspondant au angle de mesure π
4, π 6,π
3, π 2 etπ.
2. En rouge, placer les points de mesure 2π 3 , 7π
4 ,5π 6 . 3. En vert, placer les points de mesure −π
3 , 11π
4 ,−13π 6 . 17.5 On considère le cercle trigonométrique ci-dessous :
O A
B D C
F E
G
H I
L J K
1. Justifier que la mesure d’un secteur est de π
6 radian.
2. Parmi les égalités suivantes, indiquer celles qui sont vraies et corriger les autres.
a. (−OC−−−−→;−OB−−−−→) = −π 6 b. (−OA−−−−→;−OD−−−−→) = −3π
2 c. (−OL−−−→;−OD−−−−→) = 4π
3 d. (−OA−−−−→;−OH−−−−−→) = 7π
6
e. (−OG−−−−→;−OK−−−−−→) = −2π 3 f. (−OB−−−−→;−OK−−−−−→) = π
2 g. (−OA−−−−→;−OH−−−−−→) = −5π
6 17.6 Soit C un cercle de centre A etB un point de ce cercle.
1. Construire les points C, D, E, et F du cercle C tels que : (−AB−−−−→;−AC−−−−→) = π
3 ; (−AB−−−−→;−AD−−−−→) = 3π
4 ; (−AB−−−−→;−AE−−−−→) = 7π
6 ; (−AB−−−−→;−AF−−−→) = −3π 4 2. Déterminer une mesure de chacun des angles suivants :
(−AC−−−−→;−AE−−−−→) ; (−AD−−−−→;−AF−−−→) ; (−AE−−−−→;−AB−−−−→) ; (−AF−−−→;−AC−−−−→) ; (−AF−−−→;−AE−−−−→)
17.7 ABCDest un carré. ABJ etCBK sont deux triangles équilatéraux tels que J est à l’intérieur du carré et K à l’extérieur.
A B
D C
J K
Donner une mesure en radian de chacun des angles orientés suivants :
1. (−AB−−−−→;−AJ−−−→) 2. (−DC−−−−→;−DA−−−−→)
3. (−KB−−−−−→;−KC−−−−−→) 4. (−BC−−−−→;−BJ−−−→)
5. (−J D−−−→;−J A−−−→)
17.8
2. Placer le point M tel que l’angle (−OA−−−−→;−OM−−−−−−→) mesure 17π6 rad.
3. Quelle autre mesure, en radians, aurait-on pu donner pour cet angle ?
4. Donner encore quatre mesures différentes de cet angle (toujours en radians) :
• deux positives.
• deux négatives.
5. Combien existe-t-il de mesures différentes de cet angle ?
6. Parmi toutes les mesures possibles, donner celle qui correspond à l’arc le plus court.
Cette mesure est dite mesure principale de l’angle (−OA−−−−→;−OM−−−−−−→).
7. Donner les mesures principales de chacun des angles suivants : 23π
6 ; 23π
3 ; −23π
4 ; −23π
2 ; 15π
4 ; −79π
6 ; 33π
8 ; 17π 6
Fonctions trigonométriques
17.9 Cosinus et sinus des angles associés.
1. a. Placer sur un cercle trigonométrique les points de mesures 5π3 ; 2π3 et 4π3 . b. En déduire les valeurs exactes de cos(5π3 ), cos(2π3), cos(4π3 ), sin(5π3 ), sin(2π3 ) et
sin(4π3 ).
2. a. Placer sur un cercle trigonométrique les points de mesures 5π6 ; −π6 et 7π6 . b. En déduire les valeurs exactes de cos(5π6 ), cos(−π6 ), cos(7π6 ), sin(5π6 ), sin(−π6 ) et
sin(7π6 ).
3. a. Placer sur un cercle trigonométrique les points de mesures 3π4 ; 5π4 et 7π4 . b. En déduire les valeurs exactes de cos(3π4 ), cos(5π4 ), cos(7π4 ), sin(3π4 ), sin(5π4 ),
sin(7π4 ), tan(3π4), tan(5π4 ) et tan(7π4 ).
17.10 Simplifier le plus possible : 1. A= cos(−π) + cos(−3π
4 ) + cos(− π
2) + cos(− π 4) 2. B = cos(0) + cos(π
4) + cos(π
2) + cos(3π
4 ) + cos(π) 3. C = sin(π
6) + sin(π
3) + sin(π
2) + sin(2π
3 ) + sin(5π
6 ) + sin(π) 17.11 On considère l’équation cos(x) = 1
2.
1. a. Dans un repère orthonormée, tracer un cercle trigonométrique et la droite d’équation x= 1
2.
b. En déduire les solutions de l’équation cos(x) = 1 2.
2. En s’inspirant de la démarche effectuée à la question précédente, résoudre, à l’aide d’un cercle trigonométrique chacune des équations suivantes :
a. cos(x) = −√ 3 2 b. sin(x) = 1
2
c. sin(x) =
√2 2 d. cos(x) = −√
2 2
