5 exercices corrigés d’Electrotechnique sur le régime monophasé

(1)

Exercice Mono01 : régime monophasé

Donner l'expression :

- de la puissance active consommée par la résistance - de la puissance réactive consommée par la bobine En déduire l'expression :

- de la puissance apparente du circuit - du facteur de puissance du circuit

A.N. On donne R = 10 Ω, L = 200 mH, f = 50 Hz et I = 3,6 A.

Calculer U et le déphasage de u par rapport à i.

Exercice Mono02 : ampoule basse consommation

L’emballage d’une ampoule « basse consommation » indique :

230 V 50 Hz

150 mA 20 W 1200 lumen 1- Calculer le facteur de puissance de l’ampoule.

2- L’ampoule peut fonctionner pendant 6 ans à raison de 3 heures par jour.

Calculer l’énergie électrique (en kWh) consommée.

3- Une ampoule classique de 100 W donne le même flux lumineux qu’une ampoule basse consommation de 20 W.

Calculer l’économie d’énergie (en euros) que procure l’utilisation d’une ampoule basse consommation.

Le tarif du kWh électrique est actuellement de 10 centimes d’euro.

R i

u

L

(2)

Une installation électrique monophasée 230 V / 50 Hz comporte :

- dix ampoules de 75 W chacune ; - un radiateur électrique de 1,875 kW ;

- trois moteurs électriques identiques absorbant chacun une puissance de 1,5 kW avec un facteur de puissance de 0,80.

Ces différents appareils fonctionnent simultanément.

1- Quelle est la puissance active consommée par les ampoules ? 2- Quelle est la puissance réactive consommée par un moteur ?

3- Quelles sont les puissances active et réactive consommées par l’installation ? 4- Quel est son facteur de puissance ?

5- Quelle est l’intensité efficace du courant dans le câble de ligne ? On ajoute un condensateur en parallèle avec l’installation.

6- Quelle doit être la capacité du condensateur pour relever le facteur de puissance à 0,93 ? 7- Quel est l’intérêt ?

M

EDF 230 V 50 Hz

M M

(3)

Exercice Mono04 : schéma électrique équivalent d’un transformateur monophasé à vide

V I

R L

On donne V_eff = 230 V, f = 50 Hz, R = 1,6 kΩ et L = 1,25 H.

1- Calculer la puissance active PR consommée par la résistance.

2- Calculer la puissance réactive Q_L consommée par la bobine.

3- Utiliser le théorème de Boucherot pour calculer la puissance apparente S du circuit.

4- En déduire Ieff et le facteur de puissance du circuit.

5- Que vaut le déphasage de v par rapport à i ? 6- Montrer que :

ω

=

+

⋅

= ϕ

+

=

L X : avec

² X

1

² R

1 1 R

cos 1

² X

1

² R

1 1 I

Z V

i / v

eff eff

1- Déterminer l’impédance complexe Z du circuit.

2- En déduire la réactance X du circuit.

3- Exprimer P, Q et S en fonction de I.

4- A la résonance u et i sont en phase. Que vaut alors Q ? 5- En déduire la fréquence de résonance.

R i

u

L C

(4)

Corrigés

Donner l'expression :

- de la puissance active consommée par la résistance PR = RI²

- de la puissance réactive consommée par la bobine QL = LωI²

En déduire l'expression :

- de la puissance apparente du circuit

Théorème de Boucherot : S= R²+(Lω)²⋅I² - du facteur de puissance du circuit

)² L (

² R

R S

cos P

k= ϕ= = + ω

A.N. On donne R = 10 Ω, L = 200 mH, f = 50 Hz et I = 3,6 A.

Calculer U et le déphasage de u par rapport à i.

inductif) circuit

( 81 : où ' d

157 , 0 cos

V 229 I )² L (

² I R U S

° +

= ϕ

=

⋅ ω +

=

R i

u

L

(5)

Exercice Mono02 : ampoule basse consommation

L’emballage d’une ampoule « basse consommation » indique : 230 V 50 Hz

150 mA 20 W 1200 lumen

2-1- Calculer le facteur de puissance de l’ampoule.

58 , 15 0 , 0 230

20 UI

P S

cos P =

= ×

=

= ϕ

Lien utile :

http://pagesperso-orange.fr/fabrice.sincere/application_builder5/education.htm#PQS

2-2- L’ampoule peut fonctionner pendant 6 ans à raison de 3 heures par jour.

Calculer l’énergie électrique (en kWh) consommée.

0,020 kW × (6×365×3 h) = 131,4 kWh

(6)

2-3- Une ampoule classique de 100 W donne le même flux lumineux qu’une ampoule basse consommation de 20 W.

Calculer l’économie d’énergie (en euros) que procure l’utilisation d’une ampoule basse consommation.

Le tarif du kWh électrique est actuellement de 10 centimes d’euro.

Pour une ampoule classique : 0,100 kW × (6×365×3 h) = 657 kWh Différence de consommation : 657 – 131,4 = 525,6 kWh

525,6×0,10 = 52,56 euros

(7)

Une installation électrique monophasée 230 V / 50 Hz comporte : - dix ampoules de 75 W chacune ;

- un radiateur électrique de 1,875 kW ;

- trois moteurs électriques identiques absorbant chacun une puissance de 1,5 kW avec un facteur de puissance de 0,80.

Ces différents appareils fonctionnent simultanément.

1- Quelle est la puissance active consommée par les ampoules ? 10×75 = 750 W

2- Quelle est la puissance réactive consommée par un moteur ? Facteur de puissance = cos ϕ = 0,80

d’où tan ϕ = 0,75

Qm = Pm tan ϕ = 1500×0,75 = + 1125 vars (Q > 0 car un moteur est inductif).

Lien utile :

(8)

3- Quelles sont les puissances active et réactive consommées par l’installation ? P = 750 + 1875 + 3×1500 = 7,125 kW

Q = 0 + 0 + 3×1125 = +3,375 kvar (on suppose que les ampoules et le radiateur sont purement résistifs)

4- Quel est son facteur de puissance ?

Puissance apparente de l’installation : S = (7,125² + 3,375²)^1/2 = 7,884 kVA Facteur de puissance : cos ϕ = 7,125/7,884 = 0,904

5- Quelle est l’intensité efficace du courant dans le câble de ligne ? I = S/U = 7884/230 = 34,3 ampères

Lien utile :

On ajoute un condensateur en parallèle avec l’installation.

6- Quelle doit être la capacité du condensateur pour relever le facteur de puissance à 0,93 ? Un condensateur ne consomme pas de puissance active donc l’installation consomme toujours P’= P = 7,125 kW.

Facteur de puissance = cos ϕ’ = 0,93 d’où tan ϕ’ = 0,4

Q’ = P’ tanϕ’ = 7,125×0,4 = + 2,85 kvar

(9)

Le condensateur consomme la puissance réactive : QC = Q’ – Q = 2850 – 3375 = - 525 vars

(QC < 0 : un condensateur est un générateur de puissance réactive).

QC = -U²Cω d’où C = 32 µF

7- Quel est l’intérêt ?

Le condensateur permet à l’installation, de consommer moins de puissance réactive pour une même puissance active.

La puissance apparente est donc plus faible, le courant de ligne également :

S’ = (P’² + Q’²)^1/2 = (7,125² + 2,85²)^1/2 = 7,674 kVA (au lieu de 7,884 kVA) I’ = S’/U = 7674/230 = 33,4 A (au lieu de 34,3 A sans condensateurs).

Le courant de ligne étant moins important, les chutes de tension et les pertes par effet Joule dans les lignes de distribution sont réduites, ce que EDF apprécie grandement.

C’est pour cette raison que EDF surtaxe les industriels qui consomment trop de puissance réactive. L’industriel a alors tout intérêt à installer, à ses frais, un système de compensation d’énergie réactive (par condensateurs par exemple).

Lien utile :

(10)

Exercice Mono04 : schéma électrique équivalent d’un transformateur monophasé à vide

1- Calculer la puissance active PR consommée par la résistance.

Loi de Joule : P_R= V_eff² / R = 230² / 1600 = 33 W

(cette puissance électrique est dégradée sous forme thermique : ceci se traduit par un échauffement du circuit magnétique du transformateur).

2- Calculer la puissance réactive QL consommée par la bobine.

QL = +Veff² / (Lω) = +134,7 vars

3- Utiliser le théorème de Boucherot pour calculer la puissance apparente S du circuit.

Le circuit consomme la puissance active : P = P_R + P_L = P_R (la bobine ne consomme pas de puissance active).

Le circuit consomme la puissance réactive : Q = QR + QL = QL (la résistance ne consomme pas de puissance réactive)

VA 7 , )² 138 L (

1

² R

² 1 V

² Q

² P

S _R _L _eff =

+ ω

= +

=

4- En déduire Ieff et le facteur de puissance du circuit.

A 60 , )² 0 L (

1

² R V 1 V

I S _eff

eff

eff =

+ ω

=

Facteur de puissance : k = PR / S = 0,238

5- Que vaut le déphasage de v par rapport à i ? cos ϕ = 0,238 d’où ϕ = +76,2°

Le déphasage est positif (la tension est en avance sur le courant) car le circuit est inductif (Q>0).

On remarquera qu’un transformateur à vide consomme beaucoup de puissance réactive : il est fortement inductif.

(11)

Lien utile :

6-

ω

=

+

⋅

=

= ϕ

+

=

L X : avec

² X

1

² R

1 1 R

1 S cos P

² X

1

² R

1 1 I

Z V

i / v

eff eff

(12)

1- Déterminer l’impédance complexe Z du circuit.



 





− ω ω +

= C

L 1 j R Z

2- En déduire la réactance X du circuit.

− ω ω

= C

L 1 X

3- Exprimer P, Q et S en fonction de I.

² C I L 1

² R S

² C I L 1

² XI Q

² RI P

2



 





− ω ω +

=



 





− ω ω

=

4- A la résonance u et i sont en phase. Que vaut alors Q ? Q = 0 var

5- En déduire la fréquence de résonance.

LC 2 f 1

: où ' d

C 0 L 1 X

= π

ω=

− ω

= R i

u

L C