fonction filtrage

STPI1

P3-Electricité

CM4 – Opérateurs linéaires – fonction filtrage

1

Association de dipôles

2

Les admittances complexes s’ajoutent dans un circuit en parallèle.

k k

Y   Y

 ^{Y  }

^Y

Les admittances ne s’ajoutent pas. Seules les admittances complexes s’ajoutent en parallèle.

Exemple

3

Modèle basse fréquence du condensateur :

R C

i

i

i

2k 1,5µ u

i(t) = 6.10

cos 100πt

1) U(t) ?

2) Courant de fuite i

(t) et de charge i

(t) ?

Etude des réseaux linéaires

4

Les lois et théorèmes vus en grandeurs instantanées sont également valables en représentation complexe.

Equivalence générateur de Thévenin-générateur de Norton

Etude des réseaux linéaires

5

Exemple :

Opérateur linéaire

6

Q₁ est un opérateur linéaire.

En régime sinusoïdal :

H est la fonction de transfert de l’opérateur linéaire Q_1.

Opérateur linéaire : exemple

7

Opérateur linéaire

du premier ordre : exemple

8

Le dénominateur de H est un polynôme du premier ordre en jω, Q est un opérateur du premier ordre :

x= RCω est la pulsation réduite (sans dimension)

Intérêt d’une

fonction de transfert

9

Le dénominateur de H est un polynôme du premier ordre en jω, Q est un opérateur du premier ordre :

x= RCω est la pulsation réduite (sans dimension)

→Effet de filtrage

Spectre d’un signal périodique

10

Spectre d’un signal périodique

11

Spectre d’un signal périodique

12

nulle

Signal périodique et série de Fourier

13

Par application du théorème de superposition, pour connaître la réponse d’un réseau linéaire à une excitation e(t) périodique de fréquence f, il suffit de déterminer la réponse s_k(t) à chaque

harmonique e_k(t) de e(t), puis d’ajouter toutes ces réponses s_k(t).

Tout signal périodique s(t) de fréquence f est développable en série de Fourier

fondamentale

Harmoniques Valeur moyenne

Spectre d’un signal périodique

14

fondamentale

Harmoniques Valeur moyenne

Spectre d’un signal périodique

15

fondamentale

Harmoniques Valeur moyenne

Notion de filtre

→Filtre passe-bas 16

Mesure de la valeur moyenne de e(t)

Le filtre à réaliser doit transmettre le signal continu A₀ et annuler les harmoniques e₁(t), e₂(t)…

On en déduit les caractéristiques du filtre. Soit une fréquence f_c < f₀. H = 1 si f < f_c bande passante : [0,f_c]

H = 0 si f > f_c bande coupée : [f_c,+∞]

Fréquence de coupure : f_c.

Pour un filtre parfait :

H = 1 dans la bande passante.

H = 0 hors de la bande passante.

Bande passante

Les différents types de filtre

17

Filtre passe-bas

→ transmet les signaux de basse fréquence

Exemple : circuit moyenneur (mesure de la valeur

moyenne d’un signal)

Les différents types de filtre

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Filtre passe-haut

→ transmet les signaux de haute fréquence

Exemple : annulation de la valeur moyenne d’un signal

Les différents types de filtre

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Filtre passe-bande

→ transmet les signaux dont la fréquence est comprise entre deux valeurs f

et f

Exemple : circuit d’accord un récepteur radio

Les différents types de filtre

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Filtre réjecteur

→ annule les signaux dont la fréquence est comprise entre deux valeurs f

et f

Exemple : élimination du bruit à 50 Hz

1

f₁

0 f

H

f₂

Bande coupée

Application : réception radio

21

1 : antenne

2 : circuit d’accord (L, C) avec pour fréquence propre f₀ 3 : transformateur (1^ère amplification)

4 : « nettoyage » signal 5 : amplification

6 : conversion en signal sonore par la haut-parleur

Application : réception radio

22

On règle C de manière à ce que la fréquence du filtre LC soit accordée à la fréquence du signal à recevoir.

Réglage du circuit d’accord

Application : réception radio

23

Le circuit d’accord doit être suffisamment sélectif pour

sélectionner le signal émis par une seule station radio. Mais il ne doit pas l’être trop, afin de sélectionner à la fois la porteuse (F) et l’information modulante ( f ). Concrètement la bande passante doit englober l’intervalle [F - f ;F + f ].

Acuité du filtre :

Application : filtrage d’images

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Exemple :

http://fr.wikipedia.org/wiki/Filtre_%28%C3%A9lectronique%29

Réponse

d’un opérateur linéaire

25

On fait varier la pulsation et on compare la réponse u_s(jωt) à

l’excitation u_e(j ω t), par le tracé de deux courbes en coordonnées semi-logarithmiques :

•gain en décibels en fonction de ω.

• déphasage de u_s(t) par rapport à u_e(t) en fonction de ω.

Ces deux courbes constituent le diagramme de Bode de l’opérateur.

Etude d’un exemple :

filtre passe-bas du premier ordre

26

Etude d’un exemple :

filtre passe-bas du premier ordre

27

-60 -50 -40 -30 -20 -10 0

1,E-02 1,E-01 1,E+00 1,E+01 1,E+02 1,E+03

RCw G_dB

Gain en dB

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Une décade est un intervalle de fréquences [f₁,f₂] défini par:

Echelle logarithmique :

Courbe de gain

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Gain constant nul Gain négatif

Signal transmis Signal atténué

L’opérateur Q₁ est un filtre passe-bas.

Courbe de déphasage

30

Déphasage constant et nul Déphasage constant et égal à –π/2

Signaux en phase

u_s(t) est en retard sur u_e(t) d’un quart de période

Fonction de transfert asymptotique

31

Gain constant nul

Pente -20 dB/decade

Bande passante

32

C'est l'ensemble des pulsations ω telles que:

La bande passante est l'intervalle de pulsations