Primitives et équations différen- tielles

tielles

Terminale Spécialité

ROC

LesROC, (Restitutions Organisées de Connaissances), sont les démonstrations du cours à connaître. Elle sont indi- quées explicitement dans le nouveau programme de terminale Spécialité Mathématiques entré en vigueur à la rentrée 2020.

Ce chapitre compte2 ROCsur les 19 du programme de terminale. (Tous les ROC sur : www.math93.com).

I Primitives d’une fonction

I.1 Équation différentielle y

= f

Soitf une fonction définie sur un intervalleIdeR.

On dit que la fonctiongest une solution de l’équation différentielley^′ = f surIsi et seulement sigest dérivable surIet pour tout réelxdeIon a :

g^′(x) =f(x) Définition 1

Soit l’équation différentielley^′ = 2x, pour tout élémentsxdeR.

La fonctiongdéfinie et dérivable surRtelle que pour tout réelx: g(x) =x² et g^′(x) = 2x Doncgest UNE solution surRde cette équation différentielle.

Une autre solution de cette équation différentielle est par exemple la fonctionh, définie surRpar : h(x) =x²+ 5car on a aussih^′(x) = 2x.

Exemple

1. Soit l’équation différentielley^′ =x³, pour tout élémentsxdeR.

La fonctiongdéfinie surRpar :

g(x) =· · · · est dérivable surRetg^′(x) =x³pour tout réelx.

Doncgest UNE solution surRde cette équation différentielle.

Une autre solution de cette équation différentielle est par exemple la fonctionh, définie surRpar h(x) =· · · ·

2. Soit l’équation différentielley^′ =x²+x+ 1, pour tout élémentsxdeR.

La fonctiongdéfinie surRpar :

g(x) =· · · · est dérivable surRetg^′(x) =x²+x+ 1pour tout réelx.

Doncgest UNE solution surRde cette équation différentielle.

Une autre solution de cette équation différentielle est par exemple la fonctionh, définie surRpar h(x) =· · · ·

Exercice 1

3. Soit l’équation différentielley^′ =xe^x2, pour tout élémentsxdeR.

La fonctiongdéfinie surRpar :

g(x) =· · · · est dérivable surRetg^′(x) =xe^x2pour tout réelx.

Doncgest UNE solution surRde cette équation différentielle.

Une autre solution de cette équation différentielle est par exemple la fonctionh, définie surRpar h(x) =· · · ·

Une équation différentielle du premier ordreest une équation dans laquelle interviennent une fonction dérivablef, sa dérivéef^′et la variablex.

Attention,l’inconnuede cette équation estla fonctionfelle-même (et pasx).

Définition 2(Équation différentielle du premier ordre)

y^′=x³+ 1ouxy^′+ 2y= e^xou2y^′−y= 1.

Exemple

1. Soit(E1)l’équation différentielley^′ = 4x−3, pourxréel.

Déterminer UNE solution de(E1)puis une autre solution de(E1)qui s’annule en 0.

2. Soit(E2)l’équation différentielley^′−2y= 4, pourxréel.

Montrer que la fonctiongdéfinie surRparg(x) = e^2x−2est UNE solution de(E2).

3. Soit(E3)l’équation différentiellexy^′+y= 6x+ 1, pourxréel.

Déterminer les réelsaetbde façon que la fonctionh : x7−→ax+bsoit UNE solution de(E3).

Exercice 2

I.2 Primitives d’une fonction

Soitf une fonction définie sur un intervalleIdeR.

On dit qu’une fonctionFest UNE primitive de la fonctionfsurIsi, pour tout réelxdeIon a : F^′(x) =f(x)

Définition 3

Soitfdéfinie surRparf(x) = 2x. Alors la fonctionFdéfinie surRparF(x) =x²est UNE primitive de fsurRcarF^′=f.

Mais la fonctionx7−→x²+ 5est une autre primitive def surR, oux7−→x²−7ou plus généralement x7−→x²+k(aveck∈R).

Exemple

1. Soitfdéfinie surRparf(x) =x². Alors la fonctionFdéfinie surRparF(x) =· · · · est UNE primitive def surRcarF^′ =f.

Mais la fonctionx7−→ · · · est une autre primitive def surRou plus généralementx7−→ · · · · (aveck∈R).

2. Soitgdéfinie surR+parg(x) = 1

x+ 1. Alors la fonctionGdéfinie surRparG(x) =· · · · est UNE primitive degsurRcarG^′=g.

Mais la fonction x 7−→ · · · est une autre primitive de f sur R ou plus généralement x 7−→

· · · (aveck∈R).

Exercice 3

1. (Admis)Toute fonction continue surIadmet des primitives surI.

2. (ROC)Soitf une fonction continue surI. Deux primitives defsurIne diffèrent que d’une constante.

Propriété 1(ROC)

SoitFetGdeux primitives de la fonctionfsurI.

• Alors pour tout réelxdeIon a :F^′(x) =f(x)etG^′(x) =f(x).

• On en déduit que tout réelxdeIon a :

F^′(x) =G^′(x) ⇐⇒ F^′(x)−G^′(x) = 0 ⇐⇒ (F−G)^′= 0surI

• La fonctionx7−→F(x)−G(x)a une dérivée nulle surI, elle y est donc constante.

• Nommonskcette constante réelle. On a alors pour tout réelxdeI: F(x)−G(x) =k ⇐⇒ F(x) =G(x) +k

ROC 1 : Exigible

Soitf une fonction admettantF comme primitive surI.

Alors la fonctionx7−→F(x) +kest une autre primitive def surIet toutes les primitives def surIsont de cette forme.

Propriété 2

Soitfdéfinie surRparf(x) = 2x. Alors la fonctionFdéfinie surRparF(x) =x²est UNE primitive de fsurRcarF^′=f.

TOUTES les primitives def surRsont de la formex7−→x²+k(aveckréel).

Exemple

1. Soitfdéfinie surRparf(x) =x². Alors la fonctionFdéfinie surRparF(x) =· · · · est UNE primitive def surRcarF^′ =f.

TOUTES les primitives defsurRsont de la formex7−→ · · · (aveckréel).

Exercice 4

2. Soitgdéfinie surRparg(x) =x³. Alors la fonctionGdéfinie surRparG(x) =· · · · est UNE primitive degsurRcarG^′=g.

TOUTES les primitives degsurRsont de la formex7−→ · · · (aveckréel).

3. Soithdéfinie surRparh(x) =x⁴. Alors la fonctionHdéfinie surRparH(x) =· · · · est UNE primitive dehsurRcarH^′=h.

TOUTES les primitives dehsurRsont de la formex7−→ · · · (aveckréel).

4. Soitkdéfinie surRpark(x) =xe^x2. Alors la fonctionKdéfinie surRparK(x) =· · · · est UNE primitive deksurRcarK^′=k.

TOUTES les primitives deksurRsont de la formex7−→ · · · (aveckréel).

5. Soitldéfinie surRparl(x) = x

x²+ 1. Alors la fonctionLdéfinie surRparL(x) =· · · · est UNE primitive delsurRcarL^′=l.

TOUTES les primitives delsurRsont de la formex7−→ · · · (aveckréel).

II Recherche des primitives d’une fonction

II.1 Primitives des fonctions usuelles

f est définie surIpar . . . Une primitiveF est donnée par . . . Validité

f(x) =a(aest un réel) F(x) =ax surR

f(x) =x F(x) = 1

2x² surR

f(x) =xⁿ

nentier différent de(−1)et 0 F(x) = xⁿ⁺¹ n+ 1

surRsin >0 surR^∗sin6−2

f(x) = 1

x F(x) = ln(x) sur]0 ; +∞[

f(x) = 1

x² F(x) =−1

x sur]− ∞; 0[ou sur]0 ; +∞[

f(x) = 1

√x F(x) = 2√

x sur]0 ; +∞[

f(x) = e^x F(x) = e^x surR

f(x) = lnx

(un classique à connaître)

F(x) =xlnx−x surR^∗₊

f(x) = sinx F(x) =−cosx surR

f(x) = cosx F(x) = sinx surR

En pratique il suffit de bien connaître les dérivées des fonctions usuelles.

On ajuste ensuite les coefficient multiplicateurs avec la formule (ku)^′ =ku^′, oùudérivable etkréel Par exemple sif(x) = 7x³surR, on a une primitiveF(x) = 7×x⁴ 4 .

Méthode

Soituune fonction dérivable surI.

f de la forme . . . Une primitiveF est donnée par . . . Validité

u^′ e^u e^u

u^′uⁿ uⁿ⁺¹

n+ 1 une s’annulant pas surIsin <0

u^′

u² −1

u u(x)6= 0surI

u^′ 2√ u

√u u(x)>0surI

u^′

u lnu u(x)>0surI

II.2 Linéarité

• SiF etGsont des primitives respectives des fonctionsf etgsur un intervalleI, alorsF+Gest une primitive def +gsurI.

• SiF est une primitive de la fonctionf sur un intervalleIetαun réel, alorsαF est une primitive deαf surI.

Théorème 1

SiFetGsont des primitives respectives des fonctionsf etgsurI, alorsF+GetαF sont dérivables surI.

• (F+G)^′ =F^′+G^′ =f +gdoncF+Gest une primitive def+gsurI.

• (αF)^′=αF^′ =αf doncαF est une primitive deαfsurI.

Preuve

Soitf la fonction définie surI= ]0; +∞[parf(x) =x²−3 x.

• La fonctionudéfinie paru(x) =x²admet comme primitive la fonctionUdéfinie parU(x) =x³ 3 car : U^′(x) =x²=u(x)

• Sur l’intervalleI= ]0; +∞[la fonctionx7→ 1

xadmet pour primitive la fonctionx7→lnxcar surI: (lnx)^′ = 1

x

• Donc sur l’intervalle]0; +∞[la fonctionvdéfinie parv(x) =−3

xadmet comme primitive la fonction V définie parV(x) =−3 lnx.

• Donc la fonctionf =u+vadmet comme primitive la fonctionF =U +V définie par

F(x) = x³

3 −3 lnx Exemple 1

Point Bac

Les exercices du bac ne proposent pas toujours de calculer une primitive. Il suffit souvent de montrer qu’une fonction donnéeFest la primitive d’une autref. La méthode dans ce cas est de dériverF et de montrer que l’on retrouvef.

On considère la fonction définie surI = ]0 ; +∞]par :f(x) = lnx. Montrer que la fonctionF définie ci-dessous est une primitive def surI:F(x) =xlnx−x.

La fonctionFest définie et dérivable surI. Elle est de la formeuv−wdonc de dérivéeu^′v+uv^′−w^′avec pour tout réelxdeI:

u(x) =x u^′(x) = 1

v(x) = lnx v^′(x) = 1 x w(x) =x w^′(x) = 1 Pour tout réelxdeI:

F^′(x) = 1×lnx+x×1

x−1 = lnx+ 1−1 F^′(x) = lnx=f(x)

La dérivée deF surIest doncf ce qui prouve que la fonctionF est une primitive def surI.

Exemple 2(Comme au Bac (à connaître) )

Il existe des fonctions continues dont on ne connait pas de forme explicite de primitive. Par exemple la fonction

x7−→ e^−x2

est continue donc admet des primitives mais on ne sait pas les exprimer sous forme explicite.

Remarque

III Équations différentielles y

= ay et y

= ay + f

III.1 Équations différentielles y

= ay

Soitaun réel.

L’ensemble des solutions dansRde l’équation différentielley^′ =ayest l’ensemble des fonctions, oùCest une constante réelle :

x7−→C e^ax Propriété 3(ROCy^′=ay)

• Sens direct : montrons quex 7−→ C e^ax est solution de l’équation différentielley^′ = ay.

– Soit la fonctionf définie surRparf(x) =Ce^ax, oùCest un réel.

On a pour tout réelx:

f^′(x) =C×ae^ax ⇐⇒ f^′(x) =a×C e^ax

| {z }

f(x)

⇐⇒ f^′(x) =a f(x)

– De ce faitf est UNE solution de l’équation différentielley^′=ay.

• Réciproquement : montrons que si une fonction est solution de l’équation différentielle y^′=ay, alors elle est de la formex7−→C e^ax.

– Soitf une solution de l’équation différentielley^′ =ayet soitgla fonction définie surR parg(x) = e^−ax×f(x).

– La fonctiongest dérivable surRet :

g^′(x) =−a×e^−ax×f(x) + e^−ax×f^′(x)

– Orfest une solution de l’équation différentielley^′=aydoncf^′ =afsoit en remplaçant dans l’égalité précédente :

(g^′(x) =−ae^−axf(x) + e^−axf^′(x)

f^′ =af =⇒g^′(x) =−ae^−axf(x)+ae^−axf(x) = 0 – La fonctiongest donc constante. Pour tout réelxon a :

g(x) = e^−ax×f(x) =C ⇐⇒ f(x) = C

e^−ax =Ce^ax

ROC 2 : Exigible

• Soit l’équation différentielley^′= 2y, pourxréel.

L’ensemble des solutions de cette équation est l’ensemble des fonctions de la forme : x7−→C e^2x , C∈R

Exemple

III.2 Équations différentielles y

= ay + b

Soitaetbdes réels avecanon nul.

L’ensemble des solutions dansRde(E)l’équation différentielley^′ =ay+best l’ensemble des fonctions, oùCest une constante réelle :

x7−→f(x) +f0(x) ou







f solution générale dey^′=ay f0=−b

ala solution particulière constante de(E) Propriété 4(y^′=ay+b)

(E)l’équation différentielley^′=ay+ba toujours une solution particulière constante.

En effet, la fonctionf0définie surRparf0(x) =−b

aest une solution de(E)puisque :







f₀^′(x) = 0 et af0(x) +b=a×

−b a

+b=−b+b= 0

Remarque

Soit(E)l’équation différentielley^′ = 2y+ 6, pourxréel.

• La solution particulière constante de(E)estf0(x) =−6

2 =−3puisque (f₀^′(x) = 0 et

2f0(x) + 6 = 2×(−3) + 6 = 0

• f définie parf(x) =Ce^2xest solution général dey^′= 2y.

• Donc l’ensemble des solutions de(E)l’équation différentielley^′ = 2y+ 6, est l’ensemble des fonc- tions de la forme :

x7−→C e^2x−3 , C∈R

Exemple

III.3 Équations différentielles y

= ay + f

Soitaun réel etf une fonction définie sur un intervalleI.

L’ensemble des solutions dansRde(E)l’équation différentielley^′ =ay+f est l’ensemble des fonctions, oùCest une constante réelle :

x7−→f(x) +f0(x) ou

(f solution générale dey^′ =ay f0une solution particulière de(E) Propriété 5(y^′=ay+f(Admis))

Soit(E)l’équation différentielley^′−2y= e^x, pourxréel.

• Une solution particulière constante de(E)estf0(x) =−e^xpuisque (f₀^′(x) =−e^x et

f₀^′(x)−2f0(x) =−e^x+ 2e^x= e^x

• f définie parf(x) =Ce^2xest solution générale dey^′= 2y.

• Donc l’ensemble des solutions de(E)l’équation différentielley^′ = 2y+ 6, est l’ensemble des fonc- tions de la forme :

x7−→Ce^2x− e^x , C∈R

Exemple

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