Universit´ e Louis Pasteur
UFR de Math´ ematique et Informatique Strasbourg
Ann´ ee 2007/2008
Master d’Actuariat 2 ` eme ann´ ee
Master de Statistique et Applications 2 ` eme ann´ ee UE : Applications de la Statistique
Session de janvier 2008 - Dur´ ee 4 heures
Enseignants Responsables : A. Guillou, M. Maumy et Ph. Nobelis
Aucun document n’est autoris´ e. Chacune des quatre parties sera r´ edig´ ee sur une copie s´ epar´ ee.
Chaque r´ eponse devra ˆ etre justifi´ ee pr´ ecis´ ement. En annexe sont donn´ ees les tables de la loi normale centr´ ee r´ eduite et le journal et la sortie d’un traitement avec le logiciel SAS.
Partie I : Statistique des extrˆ emes.
Partie II : Enquˆ etes et Sondages.
Ces deux exercices sont issus du fascicule d’exercices de Anne Ruiz-Gazen.
Exercice 1.
On consid` ere une population U de 5 individus, pour lesquels on connaˆıt les valeurs de la variable d’int´ erˆ et Y :
Y 1 = 3, Y 2 = 1, Y 3 = 0, Y 4 = 1, Y 5 = 5.
On choisit un plan simple ` a PESR avec une taille d’´ echantillon n = 3.
1.) Donner les valeurs de la moyenne, de la m´ ediane, de la variance et de l’´ ecart-type de la variable Y dans la population U.
2.) Lister tous les ´ echantillons possibles de taille n = 3. Quelle est la probabilit´ e de s´ election de chaque ´ echantillon?
3.) Pour un ´ echantillon donn´ e, on estime la moyenne, respectivement la m´ ediane de la popula- tion U . Calculer les valeurs de ces deux estimateurs pour chaque ´ echantillon list´ e ` a la question pr´ ec´ edente. L’estimateur de la moyenne est-il sans biais ? Justifier votre r´ eponse. L’estimateur de la m´ ediane est-il sans biais? Justifier votre r´ eponse.
4.) Pour chaque ´ echantillon, proposer un estimateur de la variance de la variable Y et calculer la valeur de cet estimateur. Montrer que l’estimateur que vous avez choisi est sans biais.
1
5.) Pour chaque ´ echantillon, proposer un estimateur de l’´ ecart-type de la variable Y et calculer la valeur de cet estimateur. L’estimateur que vous avez choisi est-il sans biais ? Dans le cas o` u vous auriez r´ epondu par le non ` a la derni` ere question, sauriez-vous proposer un estimateur sans biais de l’´ ecart-type de la variable Y ?
Exercice 2.
Un quartier dans une certaine ville est form´ e de 3000 m´ enages rassemblant 10 000 personnes. Pour
´ etudier l’int´ erˆ et d’installer un dispensaire m´ edical dans le quartier, on veut estimer le nombre total de consultations qu’ont eu les personnes de ce quartier l’an dernier. On veut un r´ esultat ` a 10% maximum, de la vraie valeur, avec un niveau de confiance de 95%. Un sondage pr´ eliminaire portant sur 10 m´ enages donne les r´ esultats rassembl´ es dans le tableau ci-dessous.
D´ eterminer la taille d’´ echantillon n´ ecessaire pour faire l’´ etude avec la pr´ ecision requise.
M´ enage Nombre de personnes Nombre de consultations
dans le m´ enage par personne durant l’ann´ ee pr´ ec´ edente
1 3 4,0
2 6 4,5
3 2 8,0
4 5 3,4
5 2 0,5
6 3 7,0
7 4 8,5
8 2 6,0
9 6 4,0
10 4 7,5
Indication : Le sondage porte sur des m´ enages et non sur des personnes.
Pour r´ epondre ` a la question pos´ ee, une d´ emarche est propos´ ee.
1.) Exprimer le total de la variable d’int´ erˆ et Y , not´ e T Y qu’on doit estimer en fonction des donn´ ees qu’on peut collecter. Pour cela, nous introduirons les trois quantit´ es suivantes :
z k , v k , y k = z k × v k
qui d´ esignent respectivement le nombre de personnes, le nombre de consultations par personne et le nombre de consultations dans le m´ enage k.
2.) Les donn´ ees permettent d’estimer un ratio. D´ efinir ce ratio not´ e R, donner un estimateur de ce ratio, not´ e R b et sa valeur.
3.) Calculer la quantit´ e S y− 2
Rz,s b puis la variance de R. Nous rappelons qu’un estimateur de la b variance de R b est ´ egal ` a
Var d h R b i
= 1
z 2 s (1 − f) 1 n S y− 2
Rz,s b
o` u R b = y zs
s
