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Submitted on 1 Jan 1907
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Sur les spectres cannelés des réseaux parallèles
Georges Meslin
To cite this version:
Georges Meslin. Sur les spectres cannelés des réseaux parallèles. J. Phys. Theor. Appl., 1907, 6 (1), pp.853-885. �10.1051/jphystap:019070060085300�. �jpa-00241260�
853
SUR LES SPECTRES CANNELÉS DES RÉSEAUX PARALLÈLES;
Par M. GEORGEB MESLIN.
CHAPITRE I.
CANNELURES NORMALES.
Diverses théories ont été présentées pour expliquer, dans l’expé-
rience des réseaux parallèles, la production des franges d’interfé-
rence, c’est-à-dire des cannelures qui sillonnent les spectres, lorsque
la lumière, issue d’une fente étroite, tombe sur l’appareil et fait son image sur l’écran dans les conditions de production des spectres purs (1).
Le principe de ces différentes théories est d’ailleurs le même,
c’est celui que M. Crova a f ormulé (2) en attribuant ces cannelures à l’interférence des deux rayons qui ont traversé l’un des réseaux sans
subir la diffraction et qui ont été diffractés, l’un par le premier, l’autre
par le second réseau. Mais on peut adopter différentes hypothèses
au sujet du choix des deux rayons qui se combinent entre eux pour
interférer.
FIG. 1.
’
i° On peut, par exemple, prendre les deux rayons qui sortent de l’appareil au même point (fig. 1) ; c’est ainsi que M. C rova présente
(1) Ces restrictions sont nécessaires pour distinguer les franges d’interférence des franges de l’ouverture appelées aussi franges de diffraction et sur lesquelles je ne reviens pas ici (Voir Annales de Chiinie et de Physique, 7e série, t. III ’
p. ~62 ; - et J. de Phys., 3e série, t. III, p. ~6~ ; 1894).
’
(2) CROVA, Annales de et de Physique, 5e série, t. I, p. 4p’I,
Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphystap:019070060085300
854
le calcul qui conduit pour le retard à l’expression
dans le cas de l’incidence normale, et à
dans le cas général de l’incidence quelconque.
La condition d’interférence sera donc donnée par :
avec
où
Ces équations conduisent, si l’incidence est normale, à la relation :
qui exprime un certain nombre de particularités du phénomène (écartement des cannelures, influence de la distance des réseaux, du
nombre de traits par unité de longueur, du numéro d’ordre du spectre considéré, etc.).
2° On pourrait aussi bien admettre que l’interférence se produit
entre deux rayons qui sont entrés au même point (flg. 2) et qui, par
conséquent, proviennent d’un rayon initial unique; l’expression du
retard serait alors
et
En faisant le calcul comme plus haut, on arriverait, pour le cas où
855 le rayon tomberait normalement, à l’équation :
~
Fte.2. ’
3° On pourrait encore imaginer que l’interférence se produit entre
deux rayons qui ont été diffractés sur les deux points les plus voisins
‘
l’un de l’autre, c’est-à-dire situés sur la même normale aux deux ré-
seaux (flg. 3); cette hypothèse, qui, dans le cas où le rayon incident tombe perpendiculairement, coïncide avec la précédente, donne
pour la valeur du retard :
FIG. 3.
~
c’est l’expression adoptée par M. Mascart (’) ; elle conduit évidem- ment, pour l’incidence normale, à la même expression que plus haut :
(1) MASCART, J’l’ailé d’Optique, 1, p. 490.
856
4" Ces formules sont toutes du même type ; pour les valeurs de 8, qui sont toujours petites, on a : .
qui donne l’énoncé des lois fondamentales relatives aux cannelures fournies par les réseaux parallèles ; mais les hypothèses précédentes
doivent être complétées ou modifiées pour rendre compte des parti-
cularités suivantes qui ont été signalées par M. Garbe ( 1 ) .
A. En déplaçant transversalement l’un des réseaux, les canne-
lures se transportent dans le même sens ou en sens inverse, sui-
vant que le réseau déplacé est du côté de l’écran ou du côté de la
source. ’
B. En déplaçant transversalement la fente, les cannelures se
transportent en sens inverse de la radiation sur laquelle elles se for-
maient et, en faisant pivoter le système des deux réseaux d’un angle w, les cannelures éprouvent dans le même sens un déplace-
ment angulaire 2w.
La première expérience montre qu’il faut introduire dans la théo-
rie, indépendamment des directions de diffraction, quelque chose qui caractérise la position d’un des réseaux par rapport à l’autre.
, FIG. 4.
Pour y parvenir, M. Garbe a considéré comme condition de l’in-
terférence régulière la combinaison de deux rayons qui ont été dif-
fractés sur deux points homologues des deux réseaux ; en désignant
alors par E (fig. 4) l’angle de la normale aux deux réseaux et de la
(~ GARBE, J. cle Pfi ys., 2e série, t. IX, p. 32; 1890.
857 droite qui joint deux points homologues, ce qui définit leur position relative, il obtient pour le retard :
et il en déduit la loi relative au déplacement transversal des réseaux dans le cas de l’incidence normale. ,
Mais on peut montrer que cette théorie rend compte de toutes les
autres particularités du phénomène, et, tout d’abord, de la loi rela- tive à la distance angulaire des cannelures, sans qu’on ait besoin de recourir à la formule :
cette équation a été établie dans une hypothèse toute différente, qui
n’est d’accord avec l’hypothèse actuelle que dans un cas doublement
particulier, lorsque l’incidence est normale et lorsqu’en outre le s points homologues des deux réseaux sont sur la même normale a u plan des réseaux ; il n’y a donc pas lieu de conserver cette formule ,
mais de chercher à déduire toutes les conséquences de l’expression
du retard :
qui devra permettre, en particulier, de prévoir l’action relative au
déplacement angulaire des réseaux ou au déplacement transversal de la fente (troisième loi de M. Garbe, déduite de l’expérience). On peut y parvenir de la façon suivante :
Soit une cannelure noire qui se produit dans un spectre sur un e radiation X ; on a donc :
On a aussi, puisque la radiation X est diffractée dans la direction r :
Entre ces deux équations nous allons éliminer X pour obtenir la rela- tion entre r, p et i, de façon à étudier comment varie r en fonction de p pour les diverses incidences, ce qui nous donnera la distance angu - laire des cannelures, etc. ; pour cela, divisons membre à membre ces
858
deux équations ; on obtient successivement :
en simplifiant et en remplaçant au dénominateur le produit des
cosinus par une somme de cosinus : .
le quotient des deux cosinus qui figure au dénominateur et qui est
de la forme 0 est très voisin de ~. ; il suffit en effet, pour
cos a - x
cela, que l’une des deux quantités ou x,
c’est-à-dire r 2 i ou E,
soitpetite ; or elles le sont toutes les deux si on opère au voisinage du
minimum de déviation ; d’ailleurs - est toujours petit, car il est
inférieur à ~, angle sous lequel, d’un point d’un des réseaux, on aperçoit la période de l’autre; on a donc :
ou sensiblement :
d’où :
ou :
859 L’une quelconque de ces deux formules, qu’on aurait pu d’ailleurs déduire de (3) avec des approximations analogues, contient toutes
les lois du phénomène. En effet :
. r i ’ 2013 f 2p 2013 1
1° La présence du premier terme e ou
! K ’
K permetd’énoncer les propriétés fondamentales relatives à l’espacement des cannelures, l’influence de e, de N, etc.; d’une manière générale, si p augmente de 1, r augmente de 2^ dans le premier spectre et de
if
dans le spectre d’ordre K;
2° Le second terme fournit la loi relative au déplacement trans-
versal d’un des réseaux (quatrième loi de M. Garbe) ; si e croît de cp, r augmente de 2m, ce qui signifie qu’on passe d’une bande à la
précédente dans le premier spectre, à l’antéprécédente dans le deuxième, etc.
On peut dire encore que, si e croît de cp, il faut que? décroisse de K (1 pour le premier spectre, 2 pour le deuxième, etc.) pour que
l’équation
continue à être satisfaite pour la même valeur de r, c’est-à-dire si
on envisage ce qui se passe au même point;
3° Enfin, le troisième terme, i, nous fournira la loi relative au
déplacement transversal de la fente ou, ce qui revient au même,
au déplacement angulaire des réseaux.
Supposons, en effet, que i croisse de w ; pour que l’équation
soit encore satisfaite, il faut que r croisse aussi de w ; mais alors la cannelure ne se produira plus dans la même direction r, c’est-à-dire
sur la même radiation X ; elle se produira sur une autre couleur,
dont la longueur d’onde ~’ sera donnée par :
Cherchons ce qu’est devenue pendant ce mouvement la radiation À :
si i augmente, il faut diminue pour que la condition
860
soit toujours remplie, et, dans les limites où les sinus peuvent être
confondus avec les arcs, si i augnze>ite de o), rx diminue de w, la dé- viation i -~- ra restant sensiblement la même.
Prenons d’abord le cas où la variation de i est obtenue par rotation des réseaux, la normale tourne et, durant ce mouvement, i augmente
pendant que rx diminue de la même quantité, la couleur est diffractée
au même point de l’écran ; mais, comme la cannelure se forme dans
une direction qui a tourné de w par rapport à la normale dont le
déplacement angulaire est lui-même w, l’écart total de la bande noire par rapport à sa position initiale est 2w.
Si le phénomène est obtenu par déplacement de la fente, la nor-
male restant immobile, rx doit varier en sens inverse de i, la couleur
se déplace donc d’un côté pendant que la cannelure est entraînée de l’autre côté symétriquement par rapport à leur position initiale
commune.
Ce sont les deux formes expérimentales sous lesquelles M. Garbe
a établi sa troisième loi.
Ces cannelures, dont l’écartement angulaire est donné par l’ex-
pression
~~~
se superposent aux franges de diffraction qui sont égale-ment visibles dans les différents spectres, aussi bien que dans
l’image de l’ouverture ; il est vrai que les cannelures sont d’autant
plus nettes que la fente est étroite ; mais on peut, pour une valeur
convenable de sa largeur, observer simultanément les deux systèmes
dont la superposition produit des apparences assez complexes.
Rappelons en effet que les franges de l’ouverture ont une période
réelle égale à ? si l’on envisage les franges brillantes dont les alter-
nances sont colorées; mais la période apparente est (1) si l’on
porte son attention sur les franges obscures ou si l’on opère dans l’in-
tervalle où les franges sont achromatiques, ce qui a lieu, dans le cas
des réseaux au cinquantième, dès que leur distance est supérieure à
2 millimètres ; on peut donc dire que pratiquement la période est i’
surtout si l’on observe ces franges de diffraction dans les spectres successifs où les parties brillantes sont colorées par les teintes
(1) Annales de Cltimie et de 7e série, t. III ; p. 362; ~ J. de Phys.,
3e série, t. III, p. 168; 1894.
861
spectrales sur lesquelles elles se projettent et où l’on envisage sur-
tout les franges sombres.
Ces dernières sont quatre fois plus resserrées que les cannelures dans le premier spectre, et deux fois plus seulement dans le second ;
leur écartement est le même dans le quatrième et le rapport des
distances est plus complexe dans les autres, puisqu’il est exprimé,
d’une manière générale, par
La superposition de ces deux groupes de franges peut donc pro-
duire des dessins compliqués dans lesquels il est assez difficile de
démêler ce qui provient de l’un ou l’autre système.
CHAPITRE II.
CANNELURES SUPPLÉMENTAIRES.
M. Garbe a montré que l’on pouvait de la façon suivante opérer la
distinction entre les franges de l’ouverture et les franges d’interfé-
rence : on fait pivoter la fente dans un plan parallèle aux réseaux : les
franges de l’ouverture (ou franges de diffraction) restent verticales, en
Fm.5.
D ( fig. 5), tandis que, d’une part, les spectres et les raies spectrales S
tournent comme l’image de 1 a fente F et que, d’autre part, les franges
d’interférence 1 s’inclinent symétriquement en sens contraire.
Ces résultats sont d’ailleurs conformes à ce que lathéorie permet de
prévoir, car, pour les cannelures, le déplacement d’un point de la fente entraîne une variation de i, c’est-à-dire un changement égal de r,
comme il a été dit au chapitre précédent ; quant aux franges de l’ou-
862
verture, elles ne dépendent que de la position relative des deux
systèmes de traits des réseaux.
Lorsqu’on répète cette expérience en réglant avec soin la netteté des franges et en examinant bien les spectres, on y aperçoit plusieurs
autres systèmes de cannelures différemment espacées entre elles et présentant différentes inclinaisons.
Ainsi, avec les réseaux que j’emploie, j’observe nettement dans le premier et dans le troisième spectre les cannelures normales pré-
sentant l’inclinaison m (pour la direction-w de la fente), mais j’observe
aussi :
Dans le quatrième spectre, des franges (système SI) d’inclinaison w + ~4’
et même, dans le premier spectre, des franges couchées dans le même sens que la fente, mais plus éloignées qu’elle de la verticale
et présentant par rapport à celle-ci une inclinaison - w - ws (sys-
tème S5).
Les quantités W1’ w2, . - ., sont positives et telles que :
Afin de mesurer la direction de ces diverses cannelures ainsi que leur écartement, je les produisais sur un écran rigide recouvert d’une
feuille de carton, et il suffisait de passer avec un crayon ou une
°
estompe sur la trace de ces cannelures, sur l’image de la fente ou
des raies spectrales, pour en obtenir un dessin exact et faire ensuite ’ les mesures à loisir.
On peut aussi les photographier en remplaçant le carton par une
plaque sensible; c’est ce que j’ai fait pour obtenir des épreuves dont quelques-unes ont été utilisées pour les planches qui accompa- gnent le présent mémoire (~).
Ces cannelures peuvent s’expliquer en généralisant la théorie déjà présentée; au lieu de considérer l’interférence des rayons qui
ont traversé l’un des réseaux sans subir la diffraction et qui ont été
(1) Sur les clichés originaux, on trouve un grand nombre de systèmes de can-
nelures que l’on ne pouvait distinguer sur la projection; le changement dans la
mise au point favorise d’ailleurs la netteté de tel ou tel système, de même qu’il intervient dans la production des images à travers un prisme suivant la
valeur de l’incidence.
863 diffractés dans le spectre d’ordre K soit par le premier, soit par le second réseau, on peut envisager des combinaisons plus compli- quées : On peut prendre d’abord le rayon qui a subi dans le premier
réseau la diffraction d’ordre K’ et dans le second réseau la diffrac- tion d’ordre K", et étudier son interférence avec celui qui a été sou-
mis à la modification inverse (diffraction d’ordre K" dans le premier
réseau et d’ordre K’ dans le deuxième), K’ + K" étant égal au
numéro d’ordre K du spectre dans lequel on observe le phénomène
résultant.
C’est ce que nous appellerons, pour abréger, 1& combinaison
symétrique, dont nous avons déjà étudié un cas particulier corres- pondant à K" o.
. Mais, en dehors de cette combinaison symétrique, on peut envi-
’
s ager le cas le plus général où l’on groupe ensemble les deux
r ayons suivants qui interfèrent dans le spectre d’ordre K :
D’une part, le rayon qui a subi sur le premier réseau la diffraction d’ordre K~ et sur le deuxième réseau la diffraction d’ordre K- K1, et, -
d’autre part, le rayon qui, dans le premier réseau, s’est diffracté
vers le spectre d’ordre K’ pour éprouver dans le second réseau la
diffraction d’ordre K - K ~ .
Nous avons, en général, trois variables se rapportant aux numé-
ros d’ordre K, K1, 1 K’, ; dans le cas symétrique seulement, on a :
et dans les circonstances les plus simples déjà étudiées, on a :
Dans le cas général, les équations relatives à ces deux rayons sont les suivantes :
équations qui se réduisent d’ailleurs à trois, puisque chaque groupe donne par addition :
864
En somme, on peut prendre un des deux systèmes équivalents :
et pour les petits arcs :
de sorte qu’en définitive on a :
avec :
On pourra, pour évaluer r~ ou r~ , prendre une quelconquedes der-
nières équations ou les combiner entre elles.
Proposons-nous maintenant d’évaluer le retard des deux rayons
qui interfèrent, et occupons-nous d’abord du choix qu’il faut faire
entre ces rayons qui remplissent les conditions générales im- posées.
Dans le cas le plus simple où la diffraction ne se produisait que
sur un des réseaux, on employait la loi d’homologie de M. Garbe;
ici nous serons forcés d’avoir recours à une règle plus générale : le premier rayon se diffracte en deux points A et B, le second en deux points A’ et B’ ; l’interférence régulière ne se produira que s’il existe entre les positions A, B, A’, B’, une certaine relation ; si par
exemple nous portons notre attention sur les différences de phase qui accompagnent la diffraction, il y aura ,aux points A et B des
retards pj et m~ (1), aux points A’ et B’ des retards et telle sorte qu’aux retards géométriques il faudra ajouter I’expression :
et l’interférence régulière due au chemin parcouru ne se produira
que si l’on a :
(1) Annales de Cftimie et de Physique, loc. cit.
865 ou
en particulier dans le cas fondamental où chaque rayon passe à tra-
v ers l’un des réseaux sans être diffracté, on a :
La condition précédente se réduit à : .
et cette condition est satisfaite par la loi d’homologie, puisqu’on a
alors :
la modification étant identique aux deux points homologues A et B’.
Dans le cas général, la condition se présente sous une forme
moins simple, parce que la diffraction se produit en quatre points,
et en ces quatre points dans des conditions différentes, à cause des
valeurs inégales de K, , K~ , K - K, et
Aussi, sans entrer dans le détail de cette analyse, nous pouvons dire que les deux rayons interférents seront déterminés pour chaque position relative des réseaux par une valeur de l’angle e que fait,
avec la normale à leur plan, la droite qui joint les deux points tels
que A’ et B, E étant, comme plus haut, un angle inférieur à ; ou
connu à la valeur y près de la période angulaire ; l’expérience nous
montrant, d’autre part, par la production des cannelures, que cet
angle a une valeur déterminée et constante dans ces conditions,
valeur qui peut d’ailleurs être une fonction de K,, K ~ et K, comme
nous le verrons plus loin.
Nous pouvons même, pour simplifier le calcul, supposer o, c’est-à-dire imaginer que nous avons donné à l’un des réseaux un
déplacement transversal destiné à amener les deux points A’ et B
sur la même normale aux plans des réseaux.
Nous obtiendrons ainsi plus rapidement une formule moins com- pliquée sans enlever de généralité au problème, sauf en ce qui
concerne le déplacement des réseaux, qui seront ainsi supposés
immobiles.
D’ailleurs nous envisagerons ensuite le cas où e est différent de
zéro, pour avoir le terme constant à j oindre à la formule précédente.
866
Le retard des deux rayons est égal (fiq. 6) à :
~
FIa. 6.
On a donc pour une cannelure noire la condition :
ou
et en supposant les arcs petits, comme il a été dit plus haut,
et, sensiblement, en faisant la division :
remplaçons 1.1 et r~ par leurs valeurs tirées des équations de la
page 864, en ayant soin de mettre dans la parenthèse qui contient i
la valeur de r; , exprimée à l’aide de i, et de mettre en dehors de la
parenthèse la valeur de r; exprimée avec r ; opérons de façon
867
symétrique pour r~ , et l’on a :
qui donne :
À est en facteur et disparaît, divisons par N et remplaçons NX par tirée de l’équation :
il vient après avoir multiplié par K :
Parmi les seize combinaisons des équations primitives que l’on
peut adopter pour faire cette élimination, on peut aussi avoir recours
à la suivante qui mène rapidement au résultat; elle consiste à éva-
luer r en fonction de i, et r, en fonction de r ; on obtient :
. , , ...
remplaçons i2 -- r2 par par il vient :
par KNÂ ; divisons
et, en
substituant #
à la place de NX, on obtient après avoirchassé K : ,
868
Cette formule est identique à la précédente, car on a :
et aussi:
Il nous reste enfin à envisager le cas le plus général où e est diffé-
rent de zéro.
Le retard est é gal à A’C’ + A’B’ + B’E’ - AB (fig. 7) :
d’où:
de même : -.
Le retard a donc pour expression :
869
ou : o o
au lieu de :
il suffira donc d’ajouter au premier membre de l’équation le terme : 1
ou pour les angles suffisamment petits :
La condition d’interférence sera donc exprimée par :
et, en faisant la substitution et la simplification comme plus haut :
La discussion de cette formule nous permettra de trouver les lois
relatives aux différents systèmes de cannelures, de même que la for- mule simple :
dont elle est la généralisation, donnait les lois relatives aux franges
ordinaires que, pour abréger, nous appellerons franges normales.
