Le client ach`ete au plus deux fois des actions

(1)

DUT Informatique semestre 2

Probabilités discrètes révision DS proba

Math´ematiques DM n^◦ 0

Exercice 1

Banque en ligne

La probabilité pour qu’une personne qui se connecte à sa banque en ligne un jour donné achète des actions estp= 0,05

1. Un même client s’est connecté à la banque cinq jours de suite, une seule fois chaque jour.

On désigne par X la variable aléatoire qui prend pour valeurs les nombres de fois où le client achète des actions.

(a) Définir la loi de probabilité de X. Calculer son espérance et sa variance.

(b) Calculer (à 10⁻³ près) la probabilité des événements suivants :

• Le client ach`ete au moins une fois des actions

• Le client ach`ete une fois seulement des actions.

• Le client ach`ete au plus deux fois des actions.

2. Le lundi matin, de 9h à 10h, 10 clients se sont connectés et trois ont acheté des actions.

On contacte au hasard quatre clients distincts parmi les 10. On désigne parY la variable aléatoire dont les valeurs sont les nombres de clients ayant acheté des actions parmi les 4 clients contactés.

(a) D´efinir la loi de probabilit´e de Y.

(b) Calculer l’esp´erance math´ematique deY et la variance de Y.

3. En une journée, 100 clients se sont connectés. On désigne par Z la variable aléatoire qui prend pour valeurs les nombres de personnes ayant acheté des actions parmi ces 100 clients.

(a) D´efinir la loi de probabilit´e de Z.

(b) Calculer l’esp´erance math´ematique et la variance deZ.

(c) Après avoir approché la loi deZ, déterminer (à 10⁻³ près) les probabilités suivantes :

• ^P(Z = 0)

• ^P(Z = 5)

• ^P(Z ≤2)

• ^P(Z ≥1)

• ^P([Z = 0]|[Z ≤2])

Exercice 2

D´emonstration par r´ecurrence de : ∀p, n∈^N, ∀0≤p≤n,

n

X

k=p

C_k^p=C_n+1^p+1

1. Pour p = 2 et n = 5 mettre en ´evidence dans le tableau de Pascal les coefficients de la somme Pn

k=pC_k^p et le coefficient C_n+1^p+1, et vérifier la formule 2. Pournfixé, vérifier l’hypothèse de départP0 où

on a pris comme hypoth`ese de r´ecurrence : Pn:



∀n≥p≥0,

n

X

k=p

C_k^p =C_n+1^p+1



 3. D´emontrer quePn=⇒ Pn+1

Exercice 3

Soient deux variables al´eatoires ind´ependantes:

X∼ B(n= 2, p= 1/2) et Y ∼ B(n= 3, p= 1/3) 1. Calculer^P(X= 1) et ^P(Y = 1)

2. Calculer^P([X = 1]∩[Y = 1]) 3. Calculer^P(X=Y)

1

(2)

Math´ematiques DM n^◦ 0 Correction

Consignes :r´evision pour DS proba Exercice 1

Banque en ligne

La probabilité pour qu’une personne qui se connecte à sa banque en ligne un jour donné achète des actions est p= 0,05

1. Un même client s’est connecté à la banque cinq jours de suite, une seule fois chaque jour.

On désigne par X la variable aléatoire qui prend pour valeurs les nombres de fois où le client achète des actions.

(a) Loi deX∼ B(n= 5;p= 0,05) donc d’apr`es les formules :

E(X) = 5×0,05 = 0,25, ^Var(X) = 5×0,05×0,95 = 0,2375 (b) la probabilité des événements suivants (utiliser la table ou les formules) :

• Le client ach`ete au moins une fois des actions :

P(X≥1) = 1−^P(X = 0) = 1−0,95⁵ ≈1−0,7738≈0,226

• Le client ach`ete une fois seulement des actions :

P(X = 1) = 5×0.05×0,95⁴ ≈0,204

• Le client ach`ete au plus deux fois des actions :

P(X ≤2) =^P(X= 0) +^P(X = 1) +^P(X = 2)≈0,7738 + 0,2036 + 0,0214≈0,999 2. Le lundi matin, de 9h à 10h, 10 clients se sont connectés et trois ont acheté des actions.

On contacte au hasard quatre clients distincts parmi les 10. On désigne parY la variable aléatoire dont les valeurs sont les nombres de clients ayant acheté des actions parmi les 4 clients contactés.

(a) Loi deY ∼ H(N = 10, n= 4, p= 0,3) (b) d’apr`es les formules :

E(Y ) = 4×0.3 = 1.2, ^Var(Y) = 4×0.3×0.7× 10−4

10−1 = 0.56

3. En une journée, 100 clients se sont connectés. On désigne par Z la variable aléatoire qui prend pour valeurs les nombres de personnes ayant acheté des actions parmi ces 100 clients.

(a) Loi deZ ∼ B(n= 100, p= 0,05) (b) d’apr`es les formules :

E(Z) = 100×0.05 = 5, ^Var(Y) = 100×0.05×0.95 = 4.75 (c) On peut approcherZ par une loi de Poisson P(λ= 5) d’o`u :

• ^P(Z = 0)≈0.007

• ^P(Z = 5)≈0.175

• ^P(Z ≤2) =^P(Z = 0) +^P(Z = 1) +^P(Z = 2)≈0.125

• ^P(Z ≥1) = 1−^P(Z = 0)≈1−0.007 = 0.993

• ^P([Z = 0]|[Z ≤2]) = ^P([Z=0]∩[Z≤2])

P(Z≤2) = ^P^([Z=0])

P(Z≤2) ≈0.054 2

(3)

Math´ematiques DM n^◦ 0

Exercice 2

D´emonstration par r´ecurrence de : ∀p, n∈^N, ∀0≤p≤n,

n

X

k=p

C_k^p=C_n+1^p+1 1. Pour p= 2 etn= 5 :

n,p 0 1 2 3 4 5 6 7

0 1 0 0 0 0 0 0 0

1 1 1 0 0 0 0 0 0

2 1 2 1 0 0 0 0 0

3 1 3 3 1 0 0 0 0

4 1 4 6 4 1 0 0 0

5 1 5 10 10 5 1 0 0

6 1 6 15 20 15 6 1 0

7 1 7 21 35 35 21 7 1

les coefficients de la somme (en rouge ci-dessus) sont dans la troisi`eme colonne :

5

X

k=2

C_k² =C₂²+C₃²+C₄²+C₅² = 1 + 3 + 6 + 10 = 20 et le coefficient est bienC₆³ = 20 (en vert ci-dessus)

2. l’hypoth`ese de r´ecurrence (au rangn) : P_n:



∀0≤p≤n,

n

X

k=p

C_k^p =C_n+1^p+1





consiste enn+ 1 ´egalit´es ( une pourp= 0 et pourp= 1 et . . .pourp=n). Donc une seule

´egalit´e pourP₀ qui est : P₀ :

"

∀0≤p≤0,

0

X

k=0

C_k⁰ =C₀₊₁⁰⁺¹

#

⇐⇒C₀⁰=C₁¹ or on aC₀⁰ = 1 =C₁¹ doncP₀ est vraie.

3. Pour d´emontrer quePn=⇒ P_n+1 on commence par ´ecrireP_n+1 : P_n+1:



∀0≤p≤n+ 1,

n+1

X

k=p

C_k^p =C_n+2^p+1





n+1

X

k=p

C_k^p = C_n+1^p +

n

X

k=p

C_k^p (C_n+1^p dernier terme de la somme)

= C_n+1^p +C_n+1^p+1 ( utilisation de Pn si 0≤p≤n)

= C_n+2^p+1 ( relation de Pascal )

ce qui prouve les égalités deP_n+1mais seulement pour 0≤p≤n. Pour la dernière inégalité p=n+ 1 on procède autrement :

n+1

X

k=p

C_k^p=

n+1

X

k=n+1

C_kⁿ⁺¹=C_n+1ⁿ⁺¹ = 1 or C_n+2^p+1 =C_n+2ⁿ⁺²= 1 aussi ! Donc P_n+1

k=pC_k^p=C_n+2^p+1 pour p=n+ 1 aussi.

3

(4)

Math´ematiques DM n^◦ 0 Exercice 3

1. application directe des formules :

P(X = 1) = 0.5 et ^P(Y = 1) =C₃¹(1/3)(2/3)² = 4/9 = 0.44444. . . 2. l’ind´ependance permet d’´ecrire

P([X= 1]∩[Y = 1]) =^P(X = 1)×^P(Y = 1) = 2/9 = 0.22222. . . 3. Calculer^P(X=Y)

P(X=Y) =^P([X= 0]∩[Y = 0]) +^P([X = 1]∩[Y = 1]) +^P([X = 2]∩[Y = 2])

= 1 4× 8

27+ 1 2×4

9 +1 4 ×2

9

= 2 27 +2

9+ 1 18 = 19

54 ≈0.3518519. . .

4