HAL Id: inria-00000936
https://hal.inria.fr/inria-00000936
Submitted on 15 Dec 2005
HAL is a multi-disciplinary open access archive for the deposit and dissemination of sci- entific research documents, whether they are pub- lished or not. The documents may come from teaching and research institutions in France or abroad, or from public or private research centers.
L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est destinée au dépôt et à la diffusion de documents scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, émanant des établissements d’enseignement et de recherche français ou étrangers, des laboratoires publics ou privés.
Real roots counting for some robotics problems
Fabrice Rouillier
To cite this version:
Fabrice Rouillier. Real roots counting for some robotics problems. Computational Kinematics’95, Sep 1995, Nice (France), pp.73-82. �inria-00000936�
*,+.-0/214365/67.86149:9;145</
=?>A@ BC>ED0F:GIH$J,KMLNGPORQJ#STJ>.J,FRF:JL(=
BUH,J$FRVWJXSYJLUZAV[O\O\J]L#STJ^'_,J]LN`&J]a'b[ced,f;g>.J,F:FRJLUhiJjSTJ]k,al<KnmYFRhiJ
opq,r$sRteqTuTvxwAy;z?{Ty:{[|}w.~}{($T{Tz} ~?;|~M{#i{Ty;;~?w.~?;w.W;X:wz6{ezMw,$zM{[{T~i|
{ewz?{T4Y wR| {TR$0|};|}~?w|eR| ;&wiw,i~ Yw$Tw;zj$ Iw~?;{;;|T{Xi{TyRz?w
~?;wi zA:wR,Y {T;z({Ty;zjTi~} I$wi e"yWw,|];.w#ey;yW~?;w,|w#w~?;{;;|.~?{|};|}~?w|
~?Re~Ww,|Miz} Rw¡|}{T"w¢zM{TR{T~ £|¤y;z?{TWw|¦¥4wT§RAY z?w,i~©¨T ;we~ £xy;z?{TWwª{e
yRezj«¬wi6eW y;WIe~?{Tzi|ij
®
u$¯Rq,r$°<±6²<teq,³£°<¯
´w~µ¶:w¦·W{T« <A¸¹ ~i|º;zjTi~ {Y¼»RwiI(½¿¾ÁÀ«ÂeÃeÄjÂeÅ,Ä$Æ,Æ$Æ?ÄjÂeÇiÈÉ||}~Mw
{e0y:{e[;{Y& I$Êw,ËYRe~} {TR| µU̧ÍÃ$Ä,Æ$Æ,Æ?ÄMÍÎeÏ<. ~?C»RW ~?wX|w~{ÊY I|}~} Ri~zM{[{T~i|
ÐѾÒÀ«ÓÃ,Ä$Ô,Ô$Ô?ÄjÓÕ$ÈA{eRz?w,|}y:w,i~} Tw(XW~} yWÖ IM ~} w,|UÀ«×Ã$Ä,Ô$Ô,Ô?Äi×ÕÈReØ#~?;wÙ IWw,$
Tw;wzj~?w,[ÚÛ
ÜÝ|}RM¡T|}w,|6Þß¾áà(âã6ä?å§æ§æ§æåã6çiè
é
I|¤»RW ~?w¢Y wR| {TR«êTw,i~M{Tz|}yRTiw{e
Y wR| {Të¾íì
Õ
îï Ã × î
ð.wi\wz?z} ;~M{¥nð.{YW ¬ÖÖ wzRñ,òYòTóWjYw(T|?|};w ~?W I|ÙyReyRwzA~M;wwiW I|}~?wRiwU{e
wiô M wW~ê$T{Yz} ~?;|.~?R~i{Ty;;~?wU~M;w(õ{eÖ{e. ;¥öõz?{Y÷ øz?{Ww;;wzART| I|iUù
úüû
µ.\RT| I|Aý ¾¼þÊÃeÄ$Ô,Ô$Ô?Ä}þ0ÿí{e6Þ
ú ;w&W~} yWÖ £~} {T~jeWwU{eÊÞ¥. ~?zMw,|}yRw,i~A~M{Xýj;Wwi»R;w,[&ë ë
e~?z} ÖÛ¾¥#Ì ?ÄWÏ\}Ã
îå
;ÿA:A;wz?w#Ì ?ÄWÏ: I|(~?;wXi{;";\Tw,i~?{Tz
;{[|}wi{[{YzjY Re~?w,|#z?w&~?;wi{[wiô M wW~j|U{'þ
îþ ~Mz?w,|}y:w,i~U~?{ýü¥wT§R
þ îþ
¾Ýì ÿ
ï Ã
¥#Ì ?ÄWÏ\
Æiþ
j
vw|}~MRW~n.{Y Ö<wz?wW~#|}~?zj~?we w,|. {TzjWwzU~M{i{T;W~U~?;w#W;&RwzU{e'z?w,«
z?{W{T~j|(ù
ú
wz?& ~?w|Aw~M;{;W £Mi{Ty;;~?w,|ËYRTWzje~ £êõ{Yz?¶A;{[|w#| TRe~?;z?w
ú
;{Y& I$A~?Re~&RT|~?;w|?ew[;&:wzX{z?w,$Az?{W{T~j|T|~?;w ||}~Mw 6.;w
W;&Rwz{êY I|}~} Ri~z?w,$Az?{W{T~j|e¼~?;w·Rwi{T"y;;~?w,·R| ;ÉT~?;z?
eW IM[~|w,ËT;wRiwT
e Riw~?;wz?w,WRi~} {T·{eËYRTWzje~ £\{Tz? ;ww,;|¥,URT| Iez} ~?;w~ £
{Ty:wzje~} {TR|(eRT~?;z?
eW IM[~U|}w,ËY;wRiw,|(;ww,;| &¥
Å
.{TyRwzj~} {TR|:~?;wX|}w,i
{TR"w~?;{;& I|.T|}Wy;~?{Y~} I$Ö"Rw~?~?wz$[Üy;ziTi~} Iiw;{e.wTwz,Y~?;w»Rzj|}~'"w~?;{
RwR$Tw,| Rw~?~?wz [Y|}w,|
u;r¦³£qpWq°<±
º;{YzAwTwz?Þ;.w#Wwi»R;wù
ú ;w(¬ ;w,ezU;{Y{T{TzMy;W £|¶{e6XW~} yWÖ Ie~} {TWù
×ù Þ Þ
ú Æ
ú ;wUe~?z} Ö {e2× . ~?©z?w,|}y:w,i~A~?{ý
ú ;wU;\~?zjTiw&|}["w~?z} I(W ÖÖ ;w,z(õ{TzME¥4{TzA| yW~?zjYiw( ¬¤¾ÛñeAù
ù Þ Þ ¸
¥}ÂRÄ"!
ú #%$&e¥nÂ'!(
;wz?w #)$&¥nÂ'!' £|~?;wU~?ziTiwU{e +*-,
ú
wz?& ~?w|AËTRYWzje~} I(\{Tz?Eù
. ù Þ ¸
 ú ¥nÂRÄiÂ
´w~0/ ¥z?w,|}y<21ARw&~?;w$Tw;zj$ IM{[|;z?w¥4z?w,|y<Rz?w,«2M{[|};zMwe{eAµU~?;wõ{
{e. ;#~?;w{TzMwüz?wiIe~?w,|2~?;w.zje;¨eR|n YRe~?;z?wA{ .
~M{U~?;wAW;X:wz'{e<wz?{W|
{e.½ /
Î
{Tz31
Î
¥n|}ww&¥4w~?wzi|}w65m87:9ñ,òTò8;WMù
2W°r<(
®>=
J$O.½@?MJm6AJ,K}_B}STGP`XJ$F;LGI_YFRm87LC$LNO\J$`E_ED&µȩ̂ÍÃeÄ,Ô,Ô$Ô}Ä?ÍÎTÏGF6GIOIHm
J
F:GIO\JLNJ$OA_EDSTG£LNO\GPFRh$OKAJ,K}_eLUÐaK/ML4K}J]LONP9Q1SROIH[Jm7TYJU?]KnmYGIhh<7Ö_eLNVWK}JLK}JLVNP96K}Jim87
hW7Ö_eLVWKnJ"R_"D#µ09SXYH[J,F>Z
ú
#%2[:¥
. 6¾]\?À^06/
Î_
Ð ÄK¥E^T3`¾baWÈ
údc
I!(2#8eEf(&e¥. Y6¾]\?ÀU^g61 Î_
ЩÄh¥^YKiaÈ
ú
\?À^ 61 Î_
ЩÄh¥^YKjkaWÈ
l(sRrm
®
XYHWJ'LJihj_TF:SYD_TKi`&V)7Öm#m7n7Ö_8FL'VYLO\_oNK}_$STV[hiJAmTF&m87pTY_TKjGPOIH[`rqtsm 7Öm(ZAJ,F
u KgB v#_AJ,FB4>J$GD8qO\_STJim87tF6GPOIHwN_87xCeFR_T`&GPm876GPFRJzy,VWm87ÖGIO\GPJLL\¾{a©Ä0i|aÄ0j|a<R
_TH$J,K.Í
_
1}LöLNJiJ~LIÙw;EAz 5¶m79£ñ,ò88URhR)9
û
y;yWT ;~M;wXy;zMwT {TR|(~?;w{Yz?w¿ ~M©¾üñYR.w#{Y;~j$ ¢e$T{Yz} ~?;¿~M{
i{Ty;;~MwA~?;wAW;&Rwz'{Y I|}~} Ri~.z?w,$R{Tz.i{TyWwiz?{W{T~j|{e0(wz?{T4Y wR|n {YR$
|};|}~?w ù
#°r,°2 n £sRr< GIOIHOIHWJXF:_TO\mTO\GP_TF;L#_"DXOIH[Ji_TK}J,`«a
ú
#%2[:¥
.
Ã]'¾]\MÀU^0 / ФÈ
údc
I!(2#8eEf(&e¥. Ã 6¾ \?ÀU^g61 Î _
ФÈ
367 <861Ù5</1'5.86+/2+6143·*R7./
´w~~?;w&W~} yWÖ Ie~} {T¼~jeWw ){eÞ). ~?z?w,|}y:w,i~&~?{Ö ;w,ezRT|n £|Cýü¾
Àþ Ã Ä$Ô,Ô$Ô?Ä}þ ÿ ÈRwe Tw Rxõ{Tz íÞ<w~ &W$zeM¥!:w~?;w i{;";\Tw,i~?{Tz
A;{[|w#i{[{TziY R~?w,|z?wU~?;w#i{Wwiô M w[~j|{e. ~?zMw,|}yRw,i~A~M{ý
v ~?~M;w,|}wU;{T~je~ {YR|;~?;wU~?z} Ö . å"
¾¥ . å" Ì?Ä [Ïönà îå
;ÿ¼{e . . ~?
z?w,|}y:w,i~~M{X~M;w#RT| I|.ý I|AWwi»R;w,©W¢ù
. å" Ì?Ä WÏ;¾ . ¥\þ
î
Ä}þ
'¾ #)$&¥\þ
îþ
6¾
ÿ
# ï Ã
&<$ze?¥\þ
îþ þ
û
R« Ywê$T{Yz} ~?;ü.{TWI"z?w,ËTW z?w(R|Ù~?{Xi{Yy;;~?w$Ö<~?;wAy;zM{WRi~j|2þ
îþ þ
¥4z?w,|y<Wþ
îþ þ
þ$P'~?{Yw~ . Ã å"
¥4z?w,|}y< . å"
i&%6Tw¤ Ö'w#¢W{~?;w,|wXi{Ty;;
~je~ {YR|6R| ;&~?;w|}~Mzje~?wTUy;zM{TyR{[|w,& ©¥nð.{TW ÖÖÖ wz&;ñ,òTòYóWj$~?;w"w~?;{{YW£
Rw ;wiô M wW~:w,eR|}w{eUWzje~} ITzM{«~?{e~M;wW;&Rwz{e({T;{T& I$I|
[Y{eTw,ÒÜ4¼{YzjWwz~?{© y;z?{eTw~?W I|2wR|}w~?;wÖ ;w,ez} ~}¼{eU~?;wey;yW ;
~?zjYiwTY|.&R?T| yR{[|?|n Wwù
t ¢s
®
=:D F6JSTJ$FR_TO\J ?C'0eEY¥UOIH[J&hj_7¬VW`&F B}H,Jih,O\_TK
Ì #)$&¥WþÊÃ]jÄ$Ô,Ô,ÔMÄ #%$&e¥þ0ÿ.4Ï)(
OIH[J$FZ
ú
geET¥E6¾Ò¥
. Ã å" ( Æ*&W$zeM¥
ú
D_TKm87n7ñ,+ ?Ä +¡ë a . å" Ì?Ä WÏ;¾ #Ì?Ä WÏ[Æ-geY¥
%#r$°°&.'/Û´w~ ¤¾Ýì ÿ
ï Ã # þ
;.;w< \{TzA$Öñ+ 0+¡ë
#)$&¥Wþ
î
6¾
ÿ
#
ï Ã #
#%$&e¥\þ þ î
eR|}{10eEY¥6¾Ò¥ . Ã å" (
Æ2&<$ze?¥j
´w~þ
îþ ¾ ì ÿ$ï Ã
#43 îå65
$
þ7$\ ~?;wÉù
. å" Ì?Ä WϪ¾Ýì ÿ ï Ã
&W$zeM¥\þ
îþ þ
¾¡ì ÿ
ï Ã ì ÿ$ï Ã # 3îå85
$
&W$ze?¥öþ7$þ
¾Ýì
ÿ$ï Ã # 3îå65
$ ì ÿ ï Ã
0&W$zeM¥\þ7$þ
¾íì
ÿ$ï Ã # 3îå65
$
#%$&e¥þ7$P
¾&W$ze?¥öþ
îþ
<Æ*geY¥ 9
ví;w|}~MRWT ;#|};|}~?w| ~Mi{Wwiô M wW~j| µUe{T;wA{T;~i$ R|õ{Tz
wz?& ~?w|
ËYRTWzje~} I\{Tz?Ee~Mz} Ö¢. ~?Éi{Wwiô M wW~j|( ɸ·;;~UR| ;¢|n "yWw~?zjR|}
\{Tz?e~ {Y<[{Y;w#e¢T|M|};wU~?Re~.~?;we~?z ¬{e . RT|(i{Wwiô M w[~j| µU
.ez?wi I|?|Ù IWwW~} ~} w,| {TzjWwzA~?{&z?w,WRiw . å"
[W{e ;$Ö0~?;w#i{Yy;;~je~} {TR|2
µ¡. ~?w&¥në
RT| I{TyRwzj~} {TR|;eR$Ö{e|.UT{W{;i{TW~?z?{eR{e<~?;w(| w{e<~?;w
[~Mwz?w,Y Ie~?w.z?w,|}W~j|],A;w"µ I|~?;wW{T$ X{[ W~?wTwzj|2¥4wT§ &¥n뤥Oe !¥nëM?
ÖKe6 I|~?;wU$W X; | w#{e6~?;wXi{Wwiô M wW~j|A{ . å"
j
vwe¡;{eEWw,|?iz} Rw¦»Rzj|}~«Y{Tz} ~?;Áõ{Tzi{Ty;;~} ;¼~?;w©[;&Rwz{e
Y I|}~} Ri~(z?w,$0z?{W{T~j|Ù{e'&e Tw©wz?{T4Y wR| {TR«2|};|}~?w ù
R°re³£q
$¯6²q / û
ø(z?{Ww;;wzRT|n £|{e.½\{TzAeW TW £|M| Ww"{T;{T& I$<{TziWwz} ; eR
~?;w#T|M|}{M Ie~Mw,&W~} yW¬ Ie~ {Y¢~ieWw #
ú
p]q
®
/Ù{Ty;;~?w,geY¥jñe6¾ÛÌì ÿ
îï
à ¥ #ÌñTÄ \Ï\
î
Ä,Ô$Ô,Ô?Äiì
ÿ
îï
Ã
¥#ÌëÄ \Ï\
îÏ(
ú
p]q /Ù{Ty;;~?w
. Ã å" Ì[Ä \Ï;¾
. Ã å" Ì?Ä [Ï ¾ Ì?Ä [ÏTÆ0eEY¥jñe'Ä.ñ+ 0+ + ë
ú
p]q /Ù{Ty;;~?w(~?;wX|n YRe~?;z?wU{e
. Ã å"
<u ~:¯;r$s( I³ 8;± s > ( ¢s
.;wC £Ww,{'~?;wøw;wzj$Ö w, TRey:ww"¥}|}ww¥
û
{TR|}{65Ñm87:9ñ,òTò ? £|(~M{
wi;y;z?w,|?|~?;w|}{e;~} {TR|{ey:{e[;{T £«||}~Mw Y|Uzje~ {YR$6õ;Ri~ {YR| É~?;w
z?{W{T~j|Ù{e'&;W «ez £~?w#y:{e[;{T £«ö
´w~Û¾ ÀÃ$Ä,Ô$Ô,Ô?ÄRÿAÈU:wU~?;wê|w~A{e0~?;w(z?{W{T~j|¥4;{T~.;w,iw,|?|Mez?Y I|}~} Ri~.{e
½
´w~ e.:w|}wyRezie~} ;wiwwW~U{e'Þ 4§wT<|}RM~?Re~ õ{Tz(wTwz? `¾" &
e?¥3`¾keM¥;.eRw~! "Rw&e[wiwwW~{e6Þ#
'{YR| IWwz~?;wUy:{e[;{Y& I$I|
Â¥OeiÄU6¾#"
$&%('
¥
ú
e?¥;?
!¥ RÄ ejÄ U<¾
#
)%'
¥ "
$%'
å
$*
ï )
¥
ú
eM¥;M
Üö+ I|wz?{{e'½·{eÊ&W~} yWÖ IM ~}×;~?;w¢Â¥OeiÄ eM¥,6?¾ a;RRwUR$Tw
;¥-60¾
!
3/.10 Ã 5
¥ RÄ ejÄ e?¥,6M
!
3/.10 Ã 5
¥OeiÄ e?¥-6?
¾32457698 ä,
3/:
å;\å ( 5
5 (
698
ä
5
698 ä, 3;öå
( 5
5 (
698
ä <= ( ï ;
3?>
5
A;wz?wG!¥OeiÄU¾ÝÂA@P¥OejÄ U0¾ !¥jñYÄ ejÄ Uj
%#r$°B°p,³£q,³£°<¯
®=
J,O½¾ÒÀe«Ã$Ä,Ô$Ô,Ô?ÄiÂeÇiÈ?MJ#mlANJ$Kn_ BnSTGP`&J,F;LGP_TFRm87 L-C$LO\J,`_EDoN_87xC<B
FR_Y`XGPm87L#_EDUµU̧ÍÃeÄ$Ô,Ô,ÔMÄ?ÍÎeÏ\a'mTF:SÐѾÒÀ«ÓÃeÄ,Ô,Ô$Ô\Ó0ÕÈ OIH[J"STGLO\GPFRh,OL_87ÖVWO\GI_TF L#_ED#½
Â<¥VejÄC'ÄY!¥OeiÄU6Ä ![Ã¥VejÄCjÄ,Ô$Ô,Ô}ÄE!TÎ;¥OeiÄU
L_OIH[mYO Z
ú
XQH[J#K}_,_YOPL#_EDÂ¥OejÄ UAmTK}JXJ]k«mTh$O 7xC&ÀWe?¥}Ó0Ã]jÄ,Ô$Ô,Ô?Ä e?¥nÓÕ]?È~F6GPOIHKnJ]LON;Jjh$O\GIH$JU`&V)7B
O\GN7ÖGPh,GPO\GIJ]LÀ«×ÃeÄ$Ô,Ô$Ô?Äj×Õ]È
ú =D1ÝG£L#m AJ,K}__ED#½í_EDX`&V%7ÖO\GpN7ÖGPh,GPO C#שa
Í î
¥,66¾
! 3/.10 Ã 5
î
¥ :Ä eiÄ eM¥,6?
!
3/.10 Ã 5
¥OeiÄ e?¥-6?
%#r$°°&.'/Û.;wwiW I|}~?wRiw{eU|}wyRezie~} ;wiwwW~& I|e TwÉW~?;w"\{eÖ{e. ;
wù
t ¢s
=:D#Ð hj_TF:O\mTGPF;L 7ÖJLiLOIHWmTF N_YGIF:OPLjaOIHWJ,F¼mTOG7ÖJjmeLO(_TFRJmT`&_TF%TOIH[J
f î
¾Í à \Í Å ÛÔ$Ô,Ô Î 0 Ã Í Î D_TK0a + '+Ñ¥
ú
ñe
Õ 3Õ 0 Ã 5
Å
G£Lm©LNJ"NmTK}mTO\GPF)T
JW7ÖJ$`XJ$FROO9
%#r$°°&.'/ '{TR|n £Wwz&i{T;yWw¥<Ä .¾¥?¥RÃ$Ä,Ô$Ô,Ô?Ä ;Î;iÄ¥eÃÄ$Ô,Ô,ÔMÄ $Î;?A{eAY I|}~} Ri~
yR{ W~j|{eЩeeR(w~+¥Ä :w.~?;w.[;&Rwz{e; RWwi |}R?&~?R~ f î
¥6¾bf
î
¥;i
e RiwU~?;wAy:{e[;{T £«Ê¥RÃ
ú
eÃe ¢Ô,Ô$Ô¥;Î
ú
$ÎOe Î 0 Ã
RT|6;{{Tz?wA~MRe~[
ú ñ
Y I|}~} Ri~(z?{[{Y~j|.¥\ ~. I|.;{Y~' RWwW~} I$Ö¢WWÖ0Rw,R|}w>`¾ ;j ¥Ä I|Ùw,|?|.~?Re
[ ú
ñTe RiwU~?;wU~?{T~j«W;X:wz.{eÊi{T;yWw,|.{e6Y £|~} Ri~y:{e [~j| {e0Ð I|Ùw,|?|Ù~?Re
Õ 3Õ 0 Ã 5
Å
;~?W I|Ai{TyWw~?w~?;wUy;z?{W{e?
9
øA Tw|}wyRezie~} ;wiwwW~ ei;.w#i{TyWw~?w&~?;wUy;z?{W{e6{eÊ~M;wUy;z?{TyR{W| ~} {TW
~je¨Y ;!
î
¥VejÄC0¾ !¥4Í
î Ä ejÄ U6Ä ¾ÛñÙÔ,Ô,ÔV0
9
û
i{TzjY ;&~?{U~?;wAy;zMwT {TR|Ùy;z?{Ty:{[| ~} {T<Y~?;wAW;X:wz'{e0Y I|}~} Ri~.z?w,$RzM{[{T~i|
{e¼e TwÛ||}~Mw¹eíRw·w,T| ÖÛi{T"y;;~?w, \z?{T ~?;w¼ø(w;wzj$Ö w,|TRyRw
´wù
#°r,°2 n £sRr<
=
J,Ooe?MJmLNJ"NmTK}mTO\GPF)T©JW7ÖJ$`XJ$FRO(_EDÞ 9 XYH[JF:V[` ?MJ,K_EDSTG£LNO\GPFRh$O
K}Jjm7<K}_,_TOPL&_ED#½ÒG£L#Jk«mYh,O7xCOIHWJFRVW` ??J$K#_ED&KnJim87<K}_$_TOPLX_EDUÂ¥OejÄ U-9=jOÙhjmTFm87L_6??J
D_TV[F:S6?Chi_T`SNVWO\GIF%TOIH[JO\VWKi`0Bêm%?GPhH[OÙLJhy$V[J$FRhiJU_EDêÂ¥OeiÄU
vw". Ö¬A;{T~#Y I|?iR|M|&;wz?w~?;w"y;z?{TWw {e'»RRY ;|}wyRzje~} ;wiwwW~,
;;~,:e Tw¢Â¥OeiÄU'Ä !¥OejÄ U'Ät! à ¥OejÄ UjÄ$Ô,Ô,Ô}Ä"! Î ¥OeiÄU2õ{Tz(e[weU¥4zieRW{T&?;{T
|}wU;.w#T|?|};"w#~?Re~~?;wz?wUwiW £|~j|| yWw&w~?;{;~?{?;w,M¨ ÖKe' I|(|}wyRe
zje~ ;"wiw"w[~({TzA;{T~(¥n|ww¥nð.{YW ¬ÖÖ wz<ñ,òTòYóW?j
û
$T{Tz ~M;ü~?Re~'i{Yy;;~?w,|~?;wAW;&RwzÙ{eY I|}~} Ri~.z?w,$RzM{[{T~i|<{e0(e Tw
wz?{Y wR|n {YR$2||}~Mw¿e;{eÒRw&Ww,|?iz} Rw,·ù
R°re³£q $
$¯6²q / û
ø(z?{Ww;;wzRT|n £|{e.½\{TzAeW TW £|M| Ww"{T;{T& I$<{TziWwz} ; eR
ú
À$Í Ã öÍ Å ¡Ô,Ô$Ô Î 0 Ã Í Î Ä 6¾ aÔ,Ô$Ô}¥
ú
ñe
뤥në
ú
ñe
È
ú
p]q /Ù{Ty;;~?wUÂ¥OejÄ U'Ä !¥OejÄ UÊÄ ! Ã ¥OeiÄUjÄ$Ô,ÔÔ?Ä"! Î ¥VejÄC
ú
p]q /Ù;w,?¨" ÖKe6 I|"|}wyRezje~ ;"wiw"w[~,:eR Ö6;{T~AT{~M{p]q
®
ú
p]q/Ù{Ty;;~?w(~?;w T~M;z?
eW I?W~|}w,ËY;wRiw&{eÊÂ¥OejÄ Uj
367 <861 T98e1 '/2+'365+ 5 '/6143·*8'3 6147
.;ww~?;{;.wUy;z?{YyR{[|}w\{Tzi{T"y;;~} ;Â<¥VejÄC'¾
$%('
¥
ú
eM¥ ?R|w,|A~?;w
MIT|?| I$#;{Y~} {Tí{eêwiwwW~jezMÝ|}Ww~?z £¤\;Ri~} {TR|eR ~?;wi zi{T;;w,i~} {T
. ~? AwA~M{T |;|
°:qs;q,³°¯
®|
J&STJ,F:_TO\J ?CZ
ú ½ î
¥OeiÄ 6¾ ì
'
ïRî
$%
eM¥ êOIH[J ;
JW7ÖJ$`XJ$FRO\mTKzC&LCe`X`&J$O\KjGPhoDNVWFRh$O\GI_TF
mLjL_,h$GImTO\JiS F6GPOIHÀWe?¥-Ã]jÄ,Ô$Ô,Ô?Ä e?¥,:ÿA?È69
ú
î
¥OejÄ#Ù¾ ì
$%' eM¥;
î
OIH[J ;
JW7ÖJ,`&J,F:O\mTKzCUJWF6O\_TF©LV[`EmLjL_,h$GImTO\JiSwF6GIOIH
À<e?¥,ÃjÄ$Ô,Ô$Ô?Ä eM¥,Rÿ?È 9
û
i{TzjY ;~?{~?W I|(;{T~je~ {Y<;~?;wMIT|?| I$'z?wiIe~ {YR|(~?Re~.Ö ;¨wiw"w[~jz?
|}Ww~?z £2\;Ri~} {TR|6~M{Uwiw"w[~jz?wA~?{T|};|6eRwAz} ~?~?wT|\{eÖ{«(|.ù
¥në
ú
?½
î
¥VejÄ 6¾
î
#
ï
¥ ú ñe
¥OeiÄ ?½
î0
¥OejÄ#
. ~?©~?;w#i{TWTw[~ {Y½
¥OejÄ#¾ÛñT
´w~ ;
~?;w#e~?z} Ö¢{'XW~} yWÖ Ie~} {T·[y:{e[;{Y& I$Ke. ÉÞYe Riw~?;w
wi TwW«$;w,|{e ;
z?w~M;w¢|?$Iezi|ù ÀWe?¥ Ä b È¥n|}ww¥4w~Mwzj|}wk5 m87:9£
ñ,òTò;W?jY~?;w#|}w~UÀ
¥VejÄ ?È#e:wXi{Ty;;~Mw,R| ;~?;wz?wiIe~} {T·ù
#)$&¥Oe
î
6¾
î
¥OeiÄ
e Riw(½
î
¥OejÄ#W I|<~M;w'i{[wiô M wW~6{e ÿ 0 î
#~M;w6yR{eW;{T& I$
$%('
¥
ú
eM¥ ?j
Â¥OejÄ U'eRww,T| Ö¢i{T"y;;~?w,[R| ;~?;w#~?ziTiw,| #)$&¥Oe
î
j 6¾ñTÄ,Ô$Ô,Ô\ë
%ÊyReRY ;~M;wAyR{eW;{T& I$2!¥ RÄ ejÄ U0¥{eWwTzMwwêë
ú
ñje.wA;{T~?w(~?Re~6~?;w
i{Wwiô M w[~({e ÿ 0 î0 Ã
!¥ :Ä eiÄU £|
¥ ú ñe
î #
$&%(' ;¥;?½
î
¥OejÄAÀ( ÈT
vw'$I|}{wi~?wRC~?;w';{Y~} {TU{e;wiw"w[~jz?ê|["w~?z} I\;Ri~} {TXR(wiw"w[~jz?
w¯<³q,³£°<¯ ® GPH,J$FO F6_oN_87xCeFR_Y`XGPm87LYe.mTFRS1 ¸·Ì§ÍÃ,Ä$Ô,Ô,ÔMÄ?ÍÎeÏ<mTF:S 6/ a
ú ½ î
¥ :Ä eiÄ <¾ ì
$%' ¥;M½
î
¥OeiÄ À;ÈT
ú
î
¥ :Ä ejÄ#¾Ýì
$&%('
;¥ OeM¥;
î
t ¢s
J,F:J,K}m87ÖGANJiSJ<7ÖJ,`&J,F:O\mTKhC UJWF6O\_TFLVW`#L&mTFRS©hW7ÖmeLiLNGPhim87<JW7ÖJ$`XJ$FRO\mTKzC
LC«`&`&J,O\KiGPh DV[F:h,O\GP_TF;LhimTFk?MJ7ÖGIF«JiS¢VYLGIF%TOIH[J D_87I7¬_F6GIF%TD_TKj`&V%7Öm+Z.l<_TKga +
[j a
ì
$%'
¥ Oe?¥;
½ î0
¥OeiÄ AÀ;ÈT6¾
¥ RÄ ejÄ ?½
î0
¥OejÄ#
ú
ì
$%'
¥;Ve?¥
à ½ î0 0
Ã$¥OeiÄ AÀ( ÈT
%#r$°°&.'/Ûº;{Yz «¬t[(a+k[j M
¥ :Ä ejÄ#M½
î0
¥VejÄ ¾ ì
$%('
;¥;OeM¥ ì é ' å
é?ï:î
0
% é e?¥W
¾ ì
$%('
ì é ' å
éMïRî
0
;¥ OeM¥;
% é
e?¥W
¾ ì
$%('
¥nì
é ' å éMïRî
0
;¥ OeM¥;
% é å * ï $
eM¥W
ì é ' å
é?ï:î
0 0 Ã
¥;Ve?¥
à % é å *
ï $ e?¥WM
¾ ì
$%('
;¥;OeM¥ ½ î0
¥VejÄ AÀ( ÈT
ì
$%('
;¥;OeM¥
à ½ î0 0
Ãe¥VejÄ AÀ( ÈT
9
vw;{«¼wi;~?wR&~M;wAz?wiIe~} {TRw~}.ww wA~?{T|};|ÙeR|}Ww~Mz} IÙõ;Ri
~} {TR|Uù
%#r$°B°p,³£q,³£°<¯
½ î
¥ RÄ ejÄ#¾
î
#
ï
¥ ú ñe
¥ :Ä eiÄ ?½
î0
¥OeiÄ
%#r$°°&.
û
i{TzjY ;~M{&w ;; wUR$Tw&ù
½ î
¥ RÄ ejÄ# ¾ ì
$&%(' ;¥ ?½
î
¥OejÄAÀ( ÈT
¾
¥ :Ä eiÄ ?½
î
¥OeiÄ
ú ì
$&%('
;¥ OeM¥;M½
î0
ÃN¥OejÄ AÀ;ÈT
(| ;~?;w#|Mew#ez?Y;w[~$[.wU{T;~i$ [" RWRi~} {T¼ù
½ î
¥ :Ä eiÄ ¾ ì î 0 Ã
ï
¥ ú ñe
¥ RÄ ejÄ ?½
î0
¥OejÄ#
U¥
ú
ñ
î ì
$%'
¥;Ve?¥ î ½
¥OeiÄ AÀ( ÈT
e Riw½
¥VejÄ AÀ( ÈT¾ÛñU~?;wUy;zM{[{e I|i{YyWw~?wT
9
e Riw #)$&¥ e
î
¾
î
¥ :Ä ejÄ#¥\\{Tz ] &'~M;w¢|?$Iezi| e
î
¥ Xez?w~?;w
wi TwW«$;w,|{e : ;
o!¥ RÄ ejÄ U'eRwWw,WRiw,¦õzM{T Â¥OeiÄUAeR©~?;w&~?zjYiw,|
#%$&e¥ e
î
i ¾ÛñÙÔ,Ô,Ô¥në ñj
û
i{TzjY ;~?{~?;w#y;z?wY {TR|UyRz?~,;~?;wzMwU I|Uew,T|}A$~M{ i{T"y;;~?w&~?;w#Tw;
wzj$Ö w, TReyRw´w"\z?{T ~?;w&~?zjTiw,|ù #)$&¥ e
î
j ¾ñTÄ$Ô,Ô$ÔnÄië
ú
ñeR
#%$&e¥Oe
î
j ¾ñTÄ,Ô$Ô,Ô?Äië
û
|?|};wU~MRe~$Ö<~?;wUy;z?{;WRi~j|&W$zeM¥\þ
îþ
'ezMw¨W;{eA<
û
|~?zj$ TW~}\{Tz?Aezj
$T{Tz ~M;ái{Ty;;~?w,|$Ö~?;w©;ww,Ww,¼y;z?{;WRi~j| 8e
î
eR6R| ;·~?;wy;zMwT {TR|
z?w,|}W~j|];~?;wUwi;y;z?w,|?| {TR| #)$&¥ e
î
j
"!#$
$&%('
)+*
,.-0/21234#5 167189;:"<(4#=>4#?@4&:8A/0-
B2C'
DFEHG
,IJK&L"12M04HN78PO06AOQR9>?S4&:"3P9>OT:@UWV
3PO(8X 18 DEHG
,IJKY[Z]\_^
D`a
,Hbcd
*.e K7L 12Jgf&Uh?i18P69kj(3O(8X18 *.e KY[ZPbml\_^ DAnTapo2` bm,HbPcqd
rsutvw%
x , e2y
^WY
*.ez{&Ea}|~
d&bH7b
*.ez{&Ea}|
dw\;
,s
y
^WY
b7 "bHb7 \
* O06lQw6O0?h 28O(U RO
DFEHG
,IJK&Yl\
y
^,s@f x , e
*
O06.ZQp6OT?
8PO@JRO
*.e
K Y[ZblH\
y^ a)
fP,s df x , e
1Ql2U
, y^ ) Kf7,s
DEG
,IJK&Y[Us\
y
^,s@f x , e
A%
%#r$°°&.°&.(qs( R°re³£q e Riw &W$ze?¥ Æ e·¾ GU#%$&e¥ j~?;wy;zM{[{eU{e
~?;w#$T{Yz} ~?; I|A{Y[Y {TR|
9
.;wCõ{¬{e. ;y;z?{;iw,W;z?wC £|(e{Ty;~ ,~} {T{e6~?;wUy;z?wY {TR|{T;wTR| TW Ö»R
eW~} Ww,izMw,T| ;~M;w#W;X:wzA{e6RT| IU{YyRwzje~ {YR|Uù
"!
-T/
1?@4
1
:"5""8.1: R
7
85""813
3
O0?S5""84
61TN74&3
1
/0-
rsutvw%
,s
y
^WY
*.ezu{#Ea|~
d#bHH7b
*.ez{&Ea|
d\>
DEG
,IJ K Y[ \
y
^U
*
O06lQw6O0?h 28O(U
RO
*
O06.ZQp6OT?
8PO@JRO
*.e
K
Y[ZblH\ y^ xqE{ , apo ` df7,s
DFEHG
,IJK&YlAV \ y^
xqE{
, a ,df7,s
,s y^ a)
K d f,
A%
%#r$°°&.°&.(qs( R°re³£q Ü\6wU;{Y~} Iiw#~?Re~
~?;w<R«õ~?wz~?;w ;
|}~?wy ~?;wUy;z RM yR$6{W{Tyù
e}×¾ÛÌGU#%$&e¥Ef
þÊÃ$jÄ$Ô,Ô,Ô}Ä #)$&¥f
þ0ÿ(4Ï(
eR|}{:
&3e
;
Ì \Ï:¾
î
¥OeiÄ 'Ä 6¾ÛñYÄ,Ô,Ô$Ô}Äh
; Ì?Ä WÏ;¾
¥4Í
î Ä ejÄ#
9
0u!gR¯<t sRrm<p
Ü4©~?W I|A|}w,i~} {T<:.wUR|}wUwiReyWw,|.\z?{TÑz?{TR{Y~} I|(¥4wT§R;Y z?w,i~(¨T ;w~} IUy;z?{T;
wü{e(yRzj$Öwiz?{T:{T~,e|}ww(¥ ~?z} ~K5m87:9;ñ$òTòTóWj¥nºRe; wz?w'eR&´<,ezj;ñ,òTò;j
¥©wz}w~,<ñ$òTò8;Wj:Ö {YzjWwzA~?{i{TyRz?wU~?;wU~}.{X"w~?;{;|(Ww,|?iz} :w,:wiõ{Yz?wT
t (:¯<± /
ú
øg[´¼ùRi{T"y;;~je~} {T{e6~?;w&ø(w;wzj$Ö w,>TRyRwX´w;
ú
T~M
eW IM[~ ù0T~M;z?
eW I?W~ |$T{Tz ~M; ¥ney;yWÖ w,{T~?;w¼;W «z} Ie~?w
y:{e[;{Y& I$Ê Yw[øg[´j
ú
wz?& ~?wù
wz? ~Mw|«Y{Tz} ~?;
ú ð {[{T~i|Uù
ð)ùW[;&:wz{e'Y I|}~} Ri~(z?w,$<z?{W{T~j|
ù;[;&:wzA{e'Y £|~} Ri~êi{T"yWwizM{[{T~i|
ú
C;ùTi{Ty;;~je~ {YX~ "w. |}w,i{TR;|2{TgT;;ETyRezjñWa©;[ñ ©{RR| ;
~M;w04{ T{T4´: ;zjezMT
ú
´2<ù;W Rez?w;T~?©{e0~?;wCIez?Tw,|}~Ai{Wwiô M w[~U~MRe~Aey;yRw,ezi|Ù ~?;wz?w,|}W~,
vwUT|?|;wA~?Re~ø0[´eR
wz?& ~?wU$T{Tz ~M;|Ù~je¨TwAT|2 ;y;;~A&øzM{[w;;wz
RT| I| ¥ni{Ty;;~?w,. ~?"z?w,|}yRw,i~Ù~?{(~?;wUJTYKnJ>J$H,J$K?LJ = J]k«GPhj_zTTK}mzN(H[GPh{T;{T £«
{TzjWwz ; eR~M;w#T|?|}{;M Ie~?w,&W~} yW¬ Ie~ {Y~jeWwT
wt $$ wt $ / OO08P3
T9
8
1"9}NPX8
4&6?S9;84
1?S4
9 9 9 / 3
9;:
a
9>8P69;8d * *
9>:
(a
4&6=;4&87d
5"=}1: 1Aa\* 1"<4#64Hd
35 189}1= saõ* 1"<4&64Hd 0
35189}1=
aI1
::"O"N74&:89}d
T
T
3P5 18 +]1Aaõ*
1<4&6P4Hd
3P5 18!
aõ*
1"<4&64d
T
%6Yw ¬6.w#W{;{T~.~je¨YwêezMwU{e0~?;wUy;z?wy;zM{iw,|?|n ;~?Re~Ù I|;ww,Ww, {TzjWwzA~M{
i{Ty;;~MwXe©;W eez} Ie~?w&z?wy;zMw,|}w[~ie~} {T{e'~?;w#||}~Mw|
wz?& ~?w|w~?;{; I|
{TzMw#wiô M wW~( x{[|}~Y|}w,|Qe Riw T~?;z?E
eW IM[~#|}w,ËY;wRiw,|U;ww, ¥ Å
RT| I{TyRwzie~} {TR|.eR"~?;wËYRTWzje~} I õ{Yz?üz?w,WRi~ {Y;ww,;|3¥
6{Ty:wzje~} {TR|]
~?W I|z?w,|}W~& I|&W;w~?{¢¤Rw~?~Mwzi{Y[~?zM{e{e(~?;w| w{e~M;w i{Wwiô M w[~i| É~?;w
$T{Tz ~M;¶~?Re~AzMw,WRiw,|A~?;w#ËYRTWzj~} Iõ{TzM|
l .Vr<:¯t;p
"! #%$&(')*+,-. //)013245 67987:<;=>";;?:<;@A')BDCEB 5&DF
=G:7:HIJ2KML;&N<;G'OP>7:&QSR9TAUWVYXZN[\^]W_a`3b3]3cIdIef3_7g
7FihJjjkJljmL,j')Bno;"Hmp7S-. /qr1Js&N=7t;:Ea)Hu&Q7:')avwx'(')BnyJoF
&N:nz7{7|}o~K4{N3{7m| I7 I?{7~97~Kj)5 I)vj ? ~KOmJ\GcK`WKj5K S
L;:<;:uhDjS:<;::mG#^':3S-.O//1JyJ8G')' 7:B^78&N<;O'OW)8:<; HW:J H7F
"; ' 78G'):<;x7QJ' j6'w<;:&97;&N=7&N7:' :<;n' B(' = =7"; ' :<;K ¡}<{ o7?~7¢
{ £KJ ¡{Kj{¤M{7}E¥£K{on{7~94{ I¦37}<`W§>5 S
!K' 8 w¨Sp7sJK-. //)01(© 8 :<;^Bv7:¨&NvBj6©78G'):<; =G)7uª&D;@')N«¬{ ) I{7}EWK£Ko
!K' 8 w¨p7s¬¡y;@')>;I,uv®m')l ' B*ALv' B¯9'7v+,A-. //)071Mu°±o;7:ns&N=8:'):<;²)H
2K FEB>;&N5 <;K'AyJ $x 5' <;Jx7MsK' wD HWhJB<; wWz7³4´o{?Nu{7m| I7 µ@{7~
!K' 8 w¨3p7s¬4')Bn®S' l ')Bj3LS-.O//)01J+v &x7;K' :<;@'Oo@') H=G')'"o¡&(')7;= 87@'):
R¶o£K7~K·7~KDR¶7£K?~K(K£K{7}o
9<:mpFiuj-.O//¸1J®jAxK:¬3')'"I¨oN¹ }^º»? ¡7}o
SBjvS¡)v!P7l=7;w)@' vDv-. //¼1(s87:<;w½ '2K±;¾:a987:<;¿')<;@' :
sv' Àu{7m| I7 µ@{7~K VJ¢7 ´)}E7?Uvo{7 I}o »KÁj}SÂ)v }?T¡)5) I I»V~K7}SÂDUv?"¢7{Ão7@ µ{7}EÄ)»
Å?}<¥ £vÆ7|7 }j`WKÇK75KK*
87;"""; W!S-.O//)01J! &D87BN¡')o;:A ©B8 :<;^B,HI&Nv78G')B'):<;789È{7 IA7|É
u{7m IvÊ ~K7|7A7,ËVAo7v ?J7J4)@)~GouÌ\^]W_a`3b3]3cµdIef3_7g
87;"""; W!3-. //1SP P7)Fi '@P> ¿;?wÍ-E2K FEB>;&N5 <;j'OA7:&NA)H¡=K)7&;@'O@1À }E{Î
o7?~¢{ £KJ ¡{Kj{^¤M{7}E¥i£K{o¶{7~9j{ I¦37}<`WK> >*K