Energy decay rate of wave equations with indefinite damping.

(1)

HAL Id: hal-00129628

https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-00129628

Preprint submitted on 8 Feb 2007

HAL is a multi-disciplinary open access archive for the deposit and dissemination of sci- entific research documents, whether they are pub- lished or not. The documents may come from teaching and research institutions in France or abroad, or from public or private research centers.

L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est destinée au dépôt et à la diffusion de documents scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, émanant des établissements d’enseignement et de recherche français ou étrangers, des laboratoires publics ou privés.

Energy decay rate of wave equations with indefinite damping.

Ahmed Benaddi, Bopeng Rao

To cite this version:

Ahmed Benaddi, Bopeng Rao. Energy decay rate of wave equations with indefinite damping.. 1999.

�hal-00129628�

(2)

)$*+,$-./$*0132$-

457698;:=<?>@4ABABC?DFEG:H<IKJG8LEMONP4RQ

SUTWV*XZY[XZ\WX]F^_^a`&bF^-cd`ebW^fhgiXZbj^-kglXmYonL\W^pqrgiTF`sj^-^

t!TFYoqi^-cdV*YoX;j^uKvl\WYoVxwygiV*Xm^-\Wc]F^z{Xmc*giV*|Kvl\Wc*}

~{W_\F^_^aTj^&m!^aV*`-gic*Xm^-Vr i~ilrz;XZcdglV*|Kvi\Fcd}^-]W^-K;;c*giTF`-^

|K^-TWgl]W]FYkglXmb\V*Xmc*glVd|{}Wc c*givLkglXmb\{UVdXZc*giV*|W}Fc

xFFK 8lIKE-U:8L¡ -58¢IKE8L£&:¤6¥8¦EG-IKEDF§©¨D;ªK8O8;«¬DF a¤IKE)¨¤ -5®DFE

EG:8l¯E¤ a8O-¤MKE°:DF6¥J¤EM±DFE:²D¢³L8LrI´IKi:8LµJIK -8LE aUDF§? a8Lr6¢¶¸·-¤EM¹Dº-5IsIK -¤EM

6¥8¦ -5I:»;¨?88;- ¼DF½§¤U-5¾ -58?DK-¿s6¥J -IK aU8LÀÁJDFE-¤IKEBIFÂ8¦¤MK8LEªWDF§¬78DFE:h8LMK8LEªK8;l aIKi

IFÂÃ -58¥:DF6¥J8;:¢¨D{ªK8µ8;«K¬DF -¤IKE±ÂmIKµD¥§UDFrMK89l§UDKrIFÂ'lIÁ8iÄHl¤8¦E rL¶¡C*E´DK::¤ a¤IKE»ÅÂ

a578Æ:7DF69J7EM=iIÁ8lÄl¤8LE% /U¾ÇF6¥IKr8¡JGIs-¤ a¤ªK8¡ -5DFEE8LMsDF -ªK8;Ç»!¨?8¥JrIWªK8µ -5DF µ -58

8LE8LrMK¿±IFÂR-¿- a8L6 :8;LD;¿/¬EÅÂmIKr6¥§¿¢8LÀsJGIKE8LE aUDF§¤§¿´ -I±³L8LrI¶±È?5U/-5DFrJr8;-¬§¤

MK8LE8LiDF§¤³L8?DJr8LªÁIK¬¨?IKrÉ¥IFÂÊ7r8¦¤ rDK?DFE:¢Ë¬GDF³¦¬GDOÌrÍLÎKÎKÏÁÐ¼¶

Ñ¢ÒÓÔµÕFÖK E:y8i¯GE -8P:7DF69J7EM»K-JG8;i -r¬6×8¦ÀÁJDFE-¤IKE»sN#¤8-³½DK-UL»K8LÀsJGIK£

E8LE aUDF§Ø:y8LD{¿OiDF -8Ù¶

ÚÛFÜÒÝ;ÞUK=ßàá;ÒsFâäãU;{Þ¤åæKyÞUÕç

¶èKéÁêÃëKì»èKéKíëKì»èKéKíÍLì»ÎKèKA¡ÍLé¶

î

¾ï{ç;FÕÖ©àFÞUÕç 8lIKE-:y8¦© a58BA¤rUr5§¤8L xJ7rIK½§8L6ðIFÂIKE8L£&:¤6¥8¦EG-IKEDF§

¨D;ªK88;«K¬GDF a¤IKE¢¨¤ a5¢DFE¢¤E:8l¯E¤ a8ªÁrlIK¬#:DF6¥JE7Mñ

Ì¼ÍFòUÍ{Ð

ó

ôöõ÷FøUøù÷Fú;úû ëÁüaý

÷Wøû¸þi÷ÿ

ì ìÍ

÷

Ì*ì rÐ

ÿ ÷ Ì¼Í rÐ

ÿ

ì °ì

÷

ÌrìÁÐ

ÿ ÷

ÌGÐ

÷Wø ÌrìÁÐ

ÿ ÌGÐ

¨58Lr8¢ -58±ªFDFrDF½§¤8¹lIÁ8iÄHl¤8¦E Hý²UODF§¤§IF¨?8;:) -I° 5DFEMK8±-¤MKE¶×QP¬7OMKIsDF§BU¥ aI

EªK8;- -MsDF -8? a578?8¦E78¦rMK¿¡:y8LD{¿¾iDF -8?IFÂ a58-IK§¬7 a¤IKE»FÂG a58lIs8lÄHi¤8LE ýBUDKr-¬6¥8:

aI¥½G8äÇF6¥IKr8JGIs- -ªK8/ -5DFEHE78¦MsDF -¤ªK8Ç»D¥lIKE-8;l a¬7r8BJ¬ 'ÂmIKr¨DFi:¥½¿Hê58LEH8L DF§d¶

Eëd¶

8#ÉsEIF¨ -5DF ÂØý/U!EIKEE8LMsDF -ªK8?DFE:- arUl a§¤¿¾JGIs-¤ a¤ªK8IKE¥-IK6¥8Ã-¬½7E -8¦rªFDF§

IFÂìÍ*»# a58º8LE8LrMK¿¸IFÂ¾ -58´-IK§¬ -¤IKE)IFÂä -58¢8;«K¬DF -¤IKE3ÌrÍF¶UÍ{Ð :y8LD{¿%¥¬7EÂmIKr6¥§¤¿

8LÀsJGIKE8LE% -UDF§§¤¿H -IO³L8LrIHDKMKIs8; -I=E¯GE e¿±Ìd-8L8¥<?DFi:Is#8¦ /DF§d¶ÍDFE:ºê58LE±8L

DF§d¶ëZÐ¼¶N#8;i8LE -§¿K»Ê7r8L rDKDFE:Ë¬DF³L¬D Ï8;- ¼DF½7§U-58;:O -58/¬EÅÂmIKr6,- rDF½§¤¤ &¿O¤E

a578äLDK-8BIFÂ¤E:8l¯E¤ a8B-¤MKE¶

(3)

Ì*ì;Í{ÐÃDKÂmIK§¤§¤IW¨Bñ

Ì¼ÍFòoëÁÐ

ÿ ì

ú;úBùþ

ëÁüaý

=Ì Ð

ÿ

Ì*ì;Í{Ð

Ìdì;Í{Ð

Ìdì;Í{Ðrò

8L H½G89DFE´8L¤MK8¦EªWDF§¤¬8IFÂÃ -58¡IKJG8LiDF aIK¥Ì

ú;ú ù)þ

Ð¼»DFE:"!#=½8¥ -589DKr-IlDF -8;:

EIKr6ODF§¤³L8;:´8LMK8LEÂm¬EGi -¤IKE¸¤E Ìdì;Í{Ðr¶®C*E éÊr8L¤ ¼DK/J7rIWªK8;:´ -5DF ¥Â/ü ì¢U

-6ODF§§8LEIK¬7MK5» -58¥ÂmIK§¤§¤IW¨#EM¢lIKE:¤ a¤IKE/DFr8OE8;l8;rrDFr¿=ÂmIKµ a58=- ¼DF½¤§¤ &¿ºIFÂP -58

8;«K¬DF -IKE´ÌrÍF¶Í{Ðñ

ì $

&%

%(')')' %

*

ù,+

Ì-

Ð

ÿ(.

ý7ÌGÐ!

ÌGÐ/

%10

®ì 2

%

ÍFò Ì-

Ð

DF -8L9IKE®Ê7r8L rDK¡DFEG:)Ë¬DF³L¬D Ï8;- rDF½§U-58;:´ -58¢¬EÅÂmIKr6 8LE8LrMK¿¸:8;LD;¿iDF -8

E² -58LDK-8=¨58Lr8Hý43657¡Ì*ì;Í{Ð¡DFE:

þÿ

ìÂmIKü ì±-6ODF§§?8LEIK¬7MK5¶¸È'58L

JrIsIFÂU½DK-8;:¡IKE=Dµ-5IsIK -E7Mµ698L -5I%:¥:8LªK8L§¤IKJ8;:¥½¿OêIWÀ¥DFE:Ë¬DF³L¬D 98 ÂmIK? -58

¨D;ªK8/8;«K¬DF -¤IKE¶P<¬7 P¤E¢ -58¡DF½-8LEl8¾IFÂDFE´DK:8;«K¬DF -8¡DFErDF -³BÂmIK -58¡DK-¿s6¥J -IK aU

8LÀsJDFE-¤IKE»7 a58JrIK½§¤8L6,r8L6ODFE78:=IKJG8LE´Eº a58MK8LE8LiDF§xLDK-8K»8LªK8¦E´¨#58LE

þ

UBD

lIKE- ¼DFE L¶

C EH -5U¨?IKrÉ»Á¨?8P¨#§¤§G8- rDF½§¤-5 a58h8¦ÀÁJIKE78¦E -DF§- rDF½§¤¤ &¿¡¤EO -58¾LDK-8¨58Lr8

ý:3;579Ì*ì;Í{ÐäDFE:

þ 3 ;Ìdì;Í{Ð/ÂmIK=ü ì¹-6ODF§¤§?8LEIK¬MK5¶ 8=¨¤§¤§8L6¥J§IF¿D

-5IsIK -¤EM±6¥8L a57I%:²¬-8;:²¤E°NDFIÍLì'ÂmIK¥ a58¢ND;¿Á§8L¤MK5<oµ½G8DF6 8;«K¬DF -¤IKE¶®È?57

DFJJrIsDK 5°lIKE-U- ¼¤E lIKE- -r¬l a¤EM»?¨# -5IK¬ ODFE¿)D´Jr¤IKrDFErDF a³K»DFE®8LÀsJ7§Ul

DFJJrIFÀs¤6ODF a¤IKE¸IFÂ/ a58´r5DFiDKl -8Lr- -8;«K¬DF -¤IKE®IFÂµ a58¢¬7E:8Lr§¿ÁE7M -¿- a8L6¢¶C E

-8;i -¤IKEë»è¨?8B8;- rDF½§U-5O -58µDK-¿s6¥J -IK aU8LÀsJDFEG-IKE=IFÂx -58/8¦¤MK8LEªWDF§¬78>=@? ñ

Ì¼ÍFòoèÁÐ =A?

ÿù ü .

ýÌGÐB/ DCFE2HG

û

ÌE

û

ürÐJIKL

Í

2NM

¨58Lr8IKÌOKÐPQOh?D r8DF§GE¬6¡½G8L;¶SRs8;l a¤IKET8µ?:8LªKIK -8;:O -I9Dµ:8L rDF§¤8;:O- -¬:¿¥IFÂ

a578-¿%- -8L6IFÂ8¦¤MK8LEªK8l -IKiL¶ 8¯Gi- Ø:8L -8Lr69¤E8 -58E¬6¡½G8LIFÂ8¦¤MK8LEªWDF§¬78IFÂ%§¤IW¨

Âmr8;«K¬8LEl¿K¶P@#8LÀs h¨?8¾JrIFªK8/ a5DF -58¡-¿%- -8L6,IFÂ8¦¤MK8LEªK8l -IKi#IFÂU,U#8;«K¬¤ªWDF§¤8¦E

aI¥ -58B¬-¬GDF§IKr a5IKE7IKr6ÆDF§7½DK-IFÂ -58/8¦E78¦rMK¿O-JDKl8V

Ìdì;Í{Ð Ìdì;Í{Ðr¶

ÊæEDF§¤§¤¿9r8;LDF§¤§ a5DF # a578¾MK8LE8LiDF§GIKE8L£ :y6¥8LE-¤IKEDF§:DF6¥JG8:Æ¨D;ªK8B8;«¬DF a¤IKE

Ì¼ÍFòW8Ð X ÷ øUø ù

ÌY

÷ ú Ð ú û ëÁüaý

÷ ø û þl÷¥ÿ

ì

LDFE¾½G8r8;:¬l8;:¤E% -I -58ÂmIKr6×Ì¼ÍF¶UÍ{Ð½¿P -58 5DFEMK8IFÂ £*ªWDFrUDF½§8DFE:h -58¬EÉÁEIF¨E

÷ ¶ È?58Lr8lÂmIKr8=¬E:8L9-¬7 rDF½§¤8lIKE:¤ -IKE IKE) a578±iIÁ8lÄl¤8LE% rDX ZY rý

þ

»¨?8¢LDFE

(4)

8;«K¬DF -IKE´ÌrÍF¶8Ð¨¤ a5IK¬7 PDFE¿O:ÄHl¬§¤ &¿K¶

¸ ÒsKÞUãBK7;Ò C*E´ -5/-8;l a¤IKE´¨?89lIKE-U:8LB a578Æ-JG8;lDF§LDK-8¨58Lr8

þ

hDHlIKE- rDFE ¦¶/ÊrIK6 -58¡lIKE:¤ a¤IKE¸Ì -

Ð¼»¨?8EIK -l8µ -5DF

ù ÿ 2 G

û)þ

%

G

û¸þ

®ìäÂmIKRDF§¤§2

%

ÍF¶ÊIKDF§¤§ 2 %

Í¨?8µ:8l¯E8S? ½¿¥ -58¾8;«¬DF a¤IKE´ñ

ÌdëòUÍ{Ð ?

û¸þû üaý

hÿ

CE 2HG ¨58Lr8 S?

ì ý

/ÿ .

ý7ÌÙÐB/Kò

ÊrIK6 a578HlIKE:¤ a¤IKE®Ì -

Ðr»¨?8O5GD;ªK8Oý

ì¶´È?58LE S? ì6¥J§¤¤8h -5DF

°ì¥DFE:T ®ì¶C* ÂmIK§¤§IF¨P' a5DF

ÌdëòoëÁÐ S?

ù Ì&üaý

E 2 G

û¸þ Ð

%

S?

C 2 G

û¸þ

% 2 G

û¸þ

ò

4:yr8;l lIK69J7¬ ¼DF -¤IKEHMK¤ªK8;? -5DF

? ù Ì&üaý

E 2 G

û¸þ Ð ÿ

Ì ?

û9þ Ð ù

Ìeüaý

E2HG!Ð ë#Eeüaý

Ì 2 G û¸þù

2HG!Ð¼ò

·-EM=Ìdë¶UÍ{Ðr»¤ ÂmIK§§¤IW¨? -5DF

ÌdëòoèÁÐ ? ù Ì&üaý

E 2 G

û¸þ

Ð ÿ

ëÁüaý

Wþ

E

2HG

û 2 G

û¸þ

ëÁü!iý"!$#&%

þ %

2HG

ò

êIK6½E7EM¥Ì*ë¶[ëÁÐ?DFE:±Ì*ë¶oèÁÐ¨?8BMK8L ¾ñ

ÌdëòW8Ð ? û

üaý

E 2 G

û¸þ

ëÁü!iý"!$#'%

þ %

2HG

ù ñÿ

üZ-

2 ò

C*E=JDFr aUl¬§UDF;»KÂmIKì ü Íh¨?8B5D{ªK8¡ñ

ÌdëòoéÁÐ

?

2

!iý"!$#

û - û G û %þ

%oò

@#8LÀs #ÂmIKDF§§S2

%

ÍF»¨?8µ:8l¯E8 a578¾r8LMK¤IKE&(?

DKBñ

ÌdëòoÏÁÐ (V?

ÿ*)

%W=

ù

S?

%

ü+ 2-,sò

8L =T3&(? ¶È?58LE=¬-E7MHÌ*ë¶Í{Ð?DFE:±Ì*ë¶oéÁÐ¼»¨?8h¯E:¥ -5DF

%W=

û¸þ

% % % ?

û¸þ

% ù

%W=

û

S? %.%W=

ù

S? %

%

Ì2HG

ù

ü%öý

%Ð ù ü

2

L;ë% % û ü

2 M

% G

8 ù ëÁüiÌrÍ

û

!iý"!$#

û - û G û %þ %Ð G

Ï

(5)

ÌdëòKÐ ü ü ñÿ G

èKìÌ¼Í

û

!iý"!$#

û - û G û %þ %Ð ÛÍFò

8¦EGi8/¨?8µ¦DFE¢r57IsIs-8µì :Ì=

û¸þ

Ð ®ë#GÂmIK= 3 (

DFEG:

ù

ë#G 4ØÌ = û

þ Ð ðìÆÂmIK = 3 ( -¬r5´ -5DF B -58Âm¬El -IKE = * = ûþ

U¾DFEDF§¤¿s -Uµ¤E¹8;DK 5

r8LMKIKE'(? ¶

4#¤E±êIWÀODFE:Ë¬DF³L¬D 8 *»¨?8¾lIKE-U:8L? a578¾¤E¤ aUDF§ªWDF§¤¬8¾J7rIK½§8L6 ñ

Ìdëò ÁÐ =

÷/ù÷Fú;úû ëÁüaý =

÷hû¸þl÷¥ÿ

ì ì Í

÷

Ì*ìÁÐ

ÿ

ì

÷Wú ÌdìÁÐ

ÿ

ÍFò

ÊrIK6 -58µi§UDKr-U¦DF§ -58LIKr¿OIFÂIKi:¤EDFr¿O:Ø8Lr8LE aUDF§8;«¬DF a¤IKE#¨?8/ÉsEIF¨ a5DF -58

JrIK½§¤8L6 Ì*ë¶ ÁÐ5DK#D¡¬7E«¬8¾-IK§¤¬ -IKE=¨5Ur5=UPDFEGDF§¿Á aU¨¤ -5¢r8-JG8;l -I9 -58µJDF£

iDF6¥8¦ -8Li#ü =¹ÌeêI%:7:E7MK aIKE¢DFE:

8Lªs¤E-IKEèZÐ¼»GDFE: = ? 9UDFE¢8L¤MK8¦EªWDF§¤¬8BIFÂ -58

IKJ8LiDF -IK Â?DFE:=IKE§¤¿OÂN= ? OUD¥³L8¦rI¥IFÂ -58/Âm¬El -IKE"= * ÷

ÌrÍ rÐ¼¶BÊ7¬r -58Lr£

6¥IKr8? a58#8LMK8LEªWDF§¤¬8 = ?

¾UMK8LIK6¥8L arULDF§§¤¿µ-6¥J§¤8ÃDFEG:µ -58BDF§MK8L½iDFU6¬§¤ a¤J§¤l¤ &¿

IFÂ = ? µ -58IKi:8LIFÂ = ? 9DKD/³L8¦rIµIFÂ -58#Âm¬El -IKET= * ÷

ÌrÍ =ÐÌ*@#8L6ODFrÉ ÎZÐ¼¶

Ê7IK§¤§IF¨¤EM¡DFE=:8;D¬-8;:E¢NDFI ¤ÍLìd»¨?8/¨¤§§lIKE- -r¬l DFE¢8LÀsJ§¤Ui¤ PDFJ7JrIWÀÁ£

6ODF -IKE=IFÂ -58¡-IK§¤¬ a¤IKE

÷

IFÂ -58µ¤E¤ aUDF§ªWDF§¤¬8/JrIK½§¤8L6 Ìdë¶ ÁÐr¶BC*E=ÂdDKl PÅÂÃý

þ

DFr8

lIKE- ¼DFE rL»s -58hÂmr8;«K¬8LEl¤8'IFÂ a58hJrIK½§¤8¦6Ì*ë¶ ÁÐ?DFr8BMK¤ªK8¦E¢½¿

ÿ C = û

ëÁüaý =

û¸þ#ÿ

C =

û¸þ C)üaý

û I L ü

%W= % M ò

È?5U?-¬MKMK8;- r?¬' aIODFJJrIsDK 5¥ a58µ-IK§¤¬ a¤IKE

÷

IFÂÃÌ*ë¶ ÁÐ½¿

ÌdëòoÎÁÐ !Ì =Ð

ÿ Í

=

ûþû üaýÌ*ìÁÐ

-¤E5L =

û¸þ

û . ú

üaý7ÌÙÐB/

M ò

<¿=ªs¤r -¬8¾IFÂÌ*ë¶[ÏÁÐr»¨?8µ-8L8¾ -5DF -58ä:y8¦E7IK69¤EDF -IK

=

û¸þ©û

üaýÌ*ìÁÐÃ¤E´Ìdë¶oÎÁÐ

:Is8;-E< BªWDFE7-5´¤E¹ -58¥r8LMKIKE (? ÂmIKµì ×ü ü ¶ 8¥EIK aUl8¡ -5DF >!±rDF -e¯8;

a5789¤E¤ aUDF§ªWDF§¤¬8¥iIKEG: -¤IKEBIFÂ¾Ì*ë¶ ÁÐ¼¶ 8¥¨¤§§ -¬- aÅÂm¿± -5DF >!¢UB¤E:8L8;:´D=MKIsI:

DFJJrIFÀs¤6ODF a¤IKE¥IFÂæ -58BJ7rIK½§8L6Ì*ë¶ ÁÐr¶

ÒÝ²Ý

î 4r-¬6¥8 a5GDF ýD3

#

Ì*ì;Í{ÐxDFE:

þ

DhiIKEG- ¼DFE L¶È?58LE¡ -58Lr8

8LÀsU- ¼µDºiIKEG- ¼DFE -

ì»:8LJG8LE:¤EMHIKE7§¿´IKE !iý !$# DFE:

þ

»-¬ 5 a5GDF /ÂmIK¡DF§§

2 %

ÍhDFE:Hì ü ü

-58¾-IK§¤¬ -IKE

÷

IFÂx -58¾¤E¤ aUDF§GªWDF§¬78¾JrIK½7§8L6,Ì*ë¶ ÁÐÃrDF -e¯8;

a578BÂmIK§¤§IF¨¤EMµ8;- -6ODF -IKEñ

ÌdëòUÍLìÁÐ %÷ % -

%W=

û¸þ

%

S=3 (? ò

(6)

ÿ û

<¿µªs¤r a¬78IFÂ a58r5IKUl8IFÂØÌ =

ûHþ

Ðr»Á¨?8P-8L8 -5DF

=

û¸þ

®ìRÂmIK=3 (

DFE:T

=

û¸þ

°ì ÂmIK,= 3 ( ¶È?58Lr8lÂmIKr8B¨?8/IK½ rDFE= a5GDF

ÌdëòUÍKÍ{Ð =

ûþ?ù Ìeüaý

E 2HG!Ð %

= û þ

CF2HG!Ð % 2HGò

·-EM=Ìdë¶UÍ{Ð¨?8h5D;ªK8

=

û¡þ#ÿ

? û

ëÁü S?

û ü

û¡þ#ÿ Ìeüaý

E2HG!Ð

û

ëÁü S?

û ü ò

È?58LE=¬-¤EMOÌdë¶oéÁÐr»¨?8¾:8;:¬Gi8h a5DF

=

û¸þ?ù Ìeüaý

E 2HG!Ð

ÌdëòUÍLëÁÐ

ëÁü

û % %Ð ëÁü

Í û

!iý"!$#

û - û G û %þ % ñÿ

ëÁüZ-Fò

êIK6½E7EM¥Ì*ë¶ÍKÍ{Ð?DFE:±Ì*ë¶UÍLëÁÐ¼»¨?8/5D{ªK8

ÌdëòUÍLèÁÐ =

û¸þû Ìeüaý

E2HG!Ð ëÁüZ-

2HG

üZ-Fò

C* ?ÂmIK§¤§¤IW¨ a5DF 'ÂmrIK6 Ì*ë¶ÍLèÁÐ a5DF

ÌdëòUÍ 8Ð =

û¸þ

üiÌ !iý"! # û - Ð

ëÁüZ- Í

¨58Lr8? -58?§UDK- x¤E8;«K¬GDF§¤ &¿/:y¬8? aI¥Ì*ë¶KÐr¶@#8¦ÀÁ ¬G-EMµÌ*ë¶[éÁÐDFE:¥Ìdë¶UÍLèÁÐ¨?8?IK½ rDF¤E

a5GDF

ÌdëòUÍLéÁÐ

%= %

%=

û¸þ

% %S? % û ü 2HG

ù

ëÁüZ- %S? + 2 % û Í G ù

ëÁüZ-

-

G ù

ëÁüZ- -

ë

¨58Lr8B -58/§DK- ?¤E8;«K¬GDF§¤ &¿¥#:¬8B -I¢Ìdë¶KÐr¶

@#IF¨-8L a -¤EM

ÌGÐ

ÿ Í

=

û¸þ

-E5 = û þ

a578¦EÂmrIK6 -58/ªWDFrDF -¤IKEHIFÂlIKE- rDFE% r©ÂmIKr6¡¬7§D/¨?8B5GD;ªK8

÷

ÌGÐ

ÿ ÌGÐ

ù

ëÁüZ=

. ú

ý7ÌFÐ

÷ Ì FÐ

Ì

ù

FÐB/Kò

C* PlIK6¥8;ÂmrIK6Ì*ë¶Í 8Ð?DFE:±Ì*ë¶UÍLéÁÐ -5DF

%÷ ÌGÐ$%

lIs-5µÍ

%=

û¸þ

% û

-lIs-5äÍ

. ú

%öýÌ FÐ$%.%

÷ Ì FÐ$%/Kò

(7)

%÷ ÌGÐ$%

lIs-5äÍ

%W=

û¸þ

%

8LÀsJ L -lIs-5äÍ

.

%öýÌ FÐ$%/

M ñÿ -

%W=

û¸þ

% ò

È?58hJrIsIFÂ#iIK6¥J§¤8L a8K¶

ÜÒÁÕFÒÝ

î

4Pr-¬7698 a5DF ¥ý 3(57¡Ì*ìÍ{Ð¡DFE:

þ

D±lIKE- rDFE ¦¶È'58LE

a578¦r8µ8LÀÁ- rBlIKE- rDFE% ,-

ì»:8LJ8LE:¤EM¥IKE§¤¿HIKE±ý

þ

»-¬r5= a5GDF ÂmIK¾DF§¤§ 2 % Í

DFE:=ì ü ü

-58hÂmIK§§¤IF¨¤EMµ8;- a¤6ODF a¤IKE5IK§U:¥ÂmIK# a578ä-IK§¤¬ -IKE

÷

IFÂ'Ì*ë¶ ÁÐPñ

ÌdëòUÍLÏÁÐ ÷

Ì =GÐ

ù Í

=

û¸þ

-¤E5 L =

ûþ

û . ú

üaýÌ FÐ/

M - ü

%=

û¸þ

%

ÂmIKPDF§¤§S= 3 (V?

¶

í¬7 a -E7MHñ

! ÿ = ! ù !

ú;úû

ëÁüaý = ! û þ !

a578¦E¢D¥- aiDF¤MK5 ÂmIKr¨DFi:iIK6¥J¬7 ¼DF -IKE=MK¤ªK8' a5GDF

!

ÿ®ù

ü

=

û¸þû üaý7ÌdìÁÐ

ý{iIs-5TL = û þ û . ú

üaýÌ FÐB/

M

ÌdëòUÍ KÐ

û

LFüaý û

ëKý

þ

= û =

û¸þ

M

-E5L =

û¸þ

û . ú

üaý7ÌFÐ/

M

ò

Rs¤El8>= 3 (V? »ÂmrIK6Ìdë¶W8Ðr»Ì*ë¶KÐ?DFE:±Ì*ë¶UÍLèÁÐ¨?8¾:8;:¬Gi8h8DK-¤§¤¿O a5GDF

@L =

û¸þ

û . ú

üaýÌ FÐB/

M

èÁüZ- ÛÍ

ÌdëòUÍ ÁÐ

ë"

=

û¸þ?ù

üaýÌ*ìÁÐ % %= û þ % û 2HG

ù

èÁüZ-

%

%W=

û¸þ

%

ÌdëòUÍLÎÁÐ

%W=

û =

ûþ

% % 2HG

û 2 G

ûþ?ù ëÁüZ-

%

ëò ÌdëòoëKìÁÐ

C*E-8Lr -EMOÌ*ë¶UÍ ÁÐ¼»!Ìdë¶UÍLÎÁÐÃDFE:ºÌ*ë¶[ëKìÁÐ¤E aI¢Ì*ë¶Í KÐMK¤ªK8;

ÌdëòoëÍ{Ð % Ì!Ð$%

ëÁü

%W=

û¸þ

% L %öý"% û %ý %.%

þ % û

%öý %M

lIs-5äÍFò

4#JJ§¤¿s¤EM -58?ªWDFrUDF a¤IKEµIFÂlIKE- ¼DFE rGÂmIKr6¬§D#DFE:/¬-¤EM¾Ì*ë¶UÍLìÁÐ¼»Ì*ë¶[ëÍ{Ðr»F¨?8IK½ rDF¤E

a5GDF

%!7Ì =GÐ

ù÷

Ì =GÐ % . ú

% !Ì =Ð$%.%

÷

Ì

ù =GÐ %/ ÌdëòoëKëÁÐ

ëÁüZ-

lIs-5µÍ

%W=

û¸þ

% .

L %öý"%

û

%öý"%%þ % û %ý %M //ñ

ÿ

üZ-

%=

û¸þ

% ò

(8)

ÌdëòoëKèÁÐ

!7Ì =GÐ

ù Í

=

û¸þ

-¤E5L =

û¸þ

û . ú

üaý7ÌFÐ/

M

ëÁü!iý"!$#°lIs-5µÍ

%W=

û¸þ

%

E -I®Ì*ë¶[ëKëÁÐµMK¤ªK8Ìdë¶UÍLÏÁÐ¡¨¤ -5(-

ñÿ -

û

ë!iý"!$#¸lIs-5µÍF¶È?578±JrIÁIFÂ¾Æ a5¬

lIK69J7§8L -8Ù¶

@#IF¨0§¤8L -

½G89 -58OlIKE- rDFE% /DFJJ8;DFr¤EMO¤E´ a58¥8;- -6ODF -IKE)Ì*ë¶ÍLÏÁÐr¶OÊIK/DF§§

2 %

Í/DFE:Oì ü ü

¨?8¾:8l¯E8B -58/r8LMKIKE ? DKÂmIK§¤§IF¨PLñ

Ìdëòoë 8Ð

? ÿ ) %= ù ? %

üJX , X ÿ ë - Í

2 G

û¸þ

ò

4r-¬6¥8P -5DF

ÌdëòoëKéÁÐ ü ü ñÿ

6¥E

ü ü

ë - G ù %þ % ò

È?58LE=¨?8B5D{ªK8B -58¾¤El§¤¬-IKE!ñ ? (V? ÂmIKDF§§2

%

ÍFò

ÒÝ²Ý

4r-¬6¥8¾ -5DF ¾ý3 579Ì*ì;Í{ÐPDFE:

þ

BDiIKEG- ¼DFE L¶¾È?578¦E´ -58

ÂmIK§§¤IF¨¤EMµ8;- a¤6ODF a¤IKEH57IK§:©ÂmIKhü )ì9-6ODF§¤§8LEIK¬7MK5ñ

ÌdëòoëKÏÁÐ

-E5L =

û¸þû üaý

M - ü

%W=

û¸þ

% = 3 ? ò

8º¯i- ODKr-¬6¥8¢ -5DF Hì ü ü ¶

8L =3 S?

» -58LE;=

ÿ

S? û

üJX W¶4Rs¤El8

=

û¸þ

ì=ÂmIKT=(3 DFE:

=

û¸þ

,ìÂmIK

= 3 » -58LE¢5D{ªK8

=

û¸þù üaý

CFE2HG

û

ëÁüZ-

2HG

Ìdëòoë KÐ

%

=

û¸þ CF2HG

ù ëÁüZ-

G

%

2HG

ù

ëÁüZ-

G %

2HG

ë ò

QPE= -58¾IK -58L5GDFE:»Á¬-E7MOÌdë¶UÍ{Ð¨?8/MK8L

Ì =

û¸þ Ð ù

L;üaý

E2HG

ù

ëÁüZ-

2HG M

Ìdëòoë ÁÐ

ÿ ? û

ëÁü S? X

û ü X

ûþ?ù Ìeüaý

E2HG!Ð

û

ëÁüZ-

2HG Ì&üaý

E2HG!Ð

ù L ëÁüZ-

2HG M

ÿ

ëÁü

X

E*ë - û ü X û 8 ü ý -

2HG

ù L ëÁüZ-

2HG M ò

(9)

ÌdëòoëKÎÁÐ % X

Edë - % ëÁüZ-

Ì %öý

% û - Ð Í

2 G

û¸þ

ò

êIK6½E7EM¥Ì*ë¶[ë ÁÐ?DFE:±Ì*ë¶oëKÎÁÐ¼»¤ ?ÂmIK§¤§IF¨P' a5GDF

Ì =

û¸þ Ð ù

L;üaý

E2HG

ù

ëÁüZ-

2HG M ÌdëòoèKìÁÐ

8 -

L Í G û Í

% % M ü û 8 - L

%öý

%

G û

%öý

%

% % û -

% % M ü ñÿ -Wü

¨5Ur5 aIKMK8L -58LP¨# -5´Ìdë¶oë KÐMK¤ªK8;

ÌdëòoèÍ{Ð

= û þÃû

üaý

E2HG

ù

ëÁüZ-

2HG

ë - ü

2HG

ò

@#IF¨¬-¤EMOÌ*ë¶[èÍ{Ð?DFE:O -58/E78«¬DF§¤ &¿¢ñ

ÌdëòoèKëÁÐ

-E5GÌ

û

EÐ

% ë

G û

"3 %%

Gë ò

¨?8¯E: -5DF

ÌdëòoèKèÁÐ

-¤E5Ì =

û¸þû üaý

Ð % 8G L üZ-

2HG

ù

-;ü

2HG M ò

QPEGi8/DFMsDFEÂmrIK6 Ì*ë¶[èÍ{Ðr»¨?8¾MK8L /ñ

Ìdëòoè 8Ð

%W=

û¸þ

% % 2HG

ù

üiÌ !iý ! # û - û - Ð

¨5Ur5=iIK6½¤E8;:¥ aI¢Ì*ë¶[èKèÁÐMKªK8;hÌdë¶oëKÏÁÐ¼»7Âü ì¡rDF -e¯8;hñ

ÌdëòoèKéÁÐ ü ü /ñ

ÿ

6¥E

ü Ì 8 ù

G!Ð -

G 8 - û - Ì !iý"! # û - û - Ð ò

È?58hJrIsIFÂ' a5¬#iIK6¥J§¤8L a8K¶

ÜÒÁÕFÒÝ

4Pr-¬7698h a5DF ý3 579Ì*ì;Í{ÐÃDFE:

þ

#D9lIKE- rDFE ¦¶È?58LEÂmIK

ì ü ü # a578BIKJ8LiDF -IK ,DK:6¥¤ ¼D/¬EU«K¬788LMK8LEªWDF§¤¬8E (V? ÂmIK?8;DK 5 2 % ÍF¶

IKr8LIFªK8¦;»¨?8¾5D{ªK8B -58¾DK-¿Á69J7 aIK -h8LÀsJDFEG-IKE

ÌdëòoèKÏÁÐ

=A? û üaý

E 2 G

û¸þ

ü L -

2 û -

2 G û¸þ

M ò

(10)

÷

ÌrÍ =GÐ

ù Í

=

û¸þ

-E75

=

û¸þû üaý

Í

=

û¸þ

-¤E5

=

û¸þ©û üaý

ÂmIKBDFE%¿T= 3

S? òD¥N#IK¬ 58#<[ -58LIKr8L6»7 a578¦r8/8LÀsU- ¼#IKE8µ-¤69J7§8B³L8LrI=A? 3

S? IFÂ a58hÂm¬El -IKE= * ÷

ÌrÍ =Ðr¶?C*EHJGDFr aUl¬§DF;»Á¨?8BMK8L

Ìdëòoè KÐ %= ? ù ? "%

ë - ü

2 G û¸þ

2 % ÍFò

¨5Ur5 aIKMK8L -58LP¨# -5´Ìdë¶W8Ð¤6¥J§¤8;Ìdë¶oèKÏÁÐr¶ÃÈ'58BJrIÁIFÂxU? -5¬lIK6¥J§¤8¦ -8K¶

ÒÝ

8¦ "=A?

½G8DFE8LMK8LEªWDF§¤¬8±IFÂ¡ -58´IKJ8LiDF -IK DFE: ? ÿ

Ì ÷ ? =A? ÷ ? Ð?½G8µ a578äDKr-IiUDF -8:8LMK8LEªK8;i -IK;¶ 8¡-5IK¬§U:JrIWªK8Ìm½¬7 P¨?8/§¤8D{ªK8

µ -I¹È'58LIKr8L6 8¶oèÁÐB -5DF µ a578H-¿%- -8L6 IFÂ8LMK8LEªK8;i -IKi¥Ì H? Ð

ÂmIKr6OµD¢N#8;-³

½DK-UE= a578ä-JDKl8V

Ìdì;Í{Ð Ìdì;Í{Ðr¶

¢Þ!Ü&FÒ!àÒyçKÞUÒÁ¸ÞZç FÜÒÒçÒÁWãK;Ò ¶®C*E) -5¥-8;l a¤IKE)¨?8=¨¤§§

lIKE-:y8¦ -58¾MK8LE8LiDF§LDK-8Ù¶4r-¬6¥8B -5DF ü ®ìµU?-6ODF§§G8LEIK¬MK5¶È'58LE¥ÂmrIK6 -58

lIKE:¤ a¤IKE)Ì-

Ð¼»¨?8=-8¦8¥ -5DF µ -58O8LMK8LEªWDF§¤¬8;>=A?

DFr8ÆlIK6¥J§¤8LÀ¶

IKr8LIFªK8¦/¨?8

5D{ªK8B a578B8LÀsJG8r-¤IKE´ñ

ÌdèòUÍ{Ð =A? ÿ ù

ü

ý %÷ ? -% /

%÷ ? % / ò

8¡¨¤§¤§xJ7rIWªK8µ -5DF B -58¡r8;DF§JDFr IFÂ? a588LMK8LEªWDF§¤¬8;IFÂÃ57MK5Âmr8«¬8LEl¿±LDFE¹½G8

¬EÅÂmIKr6¥§¿§I¦DF§¤¤³¦8;: aI¥ -58/§8lÂm IFÂ -58/6ODFMK¤EDFr¿9DFÀÁ'IFÂæ -58¾lIK6¥J§¤8LÀ9J7§DFE¶

8¢¨#§¤§PDKr-¬6¥8O -5DF !iý"!$#

ÿ

ì¸ÌZ -58±lIKE% -iDFr¿LDK-8HU ar¤ªsUDF§mÐr¶ QPE) -58

IK a578¦#5DFE:»¤E¢IKi:8L -IOl§DFrÅÂm¿O -58¾¤E:8LJG8LE:8LEl8BIFÂ a578¾ªWDFr¤IK¬#iIKEG- ¼DFE r -

DFJJG8DFr¤EM¢¤E¸ -58=8;- a¤6ODF a¤IKE/IKE² a58=JDFiDF6¥8L a8L¥üi»¨?8HDKr-¬6¥8¥ -5DF 9ì ü

ÍF¶®È?578¦r8lÂmIKr8O¨?8¢lIKE-U:8L¡ -58¢8;«K¬DF -IKEÌ*ë¶ ÁÐäIKE7§¿´ÂmIK % = %

ë!iý !$#O¶ 8

¨¤§§lIKE- ar¬Gi BDFE¢8LÀsJ7§Ul ¾DFJ7JrIWÀÁ6ODF -IKEIFÂ a5789-IK§¤¬ a¤IKE

÷

IFÂ a578µE¤ -DF§ªWDF§¤¬8

JrIK½§¤8L6 Ì*ë¶ ÁÐr¶ 8¡¬G-8µ a58¥rDF6¥8µ:8;DODKRE´ -58¡Jr8LªÁIK¬LDK-8K¶µ<¬ ¾ -5U -6¥8

¨?8E8LMK§8;l -58B³L8LrIµIKi:8LJGIK a8LE -DF§

þi÷

DFE:¥¨?8BDFJJ7rIsDKr5¡ -58B-IK§¤¬ a¤IKE

÷

IFÂÌdë¶ ÁÐ

½¿!7ñ

ÌdèòoëÁÐ ! ÿ Í

= û üaýÌ*ìÁÐ

-E5L = û ü . ú

ý7ÌÙÐB/

M ò

ÜÒÁÕFÒÝ

î

4Pr-¬7698? -5DF ýD3 57¡Ì*ì;Í{Ð

þ 3 ;Ì*ì;Í{Ð¼¶ 8L %W= % %

ë!iý !$#

DFE:% = %

ë!iý !$#H¶¡È?578¦Eº a578¦r88LÀsU- ¼/lIKE- ¼DFE -Ûì»x:y8¦JG8LE:¤EM¥IKE§¤¿¢IKE

(11)

þ ÷

8;- a¤6ODF a¤IKEñ

÷

Ì =GÐ

ù Í

=

-¤E5L = û ü . ú

ý7ÌFÐ/

M -

%W= % ÌdèòoèÁÐ

÷Fú Ì =GÐ

ù

lIs-5 L = û ü . ú

ý7ÌFÐ/

M -

%W= % ò ÌdèòW8Ð

8L

÷

½8h a58µ-IK§¤¬ a¤IKE¥IFÂÌdë¶ ÁÐ¼¶ 8¯i- ?JrIFªK8 -5DF -58Lr8B8LÀsU- r -F»

:8LJ8LE:yEMµIKE7§¿¥IKE±ýODFE:

þ

»-¬Gr5= a5DF # a578ÂmIK§§¤IF¨¤EM¡8;- -6ODF -IKE57IK§:ñ

ÌdèòoéÁÐ %÷ %

-

%W= % %÷ ú % - ò

C*EÂdDKi #¬-¤EM¡ -58BªWDFrUDF -IKE=IFÂiIKEG- ¼DFE rÂmIKr6¡¬7§D»K¨?8/5D{ªK8

÷ÿ

Í

=

-E75 = ù . ú

ëKýüZ=

û þ

=

-E5 =Ì

ù

FÐ

÷

ÌÙÐB/Kò

C* ?ÂmIK§¤§¤IW¨ a5DF

%÷ %

lIs-5Ìdë!iý ! # Ð

%= % û

lIs-5Ì*ë!iý"!$#OÐ

. ú

L¦ë%öý"%

û %þ %

ë!iý"!$# M %÷ Ì FÐ$%/Kò

%÷ %

lIs-5Ìdë!iý ! # Ð

%W= %

8¦ÀÁJ LlIs-5Ì*ë!iý"!$#OÐ

.

L;ë%öý"%

û %þ % ë!iý"!$# M

/

M ñÿ -Fò

È?5U¤69J7§¤8;? -5DF

%

÷Fú

%

lIs-5Ìdë!iý !$#OÐ

û

-lIs-5Ì*ë!iý"!$#¥Ð

. ú

L;ë%öý"%

û %þ % ë!iý"!

# M //ñ

ÿ - ò

ÈDFÉs¤EM- DK? -58/6ÆDFÀÁ6¬6 IFÂ- DFE: -

¨?8¾IK½ rDF¤EH -58/8- -¤6ÆDF -¤IKEÌdè¶oéÁÐr¶

QE= a58/IK -58L5DFE:»D¡- -iDFMK5 ÂmIKr¨DFi:OlIK6¥J¬ rDF a¤IKEOMK¤ªK8;? -5DF

!

ÿù

üaý

= û üaý7ÌdìÁÐ

lIs-5 L = û ü . ú

ý7ÌÙÐB/

M û þù

ü ý

= û üaýÌ*ìÁÐ

-E75L = û ü . ú

ýÌ FÐ/

M ò

C* ?ÂmIK§¤§¤IW¨ a5DF

ÌdèòoÏÁÐ % !%

ëlIs-5Ìdè!iý !$#OÐ

%W= %

%öý

% û %ý % û %þ % ò