UNIVERSIT `A DEGLI STUDI DI SIENA

(1)

UNIVERSIT ` A DEGLI STUDI DI SIENA

FACOLT ` A DI INGEGNERIA

Controllo Multivariabile e Robusto A.A. 2005/2006

Analisi della stabilit`a robusta e controllo H

∞

dell’ Helicopter Simulator CE 150

A cura di:

Fabio Morbidi

(2)

Indice

1 Modellizzazione del sistema 1

1.1 Descrizione del sistema . . . . 1

1.2 Modellizzazione delle dinamiche sistema . . . . 3

1.2.1 Modellizzazione delle dinamiche di elevation . . . . 3

1.2.2 Modellizzazione delle dinamiche di azimuth . . . . 3

1.2.3 Modellizzazione delle dinamiche delle eliche e dei motori . . . . 4

1.2.4 Modellizzazione dei sensori . . . . 4

1.2.5 Modellizzazione del Power Amplifier . . . . 4

1.2.6 Il modello completo ed il modello semplificato . . . . 5

1.2.7 Linearizzazione del modello semplificato . . . . 6

1.2.8 Modello non lineare in spazio di stato . . . 11

1.2.9 Appendice: Noninteracting Control . . . 11

2 Analisi della stabilit` a 15 2.1 Luoghi caratteristici . . . 15

2.2 Bande di Gershgorin . . . 16

2.3 Progetto di un controllore stabilizzante . . . 19

2.4 Analisi della stabilit` a robusta . . . 20

2.5 Prestazione nominale del controllore proporzionale . . . 23

2.6 Prestazione robusta del controllore proporzionale . . . 24

2.7 Esercizio 1: doppia incertezza . . . 24

2.8 Esercizio 2 . . . 27

3 Sintesi di un controllore H

^∞

28 3.1 Specifiche per un sistema MIMO . . . 28

3.2 Problema H

∞

. . . 29

3.3 Sintesi del controllore H

∞

. . . 30

3.4 Stabilit` a robusta con il controllore H

∞

. . . 32

3.5 Prestazione nominale del controllore H

^∞

. . . 34

3.6 Prestazione robusta del controllore H

∞

. . . 35

(3)

INDICE

3.7 Esercizio 3: Incertezza strutturata . . . 37 3.8 Esercizio 4 . . . 38 3.9 Controllo H

∞

sul sistema reale . . . 38

Bibliografia 41

ii

(4)

Capitolo 1

Modellizzazione del sistema

1.1 Descrizione del sistema

La figura 1.1 riporta il sistema che analizzeremo nelle pagine successive: l’Elicopter Simula- tor CE 150 della Humusoft [1]. Tale sistema `e costituito da una struttura metallica rigida, da due eliche di diverso diametro mosse da motori DC indipendenti e da un basamento di supporto.

Figura 1.1: L’Elicopter Simulator CE 150.

La struttura metallica, che simula nella forma la fusoliera di un elicottero, presenta due gradi di libert` a: angolo di elevation (o pitch, beccheggio) e angolo di azimuth (o yaw, virata), (vedi Fig. 1.2). Gli angoli di elevation ed azimuth sono misurati da encoder incrementali e costituiscono le uscite del sistema (Y

₁

e Y

₂

). Le tensioni al motore principale (main motor ) e laterale (side motor ) rappresentano invece gli ingressi al sistema (U

₁

e U

₂

).

Gli angoli di elevation e azimuth sono influenzati da entrambi i motori dell’elicottero

e questo rende il sistema fortemente accoppiato e piuttosto complesso il controllo. Il

centro di gravit` a dell’elicottero pu` o essere spostato muovendo un piccolo peso lungo l’asse

principale del veivolo tramite un servomotore: tale dispositivo consente di simulare la

(5)

1.1. Descrizione del sistema

presenza di eventuali disturbi (come colpi di vento o turbolenze nell’aria) e serve per testare la robustezza del controllore progettato. Nella tabella 1.1 sono riportati alcuni parametri relativi ai bound sugli angoli di rotazione ed ai motori.

azimuth elevation

Figura 1.2: Diagramma schematico dell’elicottero.

Angoli di rotazione Main motor Side motor

Elevation: 45

^◦

÷ 135

^◦

Max. Voltage: 12 V, 0 ÷ 6 A Max. Voltage: 6 V, 0 ÷ 4 A Azimuth: − 135

^◦

÷ 135

^◦

Max. Speed: 9000 RPM Max. Speed: 12000 RPM

Tabella 1.1: Parametri relativi ai bound sugli angoli di rotazione ed ai motori.

Osservazione 1. Le differenze pi` u evidenti che intercorrono fra un elicottero reale e l’ Elicopter Simulator CE 150 sono le seguenti:

• Un elicottero reale ha tre gradi di libert` a: l’angolo di elevation, di azimuth e l’angolo di rollio.

• Gli ingressi di controllo di un elicottero reale sono di solito quattro: le coppie del

main e side motor, e, supposto che l’albero del main motor sia diretto lungo l’asse z,

gli angoli intorno agli assi x e y delle pale dell’elica principale. Motori a turbina e

variatori del passo delle pale dell’elica del side motor rappresentano ulteriori ingressi

in alcuni elicotteri.

(6)

1.2. Modellizzazione delle dinamiche sistema

1.2 Modellizzazione delle dinamiche sistema

Il tentativo di modellizzare le dinamiche del sistema in dettaglio conduce ad un modello estremamente complicato e scarsamente maneggiabile. Poichè il nostro obiettivo è quello di studiare le dinamiche del sistema per progettare un controllore e poichè il sistema opererà in ben precise condizioni di lavoro, sar` a possibile fare delle assunzioni che ci permetteranno di semplificare la derivazione del modello.

Il modello dell’elicottero pu` o essere derivato seguendo due approcci: il primo `e un metodo sistematico basato su un approccio variazionale (equazioni di Lagrange, ossia bilanciamento dell’energia nel sistema). Nel secondo approccio si ha una derivazione diretta del modello calcolando gli equilibri delle forze e delle coppie in gioco nel sistema. Utiliz- zando questo secondo metodo troveremo un modello nella forma di equazioni differenziali non lineari.

1.2.1 Modellizzazione delle dinamiche di elevation

Il bilanciamento delle coppie in gioco per la dinamica dell’angolo di elevation conduce alla seguente equazione differenziale:

τ

₁

+ τ

_ϕ_˙

− τ

_f₁

− τ

_m

− τ

_G

= I ψ ¨ (1.1)

I = momento di inerzia dell’elicottero intorno all’asse orizzontale [Kg m

²

] ψ = angolo di elevation [rad]

τ

₁

= coppia generata dal main motor [N m]

τ

ϕ_˙

= coppia centrifuga [N m]

τ

_f₁

= coppia dovuta all’attrito (Coulomb e viscoso) [N m]

τ

_m

= coppia gravitazionale [N m]

τ

G

= coppia giroscopica [N m]

1.2.2 Modellizzazione delle dinamiche di azimuth

Il bilanciamento delle coppie in gioco per la dinamica dell’angolo di azimuth conduce alla seguente equazione differenziale:

τ

₂

− τ

_f₂

− τ

_r

= I

_ψ

ϕ ¨ (1.2)

I

ψ

= momento di inerzia (dipende dall’elevation) [Kg m

²

]

ϕ = angolo di azimuth [rad]

(7)

1.2. Modellizzazione delle dinamiche sistema τ

₂

= coppia generata dal side motor [N m]

τ

f₂

= coppia dovuta all’attrito (Coulomb e viscoso) [N m]

τ

_r

= coppia di reazione del main motor [N m]

1.2.3 Modellizzazione delle dinamiche delle eliche e dei motori

Le dinamiche dei motori DC e delle eliche possono essere approssimate nel modo seguente:

τ

₁

= K

ω1

ω

²₁

sign(ω

₁

) τ

2

= K

ω2

ω

²₂

sign(ω

2

)

ω

₁

= velocit` a angolare dell’elica principale [rad/s]

ω

2

= velocit` a angolare dell’elica laterale [rad/s]

K

_ω₁

, K

_ω₂

= guadagni

1.2.4 Modellizzazione dei sensori

Le misure degli angoli di elevation e azimuth sono compiute utilizzando encoder incrementali. Tali sensori possono essere considerati senza dinamiche,

Y

₁

= K

_ψ

ψ Y

₂

= K

ϕ

ϕ Y

1

= angolo di elevation [deg]

Y

₂

= angolo di azimuth [deg]

K

_ψ

= K

ϕ

= 180

^◦

/π

1.2.5 Modellizzazione del Power Amplifier

Gli amplificatori di potenza possono essere considerati ideali:

u

_a

= K U u

a

= tensione sull’armatura [V ]

U = comando del computer [M U]

K = guadagno dell’amplificatore [V /M U ]

dove M U sono machine units e sono comprese nell’intervallo [ − 1, 1]. In particolare, per

il main motor si ha U

1

∈ [0, 1], mentre per side motor U

2

∈ [ − 1, 1].

(8)

1.2. Modellizzazione delle dinamiche sistema

Sia ℓ la distanza fra il centro di massa e il perno a cui `e fissato l’elicottero, g l’accelerazione di gravit` a (9.8 m/s

²

) e m la massa dell’elicottero. Valgono le seguenti equazioni:

τ

_ϕ_˙

= m ℓ ϕ ˙

²

sin ψ cos ψ (trascurabile), τ

_f₁

= C

_ψ

sign( ˙ ψ) − B

_ψ

ψ, C ˙

_ψ

, B

_ψ

costanti, τ

_m

= m g ℓ sin ψ

τ

G

= K

G

ϕ ω ˙

₁

cos ψ per ˙ ϕ << ω

₁

(quasi sempre vero), K

G

costante giroscopica, I

ψ

= I sin ψ

τ

f₂

= C

ϕ

sign( ˙ ϕ) − B

ϕ

ϕ, C ˙

ϕ

, B

ϕ

costanti

Osservazione 2. Ponendo τ

ϕ˙

= τ

G

= 0 nell’equazione (1.1) e applicando τ

2

= τ

r

+ v nel- l’equazione (1.2), con v un ingresso ausiliario, si riuscirebbe a disaccoppiare perfettamente il canale U

₁

→ Y

₁

dal canale U

₂

→ Y

₂

. Avremmo cos`ı due sistemi SISO indipendenti e sarebbero sufficienti ad esempio due controllori PID per controllare il sistema. Purtroppo l’accoppiamento dei canali non pu` o essere eliminato in quanto la coppia τ

_r

non `e nota (vedi anche Appendice).

1.2.6 Il modello completo ed il modello semplificato

Come gi` a accennato in precedenza, il sistema che stiamo analizzando presenta due ingressi, i comandi ai motori in MU, e due uscite, gli angoli di elevation e di azimuth in gradi (vedi Fig. 1.3).

azimuth elevation

modello elicottero

main motor

side motor [0,1]

[-1,1]

[deg]

2 x 2 U

U

Y

1 1

2 2

Figura 1.3: Ingressi e uscite del sistema.

Il modello completo dell’elicottero, ricavato sulla base delle equazioni scritte nelle sezioni

precedenti, `e riportato in figura 1.4. Tale modello risulta essere troppo complesso da

maneggiare per la sintesi di un controllore. Il modello semplificato (empirico) riportato in

figura 1.5 `e certamente pi` u adatto per questo obiettivo. La tabella 1.2 riporta i valori dei

parametri del modello semplificato ottenuti eseguendo una identificazione black box del

sistema. Tale operazione risulta essere piuttosto complicata a causa della natura instabile

del sistema e all’accoppiamento dei canali (particolarmente impegnativa `e la stima dei

parametri nei canali U

1

→ Y

2

e U

1

→ Y

1

).

(9)

1.2. Modellizzazione delle dinamiche sistema

1

2

Figura 1.4: Il modello completo.

1.2.7 Linearizzazione del modello semplificato

Per sintetizzare un controllore per il sistema sotto esame occorre linearizzare il modello semplificato in figura 1.5 intorno ad un punto di lavoro (che non `e un punto di equilibrio).

Il punto di lavoro e gli ingressi che permettono di mantenere l’elicottero in tale posizione

sono i seguenti,

(10)

1.2. Modellizzazione delle dinamiche sistema

_ _

_ + +

+

_

+ +

òòèèèèèè è

è

1 (T1s+1)²

( · )

²

a

₁

b

₁

B

_ψ

1 I

1 s

1

s

K

_ψ

τ

g

sin

U

₁

ψ ¨ Y

₁

ψ ˙

ψ

× cos K

Gyro

K

r T0rs+1 Tprs+1

U

₂

1 (T2s+1)²

( · )

²

a

₂

b

₂

1 Iϕ

¨

ϕ

₁

s

˙ ϕ

1

s

ϕ K

_ϕ

Y

₂

B

ϕ

Figura 1.5: Il modello semplificato.







Y

₁

= 80

^◦

Y

₂

= 0

^◦

( U

₁

= 0.5856

U

₂

= 0. (1.3)

Ricaviamo singolarmente le quattro componenti della matrice di funzioni di trasferimento G del sistema (nel seguito supporremo per semplicit`a che K

_Gyro

= 0). I risultati che otterremo linearizzando il sistema a mano, coincidono con quelli ricavabili con il comando Linmod di Matlab.

Canale U

₁

→ Y

₁

La funzione di trasferimento G

₁₁

(s), dall’ingresso U

₁

all’uscita Y

₁

, pu`o essere ricavata raggruppando i blocchi riportati nella figura 1.6. Facendo questa operazione ricaviamo, dopo semplici passaggi algebrici,

G

₁₁

(s) = Y

₁

(s)

U

₁

(s) = (2 a

1

U

1

+ b

1

)K

ψ

(1 + T

₁

s)

²

Is

²

+ B

ψ

s + τ

g

cos π Y

₁

180 . (1.4)

Canale U

₂

→ Y

₁

Poich`e l’effetto del side motor sull’angolo di elevation `e trascurabile, possiamo assumere

che la funzione di trasferimento dall’ingresso U

2

all’uscita Y

1

sia zero,

(11)

1.2. Modellizzazione delle dinamiche sistema

Parametro Valore Unit` a

K

ψ

180/π [M U/rad]

K

ϕ

180/π [M U/rad]

τ

g

3.83 · 10

⁻²

[N m]

a

₁

0.186 [N m/M U

²

]

b

₁

-0.0445 [N m/M U ]

a

₂

0.033 [N m/M U

²

]

b

₂

0.0294 [N m/M U ]

B

_ψ

5 · 10

⁻³

[Kg m

²

/s]

I 4.37 · 10

⁻³

[Kg m

²

] B

ϕ

8.69 · 10

⁻³

[Kg m

²

/s]

I

ϕ

4.14 · 10

⁻³

[Kg m

²

]

T

₁

0.1 [s]

T

₂

0.25 [s]

K

r

-0.00891 [N m/M U ]

T

_0r

2.7 [s]

T

pr

0.75 [s]

K

_Gyro

0.015 [N m/s]

Tabella 1.2: Valori dei parametri del modello semplificato.

+ +

_ _

1 (T1s+1)²

( · )

²

a

₁

b

1

B

ψ

1 I

1 s

1

s

K

ψ

τ

_g

sin

U

₁

ψ ¨ Y

₁

ψ ˙

ψ

Figura 1.6: Canale U

₁

→ Y

₁

.

G

12

(s) = Y

1

(s)

U

₂

(s) = 0. (1.5)

Vedremo nel Capitolo 2 cosa comporter` a in termini di stabilit`a robusta considerare G

₁₂

= 0

oppure G

12

= ∆ dove ∆ `e un blocco di incertezza.

(12)

1.2. Modellizzazione delle dinamiche sistema

-

U

1

-

K

r T0rs+1 Tprs+1

1 Iϕ

¨

ϕ

1

s

˙ ϕ

B

ϕ

1 s

ϕ K

ϕ

Y

₂

Figura 1.7: Canale U

1

→ Y

2

.

Canale U

1

→ Y

2

La funzione G

₂₁

(s), dall’ingresso U

₁

all’uscita Y

₂

, pu`o essere ricavata facilmente, trattan- dosi gi` a di un modello lineare, aggregando i blocchi di figura 1.7. Si ottiene la seguente funzione di trasferimento,

G

₂₁

(s) = Y

₂

(s)

U

₁

(s) = K

_ϕ

K

_r

T

_0r

s + 1 T

pr

s + 1

1 s (I

ϕ

s + B

ϕ

) . (1.6) Canale U

₂

→ Y

₂

Per ricavare l’ultima funzione di trasferimento G

₂₂

(s), dall’ingresso U

₂

all’uscita Y

₂

, consideriamo la figura 1.8. Rispetto alla figura 1.5 `e stato aggiunto un blocco contenente la funzione segno per modellare in modo pi` u fedele le dinamiche di azimuth.

- + +

+ U

₂

1 (T2s+1)²

sign

( · )

²

b

₂

a

₂

1 Iϕ

¨

ϕ

₁

s

B

_ϕ

˙

ϕ

₁

s

ϕ K

_ϕ

Y

₂

Figura 1.8: Canale U

₂

→ Y

₂

.

Raggruppando come nei casi precedenti i vari blocchi, si ottiene,

G

22

(s) = Y

2

(s)

U

₂

(s) = b

₂

K

_ϕ

s (T

₂

s + 1)

²

(I

ϕ

s + B

ϕ

) . (1.7)

(13)

1.2. Modellizzazione delle dinamiche sistema Modello complessivo

Raggruppando le equazioni (1.4), (1.5), (1.6) e (1.7) e sostituendo i valori dei parametri riportati nella tabella 1.2, si ottiene la matrice di funzioni di trasferimento G del sistema,

G(s) =

"

G

₁₁

(s) G

₁₂

(s) G

₂₁

(s) G

₂₂

(s)

#

= (1.8)

=







1493

0.00657 s

⁴

+ 0.1389 s

³

+ 0.8174 s

²

+ 0.9518 s + 1 0

− 158.62 s − 58.74 s (0.3573 s

²

+ 1.226 s + 1)

194 s (0.0298 s

³

+ 0.3 s

²

+ 0.976 s + 1)







Il guadagno di Bode della funzione G

₁₁

(s) `e K

₁₁

≃ 1493 ed i suoi poli sono p

₁

= p

₂

= − 10, p

3

, p

4

≃ − 0.5707 ± 1.0896j.

Il guadagno di Bode della funzione G

₂₁

(s) `e K

₂₁

≃ − 58.74 ed i suoi poli sono p

₁

= 0, p

₂

= − 1.333 e p

₃

≃ − 2.1.

Il guadagno di Bode della funzione G

₂₂

(s) `e K

₂₂

≃ 194 ed i suoi poli sono p

₁

= 0, p

₂

≃ − 2.1 e p

₃

= p

₄

= − 4.

Portando la matrice G(s) nella forma di Smith-MacMillan (il calcolo `e lasciato per esercizio al lettore) troviamo che G(s) ha 9 poli,

p

1

= 0,

p

₂

, p

₃

≃ − 0.5707 ± 1.0896j, p

4

= − 1.333,

p

₅

≃ − 2.1, p

₆

= p

₇

= − 4, p

₈

= p

₉

= − 10, ed uno zero,

z

₁

= − 1.333.

Nota che − 4 e − 10 sono poli multipli e non poli ripetuti. Poich`e tutti i poli, a parte un polo nell’origine, sono a parte reale negativa possiamo concludere che il sistema linearizzato `e stabile.

Osservazione 3. Poich`e G

₂₁

(s) 6 = 0 applicando U

₁

= 0.5856, viene generata una coppia sull’uscita Y

2

. Per bilanciare questa coppia `e necessario applicare un ingresso U

2

=

−b2+

√

b²₂−4a2(−KrU1)

2a1

. Perci` o la linearizzazione dovrebbe essere compiuta intorno a Y

₁

= 80

^◦

,

Y

2

= 0

^◦

, con U

1

= 0.5856, U

2

= − 0.2447. Per ricavare il modello del sistema si `e

comunque supposto per semplicit` a U

₂

= 0.

(14)

1.2. Modellizzazione delle dinamiche sistema

1.2.8 Modello non lineare in spazio di stato

Utilizzando la figura 1.5 `e possibile ricavare il seguente modello non lineare in spazio di stato dell’elicottero:



 



 



˙ x

₁

= x

₂

˙ x

₂

=

¹_I

− B

_ψ

x

₂

− τ

_g

sin(x

₁

) + a

₁

x

²₃

+ b

₁

x

₃

˙ x

₃

= x

₄

˙

x

₄

= −

T²₁

x

₄

+

_T¹2

1

[ − x

₃

+ U

₁

]

˙ x

₅

= x

₆

˙ x

₆

=

_I¹

ϕ

− B

_ϕ

x

₆

− C x

₉

− D U

₁

+ a

₂

sign(x

₇

) x

²₇

+ b

₂

x

₇

˙ x

₇

= x

₈

˙

x

₈

= −

T²₂

x

₈

+

_T¹2

2

[ − x

₇

+ U

₂

]

˙

x

₉

= A x

₉

+ U

₁

"

Y

₁

Y

₂

#

=

"

K

_ψ

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 K

ϕ

0 0 0 0

# x

(1.9)

dove x = [x

₁

, x

₂

, x

₃

, x

₄

, x

₅

, x

₆

, x

₇

, x

₈

, x

₉

]

^T

`e il vettore di stato, A = − 1.333, C = − 0.0056 e D = 0.0058. Il sistema,

( x ˙

₉

= A x

₉

+ U

₁

y = C x

₉

+ D U

₁

`e una delle possibili realizzazioni in spazio di stato della funzione di trasferimento K

_r^T_T^0r^s+1

prs+1

che collega il primo canale al secondo canale. Gli stati x

₁

, x

₂

, x

₅

e x

₆

corrispondono alle posizioni e velocit` a angolari ψ, ˙ ψ, ϕ e ˙ ϕ. Gli stati x

₃

, x

₄

, x

₇

, x

₈

e x

₉

non hanno un preciso significato fisico ma derivano da manipolazioni algebriche compiute per ottenere un modello descritto da equazioni differenziali del primo ordine.

Osservazione 4. Applicando il comando Matlab ss(G) si ottiene una rappresentazione in spazio di stato di G con 11 stati. Una realizzazione minima con 9 stati (come in (1.9)) si ottiene usando il comando ss(G,’min’).

1.2.9 Appendice: Noninteracting Control

Nell’Osservazione 2 abbiamo notato che se il canale U

₁

→ Y

₁

fosse disaccoppiato dal canale U

₂

→ Y

₂

, il sistema potrebbe essere facilmente controllato utilizzando due regolatori indipendenti progettati con le tecniche valide per i sistemi SISO.

In questa sezione studieremo se `e possibile ridurre il sistema, tramite un controllo in retroazione dello stato, in un aggregato di canali singolo-ingresso singola-uscita indipendenti (cio`e in cui l’ingresso U

₁

influenza solo l’uscita Y

₁

e l’ingresso U

₂

solo l’uscita Y

₂

).

Questo problema `e noto in letteratura come Noninteracting Control Problem [4].

(15)

1.2. Modellizzazione delle dinamiche sistema Consideriamo un generico sistema non lineare,

˙

x = f (x) +

m

X

i=1

g

_i

(x) u

_i

y

₁

= h

₁

(x)

.. . .. . y

_m

= h

_m

(x)

(1.10)

dove x ∈

^X

⊆ R

ⁿ

.

Supponiamo che il punto x

^o

in cui il problema di noninteracting control deve essere risolto sia un punto di equilibrio per il campo vettoriale f (x), cio`e f (x

^o

) = 0, che h

_i

(x

^o

) = 0 per ogni i = 1, 2, . . . , m e che il seguente controllo in retroazione dello stato,

u

_i

= α

_i

(x) +

m

X

j=1

β

_ij

(x) v

_j

, i = 1, 2, . . . , m, (1.11)

preservi questo equilibrio. α

i

(x) e β

ij

(x), per i, j = 1, 2, . . . , m, sono campi scalari di classe C

^∞

su

^X

, mentre v = (v

₁

, v

₂

, . . . , v

_m

)

^T

rappresenta il nuovo ingresso di riferimento.

Il problema di noninteracting control pu` o essere formalizzato nel modo seguente.

Problema 1 (Noninteracting control). Dato il sistema (1.10) trovare un controllo in retroazione dello stato, statico e regolare

¹

, come (1.11), definito in un intorno di x

^o

con α

_i

(x

^o

) = 0, tale che il sistema ad anello chiuso,

˙

x = f(x) +

m

X

i=1

g

i

(x) α

i

(x) +

m

X

j=1 m

X

i=1

g

i

(x) β

ij

(x)

! v

j

y

₁

= h

₁

(x) .. . .. . y

_m

= h

_m

(x)

(1.12)

abbia grado relativo vettoriale (vedi Definizione 2) nel punto di equilibrio x

^o

, e, per i = 1, 2, . . . , m, l’uscita y

i

sia influenzata solamente dall’ingresso corrispondente v

i

ma non da v

_j

, se j 6 = i. ⋄

Prima di introdurre la Proposizione 1, che fornisce la condizione per la risolvibilt`a del problema di noninteracting control, `e opportuno premettere le seguenti definizioni.

Definizione 1 (Derivata di Lie). Dato un campo vettoriale f e un campo scalare λ definiti in un sottoinsieme

^U

di R

ⁿ

, la derivata di λ lungo f , L

f

λ(x), `e definita:

L

f

λ(x) =

n

X

i=1

∂λ

∂ x

i

f

i

(x) = h∇ λ , f (x) i , ∀ x ∈

^U

.

1Il controllo si diceregolare se la matriceβ(x) `e non singolare per ognix.

(16)

1.2. Modellizzazione delle dinamiche sistema

Se λ deve essere derivata k volte lungo f si utilizza la notazione L

^k_f

λ : in altre parole la funzione L

^k_f

λ soddisfa la ricorsione:

L

^k_f

λ(x) = L

_f

L

^k−1_f

λ(x) ,

con L

⁰_f

λ(x) , λ(x). Analogamente se g `e un campo vettoriale definito in

^U

, L

_g

L

_f

λ(x) = L

_g

(L

_f

λ(x)) . ⋄

Definizione 2 (Grado relativo). Il sistema (1.10) ha grado relativo vettoriale { r

₁

, r

₂

, . . . , r

m

} in un punto x ¯ se valgono le due seguenti condizioni:

(i)

L

gj

L

^k_f

h

i

(x) = 0

per ogni j = 1, 2, . . . , m, per ogni k < r

i

− 1, per ogni i = 1, 2, . . . , m, e per ogni x in un intorno di x. ¯

(ii) La matrice m × m, detta matrice di disaccoppiamento,

A (x) =







L

_g₁

L

^r_f¹⁻¹

h

₁

(x) . . . L

_g_m

L

^r_f¹⁻¹

h

₁

(x) L

g1

L

^r_f²⁻¹

h

2

(x) . . . L

gm

L

^r_f²⁻¹

h

2

(x)

. . . . . . . . .

L

_g₁

L

^r_f^m⁻¹

h

_m

(x) . . . L

_g_m

L

^r_f^m⁻¹

h

_m

(x)







`e non singolare in x = ¯ x. ⋄

Siamo pronti per introdurre la seguente Proposizione.

Proposizione 1 (Noninteracting Control). Consideriamo il sistema (1.10). Il problema di noninteracting control `e risolvibile se e solo se la matrice A (x

^o

) `e non singolare, cio`e se il sistema ha grado relativo vettoriale { r

₁

, r

₂

, . . . , r

_m

} in x = x

^o

. ⋄

Per verificare se il nostro sistema soddisfa la condizione della Proposizione 1, `e opportuno scrivere (1.9) nella forma generale (1.10):

f (x) =







x

₂

1 I

− B

ψ

x

₂

− τ

g

sin(x

₁

) + a

₁

x

²₃

+ b

₁

x

₃

x

₄

−

T²1

x

4

−

_T^x³²

1

x

₆

1 Iϕ

− B

_ϕ

x

₆

− C x

₉

+ a

₂

sign(x

₇

) x

²₇

+ b

₂

x

₇

x

8

−

T²₂

x

₈

−

_T^x⁷²

2

A x

₉







, g(x) =







0 0

1 T₁²

0 0 0

−

_I^D_ϕ

0 0 0

0

_T¹2 2

1 0







,

(17)

1.2. Modellizzazione delle dinamiche sistema

h(x) =

"

K

_ψ

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 K

_ϕ

0 0 0 0

# x.

Il grado relativo del sistema `e { r

1

, r

2

} = { 4, 2 } e la matrice di disaccoppiamento,

A (x) =





L

g₁

L

³_f

h

₁

(x) L

g₂

L

³_f

h

₁

(x) L

g1

L

f

h

2

(x) L

g2

L

f

h

2

(x)



 =







K

ψ

(2a

₁

x

₃

+ b

₁

) I T

₁²

0 − DK

ϕ

I

ϕ

0 



 ,

che `e singolare nell’unico punto di equilibrio del sistema x

^o

= 0.

Questo significa che non `e possibile trovare un controllo in retroazione dello stato che consenta di disaccoppiare i canali del sistema. In altre parole, non `e possibile realizzare lo schema di controllo di Fig. 1.9, dove PID 1 e PID 2 sono controllori PID indipendenti agenti sui canali v

₁

→ Y

₁

e v

₂

→ Y

₂

.

Helicopter

α(x), β(x)

x PID

1

PID

2

_ _

U

1

U

2

v

Y

1

Y

2

ρ

1

2

Decoupled System 1

2

Figura 1.9: Disaccoppiamento dei canali tramite un controllo in retroazione dello stato.