Indipendenza delle condizioni di doppia e di tripla distributività

R ^ENDICONTI

del

S ^EMINARIO M ^ATEMATICO

della

U NIVERSITÀ DI P ^ADOVA

D ^OMENICO B ^OCCIONI

Indipendenza delle condizioni di doppia e di tripla distributività

Rendiconti del Seminario Matematico della Università di Padova, tome 33 (1963), p. 33-47

<http://www.numdam.org/item?id=RSMUP_1963__33__33_0>

© Rendiconti del Seminario Matematico della Università di Padova, 1963, tous droits réservés.

L’accès aux archives de la revue « Rendiconti del Seminario Matematico della Università di Padova » (http://rendiconti.math.unipd.it/) implique l’accord avec les conditions générales d’utilisation (http://www.numdam.org/conditions).

Toute utilisation commerciale ou impression systématique est constitutive d’une infraction pénale. Toute copie ou impression de ce fichier doit conte- nir la présente mention de copyright.

Article numérisé dans le cadre du programme Numérisation de documents anciens mathématiques

http://www.numdam.org/

DI DOPPIA

E DI

TRIPLA DISTRIBUTIVITÀ

Nota

*)

di DOMENICO BOCCIONI

(a Padova)

Le 2"a

(rispettivam.

^le

eguaglianze

^{che si}

ottengono

^da

due

(risp.

^da

tre) eguaglianze

^{fissate a}

piacere

^{fra le}

seguenti quattro :

in

corrispondenza

^{a tutte terne}

(x,

y,

z)

di elementi di un

insieme

B,

^{avente numero cardinale non} necessariamente finito v &#x3E;

2,

vengono dette condizioni di

doppia (risp.

^di

tripla)

^di-

stributività di B.

Nella

presente

^nota viene dimostrato che sia le 2v3 condizioni di

doppia

distributività di

B,

^{sia le 3v3} condizioni di

tripla

^distri-

butività di B sono

indipendenti

se, ^e soltanto se, ^v ~ ³

(indipen-

denti nel senso

che,

^{fissatane una}

qualsiasi

esistono sempre un’ad- dizione e una

moltiplicazione,

definite in

B,

per le

quali

^{la condi-}

zione fissata non è

soddisfatta,

^{mentre sono} invece soddisfatte tutte le

rimanenti).

Se v ⁼

2,

vengono

poi

determinati tutti ⁱ sottinsiemi costi- tuiti da condizioni

indipendenti

^ed

equivalenti

alle condizioni

*)

^{Pervenuta in Redazione il 20}

giugno

^1962.

Indirizzo dell’A.: Seminario Matematico, Univereità, Padova.

di

doppia (risp.

^di

tripla)

distributività di B. Ciascuno di

questi

sottinsiemi è costituito da otto

(risp.

^da

dieci)

condizioni

(ni 7, 8).

Le 2r

eguaglianze

⁼

(xy)+(u), (x-E-y)x

⁼

(particolari

condizioni di

doppia distributività)

^{erano state}

già

studiate in

[1]1),

^{con la} denominazione di condizioni di distri-

butività.

Nel

seguito

vengono studiate

dapprima (ni 1-7)

le condizioni di

tripla distributività,

^e

poi (n.o 8) quelle

^di

doppia

distributività.

1. - Denotiamo con

Jtf

l’insieme delle 4r condizioni di mutua distributività

([2],

^n.O

1 ) :

di un insieme B avente numero cardinale

(non

necessariamente

finito)

v &#x3E; ²

(oi

^E

B).

Denotiamo inoltre con

rispettivamente

l’insieme delle 30

eguaglianze (2), (3), (4),

^l’in-

sieme delle 30

eguaglianze ( 1 ), (3), (4),

l’insieme delle _{30 egua-}

glianze (1), (2 ), (4),

l’insieme delle 30

eguaglianze (1), (2), (3), (x,

y, z ^E

B ).

^{Le 30}

eguaglianze

costituenti

T, (i

⁼

1, 2, 3, 4)

vengono dette oondizioni di,

tripla

distributività dell’insieme B.

Studieremo nel

seguito ciascuno, T~,

^dei

quattro

insiemi di condizioni

(di tripla distributività) Ti , T~, T~, T4 ,

determinando

1)

I numeri fra

parentesi quadre

rimandano alla

bibliografia

^alla

fine do% nota.

(per ogni

valore di

v)

tutti i suoi

sottinsiemi, T ~, indipendenti ([3],

^n.O

1 )

^{e ad esso}

equivalenti ([3],

^n.O

1 ),

^{A tal fine sarà suffi-}

ciente,

^come

vedremo,

studiare direttamente uno solo di

questi quattro insiemi,

^{ad es. come}

faremo,

^l’insieme

T4.

Poichè

già sappiamo ([2],

^n.O

1,

^teor.

1)

^{che l’insieme M è}

indipendente

^{se v} &#x3E;

4, sappiamo dunque

pure che:

I )

^{Se il numero cardinale v di un insieme B è}

&#x3E; 4,

^ciascuno

dei

quattro

insiemi di condizioni

(di tripla

dzstributività di

B) Tl, T2, T3, T4

^è

indipendente ([3],

^n.O

1).

Restano

dunque

da esaminare soltanto i due casi v ⁼

2,-

v ⁼ 3. Vedremo che le condizioni di

tripla

distributività di B

sono ancora

indipendenti

^{se v =}

3,

^{mentre non lo sono}

più

^se

v=2.

Salvo avviso in

contrario,

conserviamo nel

seguito

^{tutte le}

definizioni e le notazioni adottate in

[1]

^{e in}

[2].

2. - Premettiamo alcuni lemmi.

LEMMA 1: Se due bisistemi sono

a-opposti ([1],

p.

6),

^all,ora

([2],

p.

42 ) :

1 )

^{se la terna}

(x,

y,

z)

^è

(1)-distributiva

^{in uno di}

essi,

^la

terna

(x,

z,

y)

^è

(1)-distributiva nell’altro;

2)

^{se la terna}

(x,

y,

z)

^è

(2)-distributiva

^{in uno di}

essi,

^la

terna

(y,

x,

z)

^è

(2)-distributiva nell’altro;

3)

^{se la terna}

(x,

y,

z)

^è

(3 )-distributiva

^{in uno di}

essi,

^la

t erna

( y,

z,

x )

^è

net t’ al tro ;

4)

^{se la terna}

(x,

y,

z)

^è

(4)-distributiva

^{in uno di}

essi,

^la

terna

(z,

x,

y)

^è

(3)-distributiva

nell’altro.

Infatti,

^{detto B il comune}

sostegno

^{e denotata con} xay la

somma nell’un bisistema e con

xãy nell’altro,

^{si ha}

appunto- (X,

y, ^{z E}

B) :

^t

1)

^v.

[1],

^p.

6; 2) (yãm)z = (xay)z

⁼

(xz)a(yz)

⁼

(vZ)à("Z) 3) (yz)ax

⁼

a;a(yz) = 4) iã(a;y),

=

(n)az

⁼

(xacz)(yaz)

^{= Vale}

poi

evidentemente il

seguente

LEMMA 2 : Se due bisistemi sono dvali

([ 1 ],

p.

3 ),

^{e se la tema}

(o,

y,

z)

^è

risp. (1)-, (2)-, (3)-, (4)-distributiva

^{in uno di}

essi,

^la-

stessa tema

(X,

y,

(3)-, (4)-, (1)-,

^nell’al-

tro

([2],

p.

42).

Se due bisistemi sono

p-opposti ([ 1 ],

p.

6 ),

i loro duali sono

evidentemente

a-opposti.

^Perciò dai due lemmi

precedenti

^si

ottiene immediatamente il

seguente

^altro.

3 : Se due bisistemi sono

p-opposti ([ 1 J,

p.

6 ),

^allora

([2],

p.

42):

1)

^{se tac terna}

(x,

y,

z)

^è

(1)-distributiva

^{in uno di}

essi,

^la

Urna

(y,

z,

x)

^è

(2)-distributwa nell’altro;

2)

^{se la terna}

(x,

y,

z)

^è

(2)-distributiva

^{in uno di}

essi,

^la

terna

(z,

x,

y)

^è

(1)-distributiva nell’altro;

3)

^{se la terna}

(x,

y,

z)

^è

(3)-distributiva

^{in uno di}

essi,

^la

terna

(x,

z,

(3)-distributiva nell’altro;

4)

^{se la ternca}

(x,

y,

z)

^{è in uno di}

essi,

^la

terna

(y,

x,

z)

^è

(4)-distrib~utiva

nell’altro.

3. - Consideriamo

dapprima

^{il caso v = 3.} Faremo vedere

che,

ⁱⁿ

questo

caso, l’insieme

T,

^{delle 3v3} condizioni

(1 ), (2 ), (3) (di tripla

distributività dell’insieme B ⁼

{ a, b, c ~ )

^è

indipen-

dente

([3],

^n.O

1 ).

^{A tal}

fine,

dimostriamo anzitutto che :

II)

^{Ciascuna delle}

cinque

^terne

(a,

a,

a), (a,

a,

b), (b,

a,

a), (a, b, a), (a, b, c)

^è

(1)-isolata ([2],

p.

42)

^{in un bisistema}

(2, 3)-di-

stributivo

([2],

p.

42),

^di

sostegno {a, b, c},

^{i cui}

gruppoidi

^additivo

e

moltiplicato

^{non sono}

opposti ([1],

^n.O

3).

Infatti :

1 )

Per le due terne

(a,

a,

a)

^e

(b,

a,

a),

si veda la di- mostrazione della

I)

ⁱⁿ

[2],

^{n.O 3}

(punti primo

^e

terzo).

2°)

^{Per la terna}

(a,

a,

b),

^{si veda}

[1],

p. ^27: si riconosce facilmente

(cfr. [1],

p.

8,

^ult.

capov.)

^{che il} bisistema definito dalle

(18)

^è

appunto (3)-distributivo.

3°)

^{La terna}

(a, b, a)

^è

(I )-isolata

^{nel bisistema}

(2, 3)-di-

stributivo definito dalle due

seguenti

^tabelle:

-i~)

^{La terna}

(a, b, c) è (1)-iaolata

^{nel bisistema}

(2, 3)-di-

stributivo definito dalle due

seguenti

^{tabelle :}

Le affermazioni relative ai bisistemi

(5)

^e

(6)

^{si verificano}

facilmente

(cfr. [1],

p.

8,

^ult.

capov.).

III)

^{Ciascuna delle}

cinque

^terne

(a,

a,

a), (a, b, a), (a,

a,

b), (b,

^a,

a), (b,

c,

a)

^è

(2)-isolata ([2],

p.

42)

^{in un bisistema}

(1, 3)-di-

stributivo

([2],

p. 42 ) ^di

sostegno {a, b, c}.

Infatti,

in virtù del lemma 3

(n.o 2),

^tali

cinque

^bisistemi

sono i

,u-opposti

^dei

cinque

bisistemi la cui esistenza è affermata dalla

precedente II ), (cfr. [ 1 ],

p.

6,

^nota

Z ) ) .

IV)

Ciaseuna terna di elementi dell’insieme B ⁼

{ a, b, c) é (1 )-isolata ([2],

p.

42)

^{in un bisistema}

(2, 3)-distributivo ([2],

p.

42)

di

sostegno

^B.

V)

Ciascuna terna di elementi detl’insieme B ⁼

{ a, b,

(2)-isolata ([2],

p.

42)

^{in bisistema}

(1, 3)-distributivo ([2],

p.

42)

di

sostegno

^B.

Dimostrazione delle

IV), V): Queste

^due

proposizioni

^sono

conseguenze immediate

risp.

^delle

II), III),

ⁱⁿ virtù delle osser-

vazioni del n.O 2 di

[1].

4. - Continuando lo studio del caso v ⁼

3,

dimostriamo ora

che:

VI)

Ciascuna delle

cinq03BCe

^terne

(a,

a,

a), (a,

a,

b), (b,

^a,

a), (a, b, a), (a, b, c)

^è

(3)-isolata ([2],

p.

42)

^{in un bisistema}

(1, 2)-di-

stributivo

([2],

p.

42)

^di

sostegno {a, ^b, c}.

Infatti:

10)

Per le due terne

(a,

a,

a)

^e

(b,

a,

a),

si vedano i

punti primo

^{e terzo della} dimostrazione della

I)

ⁱⁿ

[2],

^n.O

3;

due bisistemi duali dei due ivi considerati sono

quelli

^occorrenti

. virtù del lemma 2 del n.O

2).

20)

^{La terna}

(a,

a,

b)

^è

(3)-isolata,

nel bisistema

(

stributivo definito dalle due

seguenti

^tabelle:

come facilmente si verifica

(cfr. [1],

p.

8,

^ult.

capov.).

3°)

^{La terna}

(a, b, a)

^è

(3)-isolata

^{nel bisistema}

(1, 2)-di- stributivo,

^di

b, c}, p-oppo8to

^di

quello

definito dalle

precedenti

^tabelle

(7),

^{e ciò} in virtù del lemma 3 del n.O 2.

40)

^{La terna}

(a, b, c)

^è

(3)-isolata

^{nel bisistema}

(1, 2)-di-

stribuito definito dalle due

seguenti

^tabelle:

E

invero, qualunque

^siano

VII)

Ciascuna terna di elementi dell’insieme B

= {a, b, c}

.è

(3)-isolata ([2],

p.

42)

^{in un bisistema}

(1, 2)-distributivo ([2],

p.

42)

di

sostegno

^B.

Infatti la

VII)

discende subito dalla

precedente VI)

^{in virtù}

delle osservazioni del n.O 2 di

[1].

^Le

IV), V), VII)

d.imostrano

appunto

^che:

VIII)

^L’insieme

T,,

delle 3v3 condizioni di

tripla

^distribu-

tività

(1), (2), (3)

^{di un insieme B avente numero cardinale} v, è

indipendente ([3],

^n.O

1 )

^{se v = 3.}

5. - Per comodità

espositiva,

denoteremo coi simboli

rispettivamente

^le

eguaglianze (1), (2), (3), (4)

^{del n.O}

1,

^{cioè le}

condizioni di mutua distributività relative

(cfr. [1],

p.

17)

^alla

terna

(x,

y,

z) (di

^{elementi di}

B).

Passiamo ora a studiare il caso v ⁼ 2. Denotati b i due elementi dell’insieme B

(n.o 1), pensiamo ripartire

^{le 32}

(=

^{4 -}

2a)

condizioni di mutua distributività

di B = { a, b } in

^sedici

classi,

ognuna costituita da due

condizioni; precisamente poniamo:

e

poniamo

^inoltre:

IX)

Una delle due condizioni di mutua distributifttà di B

= ~ a, b}

costituenti la classe

C~,

^è

soddisfatta

^{in un}

di

sostegno B se,

^e soltanto se, vi è

soddisfatta

^l’altra

(i, i

⁼

1, 2, 3, 4).

Infatti per i ⁼

1, 2, i

⁼

1, 2, 3,

^{4 la cosa è}

già

^nota

([1], ^n.’

⁶

e

11 ) ;

per i ⁼

3, 4, i

⁼

1, 2, 3,

^{4 la}

IX)

si deduce subito da que- sto fatto

già

^noto tramite il lemma 2 del n.O 2.

X)

Le due condizioni costituenti la classe

cil

^{sono le due}

uniche condizioni di mutua

distributività

^{di B}

= {a, b} non

^sod-

disfatte

^{in un} biri8tema di

sostegno

^B.

(i

⁼

1, 2, 3, 4.)

Inf atti _{per i} ⁼ 1 un tale bisistema è il

( 12, 14 ) ([ 1 ],

p.

21),

per i ^{= 2} è

l’opposto

^del

(12, 14) ([1],

^p.

22,

^lemma

13 ; [2],

p.

43,

lemma

2 ),

per i ⁼

3,

^{4 è} il duale di uno dei due bisistemi ora

nominati

(n.O 2,

^lemma

2).

X’)

Le due condizioni costituenti la classe

O le

^{sono le due}

uniche condizioni di mutua distributività di B ⁼

{ a, b }

^{non sod-}

disfatte

^{in un bisistema di}

sostegno

^B.

(i

⁼

1, 2, 3, 4.)

Infatti tali

quattro

^{bisistemi sono le}

immagini

^isomorfe

(cfr. [1],

^n.O

2)

^dei

quattro

^{bisistemi la cui esistenza} è affermata dalla

X),

^{mediante la}

corrispondenza

^{a ---~}

b,

^{b --~ a.}

XI)

^Le

quattro

condizioni costituenti la classe

Oli

^U

0,i

^sono

le uniche

quattro

condizioni di mutua distributività di B ⁼

{ a, b}

non

soddis f atte

^{in un} bisistema di

sostegno

^B.

( j

⁼

1, 3.)

Inf atti

per j =

^{1 un} tale bisistema è

1’ ( 8, 14 ) ([ 1 ],

p.

21), per i

^{= 3 è}

l’immagine

^isomorfa

dell’(8, 14)

mediante la corri-

spondenza

^a --&#x3E;

b,

^{b -~ a.}

XI’)

^Le

quattro

condizioni costituenti la classe

O il

^U

0.,

^sono

le uniche

quattro

condizioni di mutua distributività di B ⁼

{ a, b}

non

soddis f atte

^{in un} bisistema di

sostegno

^B.

(j

⁼

1, 3.)

Infatti tali due bisiatemi sono i duali

(n.O 2,

^lemma

2)

^dei

due biaistemi la cui esistenza è affermata dalla

XI).

6. - Continuando lo studio del caso v ⁼

2, poniamo (v.

^n.O

5 ) :

e dimostriamo che:

XII )

Non esiste alcun bisistema di

sostegno

^{B =}

{ a, b}

ⁱⁿ

cui siano

soddisfatte

^{tutte le} condizioni costituenti la clas.e

O,

^e

nel

quale

^{le due} condizioni

2(a,

^a,

a), 3(a,

a,

a)

^{siano una soddi-}

sfatta

^{e l’altra non}

80ddisfatta.

Infatti :

i) Supponiamo

^{che Ho sia un bisistema di}

sostegno

B ⁼

{ a, b }

^{in cui}

^2(a,

^a,

^a)

^{non sia}

soddisfatta,

^{cioè in cui ri-}

sulti

e nel

quale

siano invece soddisfatte

3(a,

a,

cc~

^e le condizioni

costituenti

C;

^e dimostriamo l’assurdità di

questo ipotesi. Invero,

la

(10) implica (a -f- a, aa)

^*

(a, a); distinguiamo perciò

^{i tre}

casi

(a -~- a, aa) = (a, b), (b, a), (b, b).

1)

^{In Bo risulti}

Allora

l(a, a, a) implica b + b = b, quindi

^risulta

(a

+

a)a

⁼

--

(aa)

⁺

(aa),

^il

che,

per la

(10),

è assurdo.

2)

^{In Bo risulti}

Allora la

(10) implica

ba = a, ^e

quindi 2(a, b, a) comporta

a ⁼

(a

+

b)a

⁼

(aa)

+

(ba)

⁼

b,

il che è assurdo.

3)

^{In Bo risulti}

Allora la

(10) implica

^b + ^b =~= ba.

Distinguiamo perciò

^{i due}

sottocasi

(b -f- b, ba) = (a, b), (b, a).

31)

Sia~ inoltre

Allora.

a) implica

^{ab =} a,

quindi 2(a, b, a) comporta

b ⁼

(a

+

b)a

⁼

(aa)

+

(ba)

- a, il che è assurdo.

3,)

Sia inoltre

Allora

1 (a,

a,

a) implica

Distinguiamo

^{i due sottocasi}

~2.1)

Sia inoltre

Allora

3(a,

a,

a) implica,

^{bb =} a,

quindi 1 (b,

a,

b) comporta

a = ba ⁼

b(a

-E-

b)

⁼

(ba) + (bb)

^{= a} + a ⁼

b,

il che è assurdo.

31.~)

Sia inoltre

Allora

2(a, b, a), 3(a,

a,

a) implicano risp.

^b

-~- a

⁼

a, bb

⁼

b, quindi

l’addizione di Bo coincide con la sua

moltiplicazione,

^il

che è assurdo.

~i) Supponiamo

^{ora che B~ sia un bisistema di}

sostegno

B ⁼

{ a, b ~

^{in cui}

3(a,

a,

a)

^{non sia}

soddisfatta,

cioè in cui risulti

e nel

quale

^{siano invece} soddisfatte

2(a,

a,

a)

^e le condizioni costituenti

C;

^e dimostriamo Fassurdità di

questa ipotesi. Invero,

la

(11) implica (a +

a,

aa)

^*

(a, a); distinguiamo perciò

^{i tre}

casi

(a -~- a, aa) _ (a, b), (b, a), (b, b).

1)

^{In Bo risulti}

Allora la

(11) implica a ⁺

b = a,

quindi 3(a, b, a) comporta

a = a

+ (ba)

⁼

(a

+

b)(a

+

a)

^{= aa =}

b,

^{il che} è assurdo.

2)

In Bo risulti

Allora

1(a, a, a), 2(a, a, ^a)

^{e la}

(11) implicano risp.

quindi 3(a, b, a) comporta

^a + ^{b =}

(a

+

b)b,

^ossia

(in

^entrambi

i cui a

+

^{b =} a,

b) a

⁼

b,

il che è assurdo.

3)

^{In Bo risulti}

Allora la

(11) implica a +

b ~ bb.

Distinguiamo perciò

^{i due}

sottocasi

(a + b, bb) _ (a, b), (b, a).

3i)

^{Sia inoltre}

Distinguiamo

i due sottocasi ba ⁼ _a, b.

31.1)

Sia inoltre

Allora

3(a, b, a)

^ed

a) implicano

successivamente ab ⁼

b,

b

-~- b

⁼

b,

^e

quindi 2(a,

a,

a) comporta

^{a = ba =}

(a

⁺

a)a

⁼

=

(aa)

+

(aa)

^{- b}

-~- b - b,

^{il che} è assurdo..

~1.2)

^{Sia inoltre}

Allora

2(a, b, a), 3(a, b, a) implicano risp. b -f- b

⁼

b,

^ab = a,

quindi

ac,

a) comporta a

^{= ab =}

a(a

+

a)

⁼

(aa)

⁺

(aa)

⁼

- b

~-- b

⁼

b,

il che è assurdo.

3~)

Sia inoltre

Allora

3(a, b, a) implica

^{b = a +}

(ba)

⁼

(a

+

b)(a

⁺

a) =

^{bb =} a, il che è assurdo. E con ciò la dimostrazione della

XII)

^{è com-}

pletata.

Non esiste alcun bisistema di

sostegno

^{B =}

{ a, b ~

ⁱⁿ

cui sono

soddis f atte

^tutte le condizioni costituenti la classe

O,

^{e n.el}

quale

^le due condizioni

2(b, b, b), 3(b, b, b)

^{siano una}

soddisfatta

e l’altra non

soddisfatta.

Infatti,

^{se un tal bisistema}

esistesse,

^{la sua}

immagine

^isomorfa

mediante la

corrispondenza

^{a --~}

b,

^{b -~ a}

(cfr. [1],

^n.O

2)

sarebbe un bisistema la cui esistenza è

negata

^dalla

XII).

7. - Possiamo ormai concludere lo studio dell’insieme

T~

(n.O 1)

mediante il

seguente

TEOREMA: L’inrieme

T4,

delle 3r condizioni di

tripla

^distri-

butiroità

(1 ), (2), (3)

^{di un insieme B avente numero cardinale} v, è

indipendente ([3],

^n.O

1)

se, ^e soltanto se, ^v &#x3E; 3. Se v ⁼

2,

^e

B ⁼

{ a, b},

tutti i sottons-iemi di

T ~

^{che sono}

indipendenti

^ed

equivalenti ([3],

^n.O

1 )

^a

T ~

^si

ottengono

^{nel modo}

seguen te :

^si

scelga

in ciascuna delle dieci classi

(v.

^n.O

5) :

una

qualunque

^delle condizi,oni che la

costituiscono;

^le dieci condi- zioni di

tripla

distributività cos scelte costituiscono

appun,to

^un sottinsieme

T’4 (di T4) indipendente

^ed

equivalente

^a

T,.

Dimostrazione : Si ottiene facilmente in base alle

proposi-

zioni

I), VIII) (n.i 1, 4)

^{ed a}

quelle

^dei

^{n.i 5}

^{e 6.}

Gon8ideriamo ora le

seguenti

^tre

decuple

^{di classi}

(v.

^n.O

~) :

COROLLARIO: L’insieme

Ti (n.O 1),

^{delle 3v3} eondizion-i di

tripla

distributività

(diverse

dalle condizioni

(i))

^{di un insieme B}

avente numero cardinale _v, è

indipendente ([3],

^n.O

1)

se, ^e soltanto se, v ~ 3. Se v ⁼

2,

^{e B =}

{ a, b},

^tutti i sottinsiemi

T ~

^di

T

i

che sono

indipendenti

^ed

equivalenti ([3],

^n.O

1 )

^a

Ti

^si

ottengono

nel modo

seguente:

^si

scelga

in ciascuna delle dieci classi

(12,)

una

qualunque

delle condizioni che la

costituiscono;

le dieci condi- zioni di

tripla

distributività cosi scelte costituiscono

appun.to

^un sottinsieme

T, (di Ti) indipendente

^ed

equivalente

^a

Ti . (i

⁼

3, 2,1.)

Dimostrazione : Per

quanto riguarda Ts ,

basta pensare alla

corrispondenza

^{biunivoca e}

involutoria,

00, di M

(n.O 1)

^{su sé}

stesso che ad

ogni

condizione di mutua distributività di B as-

socia la sua

opposta,

^chiamando

opposte (l’una dall’altra)

^{le due}

condizioni

ed anche le due condizioni

(si

^ricordino le notazioni

(9),

^n.O

5).

^{La verità} del corollario per i ⁼ 3 discende allora subito dal

precedente teorema,

^osservato

che

T~

^è

1’immagine

^di

T,

ⁱⁿ ro, che

(in

^{virtù del lemma 13 di}

[1]

p.

22,

^{e del lemma 2 di}

[2],

p.

43) co

trasforma sottinsiemi

(di M)

indipendenti ([3],

^n.O

1)

ⁱⁿ sottinsiemi

indipendenti

^e

coppie

^di

sottinsiemi

equivalenti ([3],

^n.O

1)

ⁱⁿ

coppie

di sottinsiemi

equivalenti,

^{e infine}

che,

^{nel caso v =}

2,

^{le classi}

(12,)

sono,

nell’ordine,

^le

immagini

^{in co} delle classi

(12,).

Per

quanto poi riguarda T 2

^e basta pensare alla corri-

spondenza

^{biunivoca e}

involutoria, ~,

^{di M}

(n.o 1)

^{su sé stesso}

che ad

ogni

condizione di mutua distributività di B associa la

sua

duale,

^{chiamando duali}

(1’una dell’altra)

le due condizioni

ed anche le due condizioni

(n.O 5).

^La verità del corollario per i ^{= 2}

(risp. per i

⁼

1)

^di-

scende allora subito dal

precedente

^teorema

(risp.

^dalla

qui

sopra dimostrata verità del corollario

per i

⁼

3), ^osservato

^che

T2

^è

l’immagine

^di

T 4

^{in ~}

(risp.

^che

Ti

^è

l’immagine

^di

^T,

ⁱⁿ

~),

^che

(in

virtù del lemma

2,

^n.O

2)

~ trasforma sottinsiemi

(di .M)

^indi-

pendenti ([3],

^n.O

1)

in sottinsiemi

indipendenti

^e

coppie

^{di sot-}

tinsiemi

equivalenti ([3],

^n.O

1 )

ⁱⁿ

coppie

^di sottinsiemi

equiva- lenti,

^{e infine}

che,

^{nel caso v =}

2,

^{le classi}

(12,) (risp. (121))

sono,

nell’ordine,

^le

immagini

^{in ~} delle classi

(12,) (risp. (12,)).

8. - Esaurito cos lo studio delle condizioni di

tripla

^distri-

butività di

B,

^{cioè dei}

quattro

sottinsiemi

T i , T2 , T,

^{di M}

(n.o 1,

³⁰

capov.)

è naturale

rivolgere

^ora l’attenzione ai

seguenti

altri sei notevoli sottinsiemi di M.

Consideriamo due delle

quattro eguaglianze (1), (2), (3), (4)

del no 1: la r-eeima e la s-esima

(r

^$

s).

^{Le 2"s}

eguaglianze

^che

si

ottengono

^{dalle due}

eguaglianze (r)

^ed

(s)

^al variare di x, y, z in

B,

^verranno dette condizioni di

doppio

distributività) di

B,

^ed

il loro insieme verrà denotato con

( = M,).

Otteniamo cos i sei sottinsiemi di M:

il

primo

^dei

quali

^è

già

^{stato studiato}

compiutamente

ⁱⁿ

[1].

Il

problema

^di determinare tutti i

sottinsiemi,

^di

indipendenti

^ed

equivalenti ([3],

^n.O

1)

^ad

M,,

^{è stato}

già impli-

citamente risolto nei numeri

precedenti, quasi

^{del tutto. Com-}

pleteremo

^ora la risoluzione ed enunceremo il risultato relativo.

Precisamente, poiché

dal teorema e corollario del n. ° 7 e

dalla

IX)

del n.O 5 risulta evidentemente

(essendo ogni M,.,

contenuto in un

Ti)

^che

Mr.

^è

indipendente

^{se e solo se v ~}

3,

rimane da studiare soltanto

(e parzialmente)

^{il caso v = 2.}

La classe

C,, (n.o 5)

^{si dirà}

(i)-isolata

^{in un bisistema Bo di}

sostegno

^B

= { ac, b },

^{se le} due condizioni che la costituiscono

non sono soddisfatte in

BO,

^{mentre vi sono} invece soddisfatte le sei condizioni costituenti le tre classi

Cix

^{con k ~}

j. (i, j

⁼

1, 2, 3, 4.)

XIII)

^{Se h}

$ i, la

^classe

Oij (n.O 5)

^è

(i)-isolata

^{in un bi-}

sistema

(h)-distributivo ([2],

^n.O

2)

^di

sostegno

^{B =}

{ a, b}. (h, i, j

⁼

2, 3, 4.)

Infatti

023

^è

(2~-isolata

nel bisistema

(3)-distributivo (3, 11) ([1],

^n.O

10); quindi Cl~

^è

(1)-1801ata

nel bisistema

(4)-distributivo opposto

^del

(3, 11 ).

Considerando

dapprima

ⁱ bisistemi duali dei

precedenti due,

^e

poi

^le

immagini

isomorfe mediante la corri-

spondenza a

--&#x3E;

b,

^{b - a dei}

quattro

^{bisistemi cos}

introdotti,

si riconosce intanto che la

XIII)

^{è vera} per

(h, i, j)

⁼

(3, 2, 3),

Ma la

XIII)

^è

appunto

^vera anche per i restanti valori di

h, i, i,

come è

provato

^dalle

X ), g.’ ), XI ), ^{(n.o 5).}

TEOREMA: L’insieme

M,..

^{delle 2 v3} condizioni di

do p pia

^di-

stributività

(r)

^ed

(s) (n.O 1 )

^{di un insieme B avente numero cardi-}

nale _v, è

indipendente ([3],

^n.O

1)

se, ^e soltanto se, v &#x3E; ^3. Se v ⁼

2,

e B

= {a, b},

tutti i sottinsiemi

M:.

^di

M,

^{che sono}

indipendenti

ed

equivalenti ([3],

^n.O

1 )

^ad

Mrs

^si

ottengono

^{nel modo}

seguente :

si

scelga

in ciascuna delle otto classi

(v.

^n.O

5) :

una

qualunque

^{delle due che la}

costituiscono;

^{le otto con-}

dlzionl di

doppia

distributività cos scelte costituiscono

appunto

un sottinsieme

M;, (di Mr,) indipendente

^ed

equivalente

^ad

^Mr..

Dimostrazione : Per v &#x3E;

3,

^{si è}

già

^detto

più

sopra. Per v ⁼

2,

il teorema si ottiene facilmente dalla

precedente XIII)

^{e dalla}

IX)

^{del n.O 5.}

Naturalmente,

^{per r =}

1,

^{ed 8 =}

2,

si ritrovano i risultati

del §

^{3 di}

[1].

BIBLIOGRAFIA

[1] BOCCIONI D.:

Indipendenza

delle condizioni di distributività, Rend.

Sem. Mat. Univ. Padova, vol. 28

(1958),

pp. 1-30.

[2] BOCCIONI D.:

Indipendenza

delle condizioni di mutua

distributività,

Rend. Sem. Mat. Univ. Padova, ^{vol. 28}

(1958),

pp. ^40-49.

[3]

BOCCIONI D.: Condizioni di distributività ed

associatività

unilaterali, Rend. Sem. Mat. Univ. Padova, ^{vol. 30}

(1960),

pp. ^178-193.