A NNALI DELLA
S CUOLA N ORMALE S UPERIORE DI P ISA Classe di Scienze
S ANDRO F AEDO
Sulle condizioni di Legendre e di Weierstrass per gli integrali di Fubini-Tonelli
Annali della Scuola Normale Superiore di Pisa, Classe di Scienze 2
esérie, tome 15, n
o1-4 (1950), p. 127-135
<
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PER GLI INTEGRALI DI FUBINI - TONELLI
di SANDRO
FAEDO (Roma).
1. - In alcuni miei recenti lavori
(1)
ho iniziata la costruzione della teoria di un nuovotipo
difunzionali, seguendo
il metodo diretto del Calcolo delle Variazioni del miocompianto
Maestro LEONIDA TONELLI. I funzionali da mestudiati sono :
dove
y = y (x),
sono funzioni assolutamente continue per xin
(a, b)
e z in(c, d).
Alcuni casi
particolari dell’ integrale I(y)
sonogià
stati incontrati da G.FUBINI
(1913)
e L. TONELLI(1939)
nella risoluzione di alcuniproblemi
checoncernono altri
campi
dell’AnalisiMatematica ;
invecel’integrale più generale y2) è
stato da me considerato nelprimo
lavoro citato in(i)
e alquale
rinvio per la
posizione
deiproblemi,
le definizioni e labibliografia.
Per onorare la memoria dei due
grandi
Analisti italiani chiamerò d’ ora inpoi,
tantol’integrale I(y)
cheI(y1, Y2) integrali
di Fubini - Tonelli.In
questo
lavoro mioccuperò dell’ integrale y2)
e chiamerò curva lacoppia
di funzioniYi(X), Y2(z).
AffinchèI(Y1, Y2)
sia una funzione semicontinua inferiormente sopraogni
curva ordinaria è necessario(2)
che sia(1)
S. FAEDO : 1 Condizioni necessarie per la semicontinuità di un nuovo tipo di fun-zionali,
Annali diMatematica,
T.XXIII,
1944, pp.69-123 ;
Un nuovo tipo di funzionalicontinui,
Rendiconti di Matematica e delle sueapplicazioni,
S. V, Vol. IV, 1943, pp. 223-249.(z)
S. FAEDO. i- lavoro cit.in (1,.
128
per
ogni punto (x, z,
Yi,y2)
del campo che si considera edogni
valore finitodi
y~’
ey2’.
Peranalogia
congli integrali
che ordinariamente si considerano nel Calcolo delle Variazioni diremoqueste
le condizioni di LEGENDRE(per
1’esi-stenza del
minimo).
A differenza diquanto
accade pergli integrali doppi dipen-
denti da una
superficie,
per la semicontinuità diI(y i, y2)
non èperò
neces-sario che sussista la
disuguaglianza
Qualora
la funzioneintegranda f(x,
z, Yl, Y2,y1’, Y2’)
nonpossieda
continuele 1
fY2’Y2’,
sipuò esprimere
la condizione necessaria per la semicontinuità inferiore nella forma della condizione di WEIERSTRASS(per
1’ esistenza del mi-nimo),
introducendo le funzioni~1
ed~2
diWEIERSTRASS,
cos definite :Le condizioni di
WEIERSTRASS,
necessarie per la semicontinuità inferiore diI(y1, Y2)
in tutto il campo, siesprimono
con ledisuguaglianze
che debbono valere in
ogni punto (x, z,
y1,y2)
che si considera edogni
valorefinito di
yz’, YI’9 y2’.
Quanto
alle condizioniperchè gli integrali
di FUBINI - TONELLI siano semi- continui sopra una curvaassegnata
è noto(3)
che essi possono essere semi- continui sopra una curva senza esserlo sopra archi diquesta ; perciò, ho dato
condizioni affinchè tali funzionali siano semicontinui sopra una curva data op- pure sopra tutti
gli
archi di una curva data.Supponiamo
che C sia una curva di classe1,
ossiaché YI(x)
e
y2(z) possiedano
derivateprime
continue per allora le condizioni necessarie(di LEGENDRE)
per la semicontinuità inferiore su C sono(3)
(3)
S. FAEDO, 1° lavoro cit. in(1).
mentre le
corrispondenti
condizioni di WEIERSTRASS sonoper
ogni
valore finito diy1’
eyz’.
2. - Richiamiamo
quanto
accade pergli integrali
curvilinei in forma ordi- naria del Calcolo delle VariazioniLa condizione necessaria per la semicontinuità inferiore di sopra una
curva
C
diequazione
cony’(x)
continua(curva
di classe1)
è che per
ogni x
in(a, b)
sia(condizione
diLEGENDRE)
oppure, nella forma di
WEIERSTRASS,
che sia perogni x
in(a, b)
eogni
valore diy’
essendo
È
noto(4)
che se la F(x, y, y’) possiede
laFy,y,
continua[per ogni punto (x, y)
del campo considerato eogni
valore finito di allora se è verificata la condizione di WEIERSTRASS.(4)
di conseguenza sussiste purequella
di LE-GENDRE
(3).
Inoltre se la curva C su cui è semicontinuo inferiormente non è di classe 1
[cioè
sey(x)
è assolutamente continua in(a, b)
e9(C)
esistefinito],
allora le condizioni
(3)
e(4)
debbono essere necessariamente verificate nonpiù
per
ogni x
di(a, b)
ma soltanto perquasi
tuttigli x
di(a, b).
3. - Un
problema
di notevole interesse èquello
di studiare come vadanomodificate le condizioni
(3)
e(4) quando
la curvaC[(Yi(X), Y2(z)]
non sia diclasse
1,
cioèquando
si supponga solo chey,(x)
ey2(z)
siano assolutamente continue per e tali da dare valore finito a Iy2).
(4)
L. TONELLI : Fondamenti di Calcolo delle Variazioni, Vol.I,
pp. 350, 370, 380.Annali della Scuola Norm. Sup. - Pisa 9
130
Questo problema presenta
notevoli difficoltà e lo scopo diquesta
Nota è dmostrare come a
questo riguardo gli integrali
di FUBINI - TONELLI sicomportino
in modo assai diverso
dall’ integrale
curvilineo che normalmente si studia nel Calcolo delle Variazioni.Una
prima
difficoltà da megià
rilevata(5)
consiste nel fatto chepuò
accadere che
gli integrali (1)
possono non essere maifiniti ;
ho dato anzi unesempio
incui,
perogni x
in(a, b)
ilprimo integrale (1)
è sempre = + 00 ;ma si
comprende
che tale difficoltà sipuò
facilmente superare come casolimite,
in
quanto
che si deve intendere che le(1)
sianougualmente verificate.
Nel caso che sia continua in
(c, d)
mentre èsupposta
soltanto assolutamente continua in(a, b),
ho dimostrato che laprima
delle(1) [e
cospure la
prima
delle(2)]
deve essere verificata perquasi - tutti gli x
di(a, b).
Per
analogia
conquanto
accade perl’integrale 3(C),
ciò indurrebbe a rite-nere che per la semicontinuità inferiore di
Y2)
sulla curva C debbanoessere verificate le condizioni
(1)
perquasi
tuttigli x
di(a, b)
egli z
di(c, d).
Invece
questo
fatto non è vero.Si dà infatti un
esempio (nn. 5-6)
di unintegrale I(y1, y2)
che è semicon- tinuo inferiormente su una curva C non di classe 1 e per cui ilprimo
inte-grale (1)
è costantementeuguale a -1,
perogni
valore di x in(a, b).
Rispetto
a talequestione
ilcomportamento degli integrali
di Fubini - Tonelli èquindi
assai diverso daquello dett’integrate
Un’ altra notevole
differenza,
di carattere fondamentale pergli
ulteriori svi-luppi
dellateoria,
viene pure messa in evidenza dal suddettoesempio,
e cioè :Anche se la funzione
ntegranda f(x,
z, Yí, Y2,y1’, y2’) possiede
continuele se su una curva
(non
di classe1)
sono verificate le condi-. zioni
(2) (di Weierstrass), può
accadere che non siano verificate le con-dizioni
(1) (di Legendre).
La natura di
questo profondo
divario fragli integrali I(ys, y2)
e stanel fatto che per dedurre dalla condizione di WEIERSTRASS
quella
di LEGENDREoccorre fare un
passaggio
allimite ;
dalla(4)
alla(3)
ciò sipuò
sempre farepurchè
sia continua laFy,y 1
1 mentre nel nostro caso per passare dalle(2)
alle(1) bisogna
operare sotto il segno diintegrale
epuò
accadere chel’integrale
dellimite non sia il limite
dell’ integrale.
Nell’ esempio
considerato si ha la semicontinuità inferiore su C e non sonoverificate le
(1),
mentre lo sono invece le(2) ;
ciò costituisce una sicura indi- cazione per la ricerca delle condizioni necessarie per la semicontinuità sopra una curva non di classe 1.Le differenze di
comportamento
ora rilevate fragli integrali
di FUBINI - To- NELLI equelli
curvilinei del Calcolo delle Variazioni - insieme aquelle già
messe(5)
S. FAEDO, lo lavoro cit. in(1).
in luce nelle mie
precedenti
ricerche - mostrano le difficoltà e 1’ interesse diquesta teoria,
che riuscirà digrande
utilità per lo studio di numerosiproblemi,
fra cui
sopratutto quello
della risoluzione delleequazioni integro - differenziali (v.
1° lavoro cit. in(1)
e le Memorie ivi citate di G. FUBINI e L.TONELLI).
4. - Premettiamo alcune considerazioni sulla funzione
v i
Sviluppando questa funzione, rispetto
allavariabile x,
con la formula di TAYLOR arrestata al secondo termine si ottieneFissato x, ~2
è funzione univoca di yperchè
perogni y ~
02 è funzione crescente di
x2 ;
J per y = O siponga 03BE2 = 6 .
Vogliamo
dimostrare chesussiste, qualunque
siay2,
la limitazionePer
x2 > 0 fissato,
consideriamo la funzionee
questa
serie converge perogni
valore dix2y2,
essendomaggiorata
dalla serieesponenziale
--
La serie
è
maggiorata
dalla(7) ;
infàtti èperchè 1’ uguaglianza
vale solo pern=0,
1 e ilprimo
membro cresce d’ ordineesponenziale
e ne segue subito132
Perciò,
per la(5),
è pery =:k
0poichè
è una funzione crescente di
~2,
ne segue immediatamente la(6).
consideriamo il funzionale
u- ’"
dove le funzioni
Yi(X), y2 (z)
sono assolutamente continue pera x b, c z d
e tali da rendere finito
y2).
Una talecoppia
di funzioni si dirà una curvaordinaria per
I(yi , Y2)
e si indicherà conC(ys , Y2)-
Dimostriamo che
y,)
è semicontinuo inferiormente sulla curva ordi- nariaC(Yi’ y2)
conSi ha immediatamente
Si fissi e con
0 E
4.L’ integrale
è
regolare positivo
e sulla curvaY2=Y2(Z)
è _ + oo eperciò (6)
sipuò
determinare ~O con
0 O 8
tale che seY2(Z) appartiene propriamente (1)
all’ in-torno
(p)
diY2(Z)
siaSia ora
y2(z) ] ,
una curva ordinaria perY2)
con
Y2(Z) appartenente propriamente
all’ intorno(é)
di e all’in-torno
8
dil1t.
°Sviluppando f(y1’, y2’)
con la formula di TAYLORrispetto
ay~
si ottienee, per
quanto
è dimostrato nel n.4,
èe
quindi
integrando
segueu c
Poichè
C appartiene propriamente
all’ intornoda cui
da
(9)
e(10)
segue-
Indichiamo con
Ei
l’insieme deipunti
di(a, b)
in cui esistey1’(x)
ed èy 112 e 8
e conE2
1’ insieme deipunti
di(a, b)
in cui esiste ed èessendo
134
Pertanto è
e dalla
(11)
seguequalunque
sia la curvaordinaria Y2) purchè appartenga propriamente
all’ intorno
già
determinato di C.È
cosprovato
che suC Y2)
è semi- continuo inferiormente.6. - La curva C considerata nel n. 5 non è di classe
1 ;
infatti la funzione2 4-
= 2 ~z,
non ha derivata continua perz=0.
3
L’ integrale y2)
del n. 5 è definito daed è
e
questa espressione
sulla curva C definita dalle(8)
divieneConsideriamo la
prima
delle condizioni diLegendre (1)
sulla curvaC;
è... i
qualunque
sia la x in(0, 1).
Questo esempio
provaquanto
si era affermato nel n. 3 e cioè chepassando
dalle curve di classe 1 a
quelle
ordinarie non è vero[come
accade perl’ analogo problema
pergli integrali
curvilinei che. le(1)
debbano essereverificate
perquasi - tutti gli
x di(a, b)
egli
z di(c, d).
7. - Esaminiamo ora se
l’ esempio precedentemente
considerato soddisfa alle condizioni(2)
di WEIERSTRASS. La seconda di tali condizioni è ovviamente veri- ficata.Quanto
allaprima,
si ha~
,
con y i compreso fra
yi
e e per le(8)
Questa espressione
è nulla pery1’ = 0 (in
tal caso è anchey1 = 0
essendo~ ,
?li’ =0)
e pery1’ =
0 èy1’ =
0 e laprima
delle(2)
divieneper
ogni x
in(0, 1), poichè
diventa infinita perz-~+0. Quindi,
perogni
valore di
y~’
e perogni
x in(0, 1)
è verificata laprima
delle(2).
Nell’ esempio
considerato sonoquindi verificate
le condizioni di Weier- strass e pur avendosi lefyl-y,’, fY2’Y2’
continue non sonoverificate
le con-dizioni di
Legendre
contrariamente aquanto
accade pergli integrali
- curvilinei che
ordinariamente
si considerano neL Calcolo delleVariazioni.
La
ragione
di tale anomalia consiste in ciò : Se esiste continua lafy,-yl-
èe
quindi
le condizioni(1)
di LEGENDRE si ricavano daquelle (2)
di WEIER-STRASS cercando il limite
qualora
si possano invertirel’operazione
di limite conquella d’integrazione
illimite
precedente
coincide con laprima
delle(1)
equindi
dalla condizione di. WEIERSTRASS segue
quella
diLEGENDRE ;
ma ciò non è vero ingenerale
comemostra
l’esempio
che abbiamo considerato nei nn. 5 - 7.Questo esempio
mostra altres che non si possono avere condizioni neces-sarie per la semicontinuità sopra una curva ordinaria C
assegnata (non
diclasse
1)
con relazioni chedipendono
solo dai valori su C della funzione inte-granda f(x,
z, yi , y2,yi’, Y2’)
e delle sue derivaterispetto
ay~, y2’ ; queste
relazioni