Séquence 7

Séquence 7

Intégration

Dans ce chapitre, on introduit une nouvelle notion mathématique : l’intégration.

Après une première approche géométrique, l’introduction de la notion de primitive per- met d’élargir la définition et les possibilités de calcul. Quelques exemples d’applications sont donnés.

Sommaire

1. Prérequis

2. Aire et intégrale d’une fonction continue et positive sur [a ; b]

3. Primitives

4. Primitives et intégrales d’une fonction continue 5. Synthèse de la séquence

1 ^Prérequis

Aires

1. Aires usuelles

On considère des figures dans un plan où une unité de longueur a été choisie.

On sait calculer les aires déterminées par différentes figures géométriques : t aire d’un triangle : base hauteur×

2 ;

t aire d’un rectangle : longueur largeur× (remarque : quand un rectangle aura un côté parallèle à l’axe des ordonnées, on appellera ce côté la « hauteur » du rectangle, et l’autre côté sera appelé sa « largeur ») ;

t aire d’un trapèze : (petite base grande base+ )^×hauteur

2  ;

t aire d’un disque : π×rayon .²

2. Propriétés des aires

t Additivité

Pour calculer l’aire de figures moins simples que les précédentes, on peut décom- poser celles-ci en un certain nombre de figures dont on sait calculer l’aire. Par exemple, pour calculer l’aire d’une surface délimitée par un polygone, on peut décomposer celui-ci en un certain nombre de triangles. La somme des aires des triangles donne alors le résultat souhaité. La propriété utilisée s’appelle l’« addi- tivité de l’aire », elle est énoncée dans la propriété suivante.

On a l’habitude d’appeler « domaines » les ensembles de points du plan dont on calcule les aires.

Propriété

Si E₁ et E₂ sont deux domaines du plan dont l’intersection a une aire nulle alors l’aire de

E₁∪E₂ est égale à la somme des aires de E₁ et E₂ : Aire(E₁∪E₂)⁼Aire( )E₁ ⁺Aire( )E₂ ^. Dans la figure ci-contre :

Aire ABCD( )⁼Aire ABD( )⁺Aire BCD( )^.

A

Vocabulaire

D C A B

t Inclusion

Soit E₁ et E₂ deux domaines du plan tels que E₁⊂E₂ alors Aire( )E₁ ^≤Aire( )E₂ ^.

t Translation, symétrie

3. Domaines, aires et mesures

On confond parfois un domaine (une surface) avec une aire, ou une aire avec une de ses mesures.

On précise ici par un exemple la différence entre ces notions.

Un domaine est un ensemble de points du plan.

Des domaines, qui sont des ensembles de points différents, sont des domaines différents, mais ces domaines peuvent avoir la même aire comme trois des domaines ci-dessous qui ont chacun une aire égale à 12 carreaux.

E₁ E₂

Propriété Invariance par translation Soit une translation t_v et deux domaines du plan

E₁ et E₂ tels que E₂ soit l’image de E₁ par la translation t_v (c’est-à-dire que tous les points du domaine E₂ sont obtenus par translation de tous les points du domaine E₁). Alors les domaines

E₁ et E₂ ont la même aire :

Aire( )E₁ ⁼Aire( )E₂ ^.

E₂

v

E₁

Propriété Invariance par symétrie

Soit s_Ᏸ une symétrie axiale d’axe Ᏸ ^{et deux}

domaines du plan E₁ et E₂ tels que E₂ soit l’image de E₁ par la symétrie s_Ᏸ (c’est-à-dire que tous les points du domaine E₂ sont obtenus par symétrie de tous les points du domaine E₁). Alors les domaines E₁ et E₂ ont la même aire :

Aire( )E₁ ⁼Aire( )E₂ ^.

E₂ E₁

Ᏸ

Mesurer une aire, c’est lui associer un nombre en utilisant une aire de référence, l’unité.

Prenons l’exemple d’une aire A de 1 m². On peut écrire l’égalité

=1 m²=

A =10 000 cm² mais, bien sûr, les nombres 1 et 10 000 ne sont pas égaux.

Le nombre 1 est la mesure de l’aire A en m² et 10 000 est la mesure de la même aire A avec une autre unité, le cm².

Dans cette séquence, les intégrales sont des nombres et ces nombres sont utilisés pour mesurer des aires, l’unité étant souvent appelée « unité d’aire » ce que l’on note u.a.

Il arrive que, quelquefois, on confonde une aire avec une de ses mesures (comme on le fait très souvent pour les angles et leurs mesures en radians ou pour les longueurs et leurs mesures).

En sciences physiques, pour simplifier l’écriture, on écrit souvent les unités seule- ment à la fin de calculs qui ont porté sur des nombres.

Dérivation

Comme on le verra, les deux notions de dérivation et d’intégration sont très liées, on rappelle donc ici les formules essentielles qui doivent être connues.

1. Fonctions usuelles

Expression de f x( ) Fonction f définie

et déribable sur I Expression de f x′( ) f x( )=k, k constante réelle ^I= f x′( ) 0=

f x( )=x ^I= f x′( ) 1=

f x( )=x1 ^I=+*=]^{0 ;+∞}[ ^ou

I^{= −}*^{= −∞}] ; 0[ ^{f x′( )= −x}

1

2

f x( )= x ^I=+*=]^{0 ;+∞}[ ^{f x′( )=}₂¹_x

f x( )=xⁿ,n∈ ^{∗ I}= f x′( )=nxⁿ⁻¹

f x

x x n

( ) 1

n ,

= = ⁻n ∈ ^{∗ I=+*=}]^{0 ;+∞}[ ^ou

I^{= −}*^{= −∞}] ; 0[ ^{′ = − + = −}

f x n − −

x nx

n ( ) n

1

1

f x( ) sin= x ^I= f x′( ) cos= x

f x( ) cos= x ^I= f x′( )= −sinx

f x( )=e^{x I}= f x′( )=f x( ) e= ^x

f x( ) ln= x ^I=+*=]^{0 ;+∞}[ ^{f x′( )=}_x¹

B

2. Opérations

Dans le tableau ci-dessous, les fonctions u et v sont définies et dérivables sur le même intervalle I, k est un nombre réel ; dans les deux derniers cas, la fonction v ne s’annule pas. Alors la fonction f est dérivable sur le même intervalle I.

Fonction f Fonction dérivée f ^‘ f = +u v f′ = ′ + ′u v

f =uv f′ = ′ + ′u v uv f =ku f′ = ′ku f =v1 f_{′ =}− ′v

v²

f u

=v f′ = ′ − ′u v uv v²

3. Composition

Dans le tableau suivant, u est dérivable sur un intervalle I et vérifie éventuelle- ment certaines conditions. Alors la fonction f est dérivable sur le même intervalle I.

Fonction f Fonction dérivée f ^‘ Remarques éventuelles f x: f x( )=g ax b( + ) f′:x f x′( )= ′ag ax b( + ) La fonction g étant dérivable sur un

intervalle J, la fonction f est dérivable en x lorsque ax+b appartient à J.

u² 2u u′

uⁿ où ⁿ∈^* nu u_′ ⁿ⁻¹ 1

u − ′u

u^{2 u} ne s’annule pas sur I

1

u_n =u⁻ⁿoù ⁿ ∈^* − nu₊′ = − ^{− −}

u_{n 1} nu u' ^{n 1} u ne s’annule pas sur I

u u′

2 u

u est à valeurs strictement positives sur I

e^u u′e^u

lnu u′

u

u est à valeurs strictement positives sur I

2 Aire et intégrale d’une

fonction continue et positive sur un intervalle _{[ ; ] a b}

Objectifs du chapitre

Dans ce chapitre, on définit l’intégrale d’une fonction continue et positive sur un intervalle en utilisant les aires et on en étudie les propriétés.

Pour débuter

Avec les vitesses et les distances 

Un objet se déplace pendant 10 secondes à la vitesse de 3 m.s^-1. Quelle distance a-t-il parcourue ?

Un objet se déplace pendant 10 secondes. On peut seulement enregistrer les valeurs successives de sa vitesse v t( ) à l’instant t. On obtient les valeurs sui- vantes et on demande de donner une valeur approchée de la distance parcourue.

t 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 6 7 8 9

v t( ) 9 7,6 6,1 4,6 3,7 2,7 2,3 1,8 1,4 1,1 0,7 0,5 0,4 0,2 0,2 0,1 Un objet se déplace pendant 10 secondes. On peut seulement enregistrer, sur une représentation graphique, sa vitesse v t( ) à l’instant t.

Dans les questions précédentes, des produits d’une vitesse par une durée sont apparus. On interprète ces produits comme des aires de rectangles. En utilisant cette interprétation, donner une valeur approchée de la distance parcourue par l’objet.

O t

v(t) en m.s^–1

j i 1

1 10

en secondes 5

A

B

Activité 1

Aire sous la parabole

Cette activité propose une généralisation de ce qui a été fait dans l’exercice de synthèse VI de la séquence 1.

Le plan est muni d’un repère orthogonal O ;i j,

( )

Soit a et b deux nombres réels tels que 0≤ ≤a b. On se propose de déterminer la mesure I_{a b,} de l’aire sous la courbe repré- sentant la fonction carré sur l’intervalle

a b; ,

[ ]

Pour cela, on détermine d’abord l’aire du domaine E_a limité par la représen- tation graphique de la fonction carré, l’axe des abscisses, et la droite d’équa- tion x =a.

On partage l’intervalle 0 ;a

[ ]

n (où n est un entier supérieur à 1) sur lesquels on construit n rectangles situés sous la courbe et n rectangles contenant E_a comme l’illustre la figure.

O a/n 2a/n 3a/n 4a/n 5a/n 6a/n (n–2)a/n (n–1)a/n O

y = x² a²

a

On note u_n la mesure de l’aire totale des rectangles situés sous la courbe et v_n la mesure de l’aire totale des rectangles contenant le domaine E_a. On obtient ainsi deux suites (u_n) et (v_n) encadrant la mesure I_a de l’aire de E_a. Ainsi, pour tout n≥1, on a : u_n ≤ ≤I_a v_n.

a) Vérifier que, pour n≥1,u a

n k

n k n

=

=

∑

2 1 1

et v a

n k

n k

n

=

∑

2 1

. b) En admettant que, pour tout n≥1, k n n n

k n 2

1

1 2 1

= 6

∑

c) Calculer la limite de chacune des deux suites et en déduire la valeur de I_a. Par analogie, donner la valeur de la mesure I_b de l’aire du domaine E_b limité

par la représentation graphique de la fonction carré, l’axe des abscisses et la droite d’équation x =b. En déduire alors la valeur de I_{a b,} .

Activité 2

O j

i

y = x²

a b

E_a,b

Cours

1. Définition

On se propose de généraliser la notion d’aire à des domaines du plan liés à des fonctions.

Les fonctions utilisées ici sont des fonctions continues sur des intervalles.

Intuitivement, cela signifie que  les courbes représentatives sont formées d’un trait continu, ces courbes peuvent alors être utilisées pour limiter des domaines dont on mesurera les aires.

Le plan est muni d’un repère orthogonal O ; i j

(

)

On dit qu’une fonction f est positive sur un intervalle I si, pour tout x de I, f x( ) est positif : f x( )≥0.

a b

x 1

1

0 y

1 ua E Ꮿ

Soit f une fonction définie sur l’intervalle

[ ]

[ ]

On appelle intégrale de la fonction f sur

[ ]

Ce nombre est noté f x x a

b ( ) .

∫

Définition 1

L’aire du domaine E s’appelle aussi aire sous la courbe.

On a donc : aire( )E =

∫

C

Remarque

Et si, sur chaque axe, l’unité de longueur est égale à 5 cm comme dans l’acti- vité 2, on aura :

aire( )E =  d  25 cm .²

 ×

∫

L’intégrale de la fonction carré sur

[ ]

b ₂ ^{3 3}

∫

comme on l’a vu dans l’activité 2. Ainsi, par exemple, x² x

1

2 7

∫

t Le domaine E peut aussi être défini par un système d’inégalités  :

M x y a x b

y f x

; ( ).

( )^{∈ ⇔E }_{0≤ ≤}^{≤ ≤}

t Le nombre f x x a

b ( )

∫

t Les réels a et b sont appelés les bornes de l’intégrale.

t On dit que x est une variable muette. En effet, la définition de « l’intégrale de a à b de la fonction f » ne fait pas intervenir la variable et on pourrait s’en passer, mais il faudrait alors donner un nom à chacune des fonctions utilisées, ce qui serait bien compliqué. On préfère donc donner les fonctions par leurs expressions, on donne un nom à la variable mais ce nom n’a aucune impor- tance (seuls a et b, qui désignent les bornes, ne peuvent pas être utilisés).

Ainsi x x t t y y

a b

a b a

2 d b 2 d 2 d

∫

∫

∫

La notation « dx » a pour origine la largeur des rectangles qui ont été utilisés dans les premiers calculs d’approximation, cette largeur multiplie les valeurs prises par la fonction (comme on le voit dans l’activité 2). Cette notation est indispensable quand plusieurs lettres sont utilisées pour définir l’expression de la fonction (par exemple ke^−x) , « dx » indique alors nettement quelle est la variable.

Calculer les intégrales : I=

∫

1 t et J=

∫

∫

∫

tels que a≤b. M=

∫

4 t t .

Le plan étant muni d’un repère orthonormé, après avoir reconnu la courbe C représentative de la fonction f définie par f x( )= 1−x² sur

[

]

culer N=

∫

왘 Exemple

Remarques

왘 Exemple 1

Remarquons que, dans chaque cas, l’aire est mesurée avec l’unité d’aire donnée par le repère qui peut être orthonormé ou orthogonal.

La fonction que l’on intègre est une fonction constante, on mesure donc des aires de rectangle et on obtient  : I=

∫

J=

∫

L’intégrale K est la mesure de l’aire du triangle ABC :

K=

∫

L= + d = + + + × − = +

∫

t t b a 0 5

b a b

a

b 00 5 4

2

, )( )

a+ b a− . L’intégrale M est la mesure de l’aire d’un domaine que l’on peut décomposer

en deux triangles.

En effet, on a 2x− ≥ ⇔ ≥3 0 x 1 5, . Ainsi  : si 0≤ ≤x 1 5, alors 2x− = − +3 2x 3 et si 1 5, ≤ ≤x 4 alors 2x− =3 2x−3. La courbe représentative de la fonction f définie sur

0 4;

[ ]

Le domaine E défini par 0 4 0

≤ ≤

≤ ≤



 x

y f x( ) est colorié  ; son aire est égale à la somme des aires des triangles OAB et BCD.

On a donc :

M d OA OB

2

BC CD

2 2

=

∫

0

4 t t , ,

, .

왘 Solution

a i b

j –1

3

–2 O

i a b

j –2

B C

D E

F G

A –4

0,5a + 2 0,5b + 2

O

O j

i B C

A

D

Les points de la courbe Csont tels que y = 1−x², d’où x²+y²=1 et la courbe C est donc un demi-cercle de centre O et de rayon 1.

D’où N 1 x dx 1

2 1

2.

2 1

1 2

∫

= ₋ − = × π× = π

Dans le cas particulier où la fonction f est une fonction constante qui prend la valeur positive λ (cette lettre grecque se prononce « lambda ») sur tout l’intervalle a b

[ ]

∫

∫

O i

a b

j

h

2. Propriétés

Les aires permettent d’obtenir les propriétés qui suivent.

Propriété 1

Soit f une fonction définie sur l’intervalle

[ ]

[ ]

[ ]

∫

 Démonstration

Le domaine E est réduit à un segment dont l’aire est de mesure nulle.

Propriété 2 Positivité

Soit f une fonction définie sur l’intervalle

[ ]

[ ]

a

b ( ) .

∫

O 1

1

–1

Remarque

 Démonstration

La mesure d’une aire est un nombre réel positif.

Cette propriété est appelée « positivité » de l’intégrale, et il suffit de rappeler ce mot quand on utilise cette propriété.

Propriété 3 Comparaison

Soit f et g deux fonctions définies sur l’intervalle

[ ]

[ ]

[ ]

Alors f x x g x x

a b

a

( ) b ( ) .

∫

∫

i j

2

1

x' ^x

0 1 a b

y

y'

Ꮿf

Ꮿg

f

g

 Démonstration

Le domaine E_f défini par M x y a x b y f x

; f

( )

0 est inclus dans le domaine E_g défini par M x y a x b

y g x

; g

( ).

( )

0 D’où l’inégalité des aires : aire

( )

( )

a b

a

( ) b ( ) .

∫

∫

La comparaison des fonctions carré, xx et racine sur 0 1

[ ]

0 1

0 1

0

∫

∫

∫

O

y = x²

y = x

y = x j

y = x

Commentaire

왘 Exemple

Propriété 4 Relation de Chasles

Soit f une fonction définie sur l’intervalle

[ ]

[ ]

[ ]

f x x f x x f x x

a c

c b

a

( ) ( ) b ( ) .

∫

∫

∫

a y

c b

x f(t)dt

兰^ca

兰

f (c) f (a)

 Démonstration

Cette égalité résulte de l’additivité des mesures d’aires qui a été rappelée en prérequis.

Vous avez très probablement remarqué l’analogie avec la relation vectorielle AC CB AB

+ = , et vous retiendrez facilement que cette égalité entre des inté- grales est appelée « relation de Chasles ».

Cette propriété des aires et des intégrales a été utilisée dans le calcul de l’inté- grale M de l’exemple 1.

Notons µ cette valeur moyenne. On a donc

µ = _{b a}−¹

∫

∫

Le produit µ(b a− ) peut être interprété comme la mesure de l’aire d’un rec- tangle ABCD (il est indiqué sur la figure). Et la dernière égalité montre alors que la valeur moyenne de la fonction f sur l’intervalle a b

[ ]

[ ]

a 0 bb

Ꮿ_f

A B

D µ C

j

i

La valeur moyenne d’une fonction f défi- nie sur l’intervalle a b

[ ]

[ ]

b a f t t

a b

−

∫

Définition 2

Commentaire

Propriété 5 Inégalités de la moyenne

Soit une fonction f définie sur l’intervalle

[ ]

[ ]

a b; ,

[ ]

Alors m≤ ≤µ M, µ étant le valeur moyenne de la fonction f sur a b

[ ]

O i

a bb

Ꮿ_f

A

H m G

B D

M

C E F

µ

j

 Démonstration

On applique la propriété 3 à la fonction constante m, à la fonction f et à la fonction constante M. D’où : m b a f t t M b a

a

( − ≤)

∫

Et, en divisant par b a− qui est strictement positif, on a :

m b a f t t M

a

≤ b

−¹

∫

On peut retenir visuellement ces résultats assez facilement car les inégalités

m b a f t t M b a

a

( − ≤)

∫

Déterminer la valeur moyenne de la fonction carré sur l’intervalle I⁼[ ]1; 3 . On a : µ =

− =  −

 

 = ≈ 1

∫

3 1

1 2

3 1

3

13 3 4 33

2 1

3 3 3

t dt , .

0 j

j

0 µ = 4,33

Les aires colorées sont égales.

Commentaire

왘 Exemple 2

왘 Solution

3. Calcul approché d’une intégrale

d’une fonction continue monotone positive

a) Encadrement à l’aide d’un algorithme

On cherche à généraliser les méthodes évoquées lors de l’activité 2 à une fonc- tion continue, positive et monotone.

Soit f une fonction continue, monotone et positive sur l’intervalle [a ; b]. On note Ele domaine limité par la représentation graphique de la fonction f, l’axe des abscisses et les droites d’équations x=a et x =b.

On partage l’intervalle [a ; b] en n intervalles de longueur b a n

− (où n est un entier supérieur à 1) sur lesquels on construit n rectangles situés sous la courbe et n rectangles contenant E comme l’illustrent les figures ci-dessous.

Cas : f croissante sur

[ ]

0 a a+h a+2h b–h b 0 a a+h a+2h b–h b

Cas : f décroissante sur

[ ]

0 a a+h a+2h b–h b

0 a a+h a+2h b–h b

Dans le cas où f est croissante sur a b

[ ]

On obtient ainsi deux suites (u_n)et (v_n) encadrant la mesure f x x a

b ( ) d

∫

l’aire de E. Ainsi, pour tout n≥1, on a :

u_n f x x v

a b

≤

∫

En s’appuyant sur les représentations graphiques précédentes, on montre que :

u h f a kh

n f a kb a

n n k n

k n

=

(

)

=

−

=

∑ ∑

0 1

0

1 1

et

v h f a kh

n f a kb a

n n k

n

k n

=

(

)

= =

∑ ∑

1 1

1 .

Lorsque la fonction f est décroissante sur

[ ]

a b ( ) d

∫

a b

≤

∫

Propriété 6

Soit f une fonction continue, positive et monotone sur un intervalle [a ; b], (u_n)et (v_n),les suites définies par :

u_n h f a kh

k n

=

(

)

=

∑

et v_n h f a kh k

n

=

(

)

∑

. Alors : t si f est croissante, on a : u_n f x x v

a b

≤

∫

a b

≤

∫

Le logiciel Geogebra permet facilement de visualiser ces encadrements de la façon suivante.

La fonction f est définie sur un intervalle [a ; b].

t On crée un curseur n (entier prenant les valeurs de 1 à 50 par exemple).

t On entre s=SommeInférieure[ f, a, b, n] qui nous donne un minorant de f x x

a b ( ) d

∫

t Puis on entre S=SommeSupérieure[ f, a, b, n] qui nous donne un majorant de f x x

a b ( ) d

∫

En augmentant n, on obtient des encadrements de plus en plus précis de f x x a

b ( ) d .

∫

Cette propriété justifie l’algorithme suivant qui nous donne des encadrements d’intégrales dans le cas où f est positive et monotone.

Algobox Casio TI

On propose, dans l’exercice 4, de modifier cet algorithme pour obtenir un enca- drement d’amplitude fixée.

b) Valeur approchées à l’aide d’une calculatrice ou d’un logiciel de calcul formel L’algorithme précédent permet d’encadrer la valeur d’une intégrale, on peut donc en donner une valeur approchée, en prenant par exemple u_n+v_n

2 .

À partir d’algorithmes choisis pour leur efficacité (précision, nombres de pas dans les calculs), les calculatrices et les logiciels de calcul formel donnent des valeurs approchées d’intégrales.

t Avec une calculatrice TI-82-stats.fr

On utilise la touche MATH puis l’instruction 9 : fonctIntégr.

La syntaxe est fonctIntégr(expression de la fonction, nom de la variable, borne inférieure, borne supérieure).

Voici, par exemple, le calcul de x² x

0

1 d

∫

t Avec une calculatrice Casio 25+Pro On utilise successivement OPTN CALC

∫

La syntaxe est (

∫

Les calculs se font de façon approchée et la « tolérance » permet de choisir une précision plus ou moins grande. Il est possible de ne pas indiquer la valeur de la tolérance (la calculatrice utilisera alors 10⁻⁵) et de ne pas fermer la parenthèse.

t Avec un logiciel de calcul formel Voici un écran obtenu avec le logiciel Xcas.

La première instruction int(x^2,x) permet d’obtenir à la deuxième ligne une pri- mitive de la fonction donnée par l’expression x^2 où la variable est x, il s’agit donc de la fonction carré. (Avec l’instruction int(k*x^2,k) la variable serait k et on obtiendrait x *k^{2 2}

2 .)

La deuxième instruction correspond à l’intégrale x² x

3

5 d

∫

3 .

Construire un tableau de valeurs et la courbe de la fonction f définie sur 1 6

[ ]

t t ( )=

∫

x _{1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 6}

f x( )=

∫

왘 Exemple 3

왘 Solution