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William Lair, Sophie Bercu
To cite this version:
William Lair, Sophie Bercu. Estimation probabiliste de la durée de vie des transformateurs à partir de
la norme CEI 60076-7. Congrès Lambda Mu 21 “ Maîtrise des risques et transformation numérique :
opportunités et menaces ”, Oct 2018, Reims, France. �hal-02074136�
Estimation probabiliste de la durée de vie des transformateurs à partir de la norme CEI 60076-7
Probabilistic estimation of transformer lifetime with the IEC 60076-7 standard
William Lair et Sophie Bercu EDF R&D
7, boulevard Gaspard Monge, 91120, Palaiseau Résumé
D’après la norme CEI 60076-7 de 2005, le vieillissement du bobinage d’un transformateur dépend de la température du point chaud. Cette norme propose une méthode permettant, à partir de la charge et de la température ambiante, de calculer la température du point chaud et d’en déduire la durée de vie consommée d’un transformateur.
Nous cherchons dans cette étude à propager l'aléa du changement de régime de charge dans le calcul de la température du point chaud et de consommation de durée de vie. La modélisation probabiliste retenue est le processus markovien déterministe par morceaux (PDMP pour Piecewise Deterministic Markov Process en anglais).
EDF a développé un package Python appelé PyCATSHOO facilitant l'implémentation des PDMP dont les quantités d'intérêt sont calculées par simulation de Monte-Carlo.
Summary
According to the IEC 60076-7 standard, the aging of the transformer coil assembly depends on the hotspot temperature. This standard proposes a methodology which permits the calculation of the hotspot temperature from the load factor and the ambient temperature in order to compute the consumed lifetime. In this study, we want to determine the impact of uncertainty in transformer loading on the computation of the hotspot temperature and the lifetime consummation. For this we use a Piecewise Deterministic Markov Process (PDMP). EDF has developed a Python package called PyCATSHOO which simplifies the use of PDMP and its computation. Quantities of interest are computed with Monte-Carlo simulations.
Objectifs
L’objectif principal de ce travail est de proposer une méthode permettant de calculer des indicateurs d’aide à la décision pour la mise en place d’une stratégie de maintenance prévisionnelle des transformateurs. Un autre objectif est de mettre en avant le package PYCATSHOO (Chraibi et al, 2016) développé par EDF R&D pour l’analyse de système complexe.
Contexte
D’après la norme CEI 60076-7 de 2005, le vieillissement du bobinage d’un transformateur dépend de la température du point chaud. Cette norme propose une méthode permettant, à partir de la charge et de la température ambiante, de calculer la température du point chaud. Cette méthode se base sur la résolution d’une équation différentielle dépendant de paramètres intrinsèques au transformateur (constantes du modèle thermique, puissance exponentielle des pertes totales, puissance exponentielle du courant par rapport à l’échauffement des enroulements…). Dans l’idéal, ces paramètres doivent être estimés pour chaque transformateur étudié ; cependant, la norme propose, en fonction de la taille du transformateur, différents jeux de paramètres que nous avons utilisés dans notre étude. La norme prévoit qu’un transformateur vive 180000 heures, cependant elle n’intègre pas le comportement aléatoire de la charge. Cette durée de vie est valable si la vitesse de vieillissement est constante et égale à 1 autrement dit si la température du point chaud est constante (la valeur dépend du type de papier). Le régime de charge dépend d’événements aléatoires se produisant sur le réseau électrique (par exemple une défaillance de matériel du réseau nécessitant une reconfiguration). Un transformateur surchargé verra sa température du point chaud augmenter provoquant un vieillissement accéléré. En régime de fonctionnement normal, le transformateur vieillit peu ; autrement dit, en une année de fonctionnement en régime de charge normal, moins d’une année de vie est consommée. Lorsque le transformateur fonctionne dans un régime de charge de secours, la température du point chaud
du bobinage peut augmenter et atteindre des valeurs risquées accélérant le vieillissement. Modéliser les changements aléatoires de régime de charge permettra de calculer des indicateurs de décision tels que la fiabilité ou la durée de vie résiduelle. Ces indicateurs seront utiles car ils permettront de justifier le remplacement préventif des transformateurs au meilleur moment et ainsi de mettre en place une stratégie de maintenance prévisionnelle.
Que dit la norme CEI 60076-7 ? La norme CEI 60076-7 (CEI 60076-7,2005) fournit des modèles mathématiques pour juger la conséquence de différents régimes de charge d’un transformateur, transitoires ou cycliques, pour différentes températures du fluide de refroidissement. Les modèles estiment des températures de fonctionnement dans le transformateur, en particulier la température de la partie la plus chaude de l’enroulement. Cette température du point chaud est utilisée à son tour pour évaluer une valeur relative de la vitesse de vieillissement thermique et le pourcentage de la vie consommée dans une période de temps particulière. La modélisation fait référence aux petits transformateurs (transformateurs de distribution) et aux transformateurs de puissance.
1. Définitions
Régime de charge cyclique : Régime de charge avec des variations cycliques (la durée du cycle étant habituellement de 24h) qui est considéré en termes de quantité cumulée de vieillissement qui se produit pendant le cycle. Le régime de charge cyclique peut être soit un régime normal, soit un régime de charge de secours de longue durée.
Régime de charge cyclique normal : Une température ambiante plus élevée ou un courant de charge supérieure à la valeur assignée est appliquée pendant une partie du cycle, mais, du point de vue du taux de vieillissement thermique relatif (selon le modèle mathématique), cette charge est équivalente à la charge assignée à température ambiante normale. Ceci est réalisé en tirant profit des températures ambiantes basses ou des faibles courants de
charge pendant le reste du cycle de charge. Pour les besoins de planification, ce principe peut être étendu aux longues périodes de temps pendant lesquelles les cycles avec des taux de vieillissement thermique relatifs supérieurs sont compensés par des cycles avec des taux de vieillissement thermique inférieurs à l’unité.
Régime de charge de secours de longue durée : Régime de charge résultant de panne prolongée de certains éléments du système qui ne seront pas reconnectés avant que le transformateur atteigne, en régime permanent, une nouvelle température stabilisée plus élevée.
Régime de charge de secours de courte durée : Régime de charge exceptionnellement élevé à caractère transitoire (moins de 30 minutes) dû à l’apparition d’un ou plusieurs événements de faibles probabilité qui perturbent sérieusement le régime de charge normal du système.
Point chaud : En l’absence de définition particulière, par « point-chaud » on sous-entend le point le plus chaud des enroulements.
Vitesse relative de vieillissement thermique : Pour une température de point-chaud donnée, la vitesse à laquelle le vieillissement de l’isolation du transformateur est réduit ou accéléré comparée à la vitesse de vieillissement correspondant à une température de point-chaud de référence.
Durée de vie de l’isolation du transformateur : Durée totale entre l’état initial, pour lequel l’isolation est considérée neuve et l’état final correspondant au moment où, en raison du vieillissement thermique, des contraintes diélectriques, des contraintes de court-circuit ou des mouvements mécaniques, qui pourraient se produire en service normal, conduisent à un risque élevé de défaillance électrique.
2. Notations
k11, k21, k22 Constantes du modèle thermique K Facteur de charge
L Vieillissement total sur la période considérée
R Rapport entre les pertes dues à la charge à courant assigné et les pertes à vide x Puissance exponentielle des pertes totales
pour le calcul de l’échauffement de l’huile supérieure (dans la cuve) (exposant huile) y Puissance exponentielle du courant par rapport à l’échauffement des enroulements (exposant d’enroulement) V Vitesse relative de vieillissement θa Température ambiante
θh Température du point chaud
θo Température de l’huile supérieure (dans la cuve) à la charge considérée
Δθh Gradient du point chaud par rapport à l’huile supérieure (dans la cuve) pour la charge considérée
Δθhr Gradient du point chaud par rapport à l’huile supérieure (dans la cuve) pour le courant assigné
Δθor Echauffement de l’huile au sommet (dans la cuve) en régime permanent pour les pertes assignées (pertes à vide + pertes en charge)
𝜏𝑜 Constante de temps d’huile moyenne 𝜏𝑤 Constante de temps d’enroulement
Table 1. Notations pour le modèle thermique
3. Vitesse de vieillissement relatif et durée de vie de l’isolation du transformateur
Dans le paragraphe 6.2 de la norme, il est précisé que le vieillissement ou la détérioration des isolants est une fonction temporelle de la température et des teneurs en humidité, oxygène et acides mais quele modèle présenté ici est fondé uniquement sur la température des isolants.
Autrement dit, il s’agit d’une hypothèse de modélisation.
La vitesse de vieillissement relatif est définie, en fonction de la température du point chaud, selon l’équation {1} pour le papier non thermiquement amélioré et l’équation {2} pour le papier thermiquement amélioré. La vitesse de vieillissement relative est égal à 1 lorsque :
dans le cas du papier non thermiquement amélioré, la température du point chaud est égale à 98°C,
dans le cas du papier thermiquement amélioré, la température du point chaud est égale à 110°C.
𝑉 = 2𝜃ℎ−986 {1}
𝑉 = 𝑒
15000 110+273−
15000
𝜃ℎ+273 {2}
La consommation de durée de vie L correspondant à la vitesse V sur une certaine période de temps (entre t1 et t2) est égale à :
𝐿 = ∫ 𝑉𝑑𝑡
𝑡2 𝑡1
{3}
4. Calcul de la température du point chaud
La norme propose deux méthodes pour calculer la température du point chaud. Nous ne nous intéressons qu’à la méthode utilisant des équations différentielles (paragraphe 8.2.3. de la norme). La température du point chaud s’obtient en sommant la température de l’huile supérieure et le gradient du point chaud par rapport à l’huile supérieure, équation {4} :
𝜃ℎ= 𝜃𝑜+ ∆𝜃ℎ𝑟 {4}
La température de l’huile s’obtient en résolvant l’équation différentielle {5} :
𝑑𝜃𝑜 𝑑𝑡 = 1
𝑘11𝜏𝑜
[(1 + 𝐾2𝑅 1 + 𝑅 )
𝑥
∆𝜃𝑜𝑟− 𝜃𝑜+ 𝜃𝑎] {5}
Le gradient du point chaud par rapport à l’huile supérieure s’obtient en résolvant les équations {6], {7} et {8} :
𝑑∆𝜃ℎ1 𝑑𝑡 = 1
𝑘22𝜏𝑤
[𝑘21𝐾𝑦∆𝜃ℎ𝑟− ∆𝜃ℎ1] {6}
𝑑∆𝜃ℎ2
𝑑𝑡 =𝑘22
𝜏𝑜 [(𝑘21− 1)𝐾𝑦∆𝜃ℎ𝑟− ∆𝜃ℎ2] {7}
∆𝜃ℎ𝑟= ∆𝜃ℎ1− ∆𝜃ℎ2 {8}
La norme prévoit des valeurs limites pour la température du point chaud. Ces valeurs dépendent de la nature du transformateur et du régime de charge, voir Table 2. Un indicateur intéressant pourra être la probabilité de dépasser ces plafonds.
Températures limites
Régime normal 120°c
Régime de secours
longue durée 140°c
Régime de secours
courte durée 160°c
Table 2. Limites de la température du point chaud selon la norme 60076-7
D’après la norme, un transformateur peut vivre pendant 180000 heures si sa vitesse de vieillissement est constante et égale à 1 pendant toute sa vie. La norme, à travers les équations que nous venons de présenter, permet simplement de calculer à un instant t, la consommation de durée de vie d’un transformateur en fonction de l’historique de la charge et de la température ambiante. Cependant, elle ne permet pas de faire des projections dans le futur pour anticiper l’atteinte de ces 180000 heures de fonctionnement.
Pour réaliser ces projections, il est nécessaire de propager dans le modèle l’aléa lié au changement de régime de charge. Cet aspect est au centre de notre étude. Dans la prochaine partie, nous détaillons le modèle utilisé.
Modélisation du transformateur 5. Rappels sur les PDMP
Dans cette étude, nous propageons l'aléa du changement de régime dans les équations de la température du point chaud et de consommation de durée de vie. La modélisation probabiliste retenue est le processus markovien déterministe par morceaux (PDMP pour Piecewise Deterministic Markov Process en anglais) car il permet de modéliser conjointement la composante continue de notre système (température du point chaud) et la composante discrète (le régime de charge).
Les PDMP ont été conçus et étudiés par (Davis, 1984) mais c’est (Devooght, 1997) qui fut le premier à utiliser ce formalisme en fiabilité afin de résoudre des problèmes issus du domaine de la sûreté nucléaire. Un PDMP est un processus hybride (It,Xt)t≥0. La première composante It est discrète à valeurs dans un espace fini ou dénombrable E et décrit généralement l’état du système à l’instant t (par exemple marche ou panne). La deuxième composante Xt
est continue à valeurs dans Rd, elle décrit l’évolution des variables environnementales qui vont influencer et être influencées par le système (par exemple la température).
Les deux composantes sont en mutuelle interaction: le taux de transition d’un état i vers un état j dépend de la composante continue x, on le note a(i,j,x). Entre deux sauts de la partie discrète (It)t≥0, la trajectoire de (Xt)t≥0 est déterministe, solution de l’équation différentielle {9} qui dépend de l’état discret i. Lors d’un saut de It, de i vers j, la variable continue Xt peut aussi sauter et est distribuée selon une loi qui dépend de la composante discrète avant et après le saut et de la composante continue juste avant le saut.
Cette loi se note α(i,j,x)(dy).
𝑑𝑥
𝑑𝑡= 𝑣(𝑖, 𝑥) {9}
L’espace d’état de la variable continue peut être borné et admettre une frontière. Dans ce cas, quand Xt atteint cette frontière notée Γ, le processus peut sauter selon la distribution q(i,j,x)(dy).avec xΓ, qui dépend de l’état avant le saut, i et de l’état après le saut, j.
EDF R&D a développé un package Python appelé PyCATSHOO pour PythoniC Object Oriented Hybrid Stochastic AuTomata) (http://pycatshoo.org/) (Chraibi et al, 2016) facilitant l'implémentation des PDMP dont les quantités d'intérêt sont calculées par simulation de Monte- Carlo. Quelques applications ont déjà été traitées avec
PyCATSHOO : (Rychkov et al, 2017) et (Rychkova et al, 2017).
Une base de connaissance répondant à la problématique des transformateurs a été développée à l'aide de ce package. Ce script permet le calcul de la fiabilité du transformateur ainsi que des indicateurs probabilistes caractérisant la consommation de durée de vie au cours du temps (moyenne, quantiles).
Avant de présenter la modélisation du transformateur par PDMP, nous introduisons la modélisation retenue pour la charge et la température ambiante.
6. Modélisation de la charge, du régime et de la température ambiante
6.1. Modélisation de la température ambiante
Le pas de temps de la journée semble suffisant pour modéliser l’impact de la température ambiante sur l’estimation des indicateurs de fiabilité et de durée de vie résiduelle. La température ambiante moyenne journalière notée 𝜃̂𝑎(𝑗) est supposée déterministe et suivre la température normale de la zone géographique du transformateur. Elle est modélisée par une fonction sinusoïdale, voir {10}.
𝜃̂𝑎(𝑗) =1
𝑁(𝑤1+ 𝑤2𝑒2𝜋(𝑗−1)𝑁−1𝑁 ) {10}
Avec j = 1…N où N=365 et avec w1 et w2 des paramètres à estimer en fonction de données de températures normales fournies par MétéoFrance.
6.2. Modélisation du régime de charge
D’après la norme, le régime de charge peut être dans trois états : Normal (N), Secours Longue Durée (SLD) et Secours Courte Durée (SCD). Le passage de l’état N à un état de secours SLD ou SCD est la conséquence d’un événement aléatoire sur le réseau électrique. De même, le temps de retour à un régime normal est aléatoire. Nous supposons que ces durées aléatoires suivent des lois exponentielles.
Le schéma (markovien) représentant les transitions de régime de charge est visible dans la Figure 1. Chaque flèche représente une transition possible. Les paramètres des lois seront discutés plus tard dans ce document.
6.3. Modélisation de la charge en fonction du régime et de la température ambiante
En régime normal, la charge d’un transformateur dépend de la température ambiante et du type de jour (site RTE). Dans une semaine, on définit trois types de jour :
type 1 - lundi à vendredi,
type 2 - le samedi
type 3 - le dimanche.
Figure 1. Schéma markovien représentant les changements de régime de charge.
Cela vient du fait que le profil de charge est différent selon ces jours. On note T(j) le type du jour j. Nous supposons que la température ambiante a un impact sur le niveau journalier de charge et que le type de jour définit le profil horaire, c’est- à-dire l’évolution de la charge pendant la journée.
Nous commençons par décrire la prise en compte du type de jour dans le calcul de la charge. Pour chaque jour j, nous construisons un profil horaire de facteur de charge noté PK(h,T(j)) avec h pour heure qui dépend d’un profil générique (indifférent du jour de la semaine) et du jour de la semaine à travers un poids noté P(T(j)).
𝑃𝐾(ℎ, 𝑗) = (1
24∑ 𝑧𝑇(𝑗),𝑛𝑒2𝜋𝑖(ℎ−1)(𝑛−1) 24 24
𝑛=1
) 𝑃(𝑇(𝑗)) {11}
Avec 𝑧𝑇(𝑗),𝑛 et 𝑃(𝑇(𝑗)) des paramètres à estimer.
Dans un deuxième temps, nous calculons, à partir de la température ambiante moyenne journalière, notée 𝜃̂𝑎(𝑗), le niveau journalier de charge pour un jour j, noté 𝐾̂(𝑗) (le chapeau signifie que ces quantités sont calculées à la maille de la journée).
𝐾̂(𝑗) = 𝑎1+ 𝑎2𝜃̂𝑎(𝑗) + 𝑎3𝜃̂𝑎(𝑗)2 {12}
En régime normal, la charge à l’heure h du jour j s’obtient par le produit du profil horaire de charge et du niveau journalier de charge :
𝐾(ℎ, 𝑗) = 𝑃𝐾(ℎ, 𝑗)𝐾̂(𝑗) {13}
En régime de secours, nous supposons que la charge est augmentée d’une valeur déterministe. Au final, la charge dépend du régime et se calcule de la façon suivante :
𝐾(ℎ, 𝑗, 𝑅𝑡) = 𝑃𝐾(ℎ, 𝑗)𝐾̂(𝑗) + 𝐶(𝑅𝑡) {14}
Avec Rt, le régime à l’instant t. 𝐶(𝑅𝑡) est égal à 0 si le régime de charge est normal ; sinon cette quantité est à estimer. La Figure 2 montre une représentation schématique de la dépendance entre le régime de charge et la charge.
L’ensemble des paramètres des équations {10} à {14} sont à estimer à partir de données réelles sur un historique suffisamment long.
En résumé, la dépendance entre le régime de charge, la température ambiante, la charge et la température du point chaud est schématisée dans la Figure 3. La charge s’obtient à partir du régime et de la température ambiante (équations {11} à {14}). Le régime de charge évolue selon un processus markovien de saut. La température du point chaud s’obtient à partir de la charge et de la température ambiante (équations {4} à {8}).
La modélisation conjointe de l’évolution de toutes les variables décrites précédemment est possible par PDMP.
7. Modélisation par PDMP
La variable discrète du PDMP It, est ici le régime de charge du transformateur.
La variable physique du PDMP Xt est composée de plusieurs composantes dont la température du point chaud 𝜃ℎ et toutes les variables permettant de la calculer. Au final, la variable physique du PDMP est composée de :
La température du point chaud 𝜃ℎ
La température de l’huile supérieure 𝜃𝑜
Le gradient du point chaud par rapport à l’huile supérieure (dans la cuve) pour le courant assigné Δθhr
Les équations gérant l’évolution de ces variables sont {4} à {8}.
La charge K (que l’on considère constante par morceau d’une heure)
La température ambiante 𝜃𝑎 (que l’on considère constante par morceau d’une heure)
Les équations gérant l’évolution de ces variables sont {10} à {14}.
La durée de vie consommée, notée L. Cette variable qui s’obtient à partir de la vitesse de vieillissement {3} qui elle-même s’obtient à partir de la température du point chaud {1} ou {2}, permet de déterminer si le transformateur peut encore fonctionner à l’instant t. En effet, nous considérons que le transformateur fonctionne correctement tant que la durée de vie consommée est inférieure à 180000 heures.
Pour modéliser l’atteinte des 180000 heures, nous avons recours à la notion de frontière : dès que la variable L atteint 180000 heures, le PDMP s’arrête et le transformateur est considéré en panne.
Les taux de transition représentant le passage d’un régime de charge à un autre sont supposés constants et ne t
t N
SLD
+C(SLD)
-C(SLD) K
Figure 2. Représentation schématique de la dépendance entre le régime I et la charge
Régime
Figure 3. Représentation schématique de la dépendance entre le régime de charge, la température ambiante, la
charge et la température du point chaud
K θa
Régime
θh θa
dépendent pas des variables physiques du PDMP. Le taux de transition pour passer du régime normal au régime de secours longue durée est :
𝑎(𝑁, 𝑆𝐿𝐷, 𝑥) = 𝜆𝑁,𝑆𝐿𝐷 {15}
Après l’occurrence de cette transition, la charge augmente de C(SLD) ce qui se modélise par la mesure de Dirac suivante :
𝛼𝑁,𝑆𝐿𝐷,𝐾(𝑑𝑦) = 𝛿𝐾+𝐶(𝑆𝐿𝐷)(𝑑𝑦) {16}
La température du point chaud, la température du l’huile supérieure et le gradient du point chaud par rapport à l’huile supérieure sautent du fait du changement de la valeur de la charge. Elles sont mises à jour automatiquement en résolvant les équations du modèle thermique. De fait, il n’est pas nécessaire de préciser les lois de saut de ces variables.
Cela sera le cas pour toutes les transitions suivantes.
Le taux de transition pour passer du régime normal au régime de secours courte durée est :
𝑎(𝑁, 𝑆𝐶𝐷, 𝑥) = 𝜆𝑁,𝑆𝐶𝐷 {17}
Après l’occurrence de cette transition, la charge augmente de C(SCD) ce qui se modélise par la mesure de Dirac suivante :
𝛼𝑁,𝑆𝐶𝐷,𝐾(𝑑𝑦) = 𝛿𝐾+𝐶(𝑆𝐶𝐷)(𝑑𝑦) {18}
Le taux de transition pour passer du régime de secours longue durée au régime normal est :
𝑎(𝑆𝐿𝐷, 𝑁, 𝑥) = 𝜇𝑆𝐿𝐷,𝑁 {19}
Après l’occurrence de cette transition, la charge diminue de C(SLD) ce qui se modélise par la mesure de Dirac suivante :
𝛼𝑆𝐿𝐷,𝑁,𝐾(𝑑𝑦) = 𝛿𝐾−𝐶(𝑆𝐿𝐷)(𝑑𝑦) {20}
Le taux de transition pour passer du régime de secours courte durée au régime normal est :
𝑎(𝑆𝐶𝐷, 𝑁, 𝑥) = 𝜇𝑆𝐶𝐷,𝑁 {21}
Après l’occurrence de cette transition, la charge diminue de C(SCD) ce qui se modélise par la mesure de Dirac suivante :
𝛼𝑆𝐶𝐷,𝑁,𝐾(𝑑𝑦) = 𝛿𝐾−𝐶(𝑆𝐶𝐷)(𝑑𝑦) {22}
Pour calculer les taux de transition d’un état i vers un état j sur des données, il suffit de compter le nombre de transitions observées de i vers j et de diviser par le temps passé dans l’état i.
8. Quantités d’intérêt
Le premier indicateur calculé est la fiabilité R(t). Il s’agit de la probabilité qu’au temps t, le transformateur n’ait pas encore subi de panne. Nous considérons qu’un transformateur tombe en panne quand sa durée de vie théorique 180000 heures est épuisée. Pour rappel, 𝐿𝑡 est la durée de vie consommée jusqu’à l’instant t, la fiabilité s’écrit de la façon suivante :
𝑅(𝑡) = 𝑃(𝐿𝑡≤ 180000ℎ) {23}
Un autre indicateur intéressant est la durée de vie consommée L du transformateur au cours du temps. Cette quantité étant aléatoire, nous calculons sa moyenne et des quantiles à 5%. Le quantile supérieur, respectivement
inférieur, à 5% à l’instant t correspond à la valeur telle qu’un transformateur a une probabilité égale à 0.95 d’avoir consommé moins, respectivement plus, de durée de vie.
La dernière quantité qui nous intéresse est la probabilité de surchauffé à l’instant t notée S(t), c’est-à-dire la probabilité que la température du point chaud dépasse les valeurs préconisées dans la Table 2.
𝑆(𝑡) = {
𝑃(𝜃ℎ≥ 120°𝑐) 𝑠𝑖 𝐼𝑡= 𝑁 𝑃(𝜃ℎ≥ 140°𝑐) 𝑠𝑖 𝐼𝑡= 𝑆𝐿𝐷 𝑃(𝜃ℎ≥ 160°𝑐) 𝑠𝑖 𝐼𝑡= 𝑆𝐶𝐷
{24}
9. Exemple numérique
Soit un transformateur pour lequel nous disposons de l’historique de température ambiante, de charge et de changement de régime de charge. Les paramètres que nous retenons pour réaliser cet exemple sont visibles dans les Tables 3, 4 et 5.
Pour des raisons de confidentialité, nous ne partageons pas les paramètres des équations {10}, {11} et {12}. Cependant, pour illustrer ce qu’on utilise, nous affichons les graphiques représentant l’évolution de la charge et de la température ambiante avec les paramètres retenus (Figures 4 à 6).
k11 1
k21 1
k22 2
R 7.67
x 0.8
y 1.6
Δθhr 57.9
Δθor 51.8
𝜏𝑜 180 minutes
𝜏𝑤 4 minutes
Table 3. Paramètres d’entrée du thermique
𝜆𝑁,𝑆𝐿𝐷 0.2 a-1
𝜆𝑁,𝑆𝐶𝐷 0.01 a-1
𝜇𝑆𝐿𝐷,𝑁 4 a-1
𝜇𝑆𝐶𝐷,𝑁 17520 a-1
Table 4. Paramètres (fictifs) des lois de transition de la variable discrète du PDMP
C(SLD) 0.5
C(SCD) 0.8
Table 5. Paramètres (fictifs) d’augmentation de la charge en fonction du régime
Figure 4.Evolution de la température ambiante sur un an
Les temps de calcul étant assez longs, nous avons simulé (au sens de Monte-Carlo) seulement 1000 histoires pour obtenir les résultats que nous présentons. Cependant, il semble que cela ait suffi pour obtenir des résultats qui ont convergé. Nous n’avons pas calculé les intervalles de confiance par manque de temps mais en reproduisant plusieurs fois les calculs, nous obtenons des résultats similaires. Le transformateur est simulé sur une période de 60 ans. Les calculs ont duré 69h sur un PC équipé d’un processeur Intel(R) Xeon(R) CPU E3- 1240 v3 @ 3.40GHz et 16 Go de mémoire RAM. Les calculs ont été parallélisés sur 6 processus à l’aide du package MPI.
La Figure 7 représente la fiabilité en fonction du temps sur 60 ans de fonctionnement. On observe que la fiabilité reste à 1 pendant les 10 premières années de fonctionnement traduisant que le transformateur ne consomme jamais toute sa durée de vie théorique pendant cette période. Après 10 ans de fonctionnement, la fiabilité diminue progressivement pour
atteindre (à peu près) 0.6 à 60 ans. Cela traduit qu’un transformateur du type modélisé a une probabilité égale à 0.4 de consommée la totalité de sa durée de vie sur 60 ans de fonctionnement.
Le prochain indicateur calculé est la durée de vie consommée du transformateur au cours du temps. Nous calculons sa moyenne et des quantiles à 5%, visibles dans la Figure 8. Le quantile supérieur en rouge, respectivement inférieur en bleu, à 5% à l’instant t correspond à la valeur telle qu’un transformateur a une probabilité égale à 0.95 d’avoir consommé moins, respectivement plus, de durée de vie. En cohérence avec le graphique précédent représentant la fiabilité, ce graphique montre qu’au bout de 30 ans le transformateur modélisé a une probabilité supérieure à 0.05 d’avoir consommée toute sa durée de vie et donc d’être en panne. Il est intéressent de remarquer qu’en moyenne, un transformateur ne consomme pas la totalité de sa durée de vie théorique en 60 ans de fonctionnement mais seulement 15 ans (sur 20.55 ans correspondant aux 180000h).
La Figure 9 représente la probabilité que le transformateur modélisé subisse une surchauffe en fonction de la durée de fonctionnement. Il est intéressant de remarquer que cette probabilité augmente au cours du temps. Les pics visibles sur cette courbe représentent les périodes estivales pendant lesquelles la température ambiante est plus élevée ce qui accentue le risque de surchauffe du transformateur.
Figure 8. Durée de vie consommée sur 60 ans
Figure 9. Probabilité de surchauffe sur 60 ans Figure 5. Profil de charge par type de jour
Figure 6: Evolution de la charge sur une semaine
Figure 7. Fiabilité sur 60 ans
Conclusions
Les résultats exposés dans ce document montrent que la base de connaissance codée à l’aide du package PyCATSHOO donne un moyen d’obtenir une évaluation de la durée de vie d’un transformateur en se basant uniquement sur la température du point chaud du bobinage. En considérant les paramètres utilisés pour cet exemple, (qui sont fictifs mais crédibles), le comportement semble cohérent avec ce qui est observé des transformateurs actuellement en exploitation.
Une autre utilisation peut être faite de cette base de connaissance : pour un transformateur en particulier, si sa durée de vie consommée est connue au moment de l’étude, il est possible de calculer la loi de sa durée de vie résiduelle, ou RUL en anglais (pour Remaining Useful Life). Cet indicateur est très utile pour mettre en place une stratégie de maintenance prévisionnelle consistant à réaliser des maintenances préventives au meilleur moment, soit juste avant une défaillance.
Perspectives
En perspective, il pourrait être intéressant de développer une procédure permettant d’estimer automatiquement les paramètres des équations différentielles pour chaque transformateur ce qui éviterait d’avoir recours aux paramètres de la norme.
Dans cette étude nous avons considéré que lorsque le régime de charge est connu, la charge évolue de manière déterministe. De même, nous avons supposé que l’évolution de la température ambiante était déterministe.
Une perspective d’amélioration de ce travail serait de rendre l’évolution de la charge et de la température aléatoire.
Les équations de la norme CEI 60076-7, permettant le calcul de la consommation de durée de vie, ne prennent pas en compte deux phénomènes pouvant accélérer significativement le vieillissement : l’encrassement de l’aéro et l’augmentation de l’humidité dans l’huile.
Une autre piste à explorer consiste à remplacer le modèle physique d’évaluation de la température du point chaud de la norme par un modèle statistique de type régression non linéaire. Cela permettrait de faciliter les calculs de consommation de durée de vie et de réduire les temps de calculs de simulation.
Références
Chraibi H., Houdebine J. C., Sibler A., 2016, PyCATSHOO: Toward a new platform dedicated to dynamic reliability assessments of hybrid systems. PSAM.
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RTE : https://www.rte-france.com/fr/eco2mix/donnees-en- energie.
