HAL Id: hal-00141218
https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-00141218
Submitted on 12 Apr 2007
HAL is a multi-disciplinary open access archive for the deposit and dissemination of sci- entific research documents, whether they are pub- lished or not. The documents may come from teaching and research institutions in France or abroad, or from public or private research centers.
L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est destinée au dépôt et à la diffusion de documents scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, émanant des établissements d’enseignement et de recherche français ou étrangers, des laboratoires publics ou privés.
Approximation of the distribution of the supremum of a centered random walk. Application to the local score
Marie-Pierre Etienne, Pierre Vallois
To cite this version:
Marie-Pierre Etienne, Pierre Vallois. Approximation of the distribution of the supremum of a centered random walk. Application to the local score. Methodology and Computing in Applied Probability, Springer Verlag, 2004, 6 (3), pp.255-275. �10.1023/B:MCAP.0000026559.87023.ec�. �hal-00141218�
! &! %')(* +,- ./-0132
04#(*#5670#8(*-09:(*%%2
;3<>=@?BADC?EA=@=FAHGJILKMGON NPG Q4RSC?EA=@=FADTU VWV:XPKZY\[
]_^a`cb>dfeg`@hidfjkemlJnhm`@hmjkophmjkqrsll_h:t:lZuvdfw*l
x dfrsey{z4ei|P}v~sf}fLs`cMl slMohilMemeg`coiomlMo
vZfc*y{z4ei|#~veg`cusMl
y{w,`cjkS{H`ceijklMjklMemeil#yhmjklMusuvl@:flMusdf>dfklfMusemoZEe
p
usoihijhirvh: vlJH`@hilMw,`@hijkq4rslMoykjkl\`cephg`cu~
uvjz#lZeiomjh4lWlMuseijSdfjkusZ`ce4lf
S}ffv~>c#ff¡£¢`cus sdlMrvzveil^¤lMo:¥W`cus_|D¦lM sl_§¨~>eg`cusMlf
y{w,`cjkS{jklZeiemlf¢`ckkdfjko_:jklMMurv©u`cuvM|#Be
YaAªa«@A¬%A=P®SR¯>°±°¨®
²-³\´cµc¶#·¸vµ
¹{º@»¼©½D¾¿¾¨ÀaÁH º-Ã+ÄMºfÃÅWÄZÃÆÈDZÉ4ÊÌËÃÅÎÍ"Ïg»ZÃÄ_»MÐÆÑÒÃ#»DÓ>Ô¦ËÐk»MÕÖcºcÆ»Mº@ÄMºfÇ"ÐÎƨ×
Ö@ÄMºcÊHºcÆ»MÏ Â ÉvرÆÈDZºcÇ ÂÙ ÃÚÖcÉ4ÆÏg»ZÃ4Æ»ÛÜ8ÝÕº-Ê-Ã4ÐÆÄMº@Ï_ØÅk»DÉÞ»MÕÐÏÏg»MØÇ Ù ÐÎÏ-ß
àáâäãDå
¾
æ çéèëêìí
áâëã¨î
Ï_رï
Á@ðÈñ>ð{òó
ñ
è3êÈì à>ôäõ
¼
ç\ö
ÛÒ¿c÷
ÅÆ
ç
ç
Ô#ËÕºFÄMº
êøè Ó¨Ô
îù
ÐÎÏ\»MÕ±º:ú4ÃÄMÐÎÃ4ƱÖcºÉ4Þ±»MÕºÐÆÖFÄMºcÊHºcÆ»MÏcÔ
å ¾ ÐÎϦ»MÕ±ºÏ_Øï¨ÄMºcÊرÊûÃ#»\»MÐÊHº
ç
É4ÞÈ»MÕ±º:ÄZÃ4ƨ×
DZÉvÊüËÃÅÍSÔS¼
ó ñ ö_ý
è
Óv¿ÐÏÃ*Ïg»ZÃÆÈÇÃ#ÄZÇHÅÎÐƱºfÃÄþÄMÉ#ËƱÐÎÃ4Æ%ÊHÉ4»MÐÉvÆ-ÃÆÈÇ õ ¼
ç\ö
ÛÒ¿
ÐÎÏ£Ã4ÆÚº@ÿ¨ï±ÅÎÐÖcÐk»£ÖcÉvƱÏg»ZÃ4Æ»fܺ Ã4ÅÏ_É-ï±ÄMÉ#úsº*»MÕûJÐÎÆø»MÕ±º,ï±ÄMºcú>ÐÉvرÏJÐƺ>ØÃ4ÅÐk» Ù å ¾
ÖfÃ4Æ
Â
ºLÄMº@ïÅÎÃ4ÖcºcÇ
ÂÙ
»MÕº*ÅÉÖfÃ4Å{Ï_ÖcÉ4ÄMº ÃÆÈÇÏ_Øï
Á@ðÈñ>ð{òó
ñ
ÂÙ Ï_Øï
Á@ðañðò àó ñ àÜ
LY¨= !OA4¬%A"a?$#%{RS=@<#&±¬('£<)*¦R)$+4<),!+±=FA±Ra¬ø<-a?B¬.S¬0/
U ;3Y¯¨°¨°¨°øY.S1MA"+f«2+3)E<!!F?*45+<>«F?$#&!
6 °7:°98aR 6 °7;:<ÈR 6 °=>:<aR 6 °=@?°SR 6 °9=A8>°R 6 °B 6 8/
VA« O{A£<2!FA9.SA3#5+#AS?/?/ /:=c<#&±¬<¨=F?<>)EA"!4R '*?ΫA4= ¬+Av<#%<#&<>=@?<#&+A
/ A aA"#>«@AH "!#$! &% «A-<!!+#?<«@A"8=@<#&¨¬ 'L<)$('
%*) °#+ "! ) !
,
.-/
+ 021 :3 :/$:4
:4øI A 'JA")*)29#&' # +A3#«F=c<)2)B?E¬ø?ΫҫSA3±=FA4¬576£VaI8+«FA")*)! .5!ø«<>«9¨=8A¨A4=:<;ü?$#
=£R )B?E¬"!>@?ûKCBADCFE
GH
!
1I;KJ ) KC(LM1<;N ' A=@ALÌ?$!P<OPi°#+3:Q7R =D<.&!!F?E<#=c<#5¨¬
<>=@?E<¨)EA/ K #3ªS=@<+f«@?$+A-?ΫD?!2©«FA3#ë?B¬øª ¨=F«@<#±«P«"A"!Z«F?E¬ø<>«FA%«SA+=@<>«FA +#±A=%¨A"#&+#A/
V,#SA±AT:UV£?$)
6XWQY
<#5ZUV,\[A<^]
Y
ª,/k¯
WW
{<!LªS=_¨A ('
` KCba
!
dc
0
1I;\egf KC(hLi1I;&
`kjml KGon
`
4
`prq
c 0 s
;utu=+0o1 : s :/k¯
' SA4=FA
l
?$!*<+#&!Z«@<#« /
¯HY.SªSª !FA #' «<« '£AÒ<>=@Aø?*#«@A=@A"!Z«FA" ?$# «SA8<!Ȭøªa«>«F?+øA3<QÈ?$.S=Awv!¦R<!
0 %ÈA !-«3?$#4&#S?B«$¨Rxv! ) ¬Ú<- %yNy !z / I SA{6£VaI ?$!#>«! .#| +?BA"#«4R '£A #SA4A"9<
.#&+#«F?$#<) +#}±A=%¨A3#5+#A*=@A"!.)Ϋ~2#&!±A= !O«A3¨=@A¬UV£?*)6WQY ª,/6W fR' S?+8?E¬øª)B?EA"!'
)E?E¬
!>@?
KC a v!
dc
0
1<; e ) KC a !.Sª
%y&Xy#
1B; e s
;u1û°\+ :/®X
' SA4=FA"
*
+1û°J?$!,<!Z«@<#&S<>= #SAAa?E¬øA3#&!F?*#<)V£=' #S?<#8¬¨«F?$#0!M«c<>=F«FA"<« °&/
YÈ?$#&+#A !.Sª
%y&Xy
3<#&
` `
<>=@Aø?$aA"#«F?+<)$) a?!M«@=F?E.a«@A"\RW«SAÚ=@?$%«A<#&R !F?$SA>
:/®;+<#AHA4<!F?$). +3¨¬øª.a«@A" /
U ªS=@?*±=F?£«A=c<«@A0^@+3#}¨A4=%±A3#&+A ^KC Au^E
G H !
1<; J « KC!.Sª
%y&Xy
91<;N?$!
.##' # /
®XJK #U~GT°¨° YRa¬>«@?.<>«FA"}ÒS?$)$%±?$+4<) +#&!Z?aA4=@<>«F?$#&!4R'JADA"!Z«@<¨)E?$!SA"<!Z?E¬ø?*)<>=
)B?E¬
!>@?
KC a
!
dc
0
1<; e ) KC(
1<;&
s
;u1°#+ :/?
' SA4=FA ! )
¬Ú<-
%yNy
h
fZ
"<#&
)
!.Sª
%y
y
` `
/*A"+4<)$),«<««SA
aA"#&!Z?B«$ .&#&+f«@?*# ^
+4<#{A3A-aªS=@A"!!ZA 9«S=.% !FA=@?BA !u+ 9UV*Y]
6QY Rª,/*:"?
6
<#5
<#&#SA-"U ?$#U~GT°¨° Y /
I SA+<#<).!F?$!2^ %¨A"#SA#«@?$+ !ZA4.A3#&+A"!P=FA4.?B=@A"!,<8ªS=@A"+#?!FA-A"!Z«F?E¬Ú<«FA^KCIA E
GH
!
1I;KJ /
'£A±A=D«SAÒ=c<«FA aA"+4<Q ^w0
`KC A FE
GH
!
1B; J f KC(
1I;&
`
?$! .##' #,/
I SA4=FA¨=@AP?B«! #' )EA"%¨A@' .)$"AA.&!ZA.)/
?£I SA-<¨?B¬ ^:«S?! ';¨=Ú?$!£« %¨?¨ADA¦A"+#«F?¨AD5.#&!*«
! v ) ` KC a v!
dc
0
1I;
e f KC a
!.Sª
%y&Xy 1B;
e `
<#5Ò«
! ) ` KC a
!
dc
0
1I; e f KC a ! .Sª
%y&Xy
` `
1<; e `3
AHªS=_±AD+ :«SA"¨=@A¬ ! :H<#&¯J«SA )$)$'*?*#%+?$#SA9.<)B?B«$('
! j l
)*#w0
0 +
' SA4=FA ) v ¨= <#&
l
?$!P< +¨¬øª.S«@<>&)BA +3#&!Z«@<#« ' S?$+ #) aA4ª{A"#&!2^«SA
)<' ^z /
VA« .&!0aA«@<¨?*)P«SA ¨=%±<#S?4<«@?*# ^H«Aëª<¨ª{A4="//K # !FA"+#«F?$# ¯ 'JA aA4<) '*?B«'«SA
!.SªS=@A¬ .¬ < +#A3#«@=FA 9=c<#&±¬ '£<)* <#5 «A3# 'JA<S<¨ªa««SA<#<).!F?$!<#5)BA
«A )$+<) !+¨=@A/:K # !FA"+#«F?$#®SR'JA@+SA"++«SA<+3+3.S=@<+r>^ª=FA?$.5!O .#5!J«S=.%
#.S¬øA=@?$+4<)«FA !M«!3/
&!
:4PVA«9$%AÒ< !FA9.SA"#&+#A>^£?/?/ /+ .#&SA"ë=@<#&¨¬<¨=F?<>)EA"!@'*?B«ä°8¬øAv<#,/
A !ZA«
%*) °\+5 "! ) !
,
.-/
+ 021 :3 i¯/$:4
A aA3#¨«FAD}
«SA<>=@?E<#&+#A@^F <#5 '£AH<!! .¬+A '
`
!
`}j
+N021 :3 i¯/k¯
I SA¬Ú<>?$#?$SA4< ^ .=Ò<>ªSªS=±<+é?!ø« A4¬%A" «A=@<#&±¬ '£<)* "!\$! K% ?$#<
V£=' #?E<#¬>¨«F?$#,/DI SA+=@<#&±¬ 'L<)$ "!\$! K% +<#3{Aø<+#«.<)*) +#5!Z?aA=@A"3<! <
V£=' #?E<#8¬>«@?*# !Z«±ªSª{A <«,<#?$#&+#=@A4<!Z?$#%!ZA4.A3#&+A@ !Z«±ªSªS?$#%ø«F?E¬øA"!"/
A+=@A"+4<)$){A")*' «SA !+SA¬øAø?$#±«@=.5+#A"ë}ëY¨= UY 6 8 Y ' S?+ä<)$)*' !P«
=@AªS=@A"!FA3#«%«SA=c<#&±¬ '£<)*b
! !
&%<!{
E
+0 1 °fR' A=@AZ
+: 1 °X?!+<
!Z«@<#5S<>= #SA a?E¬øA3#&!F?$#<)*V£=' #?E<# ¬>«@?*# !M«c<>=F«FA û<>«"°SR*<#&P ! ! K%3?!Ò<#
?$#&+#=@A4<!Z?$#% !FA9.SA"#&+#A0@!Z«¨ªªS?*#&%3«@?B¬øA"!"/ I S?!ø=FA4ªS=FA !ZA"#«@<«@?*#9?!+«SA ±A ^@.S=
<>ªªS=<+,/
¯*K7 ?$!<ÚªS=¨<¨S?$)B?B«$8¬øA4<! .=FA #(= +#A"#±«@=FA <#& <QÈ?*#%Ò< 4&#S?B«FA 4=!Z« ¬¨¬øA"#±«
?/A
`; ` ;&6<#& ; ;& ) °X 'JA 9#&'m:UU <_] Y <#&UT<)W ® Y*«<«
«A=@AA3-a?$!Z«!*< !Z«±ªSªS?$#%+«F?E¬+A !.&+8«<«
«SAA)<' ^
?$!+ i¯/®X
<#5
+1û°J?$!,<>.#?±=F¬)Ò?*#«@A3%¨=c<>&)BAD¬Ú<>=F«F?$#%±<)BA/ i¯/?
K#9p<+f«L? <!£< +3¨¬øª<+f« !.Sªª5±=Z«£?*#&+3)*.5aA"8?*#ZUf + Y Ra¬Ú<-a?E¬ø<){?$#SA4.{<)E?Ϋ$Ú<#5
i¯/?}J?B¬øª)2'
j + i¯/8
' SA4=FA
)
?$#1°#+
`
*
` 1
/
6 #}±A=!ZA").ui¯/8XJ?B¬øª)E?BA !@i¯/?} /
K# .=%<>ªSª=<+ 'JA #). aA4<)'*?B« =c<#&¨¬ 'L<)$ {<Q?$#% .#&SA"ä?$#&+#=@A¬øA3#«!3/
I SA"# 'JAJ=FA !M«@=F?+f« .S=!ZA")È« ªS=¨<¨S?$)B?B«$P¬øAv<!.S=FA !,'*?B«>+¨¬øª<+f« !.SªSª ¨=F«4R±=/V£='zR
#S?<#0!M«¨ªSª?*#%+«@?B¬øA¨A4=F?.È?*#&%{m¯/8/
VA« ÚA«SA !ZA« ^DªS=¨<¨S?*)E?B«$é¬øA4<! .S=@A"!#b=£RA'*?Ϋ +±¬+ª{<+f« !.SªSª ¨=F«8<#5
+#A"#«F=@A" /F A aA3#¨«FAH}2 d:<Tp<>¬ø?$). ^ !M«¨ªSªS?$#%+«F?E¬øA"! !.&+«{<«'
+ v/d Uf + Y+ d
j 3 i¯/6
K#ª<>=F«F?+.&)E<¨=£?. ëA3)$#%9!£«! R'£AA<Q±A «SAA.&!FAr.)?aA"#±«@?Ϋ$'
KG#"
$%
'& ) KGuU( dY g3 i¯/<^
A #SAA 9<0)E?ΫF«)EA8S?B«¬¨=@Aø«{<#bi¯/
6
fR '£A8<!!.¬+A) <!D«SA9)*)$'*?$#% !+4<)E?*#&%
ªS=¨ªA=F«$u'
"
+*
)-,
"d +z±=,<#} ,/. °\+ i¯/W
' SA4=FA 0L?!L«AH?B¬Ú<%±A ^ }9;21 , ; /
I SA+«';p<¨¬+?$)E?BA ! ^ !Z«±ªSªS?$#%«F?E¬+A !AaA45#SA"ë}BUU <_] Y <#&IUT<)W ® Y ¨A4=F?.«SA !ZA
ªS=¨ªA=F«F?EA"!"/
;& ) KG "
A
f : J & + . °#+*°
j ; j
W 3 i¯/]X
A<¨=FA #&'ü<>)EA,«>!Z«@<>«FA,«SA¬ø<¨?*#"=FA ! .&)Ϋ;^\«?$! !FA"+f«@?*#R+#&+#A4=#S?$#%H«SAD<!:¬øªR
«¨«F?+{A"<QÈ?*.S= ^vëR<! %ÈA"!£«+?$#4&#?Ϋ$±R' SA=@A@v ) ¬Ú<-%y&y "/
VA«%1¯+<#&
!
)
#"
/
<XLI SA4=FADA3-È?!Z«!z;
$%4t
q ° s " W n !.&+«<>« '
)*#%
% j ;
$ % % ;
& % + m¯/$:4°
)$#%
% j
F^;
$%4:
p('
8fä¯
)
9®* ;
$ % :
3 m¯/$::Q
K 7±=,<#}+ 1,%±R
`KC a v
c
1<; e f KC a !.Sª
%y&Xy#
1 ; e
`#j
)*#
-l
$P + m¯/$:v¯X
' SA4=FA
-
l
&P ) ¯
c ¯ :
c
)$#
¯
c
)$#
¯
*.
'
8® f )
/ ;
& % gm¯/$:4®
0
/12435
I A .#&+f«@?*#6 ?! #' #'
;& )87 ;& f 7 i°X )87 ;&f
8® + ° j ; " W m¯/$:3?}
' SA4=FA 7 ;& ) KG n
!
q ) : "
+3!N
c
¯^;&
s
;(t n° s
4"
W n 3
I SA4=FA¨=@A '£A +<# 4&#&>#.S¬øA=@?$+4<)$).;
&%Qd±A=@?È?$#%"i¯/*:v°XW<#& i¯/*::4:<#&
-
l
&P
?!LA-aª)E?$+?Ϋ !ZA4A !ZA +f«F?$#®X/
V£=' #?E<#¬>«F?$#I#<¨¬øA3)B$f
*
K%
+*
)
*
&%4#R '£A+<¨=FAø<)$)*'£A"«0! .S5!M«@?Ϋ.a«FA
¬ø?*#\%yNy!b "?$#±«9v ?$#i¯/$:v¯X /
X .S=!+A¬øA SA¨A")*±ª{A ±=%«SA¬ø<-a?B¬.S¬ ?$!+=@?$+éA3#.%é« {A<>ªª)B?EA"9«ë«SA
)$+4<),!+±=FA !#$! K% /I S?$!Lª=+#A !!L?! aA34&#SA"}2'
! ) ¬Ú<-
%yNyry ! fZ ) ¬Ú<-
%yry ! a f ¬+?$#
%y&y
e 3 m¯/$: 8X
I SAH<#{<)$%>^I SA3±=FA4¬ :D?*#}).È?$#%«SAA)$+<),!+±=FA?!L«SA )*)$'*?$#% '
VA« % 1¯+<#&
!
)
#"
/7±=,<#}+ 1, % R
KCga
c
1<;KegfëKCga
!.Sª
%yNy
` `
1I;\e
j
l
$P
)*#
+ m¯/$: 6
' SA4=FA
l
&P ) ?
c ¯ ¯
c
)$#
¯
c
)$#
W
*.
'
8® f )
/_;
&%Qgm¯/$:<
;
&%4ÚA?$#%é<äª !F?B«F?¨A #.S¬{A4=Ò?*#g;
&%Q2t q ° s
4"
W n ±A=@?È?$#%bi¯/*:v°Xø<#5
i¯/*::4/
0 /1243 I A +.S¬.)E<>«F?¨AAa?!M«@=F?E.a«@?*# !.Sª
%y&Xy
` `
?$! 9#&' #'
KC a !.Sª
%y&Xy
`
`}j
; e ) ¯
,
$fA:4
¯ :
A-aª
a f
i¯ :Q
W ; e + ; . °\3
®XJK #«A !ZA4.A3)# ?!,<!+<)EADª<>=c<>¬øA«FA=vR2 A?$#%Ò<#?$#±«@A3%±A= )<>=%¨A=£«<# :/
AªS=FA !ZA"#«) %¨?¨A<ä=@AªS=@A"!FA3#«@<>«F?$# ^«SA=c<#&¨¬ 'L<)$ ^ 4K%3?*#û«FA4=F¬ !
V£=' #?E<#8¬>«@?*#"ª<>«,/
&% ) °#+ ! ) ,
yNy!
+ m¯/$:
W
- /.
+ 1û°
+*
) a
c + 1 °e+ m¯/$:]
3"
01$ 2"& , ,)43-5+67* * #
67*,8%+$8%0 :9# * 9
6$&%; <-)<), , 56=:, > 8
"_
c
@?1"(5=7A
B
C
+*
)
c 3
DFE ëA !FA#« ) (9# /C=¨ªA=F«$Zm¯/6 ?B¬øª)E?BA !P«<>«
,G +*
)
"_
c )
4
"_
c /
A 9#&'é«<« )
* H ,G
f
,G
+1û°:?$!<@#SA a?E¬+A"#&!F?*#<)\V£=' #S?<#%¬¨«F?$#R
?$#&aAªA3#5aA3#« ^
-G /ÒVA«
AÒ< !Z«¨ªªS?*#&%"«@?B¬øA :9\"p<!!+#?<«FA '*?B«I9 <#5
s
1û° !.&+"«<>«
B
J
+*
)
"_
c R<#&
j
?*#LK/1û°\+
` ` 1
c NM
3
Kg«FA4=@<>«F?$#%ø«?$! ªS=+A".S=@A¨R&'JA aA34&#SA"?*#5.&+f«@?*#<#?$#&+#=@A4<!Z?$#% !FA9.SA3#5+#AA^=c<#R
±¬ «F?E¬øA"!@ !+ 1 ° ! .&+"«{<«@'
)
d4+ m¯/k¯>°
/.H B
.!O G f -.
) -.O G f -.
+*
) :
c H s 1 °\+ m¯/k¯:Q
' SA4=FA
N% ) °\+ ! )
b333 s
1 :3 m¯/k¯¨¯X
H
¬>«@?*#Z
-.H
f
-. s
x1°X/:K #ª<¨=Z«@?$+3.)<>=
-.
f -. G4s
1 :4
*
) a
c s
91 :e3 m¯/k¯>®
K# .S= !Z«.&# '£Aø<¨=FA)$È?*#&%±=HªS=±ª{A4=Z«@?BA ! ^J«SA )<' zv ) ¬Ú<-}%y&y "/
XP}È?*.&! )Ò?B«2aAªA3#5! #). #«AA)E<' ^:«SA ' )EADªS=+A"!! ^ QK%9/JI SA4=FA¨=@A
'£A2+<# +!FA,<#}+=FAv<)E?.v<«F?$# \«SAP=@<#&±¬ 'L<)$ 4&% /K#Ú«SA !FA9.SA")5\«SA
ª<¨ª{A4=4RS<+3+±=S?*#%«øªS=¨ª !F?B«F?$#®SR'£AP«c<±AD'
)
c -.
+ 1 :X3 m¯/k¯?}
A .&!FAP«SA !M«@=FA"#%>« ^i¯/k¯?}« ¨S«@<>?$# 4{=!Z«J .#5!J«+KCBAQv
" c 1I;KJ /I SA
¨AÒª ¨?$#±« .S=*¬øA#«&?!£«SA )*)$'*?$#%)BA4¬+¬Ú< '
/ 1 -3
:
c v
j !.ª
%y&Xy
-.
j :
c
v#
c s 91 :+ m¯/k¯8X
KC a !.Sª
%yNXy
1 :
c :wf
a ;
c
e8e fëKCu
` f : `
1^
j KC a v
c
1B; e +
m¯/k¯ 6
KCga v
c 1I;\e
j KCga ! .ª
%y&Xy#
1 ;
c :
e 9KC(
` f : `
1N+ m¯/k¯<
,&;(1° , . °
D E <Xi¯/¯?J?E¬+ª&)B?EA"!@m¯/k¯8X /
KC a v
c
1I; e j KC a !.Sª
%y&Xy
"1
; e 3
A aA"+3¨¬øª59!ZA«SAHªS=¨<¨S?*)E?B«$Ú?*#«AH=F?$%« <#5}R !F?aAH<!)$)$' !*'
KC a ! .ª
%yNy
1<;
"_
e j KC(
` f : `
1^
KC a !
j : + !.Sª
%y&Xy
"1I;
"_
e
j KC(
` f : `
1^ 9KC a !.Sª
%yNy
H
1B;
"^
e 3
YÈ?$#&+#AD«SAV£=' #S?<#"¬>«F?$#
+1°X <!£«SA !+<)E?$#%øªS=±ª{A4=Z«$u'
+:x1°X
+*
) c ,
+1°X
¨=,<#} ,/. °SR
!.Sª
%y&Xy +*
) c ,
!.Sª
%yNXy 3
I S?!*<+S?EA±A"!J«AHªS= ^wi¯/¯9<^/
+ m¯/k¯
6
?!,<a?E=FA +f«2+#&!FA9.SA3#5+#A@^:«SA )*)$'*?*#&%?$#&+)$.&!F?*#&! '
K !.Sª
%y&Xy
. 1 ;
c + ` f :
`j
M
K ! .Sª
%y&Xy
1
;
c + ` f :
`j
M
K
v
c 1I;d+
` f :
`j
M K
v
c 1B;
M 3
KG( ! ) KGu d ) KG G )
KG )
:3
; ±=FA"_¨A=
) 333
RO<#& yNy!
<>=@A8?/?/ /BR«SA"#9«A '£A4< )<'
^ )<>=%¨A #9.¬%A=! ?E¬øª)B?EA"!P«<« +3#}¨A4=%±A"!L« :¨R¦?$#3ªS=¨{<>S?$)B?B«$¨R¦<! %ÈA !*«
?$#4&#S?B«$/x6 #&!ZA49.SA3#«) )E?B¬ >@?ûKC2
` f : `
1 ) °/
*A +<)$)a«<«;.S= %±<)S?$!« )$¨=A A +f«F?¨A 5.#&! ¨=KC<A4v
" c 1I;KJR;8<#5
A?$#% %±?.±A3#,/
I S?! )BAv<! .&!W« «@<±A <!W< .#&+#«F?$# &?$#±=aA4=«P¬ø?$#S?B¬ø?A£KC(
` f : `
1 /
I S?! +4<#{A #A«=.%%<2)E<¨=%±AaA?<«@?*#H«FA +#S?9.SA¨RA"+4<.&!FA«SA;!Z«±ªSªS?$#%P«F?E¬+A
8<a¬ø?B«! !¨¬øA !F¬Ú<)$),A-aª #SA"#«F?<),¬¨¬øA"#±«!3/ YÈ?$#&+#A(¨=8A¨A4=:9ª=±<>S?$)E?Ϋ$
¬øA4<! .S=@A '*?B« +3¨¬øª<+f«>!.SªSª ¨=F«%?$# U.f + Y
'£A <Q±A2 d j ÒR«SA4=FA
A-a?!M«! d . °!.&+"«<>«@'
KG(UA-aª// d Y d 3 m¯/k¯ W
/ 1 1 : - I1 : =) 0 , -
-) " "+"&* -7$7L - 1 -)<), 7A > " ,& N t
U°#+
dU* . ° * -3
KC(
f : 1^
j
A-aª$Xf
+ m¯/k¯^]
KC2 f : j f
j
A3-aª$f
+ m¯/®¨°
3
;& ) : ;f )$#@pKGuUA3-Ȫ@; d Yr+ ; d + m¯/®:Q
;&
) f :wf ^$;9f )*#@iKGuUA-aª@$fw; d:Y + ;u1û°\3 m¯/®±¯X
D E I SAA+#=.&+#?<)\?aA"#±«@?Ϋ$"?$! '
)
b333 3
*A +<)$)¦«{<«
: y&y<>=@AD?*#&SAªA3#&aA"#«P<#& a?!M«@=F?E.a«@A"<!
) /
:4£VA#« . °/I SA"#R.&!F?*#&%Ò;<>=_ !O?$#SA9.<)B?B«$
KCu 1 : ) KCuiA-aª/
333 1ûA-aª// :
j . H
iKG n
-G
q 3 m¯/®¨®
d ?$!,<!Z«±ªSªS?$#%+«F?E¬+A-<!!+#?<«@A" '*?B««SA a?!M«@=F?E.a«@?*# Q
"_
c
/R&!
w) ' SA=@A ,w)
:
c 3
2!F?$#%+«SA !+<)B?$#%øªS=¨ªA=F«$(i¯/W *'
KG n G q ) KGA-aª K d
M
3
I SA"#
KCu 1 :
j
A3-Ȫ K f a : ^f )$#(aSKG©A-aª K d
M e*e
M 3
i¯/¯]X )$)$' !J?E¬ø¬øA"a?<«@A3)/
¯£U !z¨=@m¯/®¨°XJ?B«,?$! !.| +#?EA3#«*«+=@Aª&)E<+#A"i¯/®±®XJ}('
KC2
j
:wf ) KCupA3-aª f @
b333 1éA-aª$f / : f N3
) KG " A
B f :4J & + °
W + m¯/®?}
) KG "d
zf
) + m¯/®8X
, d )
)
¯w
/ :
3 m¯/® 6
F F-5 $ °\+
/" :
*
-3
KCu mf :1
j
A3-Ȫ f , ^d 3 m¯/®9<
D E
:4¦U +3+3¨=a?*#&%J« VA4¬ø¬ø< 8R4«AaA#«@A=@¬ø?*#<>«F?$# ^a<# .Sªª{A4= .#&±=\KC( f : 1
)EA4<&! .&!D« !Z«.5
/8K #ë«S?!-ªS=^MR aR R
<#5 dH<¨=FA>4-aA"R«A3#
=@A"!Fª,/2F !M«c<#&&!z¨= =@A"!Fª,/ D
L<#& d;'*?$)$){A SA3#¨«FA""}2>/
¯x A !ZA«
F;N ) A3-aªFK
; a
/
¯ e ; M
f ;N + ; j
m¯/® W
' SA4=FA
;& ) KG(pA-aª$; N3 m¯/®]
V8<!M«@=@<¨?*%«¨='L<>= +<)$+3.)E<>«F?$# 'JA ±a«@<¨?*#Z'
^i°X ) °#+
i°X ) °#+ m¯/?±°
;N ) " $; 4 & A3-Ȫ<K
; a
/
¯ e ; M
fäKG 3
m¯/?&:Q
;&w1
) f KG
3
AA<Q¨A
KG ) KG éKG f :Q 3
V;.a« ° j ; j <#& j fRa«SA3#
KGB
j KG /x+
;&81 ° s
;utU° s Y3
U2!*<ø=@A"!.)B«4R ?$!*<+3#}¨A3-".#&+f«@?*# #U° s YRdi¯/?°XJ?E¬+ª&)B?EA"!£«<«
;Nw1 ° s
N;{tU° s Y3 m¯/?¯X
®X *A +<)*)¦«<«
KG<A
!
J ) :
+9! c
¯^;&
+ ° B;
W 3 m¯/?±®
YÈ?$#&+#A j
fRS«SA"# dz1
4"
W /
?JKg«,?!*A4<!ø« +SA"+ø«<«m¯/?¯XO?!*A4.?.<)EA3#«L«
F;&1
Q;"f
¯ ; s
&;{tU° s Y3
I SA¬Ú<-a?B¬.S¬Ì«D;21
_;Tf
H
; ?!*<+S?EA±A"Ò<>«;
$
% ) G J
H
<#5Ò?!LA9.<)
« G
J
H
3
; ±=FA"_¨A=
; j
j
3
6 #5!ZA4.A3#«)(i¯/¯]X;a?E=FA +f«)8?E¬øª)E?BA !i¯/®9< /
