Hauteur asymptotique des points de Heegner

HAL Id: hal-00013042

https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-00013042

Preprint submitted on 17 Nov 2005

HAL is a multi-disciplinary open access archive for the deposit and dissemination of sci- entific research documents, whether they are pub- lished or not. The documents may come from teaching and research institutions in France or abroad, or from public or private research centers.

L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est destinée au dépôt et à la diffusion de documents scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, émanant des établissements d’enseignement et de recherche français ou étrangers, des laboratoires publics ou privés.

Hauteur asymptotique des points de Heegner

Guillaume Ricotta, Thomas Vidick

To cite this version:

Guillaume Ricotta, Thomas Vidick. Hauteur asymptotique des points de Heegner. 2005. �hal-

00013042�

"$#$%'&(&*)+#-,/.01%32+465+57)85:964-,/)6;=<$%?>$%32@

ACBEDGFIHEJLKEFNM 5:OQPSRUT'VWYX[Z]\^Z]_a`NbLPGOQRdce_a\gf[h*\UieZ]OQPkj$lmh]\^n8o57RdZ]PSOPG_apgOZ(\^i[9$PGPmpgnQPqh*XL\^_rnZ]T

\^nsR+htRdZ]_a\gnERUuPGuaua_rX[Z]_a`v`Gf[h]cwPSRUZ3ZtRU`qOPyx$Z]\1R^nsRUh]_zZ]OWYPmZ]_a`yR^uauzV-nQ\Uh]W=R^ua_a{GPyx6nPm|`GfT3X6i}\Uh]W

f \^i|:PG_apgOZ

2^{~ uaPGcwPGu} N R^nQxZ3h]_ace_rR^u`tOERdhtR^`mZ]PqhC_aTsT'Z]fEx[_aPyx_anZ]O_rT-XQR^XLPmhy€*vV"‚h]\gT3T'8

ƒ R^p^_rPqh„i…\^h]WCfQurR

~

Z]OQ_aTYOPG_apgOZY_aTYh]PGurRUZ]PyxZ]\Z]OQPT3XLPG`G_rR^u1c^R^uafQP†RUZYZ]OQP†`mh]_zZ]_r`GR^u1XL\g_anZ

i…\^h‡Z]OQPYx[Pmh]_acgRdZ]_rcgPˆ\^i:Z]OPˆ0‚R^nQ‰e_an8?;ePGuabLPmh]p†`G\^necw\guafZ]_a\^n\^i

f |Š_zZ]OR†`mPmh3ZtR^_an|PG_apgOZ

\^nQP‹Z]OPmZtR„T3Pqh]_rPmTCRdZ3ZtR^`tOQPyxŒZ]\†T3\^WYP‹_rxPGR^uk`GurR^T3Ts\^iT3\gWYPˆ_aW=RUpg_anERdh3VefQRgxehtRUZ]_a`CŽQPGurx€

)1T'VWYX[Z]\^Z]_a`6i}\Uh]W‹fuRˆi…\^h$Z]OP-ŽQh]T'Z‚WY\gWYPGnZ]T1R^T3\`G_rRdZ]PyxZ]\YZ]OPGT3Ps>6_zh]_r`tOQuaPmZ$T3Pmh]_aPGT-Rdh]P

X[h]\UcgPyx†RUnExPq‘XLPqh]_rWYPmneZtRUuLh]PGT3fQuzZ]T1RUh]P-`yRdh]Pmi}fuauaV/x_aT3`GfT3T3Pyx€

’‹“”d•–7—E“k“˜g™*š‹›L™/œ‹šy—Ge˜^žUže˜g™(šsŸ˜w“kš^ Q¡‹¢^£‡¤E“S¥3˜y¦w§I¨7—E™*š‡”d•˜g“Nž˜w©ªw”«˜Y›(˜‡žw—E“—[˜g™*¬ešd˜„¤L“v¤E”… E­'¥3®w™k˜

˜w­Š¨7—E™*šŒžw—L“¯­'¥'­'šy˜›˜/°—e¦­t˜g™*š/Ÿ—E“v—Ešg¥ož±-¤L™ž¤²›˜”d•«³‚“k¥?¬Q˜gš^ž^¥'­t´›˜/µ—Ešy›˜y¤E™L¶¸·I¹

ºC»‚¼½¾À¿‚¾kÁ²Â=»*Ã+Ä?ÅkÆ+¾kÁ

ÇLÈÊÉ/ËÌdÍwÎyÏ«ÐNÑyÏÓÒEÔÖÕNË/×ÙØÐNÎdÒEÚN×ÓÛwÜÝØQÑyÏÓޏßkË Ç

à7ÈÊá-ÎdÛw׫ϫÜÏ«ÔSØQÏ«ÎdËÌ â

â7ÈÊãŠËÌ=ÑyÎUØEÍËÌ ä

â7È«ÇLÈÊå¸ÏÓÌdˌËwÔÐN×ÙØEÍË ä

â7Èaà7Èçæ‹ÒEßNÎyÚ:ËÌ=ÕNˌÎUØQÔNè²ØQÔSØQ׫é*ÑyÏÓÞ(ßkË

0

^ê

â7Èaâ7Èçæ‹ÒEßNÎyÚ:ËÌ=ÕNˌÎUØQÔNè²ØQÔSØQ׫é*ÑyÏÓÞ(ßkË

1

^ë

äkÈÊìsÌdÑyÏ«ÜÝØQÑyÏÓÒEÔ¸ØEÌyé*ÜÐNÑdÒEÑyÏÓޏßkËÕNË×ÙØíSØQßNÑdËwßNÎÕNËÌYÐ:ÒEϫԏÑdÌÕNˌîËËwèLÔkËwÎ Çeà

ê

ÈÊïÔSØQ׫é*ÌUˌÕNËÌYÎdÛÌyßN׫ÑUØQÑdÌYÑyíkÛÒEÎyÏÓÞ(ßkË̄ËwÑ=Ô(ßNÜÛwÎyÏÓޏßkËÌ Çeð

ê

È«ÇLÈçñßkËw×ÓÞ(ßkËÌ=òLØQ×ÓËwßNÎdÌYԏßNÜÛwÎyÏÓÞ(ßkËÌ Çeð

ê

È«ÇLÈ«ÇLÈôó‡ØQ×ÓËwßNÎd̄ԏßNÜÛwÎyÏÓÞ(ßkËÌÕNË

C

^{õLö ËwфÕNË}

C

^{÷ Çeð}

ê

È«ÇLÈaà7ÈÊø-ÑyßkÕNËÐN׫ßk̈ùkÔkËÕ7ßÎUØQÐNÐ:ÒEÎyÑ

C

^÷

/C

õLö⁽⁰⁾

à7Ç

ê

Èaà7ÈÊúÛÌyßN׫ÑUØQÑdÌ=Ëgû7ÐÛwÎyÏ«ÜËwÔ(ÑUØQß7û àLà

ê

Èaà7È«ÇLÈçæ‹ÒEÜÐSØQÎUØQÏÓÌdÒEÔ¯ËwԏÑyÎdË×ÓËÌYòEØQ×ÓËwßNÎd̄Ëgû*Ð:ÛwÎyÏ«ÜËwԏÑUØQ×ÓËËwÑ=ÑyíkÛÒEÎyÏÓޏßkËÕNË

C

^{÷ àLà}

ê

Èaà7Èaà7ÈÊø-ÑyßkÕNËÐN׫ßk̈ùkÔkËÕNËÌ=ÍÒEßNÎyÚ:ËÌ

37

^ïËwÑ

37

^{ü àLâ}

ú„Ûgý3ÛwÎdËwÔkÍËÌ à ê

ÇLÈþ ¾kÁ[ÿ:Æ+ÄNÃ+Ä ¿‚¾ ½L»SÆ$¼v½ vÂ=»*Ã+Ċ¾

ãzÛwÑyßkÕNˆÍeØQ×ÓÍwßN×ÙØQÑdÒEÏ«ÎdË/Ìyé*ÌdÑdÛwÜÝØQÑyÏÓޏßkˆÕNË=×ÙØíSØQßNÑdËwßNΈÕNËÛwÎdÒEÔ$ØQÑdË/ÕNË̇Ð:ÒEϫԏÑd̈ÕN˄î†ËË

èLÔkËwÎ-ÌyßN΂Õ7Ï+ÛwÎdËwԏÑdË̇ÍÒEßNÎyÚËÌ6Ëw׫׫ϫÐNÑyÏÓÞ(ßkË̂ÜÒEÔ(ÑyÎdËYÕNˇèLÎUØQÔkÕNËÌ6Õ7ÏÓÌyÐSØQÎyÏ«ÑdÛÌ[È(Ï*×zÒEÔÍÒEÔkÌyÏÓÕwÎdË

ÕNËwß7ûÍÒEßNÎyÚËÌËw׫׫ϫÐNÑyÏÓޏßkËÌÕNˌÜwÜËÍÒEÔkÕ7ßkÍwÑdËwßNÎ

N

ØQ×ÓÒEÎd̄×ÓËÌ=Ð:ÒEϫԏÑd̄ÕNËîËËwèLÔkËw΄ÌdßNÎ=ÍËÌ

! #"$&% <SPmh]T3_a\gn/\Ui('*)‹n\UcgPGW‹b[h]P,+#--&.€

+/-/-&.10 #"324$657 /"989:<;>=4?A@B*$C:<"DFEG /;;8HI: #"98KJ/LNM '/'d">.#-

~

'/'d,POQ'g€

õkõ(õ

ÕNËwß7ûÍÒEßNÎyÚËÌ=ÌUÒEԏÑY×Ï«ÜÝØQèIˌÕNËÌYÜwÜËÌYÐ:ÒEϫԏÑd̄ÌyÐÛÍwÏÙØQß7ûÕNË/×ÙØÍÒEßNÎyÚË/ÜÒ*Õ7ßN×ÙØQÏ«ÎdˌÕNË/ÔNÏ

òIËeØQß

N

^{ÔkÒEÑdÛË} 0

(N )

ÐSØQΈ×ÙØÐSØQÎUØQÜÛwÑyÎyÏÓÌUØQÑyÏÓÒEÔÜÒ*Õ7ßN×ÙØQÏ«ÎdËËwÑYÒEÔÌ aØQÑyÑdËwÔkÕÕNÒEÔkÍÍË/Þ(ßkË

×ÓËwßNÎd̆íSØQßNÑdËwßNÎďÌdÒEÏÓËwԏÑ/ÕkØQÔk̆×ÓËÜwÜËÎUØQÐNÐ:ÒEÎyÑ/Þ(ßkË×ÓËÌ/ÕNËwèLÎdÛÌ/ÕNËÍË̄ÐSØQÎUØQÜÛwÑyÎyÏÓÌUØQÑyÏÓÒEÔkÌ[È

æ‹ËwÐ:ËwÔkÕkØQԏÑ7×ÙØ/ùkèLßNÎdËÇÜÒEԏÑyÎdË/ޏßk˄×ÓËÍÒEÜÐ:ÒEÎyÑdËwÜËwԏÑ=ÕNËÌCíSØQßNÑdËwßNÎdÌYËÌyÑCÑyÎ*̇ϫÎyÎdÛwèLßN׫ÏÓËwÎ

ÜwÜËÌyϊ×ÓË̆ÍÒEßNÎyÚËÌ

37

^{ï ËwÑ}

37

^üÕkØQÔkÌ×ÙØÔkÒEÑUØQÑyÏÓÒEÔ ÕNËæCÎdËwÜÒEÔSØ

!

æCÎ#"%$#$YÒEÔ(Ñ×ÓˌÜwÜË

ÍÒEÔkÕ7ßkÍwÑdËwßNÎËwц×ÓËÜwÜËÕNËwèLÎdÛ×ÓËÌÐ:ÒEϫԏÑd̆ÐSØQÎUØQÏÓÌdÌUËwԏÑ/×ÓÛwèNwÎdËwÜËwԏьÐN׫ßk̆èLÎdÒLÌ/ÌyßNΆ×ÙØ

37

^ü

Þ(ßkˌÌyßNÎ=×ÙØ

37

^ïÈ

†ÒEßkÌØQ׫×ÓÒEÔkÌÜÒEÔ(ÑyÎdËwÎޏßkË ×Ï«Ô(ÑyßNÏ«ÑyÏÓÒEÔ ÌdËÝòIÛwÎyÏ}ùSËØEÌdé(ÜÐNÑdÒEÑyÏÓÞ(ßkËwÜËwԏÑ&'¸ÍÒEÔkÕ7ßkÍwÑdËwßNÎ

ùNûNÛ

R

6×ÙØ ÜÒeéIËwÔNÔk˯ÌyßNÎßNÔkËÍËwÎyÑUØQÏ«Ôk˸ÌdÒEßkÌ tÍw×ÙØEÌdÌUËÕNËÕ7ÏÓÌdÍwÎyÏ«ÜÏ«ÔSØQԏÑdÌÕNË×ÙØ íSØQßNÑdËwßNÎÝÕNËÌ

Ð:ÒEϫԏÑd̄ÕNˌî†ËËwèLÔkËw΄ËÌyфÐNÎdÒEÐÒEÎyÑyÏÓÒEÔNÔkËw׫×ÓËØQßÕNËwèLÎdÛLÈ

á$ÒEßNÎ=ÍËw×ÙØ((ÔkÒEßkÌ=ØQ׫×ÓÒEÔk̋ÐNÎdÒ*ÍÛÕNËwÎ)ÐSØQÎyÑyÏ«Î=ÕNË×ÙØý'ÒEÎyÜßN×ÓˌÕNË+*/ÎdÒLÌdÌ -,:ØQèLÏÓËwÎ

!

*†Î,:Ø."%$CËwÑ

ÎUØQÏÓÌdÒEÔNÔkËw΋ÌyßN·×ÓËÌCÌdÛwÎyÏÓË̇ÕNË=ɆϫÎyÏÓÍUíN×ÓËwыËwÑC×ÓËÌ-ý3ÒEÔkÍwÑyÏÓÒEÔkÌ

L

ËwÔÔkÒEßk̇ÌdËwÎyòLØQԏÑCÐNÎyÏ«ÔkÍwÏ«ÐSØQ×ÓËwÜËwÔÑ Õ ßNÔÎdÛÌyßN׫ÑUØQÑÕNËîÈ/10‹ØQÔNÏÓËÍ

! /203"%$gÈ

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

− 5000

− 4500

− 4000

− 3500

− 3000

− 2500

− 2000

− 1500

− 1000

− 500

0

465798;:95=<5=>?@>BA

ˆ h

_H

d

(

^C d

)

DBE.F

b b b bb b b b b b b b b b b b

b b b b b b b b b b b

b b b b b b b b b b b b b b

b b b b b b b b b b b b

b b b b b b b b b b b b b b b b

b b b b b b b b b b b b b b b b b b

b b b b b

b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b bb b b b b b b b b b b b b b

bb b b b

b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b

b b b b b b

b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b

b b

b b

b b b b b b b b b b

b b b b b b b b b

b b b b

b b b b b b b b b b b b b b b b b bb

b b b b

b b b b b b b b b b b

b b b b

b b b b

b b b b b b b b b b

b b

b b b

b b

b b b

b b b b

b b b b b b b b

b b b

b b b b b b

b b

b b b b

b b b b b b b b b b

b

b b b

b b b b

b b b b

b b b

b b b b b

b b

b b b b b

b b b b b

b b b

b b b b b

b b b b

b b b b

b b

b b

b b b b

b b b b

b b b b

b b b

b b b

b b b

b b

b

b b b b b b b b b

b b

b b b b

b b b b

b b b

b b

b b b

b b b

b b b b b

b b

b b b

b b b

b b b

b b

b b

b b b b b

b b b b b b

b b

b b b

b b b b

b b b

b b

b b b b b b b

b

b b b b b b b b

b b b b b b b b b

b b b b

b b b b b

b b b

b b

DBE.G

r r r rr r r r r r r r

r r r r r r

r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r

r r r r r r r r r r r r r r r r r

r r r r r r

r r r r r r r r r r r r r r r r r r

r r r

r rr r

r r r r r r r r r r r r

rr r r r

r r r r

r r r r r r r

r r

r r r r

r r

r r r r r r r r r

r r r

r r r r r

r r r r r r

r r r r r r

r r

r r

r r r r r r r r

r r

r r r r r

r r r r

r r r r

r r r r r r r r r

r r

r r

r r r r rr

r r

r r

r r r r r r r r r r r

r r r r

r r r

r

r r r r

r

r r

r r r

r r

r r r

r r

r r r

r r r r

r r r r r r r r

r r r

r r r r r r

r r

r r r r

r r

r r r r

r r r r r

r r

r

r r r r

r r r

r

r r r

r r r

r r

r r

r r r r r

r r r r r

r r r

r

r r r r

r r r r

r r r r

r r

r r

r r r r

r r r r

r r r r

r r r

r r r

r r r

r r

r

r

r r r r r r r r

r r

r r r r

r r r r

r r r

r r

r r r

r r r

r r r r r

r r

r r r

r r r

r r r

r r

r r

r r r r r

r r r

r r

r

r r

r r r

r r r r

r r r

r r

r r r

r r r r

r

r r r

r

r r r r

r r r r r r

r r r

r r r r

r

r r r r

r r r

r r

HˆÄ%I3JLKJ

æ‹ÒEÜÐÒEÎyÑdËwÜËwÔ(цÕNËÌYÐ:ÒEϫԏÑd̄ÕNËîËËwèLÔkËwÎÌyßNÎY×ÓËÌ=ÍÒEßNÎyÚ:ËÌ

37

^ïËwÑ

37

^ü

NMPOQMPR.SPTUMVOQMVWXY ȈãŠËÌØQßNÑdËwßNÎdÌÎdËwÜËwÎdÍwÏÓËwԏÑÖÍUíSØQ×ÓËwßNÎdËwßkÌdËwÜËwԏѸîȈɌØQÎyÜÒEÔ ÐÒEßNÎ×ÓËwßNÎ

ØòIÒEÏ«ÎYÌyßNèLèIÛwÎdۆÍËwÑyÑdËÐNÎdÒEÚN×ÓÛwÜÝØQÑyÏÓޏßkˌËwÑCÐÒEßNΈÌdËÌCÔkÒEÜÚNÎdËwß7û ÍÒEÔkÌUËwÏ«×Ó̋ËwшËwÔkÍÒEßNÎUØQèIËwÜËwԏÑdÌ[È

æ‹ËÑyÎUØeòEØQÏ«×-ØÛwÑdÛÎdÛeØQ׫ÏÓÌdÛZ×zÒ(ÍÍeØEÌdÏÓÒEÔ¯Õ ßNÔ¯ÌyÑUØQèIËÕ zÛwÑyßkÕNËÌå¯Í[*†Ï«×«×]\„ÔNÏ«òIËwÎdÌyÏ«Ñqé

å¸ÒEÔ(Ñ

ÎdÛeØQ×U$/Ð:ÒEßNÎ×Ó˲ÌdËÍÒEÔkÕ ØQßNÑdËwßNÎËwÑÕ ßNÔ ÌyÑUØQèIËÐ:ÒLÌyÑ tÕNÒ(ÍwÑdÒEÎUØQ×3×^\ÔNÏ«òIËwÎdÌyÏ«ÑdÛÝÕN˲å¸ÒEÔ(ÑyÎdÛeØQ×

å¯ÒEԏÑyÎdÛeØQ×U$ˆÐ:ÒEßNÎ=×ÓˌÐNÎdËwÜÏÓËwΆØQßNÑdËwßNÎeÈSãŠËÌËgû7ÍËw׫×ÓËwÔ(ÑdË̄ÍÒEÔkÕ7Ï«ÑyÏÓÒEÔk̆ÕNˌÑyÎUØòLØQÏ«×1Ò4+ËwÎyÑdËÌ=ÐSØQÎ

R

5*\^fZ]Pmi…\g_aT

~

nQ\^fQTŠXh]PGnQx[h]\^nQTŠT3\g_anxPspgRUhtxPqh$Pm‘[Xur_a`G_zZ]P-Z]\gf[Z]PsxlGXLPmnExQRUnQ`GP-PmnŒurPs`G\^nEx[fQ`mZ]PGf[h

N ^xPsurR

`G\^fh]bLPg€

ÍË̆ÕNËwß7ûÖÏ«ÔkÌyÑyÏ«ÑyßNÑyÏÓÒEÔkÌ/ÒEԏÑý'ÒEÎyÑdËwÜËwÔ(ьÍÒEԏÑyÎyÏ«ÚNßkÛ×ÙØÎdÛeØQ׫ÏÓÌUØQÑyÏÓÒEÔ ÕNËÍËwьØQÎyÑyÏÓÍw×ÓËLÈvãŠËÐNÎdË

ÜÏÓËw·ØQßNÑdËwßNÎCØ×ÙØQÎyèIËwÜËwԏчÐNÎdÒQùkÑdÛ=ÕNˈ×ÙØèIÛwÔkÛwÎdÒLÌyÏ«ÑdÛ=ËwÑ-ÕNËÌ-ÍÒEÔkÌdËwÏ«×ÓÌså ØQÑyíkÛwÜÝØQÑyÏÓޏßkËÌCØò*ÏÓÌdÛÌ

ÕNËïÈ*†ÎUØQԏò*ϫ׫×Óˌ×ÓÒEÎdÌ=ÕNËÌdÒEÔÌyÑUØQèIˌÐ:ÒLÌyÑ tÕNÒ*ÍwÑdÒEÎUØQ×]È

à7È Æ k½Ä3ÂÄ:»$ÄoÆ+¾kÁ

*ÒEÏ«Ñ

E

ßNÔk˯ÍÒEßNÎyÚ˸Ëw׫׫ϫÐNÑyÏÓޏßk˯ÕNÛgùkÔNÏÓ˸ÌdßNÎ

Q

^È (ßNÐNÐ:ÒLÌdÒEÔkÌ Ð:ÒEßNβÌyÏ«ÜÐN׫Ï}ùSËwΠޏßk˸ÌdÒEÔ ÍÒEÔkÕ7ßkÍwÑdËwßNÎ

N

ËÌyфÌUØQÔk̋ý]ØEÍwÑdËwßNÎd̄ÍeØQÎyÎdÛÌËwÑ=ÍÒEÔkÌyÏÓÕNÛwÎdÒEÔkÌ=×zËwÔkÌUËwÜÚN×ÓË

D := { d ∈ Z

^∗₋

, µ

^

(d) = , d ≡ ν

^

mod N, (ν, N) =  }

ÕNËÕ7ÏÓÌdÍwÎyÏ«ÜÏ«ÔSØQԏÑdÌ[Ȋá‚ÒEßNÎ

d

^ÕkØQÔkÌ

D

ÔkÒEÑdÒEÔkÌ

H

_d ×ÓËÍÒEÎyÐǩÕNËÍw×ÙØEÌdÌdËÕNËîϫ׫ÚËwÎyьÕ7ß ÍÒEÎyÐkÌ Þ(ßSØEÕ7ÎUØQÑyÏÓޏßkËÏ«ÜÝØQèLÏ«ÔSØQÏ«ÎdË

K

_d

:= Q( √

d)

ËwцÌUÒEßNòIËwÔkÒEÔkÌ ]ÔkÒEßǩޏßkË

G

_d

:=

^*ŒØQ×

(H

_d

| K

_d

)

^ËÌyÑ

ÏÓÌdÒEÜÒEÎyÐNíkË ØQß èLÎdÒEßNÐ˯ÕN˸Íw×ÙØEÌUÌdËÌÕNË

K

_d ÕN˸ÍeØQÎdÕ7Ï«ÔSØQ×/×Ó˸ÔkÒEÜÚNÎdË ÕN˯Íw×ÙØEÌdÌdËÌ

h

_d^{È7*ÒEÏ«Ñ}

X

₀

(N )

×ÙØÍÒEßNÎyÚˌÜÒ*Õ7ßN×ÙØQÏ«ÎdËÕNËÔNÏ«òIËeØQß

N

Íw×ÙØEÌdÌyÏ}ùvØQԏÑ×ÓËÌ=ÐSØQÏ«ÎdËÌÕNËÍÒEßNÎyÚËÌËw׫׫ϫÐNÑyÏÓޏßkËÌ

(E

₁

, E

₂

)

ÎdËw׫ÏÓÛËÌÐSØQÎßNÔkËÏÓÌUÒEèIÛwÔNÏÓËÍwé*Íw׫ÏÓÞ(ßkËÕNË ÕNËwèLÎdÛ

N

^È \„ÔkËÕNËÌdÍwÎyÏ«ÐNÑyÏÓÒEÔ ØQÔSØQ׫é(ÑyÏÓÞ(ßkË ÌyßNÎ

C

ÕNˆÍËwÑyÑdËÍÒEßNÎyÚ:ˆËÌyыÕNÒEÔNÔkÛËÐSØQ΋×ÓËÞ(ßkÒEÑyÏÓËwԏÑYÕ7ßÕNËwÜÏ]ÐN×ÙØQÔÕNˆá$ÒEÏ«ÔkÍeØQÎdیÍÒEÜÐN×ÓÛwÑdÛ

H ∪ (Q ∪ {∞} )

ÐSØQÎ=×aØEÍwÑyÏÓÒEÔÖÐSØQÎ=íkÒEÜÒEèLÎUØQÐNíNÏÓËÌÕ7ßÖèLÎdÒEßNÐËÕNˌÍÒEÔNèLÎyßkËwÔkÍË

Γ

₀

(N )

^È

'W]T X[TW \„Ô ¨7—E¥?“S­1›(˜‡Ÿ˜U˜"!E“˜gš/›˜ˆ“S¥o¬Q˜d¤E™

N

˜­1›˜›E¥Ùž¦wšg¥o©¥?“v¤E“S­

d

ËÌyÑ$ßNÔÍÒEßNÐN×ÓË ÒEÎdÕNÒEÔNÔkÛ

(E

₁

, E

₂

)

ÕNˆÍÒEßNÎyÚ:ËÌYËw׫׫ϫÐNÑyÏÓÞ(ßkËÌYÜßNÔNÏ1Õ ßNÔkˆÏÓÌdÒEèIÛwÔNÏÓˌÍwé7Íw׫ÏÓÞ(ßkˌÕNˆÕNËwèLÎdÛ

N

^ÑdËw×

Þ(ßkË

E

1

ËwÑ

E

2

ØQÏÓËwÔ(фÜßN׫ÑyÏ«ÐN׫ÏÓÍeØQÑyÏÓÒEÔ¯ÍÒEÜÐN×ÓËgûNˌÐSØQÎ=×aØQÔNÔkËeØQßÖÕNËÌËwԏÑyÏÓËwÎdÌ

O

d

ÕNË

K

_d^È

# Ï}û7ÒEÔk̈ßNÔkËý3ÒEÏÓ̈ÐÒEßNΈÑdÒEßNÑdË/ßNÔkË/ÎUØEÍwÏ«ÔkˌÍeØQÎyÎdÛË

s

_d ^ÕNË

d

^{ÜÒ(Õ7ßN×ÓÒ}

4N

ËwÑYÕNÛÌyÏ«èLÔkÒEÔkÌ=ÐSØQÎ

n

_d

×ÏÓÕNÛeØQ×1ËwԏÑyÏÓËwÎÐNÎyÏ«ÜÏ«ÑyÏ}ýsÕNË/ÔkÒEÎyÜË

N

ÌyßNÏ«òLØQԏÑ

n

_d

:= N, s

_d

+ √ d



! .

$

s

_d ùNûNۊ×zËwÔkÌdËwÜÚN×ÓËÕNËÌÐ:ÒEϫԏÑdÌÕNË îËËwèLÔkËwÎÕN˲ÔNÏ«òIËeØQß

N

ËwÑÕN˲Õ7ÏÓÌdÍwÎyÏ«ÜÏ«ÔSØQÔ(Ñ

d

^ËÌyÑ

ËwÔÖÚNÏ%yËÍwÑyÏÓÒEÔ¯ØeòIËÍ×ÓËèLÎdÒEßNÐËÕNËÍw×ÙØEÌdÌdËÌÕNË

K

_d ØQ߸ÌdËwÔkÌÌyßNÏ«òEØQÔ(Ñ vÌyÏ

[ a ]

ËÌyÑ×zÛw×ÓÛwÜËwԏÑ/Õ7ß èLÎdÒEßNÐ:˄ÕN˄Íw×ÙØEÌUÌdËÌsÕNË

K

_d ØEÌdÌdÒ*ÍwÏÓÛ)Œ×ÏÓÕNÛeØQ×ËwԏÑyÏÓËw΋ÐNÎyÏ«ÜÏ«ÑyÏ}ý

a

ÕNË

O

d

ØQ×ÓÒEÎdÌ

( C / a , C / an

_d−1

)

ËÌyÑCßNÔÝÐ:ÒEϫԏшÕNËî†ËËwèLÔkËwÎCÕNËÔNÏ«òIËeØQß

N

ËwыÕN˄Õ7ÏÓÌdÍwÎyÏ«ÜÏ«ÔSØQÔ(Ñ

d

È(ã1Ë=Ð:ÒEϫԏшÕ7ß²ÕNËwÜÏ]ÐN×ÙØQÔÕNË á$ÒEÏ«ÔkÍeØQÎdÛÜÒ*Õ7ßN×ÓÒ

Γ

₀

(N )

ÍÒEÎyÎdËÌyÐ:ÒEÔkÕkØQԏÑ+ÍˌÐ:ÒEϫԏÑ=ÕNËî†ËËwèLÔkËw΄ËÌyÑ=ÕNÒEÔNÔkیÐSØQÎ

−B+√ d 2A

ÜÒ*Õ7ßN×ÓÒ

Γ

₀

(N )

^Ò'&

(A, B, C)

ËÌyÑ1×Ù؋ý3ÒEÎyܡÞ(ßSØEÕ7ÎUØQÑyÏÓÞ(ßkËCÕNËsÕ7ÏÓÌUÍwÎGÏ«ÜÏ«ÔSØQÔ(Ñ

d

ÍÒEÎyÎdËÌyÐ:ÒEÔkÕkØQԏÑ

[ a ]

ËwÑ=Ò'&

N | A

^ËwÑ

B ≡ s

_d

mod 2N

^È

'W]T X[TW( \„Ô ¨7—L¥o“S­›˜Ÿ˜d˜"!E“˜wš²›˜“k¥o¬E˜y¤E™

N

˜­„›˜²›E¥Ùž¦wšg¥o©¥?“v¤E“S­

d

^{ž^™*š}

E

^ËÌdÑ

×Ï«ÜÝØQèIˆÐSØQÎC×ÙØÐSØQÎUØQÜÛwÑyÎyÏÓÌUØQÑyÏÓÒEÔÜÒ*Õ7ßN×ÙØQÏ«ÎdË

Φ

_N,E

: X

₀

(N ) → E

^{Õ ßNÔ} Ð:ÒEϫԏÑYÕNË=×ÙØý'ÒEÎyÜË

(E

₁

, E

₂

) = (C/ a , C/ an

_d−1

),

Ò'&

a

ËÌyÑ=ßNÔÏÓÕNÛeØQׂÕNˌ×aØQÔNÔkËeØQßÖÕNËÌ=ËwÔ(ÑyÏÓËwÎdÌ

O

d

ÕNË

K

_d^È

†ÒEÑdÒEÔkÌá

d

= Φ

_N,E

((E

₁

, E

₂

))

1ÍËÐ:ÒEϫԏÑÔkËÝÕNÛwÐ:ËwÔkÕ Þ(ßkËÕNË×ÙØÖÍw×ÙØEÌdÌd˲ÕNË

a

ÕkØQÔkÌ×ÓË

èLÎdÒEßNÐ:ËÕNËÍw×ÙØEÌdÌdË̋ÕNË

K

_d ßNÔkË=ý3ÒEÏÓÌ

E

^ËwÑ

d

ùNûNÛÌ$gÈ ÒEÑdÒEÔk̋ÛwèØQ×ÓËwÜËwԏÑ7ŠÎ

d

=

^ŠÎ _Hd|Kd

(

^á _d

)

^È

ãŠË̄ÐÒEÏ«Ô(ÑdÌ=ÕNËî†ËËwèLÔkËw΄ÌdÒEԏÑÕNÛgùkÔNÏÓ̄ÌyßNÎ

E(H

_d

)

ËwфÌdÒEÔ(ÑYÐËwÎyÜßNÑdÛ̄ÐSØQÎ

G

_d ^! *†Î#"%$gÈ (Ï

R

ËÌdÑsßNÔ²ÍÒEÎyÐkÌCÕNË=ÔkÒEÜÚNÎdËÌYØQ×ÓÒEÎdÌ

ˆ h

_R

(P )

ÕNÛÌyÏ«èLÔk˄×Ù،íSØQßNÑdËwßNÎCÕNËÛwÎdÒEÔ$ØQÑdË

ÍÒEÜÜË

ÕNÛgùkÔNÏÓËÕkØQÔkÌ (Ï"2(ó+/9/9/gÈað $sÐNÎyÏÓÌdˌÌyßNÎ

R

Õ7ßÐÒEÏ«Ô(Ñ

P

ÍÒ*ÒEÎdÕNÒEÔNÔkÛË̄ÕkØQÔkÌ

R

È*)ÔÎUØQÐNÐ:Ëw׫×ÓË

õkõ(õ

Þ(ßkËÌyÏ

S

ËÌyÑ/ßNÔkËËgû*ÑdËwÔkÌyÏÓÒEÔ ÕNËÕNËwèLÎdÛùkÔNÏsÕNË

R

^{ØQ×ÓÒEÎdÌ}

ˆ h

_S

(P ) = [S : R]ˆ h

_R

(P )

^{Ȋã1ËÚNßNÑ}

ÕNËÍËwÑØQÎyÑyÏÓÍw×ÓËËÌyÑ/Õ zÛwÑyßkÕ7ÏÓËwÎ×ÙزòEØQ×ÓËwßNΌËwÔ ÜÒeéIËwÔNÔkˊÌdßNΆ×ÓËÌ

d

^ÕkØQÔkÌ

D

ÕNË̌ÕNËwß7û¯ÒEÚ%yËwÑdÌ ÌyßNÏ«òLØQԏÑdÌ

ˆ h

_Hd

(

^á _d

)

7íSØQßNÑdËwßNÎÕNË ÛwÎdÒEÔ$ØQÑdËÌyßNÎ

H

_d ^Õ ßNÔÞ(ßkËw×ÓÍÒEÔkÞ(ßkˌÕNËÌ

h

_d Ð:ÒEϫԏÑdÌ=ÕNˌî†ËË èLÔkËwÎÕNÛgùkÔNÏÓÌÖÍwÏtÕNËÌdÌyßkÌeÈYá-ßNÏÓÌUޏßkË

h ˆ

_Hd ËÌyÑÏ«Ô(òEØQÎyÏÙØQÔ(ÑdË ÌdÒEßkÌ×aØEÍwÑyÏÓÒEÔÕNË

G

_d^{YÍËwÑyÑdË}

íSØQßNÑdËwßNÎËÌyÑYÏ«ÔkÕNÛwÐËwÔkÕkØQÔ(ÑdËÕ7ßÐ:ÒEϫԏÑÍdíkÒEÏÓÌyÏ

ˆ h

_Kd

(

^ŠÎ _d

)

IíSØQßNÑdËwßNÎYÕNËPÛwÎdÒEÔ$ØQÑdˆÕNË×Ù،ÑyÎUØE͈ÌyßNÎ

K

_d ^{Õ ßNÔ} Þ(ßkËw×ÓÍÒEÔkޏßkˆÕNË̋ÐÒEÏ«Ô(ÑdÌ ÕNˌî†ËËwèLÔkËw΄á

d

ÕNÛgùkÔNÏÓ̄ÍwÏtÕNËÌdÌyßkÌ[È

ü

ÈzîÈ*†ÎdÒLÌd̄ËwÑÉÈ,:ØQèLÏÓËwÎ

!

*†Î,:Ø@"%$YÒEԏфÎdËw׫ÏÓÛ

ˆ h

_Hd

(

^á _d

)

×ÙØòLØQ×ÓËwßNÎÕNË×ÙØÕNÛwÎyÏ«òIÛËËwÔ

1

^ÕNË

×ÙØÌdÛwÎyÏÓËÝÕNËÝɆϫÎyÏÓÍdíN×ÓËwÑÒEÚNÑdËwԏßkË ËwÔ Ë:ËÍwÑyßSØQÔ(Ñ×ÓËÐNÎdÒ*Õ7ßNÏ«ÑÕNË×ÙØ ý'ÒEÔkÍwÑyÏÓÒEÔ

L

ÕNËÝɆϫÎyÏÓÍUíN×ÓËwÑ ØEÌdÌdÒ*ÍwÏÓÛËØQßÍeØQÎUØEÍwÑ*wÎdˆÐNÎyÏ«ÜÏ«ÑyÏ}ý1ÎdÛËw×

χ

_d

(m) :=

d m

ÕNËÍÒEÔkÕ7ßkÍwÑdËwßNÎ

| d |

^{Õ7ß ÍÒEÎyÐkÌ}

K

_d ^×ÓË

ÍeØQÎUØEÍwÑ*wÎdˆÕNË/ÎdÒEÔkËÍIËwΈÕ7ß²ÍÒEÎyÐkÌ $$ÐSØQ·×ÙØÍÒEԏòIÒE׫ßNÑyÏÓÒEÔÕN˄úØQÔ*Ï«Ô<*Ëw׫Ú:ËwÎyèÕNË

L(E | Q, s)

ØòIËÍ×ÙØý'ÒEÔkÍwÑyÏÓÒEÔeËwÑUØ

P

n>1

r

_d

(n)n

^−s ÕNË/×ÙØÍw×ÙØEÌdÌdˌÕNËÌYÏÓÕNÛeØQß7ûÐNÎyÏ«ÔkÍwÏ«ÐSØQß7ûÕNË

K

_d ^ÍzËÌyÑ

AtÕ7Ï«ÎdË

L

_d

(E, s) :=



 

 X

m>1 (m,N)=1

χ

_d

(m) m

^2s−1



 

 ×



 X

n>1

a

_n

r

_d

(n) n

^s





à7È«Ç[$

Ò'&Ð:ÒEßNÎ=ÑdÒEßNфËwÔ(ÑyÏÓËw΄ÔSØQÑyßNÎdËw×1ÔkÒEÔ]Ô(ßN×

n

r

_d

(n)

ÕNÛÌdÏ«èLÔkˌ×ÓˌÔkÒEÜÚNÎdËÕ ÏÓÕNÛeØQß7ûÐNÎyÏ«ÔkÍwÏ«ÐSØQß7û ÕNË

K

_d ÕNËÔkÒEÎyÜË

n

^È

RVOQM

'ü

ÈzîÈB*†ÎdÒLÌdÌ tÉÈ ,:ØQèLÏÓËwÎ

Çeð

ë

$#$

S¥

E

˜^žw­1™*“˜¦d—E™*šªU˜˜g”?”¥r¨­'¥3®w™N˜†›´s“k¥]˜

ž^™*š

Q

^˜w­

d

˜^žw­‹›¤E“Nž

D

^{¤E”}—LšUž}

L

⁰_d

(E, 1) = 2Ω

_E,N

u

²

√

− d

ˆ h

_Hd

(

^á _d

),

à7Èaà $

L

⁰

(E | K

_d

, 1) = 2Ω

E,N

u

²

√

− d

ˆ h

_Kd

(

^ŠÎ _d

)

à7Èaâ $

—

L(E | K

_d

, s)

˜^žg­=”}¤w—E“¦­'¥'—L“

L

^›(˜

E

žg™(š”Ó˜¦d—Lš]¨Sž

K

_d^§

2u

˜^žw­Y”Ó˜“v—L©ªwšy˜Ý›˜šy¤I¦w¥?“˜^ž

›˜”y•™*“k¥?­t´›˜

K

_d ^˜w­

Ω

_E,N

= Im(ω

₁

ω ¯

₂

)

˜^žg­Y”Ó˜¬Q—E”™*©Ý˜ ¦d—E©¨v”Ó˜y¶˜ ›˜

E

^¦v•˜^žw­G›E¥?šy˜Ý”Ó˜

›I—E™kªg”Ó˜›˜”y•¤E¥?šy˜›1•™*“¨7¤LšG¤E”?”Ó´g”}—!EšG¤L©©Ý˜‹—E“v›¤E©Ý˜g“S­]¤E”1›˜

E( C )

^¹

†ÒEßkÌYÎUØQÐNÐËw×ÓÒEÔkÌ=ùkÔSØQ×ÓËwÜËwԏÑ×ÙØÎdËw×ÙØQÑyÏÓÒEÔÖÛwò*ÏÓÕNËwԏÑdË

ˆ h

_Kd

(

^ŠÎ _d

) = ˆ h

_Hd

(

^á _d

) + X

σ∈Gd\{Id}

<

^á _d

,

^{á σ}_d

>

_Hd

ËwԏÑyÎdËÔkÒL̆ÕNËwß7û¸ÒEÚ%yËwÑdÌÕ zÛwÑyßkÕNË

< · , · >

_Hd ÕNÛÌyÏ«èLÔkË×ÙØý3ÒEÎyÜËÚNϫ׫ϫÔkÛeØQÏ«ÎdËÕNË ÛwÎdÒEÔ$ØQÑdË ÌyßNÎ

H

_d$gÈ*ãŠË†ÑyÎdÒEÏÓÌyÏKwÜË/ÑdËwÎy܈ÎdËwÐNÎdÛÌdËwԏÑdË/×aØQÔNèL×ÓËý3ÒEÎyÜۆÐSØQ΋×ÓË̋Ð:ÒEϫԏÑdÌYÕNË/î†ËËwèLÔkËwΈËwÔ(ÑyÎdË Ëwß7ûËwÑ=ϫ׊ÌdËwÎUØÏ«Ô(ÑdÛwÎdËÌdÌUØQԏцÕNË/×aØQÔSØQ׫é*ÌUËwÎ

òIÒEÏ«Î=ÐSØQÎUØQèLÎUØQÐNíkË

ê

$gÈ

â7È ¾kÁÃ+Æ»+ÿ:¾kÁ

â7È«ÇLÈ T%YM MVWS M* /q׊ËÌyÑYÏÓÍwÏ+ÔkÛÍËÌdÌUØQÏ«ÎdËÕNˌÎUØQÏÓÌdÒEÔNÔkËw΄ÌdËw×ÓÒEÔ×ÓËÎUØQÔNèÕNˌ×ÙØÍÒEßNÎyÚË

E

^È

ì-ÔË+ËwÑQÌUÒEÏ«Ñ

L(E | Q , s) := P

n>1

a

n

n

^−s ÌUØÌdÛwÎyÏÓË

L

^ÌyßNÎ

Q

ÕNÛgùkÔNÏÓËYØÐNÎyÏÓÒEÎyÏNÌyßNÎ

< (s) >

³₂^È

*Ëw×ÓÒEÔ ×ÓË̆ÑyÎUØòLØQß7û¯ÕNËïÈ Ï«×ÓËÌ/ËwÑ/ÕNËúÈ$Øé*×ÓÒEÎ

!

Ï"-ËwÑ ‚Ø Ï="%$ vÏ«×$Ëgû7ÏÓÌyÑdËßNÔkËý3ÒEÎyÜË

ÐNÎyÏ«ÜÏ«ÑyÏ«òIËÍwßkÌdÐNÏÓÕkØQ×ÓË

f

ÕNË/ÔNÏ«òIËeØQß

N

SÕNË/ÐÒEÏÓÕNÌ

2

ËwÑ=ÕNËÍeØQÎUØEÍwÑ*wÎdËÑyÎyÏ«ò*ÏÙØQ×+ÑdËw׫×ÓËޏßkË

L(E | Q , s) = L(f, s)

ÌyßNÎ

< (s) >

³₂È+á6ØQÎÍÒEÔkÌdÛÞ(ßkËwԏÑ

L(E | Q, s)

ØEÕ7ÜËwÑßNÔ ÐNÎdÒE×ÓÒEÔNèIËwÜËwԏÑíkÒE×ÓÒEÜÒEÎyÐNíkË

C

ËwфÌUØQÑyÏÓÌyý3ØQÏ«ÑY×zÛÞ(ßSØQÑyÏÓÒEÔý3ÒEÔkÍwÑyÏÓÒEÔNÔkËw׫×ÓË

√ N 2π

!

s

Γ (s)L(E | Q, s) = ω

√ N 2π

!

2−s

Γ (2 − s)L(E | Q, 2 − s)

Ò'&

ω = ± 1

ËÌyфßNÔkË/òEØQ×ÓËwßNÎ=ÐNÎdÒEÐNÎdËÕ zïˆÑ (Ï«ÔtãŠËwíNÔkËwÎ/ÕNË

f

ÈNÉ/ÛgùkÔNÏÓÌdÌdÒEÔkÌYÐ:ÒEßNÎ=ÑdÒEßNфÕ7ÏÓÌdÍwÎyÏ ÜÏ«ÔSØQԏÑ

d

^ÕkØQÔkÌ

D

×ÙØý3ÒEԏÑyÏÓÒEÔ

L

^ÕNË

E

^ÌyßNÎ

Q

ÑdÒEÎdÕ7ßkËÐSØQÎ

χ

_d ^ÌyßNÎ

< (s) >

³₂ ^ÐSØQÎ

L(E | Q × χ

_d

, s) := X

n>1

a

_n

χ

_d

(n) n

^s

. L(E | Q × χ

_d

, s)

ØEÕ7ÜËwÑYßNÔÐNÎdÒE×ÓÒEÔNèIËwÜËwԏÑíkÒE×ÓÒEÜÒEÎyÐNíkË

C

ËwÑ=ÌUØQÑyÏÓÌGý]ØQϫы×zÛÞ(ßSØQÑyÏÓÒEÔý3ÒEÔkÍ ÑyÏÓÒEÔNÔkËw׫×ÓË

| d | √ N 2π

!

s

Γ (s)L(E | Q × χ

_d

, s) = ω

_d

| d | √ N 2π

!

2−s

Γ (2 − s)L(E | Q × χ

_d

, 2 − s)

Ò'&

ω

_d

:= ωχ

_d

( − N ) = − ω

^{òIÒEÏ«Î /10 „Ò} "%$gÈNï‚òIËÍÍËÌYÔkÒEÑUØQÑyÏÓÒEÔkÌk×ÙØý3ØEÍwÑdÒEÎyÏÓÌ^ØQÑyÏÓÒEÔ

â7È«Ç[$

L(E | K

_d

, s) = L(E | Q, s)L(E | Q × χ

_d

, s)

ËÌyÑYòLØQ׫ÏÓÕNË

òIÒEϫΠɌØ."%$ˆÕ zÒ'&

L

⁰

(E | K

_d

, 1) = L

⁰

(E | Q, 1)L(E | Q × χ

_d

, 1) + L(E | Q, 1)L

⁰

(E | Q × χ

_d

, 1).

ïÏ«ÔkÌyÏ $×zÛwÑyßkÕNËÕNË ×ÙØÖíSØQßNÑdËwßNβÕNËÌÑyÎUØEÍËÌÕNËÌÐÒEÏ«Ô(ÑdÌÕNËîËËwèLÔkËwÎËwÔ ÜÒ[éIËwÔNÔkËÌyßNÎ×ÓËÌ

Õ7ÏÓÌdÍwÎyÏ«ÜÏ«ÔSØQÔ(ÑdÌ

d

^ÕkØQÔkÌ

D

ËÌdѲÎUØQÜËwÔkÛË ×zÛwÑyßkÕN˯ÕN˸×ÙØ òEØQ×ÓËwßNÎØQß ÐÒEÏ«Ô(ÑÍwÎyÏ«ÑyÏÓÞ(ßk˯ÕNËÌ ý3ÒEÔkÍwÑyÏÓÒEÔkÌ

L

ÑdÒEÎdÕ7ßkËÌ/×ÓÒEÎdÌdÞ(ßkË

E

ËÌyцÕNËÎUØQÔNèØQÔSØQ׫é*ÑyÏÓޏßkË

1

ËwÑ×zÛwÑyßkÕNËÕNËÌ/ÕNÛwÎyÏ«òIÛË̌ØQß Ð:ÒEϫԏÑÍwÎyÏ«ÑyÏÓÞ(ßkËÕNËÌý3ÒEÔkÍwÑyÏÓÒEÔkÌ

L

ÑdÒEÎdÕ7ßkËÌ/×ÓÒEÎdÌdÞ(ßkË

E

ËÌdÑ/ÕNËÎUØQÔNèØQÔSØQ׫é*ÑyÏÓޏßkË

0

ÍeØQΌØQ×ÓÒEÎdÌ

ω = +1

^È

â7Èaà7È R MBY M R W W X[TM

0

ú†ØQÐNÐËw×ÓÒEÔkÌ×ÓËÑyíkÛÒEÎ*wÜËÒEÚNÑdËwÔ(߸ÐSØQÎ/îÈ /20ˆØA ÔNÏÓËÍÕkØQÔkÌ /10 "tÈNï‚òEØQÔ(фÍËw×ÙØ(*ùNûNÒEÔkÌ=ßNÔkˆý3ÒEÏÓÌYÐÒEßN΄ÑdÒEßNÑdËÌY×ÓËÌ=ÕNËwß7ûÔkÒEÑUØQÑyÏÓÒEÔkÌ

â7Èaà $

γ (4N ) := # { d mod 4N, d ≡ ν

²

mod 4N, (ν, 4N ) = 1 } ,

ËwÑ

â7Èaâ $

c

_N

:= 3γ (4N ) π

²

N

Y

p∈P p|2N

1 − 1

p

²

₋1

.

RVOQM S¥

E

™*“˜ˆ¦d—E™*šªU˜„˜g”?”¥r¨­'¥3®w™k˜‹šG¤I­'¥'—E“S“˜g”?”«˜ˆ›˜ˆ¦U—E“v›E™N¦­t˜g™*š

N

žw¤L“Nžkw¤¦­t˜g™*šUž

¦d¤Ešgšd´^ž˜w­/›˜šG¤E“!¯¤L“v¤E”… E­'¥3®w™k˜

0

^˜w­

F

˜^žw­„™*“˜=w—L“v¦­'¥3—E“ ”…¥ožUž˜ ž^™[¨I¨7—Ešw­†¦U—E©¨7¤I¦­Œ›I¤E“kž

R

₊ ˜­‹›˜©—E ˜g“k“:˜/žw­'š^¥3¦­t˜g©Ý˜g“S­Š¨7—Qžg¥?­'¥?¬Q˜¤E”«—Eš^ž

X

d∈D

L

⁰

(E | Q × χ

_d

, 1)F | d |

Y

= α

_N

Y log Y + β

_N

Y + O

ε

N

^2314+ε

Y

^1314+ε

õkõ(õ

¨7—E™*š­]—L™*­

ε > 0

^—

â7ÈäP$

α

_N

:= c

_N

L(1) Z

+∞

0

F (t)dt 6 = 0

˜w­

β

_N

:= c

_N

Z

+∞

0

F (t) L

⁰

(1) + L(1) log

√ N t 2π

!

− γ

!!

dt

¤E¬Q˜d¦

L(s) := L

^{v Q© 2}

E, 2s ζ

^(N)

(4s − 2)



 

 Y

p∈P p|N

1 − a

p

p

^s

₋1

1 − a

_p2

p

^2s



 

 P (s)

˜w­

â7È

ê $

P (s) := Y

p∈P p-2N

1 1 + 1/p +

1 1 + p

1 + p

^2−4s

− (a

²_p

− 2p)p

^−2s

1 + p

^1−2s

!!

.

NMPO RM ɌØQÔkÌ /203"2Q×Ù؄ý3ÒEÔkÍwÑyÏÓÒEÔ

L

ËÌyÑ-ÕNÛgùkÔNÏÓˈÐSØQÎ$×Ù؆ÌdÛwÎyÏÓËYÕNˈɆϫÎyÏÓÍdíN×ÓËwÑsÌdßNÏ«òEØQÔ(ÑdË

L(s) = X

n=k`<sup>2</sup> k|N<sup>∞</sup> (`,N)=1

b

_n

n

^s

ØòIËÍ

b

_n

:= a

_n

Y

p∈P p|n p-2N

1 + 1

p

₋1

Ð:ÒEßNÎ=ÑdÒEßNфËwԏÑyÏÓËw΄ÔSØQÑyßNÎdËw×1ÔkÒEÔ]ԏßN×

n

ÈNæ‹Ëw׫×ÓËtÍwςÐËwßNÑ=ÌUË/ÎdÛÛÍwÎyÏ«ÎdËÌdÒEßkÌY×ÙØý3ÒEÎyÜË

L(s) = Y

p∈P p|N

1 − a

_p

p

^s

₋1

Y

p∈P p-2N

1 +

1 + 1 p

₋1

X

∞ i=1

a

_p2i

p

^2is

!! Y

p∈P p|(2,N−1)

1 + X

∞ i=1

a

_p2i

p

^2is

!

Í˄Þ(ßNÏkÐ:ËwÎyÜËwчÕNË=ÎdËwÑyÎdÒEßNòIËwÎC×zËgû*ÐNÎdËÌUÌyÏÓÒEÔ²ÕNË

L

ÕNÒEÔNÔkÛ˄ÕkØQÔkÌC×ÓËYÑyíkÛÒEÎ*w܈ËwÔý'ÒEÔkÍwÑyÏÓÒEÔ Õ7ß ÍeØQÎyÎdÛÌdé(ÜÛwÑyÎyÏÓÞ(ßkËÕNË

E

ËwфÕ7߸ÐNÎdÒ(Õ7ßNϫцì-ßN×ÓÛwÎyÏÓËwÔ

P

È((Ï«èLÔSØQ×ÓÒEÔk̆ޏßkË×íkÒE×ÓÒEÜÒEÎyÐNíNÏÓËÕNË×ÙØ ý3ÒEÔkÍwÑyÏÓÒEÔ

L

^{(é*Ü 2}

E, s

ÕkØQÔk̆ÑdÒEßNц×ÓËÐN×ÙØQÔ ÍÒEÜÐN×ÓËgûNËزÛwÑdÛÐNÎdÒEßNòIÛËÐSØQÎ (íNÏ«ÜßNÎUØÕkØQÔkÌ (í"-ËwцÞ(ßkË×ÓËÐNÎdÒ*Õ7ßNϫьì-ßN×ÓÛwÎyÏÓËwÔ

P (s)

ËÌyьØQÚkÌdÒE׫ßNÜËwԏÑÍÒEÔ(òIËwÎyèIËeØQԏÑÌyßNÎ

< (s) >

³₄ ^ËwÑ/é

ÕNÛgùkÔNÏ«Ñ=ßNÔkË/ý3ÒEÔkÍwÑyÏÓÒEÔíkÒE×ÓÒEÜÒEÎyÐNíkËLÈ

NMPO RM ã1Ø/òLØQ×ÓËwßNÎCÕNËY×ÙØ/ý'ÒEÔkÍwÑyÏÓÒEÔ

L

^{(é*Ü 2}

E, s

ØQßÝÚÒEÎdÕÕN˄×ÙØ/ÚSØQÔkÕN˄ÍwÎyÏ«ÑyÏÓÞ(ßkË ËÌyÑÎdËw׫ÏÓÛ˲ØQß ÕNËwèLÎdÛ ÕNË×ÙØÐSØQÎUØQÜÛwÑyÎyÏÓÌUØQÑyÏÓÒEÔ ÜÒ(Õ7ßN×ÙØQÏ«ÎdË

Φ

_N,E

: X

₀

(N ) → E

^ÕNË

E

^ÍgýGÈ

Ø@"

ÇUÇ[$#$‚ÐSØQÎ-×Ù؄ý'ÒEÎyÜßN×ÓËYÌyßNÏ«òLØQԏÑdË=ØQÔSØQ×ÓÒEèLßkË)†ÍËw׫×ÓËYÕ7ßÔkÒEÜÚNÎdË=ÕNËYÍw×ÙØEÌUÌdËÌ6ÕNËYÉÏ«ÎyÏÓÍUíN×ÓËwÑ

L

^{(é(Ü 2}

E, 2 πΩ

_E,N

=

ÕNËwè

(Φ

_N,E

) N c

_E

(N )

²

Ò'&

c

E

(N )

^{ËÌyÑ×ÙØ}

Γ

0

(N )

tÍÒEÔkÌyÑUØQÔ(ÑdËÖÕNËå ØQÔNÏ«Ô ÕNË

E

Þ(ßNÏ=ËÌyÑßNÔ ËwԏÑyÏÓËwÎÝÎdËw×ÙØQÑyÏ}ý/ßNÔNÏ}ý3ÒEÎ ÜÛwÜËwԏÑÝÚÒEÎyÔkÛ

!

ìsÕ("%$gÈ /mÍwςÒEÔ ßNÑyϫ׫ÏÓÌdË×ÓËÝý]ØQÏ«ÑÞ(ßkË

N

ËÌyÑÌUØQÔkÌý3ØEÍwÑdËwßNÎdÌÍeØQÎyÎdÛÌ ¯ÕNËwß7û ÎdËwÐNÎyÏÓÌdËÌ

×ÓËÌ-ý'ÒEÔkÍwÑyÏÓÒEÔkÌ

L

Õ7ßÝÍeØQÎyÎdÛ=Ìdé(ÜÛwÑyÎyÏÓÞ(ßkË=ÕNË

E

ÜÒEÑyÏ«ò(ÏÓÞ(ßkË=ËwÑCØQÔSØQ׫é*ÑyÏÓÞ(ßkË=ÍÒEÏ«ÔkÍwÏÓÕNËwԏшÍeØQÎ Ï«×1Ô éØÐSØĒÕNËÑdËwÎyÜË̆ÍÒEÎyÎdËÍwÑyÏ}ý3̄ËwÔÖ×ÓË̄ÔkÒEÜÚNÎdËÌÐNÎdËwÜÏÓËwÎdÌÕNÒEÔ(Ñ×ÓËÍeØQÎyÎdÛÕ7Ï«ò*ÏÓÌdˌ×ÓË

ÍÒEÔkÕ7ßkÍwÑdËwßNÎ

N

×ÓÒEÎdÌUޏßkË

E

ËÌyÑYßNÔkˌÍÒEßNÎyÚ:ˌÕNËÀËwÏ«×

X

₀

(N )

3ý3ÒEÎyÑdˌËwÑ

N

ËÌyшϫÜÐSØQÏ«ÎN×ÙØÍÒEÔkÌyÑUØQԏÑdËÕNË å ØQÔNÏ«Ô òLØQßNÑ

± 1

ÌdËw×ÓÒEÔÀ×ÓËÌ/ÑyÎUØòLØQß7ûÀÕNËïÈ+ïÚNÚ:ËÌËwÑì=È \׫׫ÜÒ

!

ï„Ú\×"%$/ØQ×ÓÒEÎdÌÞ(ßkË

ȏå ØQÔNÏ«Ô

!

å Ø."%$‡ØÍÒEÔ'%GËÍwÑyßNÎdÛ/Þ(ßk˄ÍËwÑyÑdË/ÍÒEÔkÌyÑUØQÔ(Ñd˄òLØQßNÑ

± 1

ÐÒEßN΋ÑdÒEßNÑdˆÍÒEßNÎyÚˆÕNË ÀËwÏ«×

X

₀

(N )

^{3ý'ÒEÎyÑdË È}

NMPO RM /q×sÌdËwÜÚN×ÓËwÎUØQÏ«ÑÞ(ßkËޏßkËw×ÓÞ(ßkËÌÐ:ËwÑyÏ«ÑdËÌËwÎyÎdËwßNÎdÌÕNËý'ÎUØQÐNÐËÕkØQÔkÌ

α

_N ^ËwÑ

ËwÔý]ØQÏ«Ñ=ÕkØQÔkÌ

c

_N ^ËwÑ

L

$‹ÌdˌÌdÒEÏÓËwÔ(Ñ=èL׫ÏÓÌdÌdÛËÌ=ÕkØQÔkÌ /203"tÈkã‚ØòEØQ×ÓËwßNÎ=ÕNÒEÔNÔkÛËÏÓÍwϊËÌyÑ=ÍÒEÎyÎyÏ«èIÛËLÈ

NMPO RM

É/ØQÔkÌ /103"2Š×ÙØÕNÛwÐ:ËwÔkÕkØQÔkÍË ËwÔ ×ÓËÝÍÒEÔkÕ7ßkÍwÑdËwßNÎ

N

ÕNË×ÙØÖÍÒEßNÎyÚ˲ÕkØQÔkÌ

×ÓË/ÑdËwÎyÜËÕ zËwÎyÎdËwßNÎ=Ô zËÌdÑYÐSØEÌ=Ëgû*ÐN׫ÏÓÍwÏ«ÑdËLÈæ‹ËwÐËwÔkÕkØQÔ(Ñkϫ׊ÌyßÑ=ÕNË/ÎdËwÐNÎdËwÔkÕ7Îdˌ×ÓË̄Õ7Ï:ÛwÎdËwÔ(ÑdËÌ

ÜÝØ %yÒEÎUØQÑyÏÓÒEÔkÌ=Ð:ÒEßNÎ=ÎdËÌyÑyÏ«ÑyßkËw΄ÍËw׫×ÓËtÍwÏ]È

R T%R.M v¥

E

˜^žg­™(“˜Ö¦d—E™*šªU˜ ˜g”o”…¥r¨­'¥'®™N˜šG¤I­'¥'—E“S“˜g”?”«˜Ö›˜Ö¦U—E“v›E™N¦­t˜g™*š

N

^žw¤E“kž

¤I¦­t˜g™*šUž¦d¤Ešgšy´^ž˜w­C›˜šy¤E“!¤E“v¤L” L­'¥3®w™N˜

0

^{¤E”}—LšUž}

â7È

$

X

d∈D

|d|6Y

ˆ h

_Kd

(

^ŠÎ _d

) = C

õLö⁽⁰⁾

Y

³²

log Y + C

^õLö(0)

2 log (N )Y

³²

+ L(E | Q , 1)c

N

3Ω

_E,N

L

⁰

(1) − L(1) 2

3 + log (2π) + γ

Y

³²

+ O

ε

L(E | Q , 1)

Ω

_E,N

N

^2314+ε

Y

^2014+ε

¨7—E™*š­]—L™*­

ε > 0

^—

C

õLö⁽⁰⁾

˜^žg­C”«¤²¦d—L“Nžg­]¤E“v­t˜›´s“k¥]˜ˆ¨7¤Eš

C

õLö⁽⁰⁾

:= 2

π c

_N

P (1)L(E | Q, 1) L(

^{v Q© 2}

E, 2) πΩ

_E,N

L

_E

˜g“¯“v—L­]¤E“v­

L

_E ™*“ݨvšG—[›E™(¥'­ˆ›˜-¤I¦­t˜w™(š^žŒ”}—e¦U¤E™E¶Ö¦d—Ešgšy˜^žt¨7—E“v›¤E“S­ˆ¤E™E¶¤I¦­t˜g™*š^ž„’ˆ™(”Ó´gšg¥3˜g“kž›˜

L(E | Q, s)

^˜­‹›˜

L(

^{v Q© 2}

(E), s)

˜g“¯”Ó˜^ž“v—E©Ýªgšd˜^žˆ¨všd˜g©¥3˜wšUž›E¥?¬e¥ožw¤E“v­s”Ó˜¦U—E“v›E™N¦­t˜g™*š

â7È$

L

_E

:= Y

p∈P p|N

1 − a

_p

p

₋1

1 − 1 p

²

₋1

1 − a

_p2

p

²

.

R@M M S R TUR@M /q×+ÌyßÑ„Õ aØQÐNÐN׫ÏÓÞ(ßkËwÎ=×ÙØý3ÒEÎyÜßN×ÓËÕNË *†ÎdÒLÌUÌ -,:ØQèLÏÓËwÎ

à7Èaâ $‹ËwÑ

ÕNˌÐNÎdËwÔkÕ7ÎdˌÐ:ÒEßNÎ

F

ßNÔkËØQÐNÐNÎdÒeû*Ï«ÜÝØQÑyÏÓÒEԯ׫ÏÓÌdÌdˌÕNË/×ÙØý3ÒEÔkÍwÑyÏÓÒEÔÖÞ(ßNÏ+òEØQßNÑ

3 2

√ t

^ÌyßNÎ

[0, 1]

^ËwÑ

0

ËwÔÕNËwíkÒEÎd̄ÕNËÍËwÑYϫԏÑdËwÎyòLØQ׫×ÓËLÈSãŠËÍÒEÎdÒE׫×ÙØQÏ«ÎdËÕNÛÍÒEßN×ÓËØQ×ÓÒEÎd̄ÕNË

â7È«Ç[$È

NMPO RM

$

ÍÒEÔkÕ7ßkÍwÑdËwßNÎ

N

ùNûNÛ[×ÓËCÑdËwÎyÜˋÐNÎyÏ«ÔkÍwÏ«ÐSØQ×kÕkØQÔkÌ

â7È

$‚ËÌyÑ

C

⁽⁰⁾

Y

³²

log Y

ØòIËÍ

C

⁽⁰⁾

=



 

 6

π

³

c

E

(N )

²

P (1) Y

p∈P p|2N

1 − 1

p

²

₋1



 

 × L(E | Q, 1) L

_E

× γ (4N ) N

²

ÕNËwè

(Φ

_N,E

)

2PG`G_(PGT'ZŠi«RUf‘„T3_

E ⁿPGT'Z1XQR^T+i}\Uh3Z]P %

[0,1,1,0,0]^R‹fnQP X0(11)8Ù`G\^nQT'ZtRUneZ]Psx[Ps,/R^n_an/lGpwRUuaP

5^€

õkõ(õ

ËwÑËÌyÑÕNÒEÔkÍÐNÎdÒEÐ:ÒEÎyÑyÏÓÒEÔNÔkËw×CØQßÀÕNËwèLÎdÛÕNË×ÙØ ÐSØQÎUØQÜÛwÑyÎyÏÓÌUØQÑyÏÓÒEÔ ÜÒ(Õ7ßN×ÙØQÏ«ÎdËLÈ+á6ØQÎÍÒEÔ(ÑyÎdË1ÌyÏ

N = Y

^{a ØòIËÍ}

0 < a <

₂₃¹ ØQ×ÓÒEÎdÌ×ÓËÝÕNËwß7û*ÏKwÜËÝÑdËwÎyÜËÝÕNË

â7È

$ËÌyÑÕ7ßÀÜwÜ˲ÒEÎdÕ7ÎdËÝÕNË

èLÎUØQÔkÕNËwßNÎÞ(ßkË/×ÓˌÐNÎdËwÜÏÓËw΄Ëwф×ÓË/ÑdËwÎyÜˌÐNÎyÏ«ÔkÍwÏ«ÐSØQׂÕNËwò*ÏÓËwԏÑ

1 + a 2

C

⁽⁰⁾

Y

³²

log Y.

æPzËÌyÑY×ÙØÐNÎyÏ«ÔkÍwÏ«ÐSØQ×ÓˌÎUØQÏÓÌdÒEÔÐ:ÒEßNΈ×ÙØEޏßkËw׫×ÓË/ÔkÒEßkÌ=ØeòIÒEÔkÌYÎdËwÔkÕ7ßËgû*ÐN׫ÏÓÍwÏ«ÑdË/×ÙØÕNÛwÐ:ËwÔkÕkØQÔkÍˌËwÔ

×ÓË=ÍÒEÔkÕ7ßkÍwÑdËwßNÎ

N

ÕNË=×Ù،ÍÒEßNÎyÚËÕkØQÔkÌs×ÓËYÑdËwÎyÜËÕ zËwÎyÎdËwßNÎeÈB/q×SÌdËwÎUØQÏ«ÑCØQßkÌUÌyÏkϫԏÑdÛwÎdËÌUÌUØQÔÑ‹Õ zÛwÑyß Õ7ÏÓËw΋×Ï«ÔkßkËwÔk͈ÕNËÌCòLØQ×ÓËwßNÎd̋Ëgû7ÑyÎdÛwÜÝØQ×ÓË̈ÕNË

L(E | Q, 1)

ÌyßNÎC×ÙØÜÒ[éIËwÔNÔkË/ÕNË̇íSØQßNÑdËwßNÎd̈ÕNËÌ ÑyÎUØEÍËÌYÕNË̋ÐÒEÏ«Ô(ÑdÌYÕNË/îËËwèLÔkËwÎeÈ7å ØQ׫íkËwßNÎdËwßkÌdËwÜËwԏÑkÍËw×ÙØÔkË/ÌdËwÜÚN×ÓË/ÐSØEÌCòIÛwÎyÏ}ùvØQÚN×ÓË/Ô(ßNÜÛ

ÎyÏÓÞ(ßkËwÜËwԏÑÛwÑUØQÔ(ÑÕNÒEÔNÔkی×ÓË/ÑdËwÜÐkÌÕNˌÍeØQ×ÓÍwßN×1ÔkÛÍËÌdÌ^ØQÏ«ÎdË/ÐSØQÎ=×ÓË̄ØQ׫èIÒEÎyÏ«ÑyíNÜËÌ+ßNÑyϫ׫ÏÓÌdËwÎeÈ

ãŠËˆÐNÎdÒ*Õ7ßNÏ«Ñsì-ßN×ÓÛwÎyÏÓËwÔ

P (s)

òEØQÎyÏÓˈÐ:ËwߊÈEì-ÔË:ËwÑLÌdÏ*×zÒEÔË+ËÍwÑyßkËYßNÔÕNÛwòIËw×ÓÒEÐNÐ:ËwÜËwԏч׫ϫÜÏ«ÑdÛ Õ7ßý]ØEÍwÑdËwßNÎ=×ÓÒ*ÍeØQ׊ËwÔ×ÓË/ÔkÒEÜÚNÎdËÐNÎdËwÜÏÓËwÎ

p

^ÕNË

P (1)

SÒEÔÖÒEÚNÑyÏÓËwÔ(Ñ

P

p

(1) = 1 − a

²_p

− 2p p

³

+ O

1 p

²

Õ zÒ'& ×zËgû*ÏÓÌyÑdËwÔkÍËÕ ßNÔkË ÍÒEÔkÌyÑUØQԏÑdËØQÚkÌdÒE׫ßkË

C > 0

Ôk˲ÕNÛwÐ:ËwÔkÕkØQԏÑÐSØEÌÕNËÝ×ÙظÍÒEßNÎyÚ:Ë

E

ÍÒEÔkÌyÏÓÕNÛwÎdÛËÑdËw׫×ÓËޏßkË

C Y

p∈P

1 − 2

p

²

< P (1) < C Y

p∈P

1 + 2

p

²

.

# Ï«ÔSØQ×ÓËwÜËwԏÑS×ÓË̈ÑdËwÎyÜËÌYÏ«ÜÐÒEÎyÑUØQÔ(Ñd̄ÌdÒEÔ(ÑY×ÓˌÕNËwèLÎdیÕNË/×ÙØÐSØQÎUØQÜÛwÑyÎyÏÓÌUØQÑyÏÓÒEÔÜÒ*Õ7ßN×ÙØQÏ«ÎdËN×ÙØ

òLØQ×ÓËwßNÎÕNË×ÙØý'ÒEÔkÍwÑyÏÓÒEÔ

L

ÕNË×ÙØÍÒEßNÎyÚ:ËØQ߸ÐÒEÏ«Ô(цÍwÎyÏ«ÑyÏÓÞ(ßkË

1

ØQÏ«ÔkÌyςÞ(ßkË×ÓËÍÒEÔkÕ7ßkÍwÑdËwßNΆÞ(ßNÏ Ï«ÔÑdËwÎyò*ÏÓËwԏÑËwÔ

γ (4N )/N

^2È

$

ÍÒEÔkÕ7ßkÍwÑdËwßNÎËwÑÕNËwèLÎdÛùNûNÛ̊×ÓËÌÐ:ËwÑyÏ«ÑdÌÔkÒEÜÚNÎdËÌÐNÎdËwÜÏÓËwÎdÌ

Þ(ßNÏ=Õ7Ï«ò(ÏÓÌdËwÔ(Ñ×ÓËÍÒEÔkÕ7ßkÍwÑdËwßNβÒEÔ(ÑßNÔ ÎE×ÓËÕNÛÍwÏÓÌyÏ}ýŒËwÑ×ÓËÌíSØQßNÑdËwßNÎd̲ÕNËÌÑyÎUØEÍËÌÒEÔ(ѲØQ×ÓÒEÎdÌ

ÑdËwÔkÕkØQÔkÍËZwÑyÎdËÐN׫ßk̆ÒEßÜÒEÏ«ÔkÌèLÎUØQÔkÕNËÌ/ÌyßNÏ«òEØQÔ(ÑÞ(ßkË

E

ØÎdÛÕ7ßkÍwÑyÏÓÒEÔ ©™*”}­'¥a¨v”…¥3¦d¤L­'¥?¬Q˜›´

¨v”«—E ´d˜ ÒEß “v—E“ m›´t¨”}—E ´d˜ ËwÔ ÍËÌÔkÒEÜÚNÎdËÌÐNÎdËwÜÏÓËwÎdÌ[È-æ‹ËwÑyÑd˲ϫÔkßkËwÔkÍËÌd˲òIÒEÏ«ÑÑyÎ*ÌÚNÏÓËwÔ

ÕkØQÔkÌ/×ÓËÍeØEÌ/ÕNË̌ÕNËwß7û¯ÍÒEßNÎyÚ:Ë̆ÕNËÍÒEÔkÕ7ßkÍwÑdËwßNÎ

26

ÕNËÎUØQÔNèØQÔSØQ׫é(ÑyÏÓÞ(ßkË

0

$„ÕNÒEÔ(Ñ/×ÓËÌ/ÐSØA ÎUØQÜÛwÑyÎyÏÓÌUØQÑyÏÓÒEÔǩÜÒ*Õ7ßN×ÙØQÏ«ÎdËÌ/ÒEԏÑ/ÜwÜËÕNËwèLÎdÛ

2

ØQ×ÓÒEÎdÌ/Þ(ßkË×ÓË̆ÑyÎUØEÍËÌ/ÌdÒEԏÑ/ÐNÎdËÌdÞ(ßkËÑyÎdÒEÏÓÌ ý3ÒEÏÓÌÐN׫ßkÌèLÎdÒLÌdÌdËÌÌdßNÎ×ÙØ

26

^ü Þ(ßkËÝÌyßNÎ×ÙØ

26

ïÈ6æ‹ËÍwÏCÌ zËgû7ÐN׫ÏÓÞ(ßk˲ØQÔSØQ׫é*ÑyÏÓޏßkËwÜËwÔ(ÑÐSØQÎ×ÓË ý]ØQÏ«Ñ/Þ(ßkË

26

ËÌdцÕ7Ï«ò*ÏÓÌyÏ«ÚN×ÓËÐSØQÎ

2

ËwÑ/Þ(ßkË×ÙØ

26

^ï زÎdÛÕ7ßkÍwÑyÏÓÒEÔ ÜßN׫ÑyÏ«ÐN׫ÏÓÍeØQÑyÏ«òIËÝÕNÛwÐN×ÓÒeéIÛËËwÔ

2

ØQ×ÓÒEÎd̄Þ(ßkˆ×ÙØ

26

^ü ØÎdÛÕ7ßkÍwÑyÏÓÒEÔ¸ÜßN׫ÑyÏ«ÐN׫ÏÓÍeØQÑyÏ«òIËÔkÒEÔtÕNÛwÐN×ÓÒeéIÛËLÈ+æ‹ËÍwÏ+Ï«ÔkÕ7ßNÏ«Ñ=ßNÔý3ØEÍwÑdËwßNÎ

3

ËwԏÑyÎdˆ×ÓËÌCÐNÎdÒ(Õ7ßNÏ«Ñd̋Ð:ÒEßNÎC×ÓËÌCÔkÒEÜÚNÎdË̈ÐNÎdËwÜÏÓËwÎdÌ

p

Õ7Ï«ò(ÏÓÌUØQÔ(ÑC×ÓˆÍÒEÔkÕ7ßkÍwÑdËwßNÎYÕNËÍË̋ÍÒEßNÎyÚ:ËÌ ÕNËÌCý3ØEÍwÑdËwßNÎdÌYìsßN×ÓËwÎyÏÓËwÔkÌ=ÕN˄×ÓËwßN΋ý3ÒEÔkÍwÑyÏÓÒEÔ

L

^ËwÔ

p

È*ã1ØùkèLßNÎdˌàϫ׫׫ßkÌyÑyÎdË/ÍËwÑyÑdˆÕ7Ï+ÛwÎdËwÔkÍË/ÕNË ÍÒEÜÐ:ÒEÎyÑdËwÜËwԏÑeÈ )ÔòIÒEÏ«ÑsÛwèØQ×ÓËwÜËwԏÑCÞ(ßkˈ×ÙØ/ÍÒEßNÎyÚ:ËYÎdËwÐNÎdÛÌdËwԏÑUØQÔ(ч×ÙØ/ÌdÒEÜÜ˄ÕNËÌ6íSØQßNÑdËwßNÎdÌ

ÕNËÌÑyÎUØEÍËÌËÌyÑÑyÎ*Ì=ÐNÎdÒ*ÍdíkËÕNË×ÙØÝÍÒEßNÎyÚËÑyíkÛÒEÎyÏÓޏßkËÜwÜËÌyÏ$Ëw׫×ÓËËÌyфÎdËw×ÙØQÑyÏ«òIËwÜËwԏьϫÎyÎdÛ

èLßN׫ÏKwÎdËLÈSú†ØQÐNÐËw×ÓÒEÔk̄ޏßkË

0.0018

^ËwÑ

0.0050

ÌdÒEÔ(Ñ=×ÓËÌYòLØQ×ÓËwßNÎdÌ=ԏßNÜÛwÎyÏÓÞ(ßkË̆ÕNË/×ÙØÍÒEÔkÌyÑUØQԏÑdË

C

^õLö(0) ØQÐNÐSØQÎUØQÏÓÌdÌ^ØQԏÑÕkØQÔkÌ=×ÓËÍÒEÎdÒE׫×ÙØQÏ«ÎdËâ7ÈaàÐ:ÒEßNÎ=×ÓËÌ=ÍÒEßNÎyÚ:ËÌ

26

^ïËwÑ

26

^{ü È}

â7Èaâ7È

R MBY ]M RW W X[TM

1

ã1ÒEÎdÌdޏßkË×zÒEÔ ÍÒEÔkÌyÏÓÕwÎdËßNÔkËÍÒEßNÎyÚËÕNËÎUØQÔNè

1

^1ÒEÔ ËÌyÑØQÜËwÔkÛ ÖËÌyÑyÏ«ÜËwÎ×ÙØÜÒeéIËwÔNÔkËÕNËÌòLØQ×ÓËwßNÎdÌËwÔ

1

ÕNË̌ý3ÒEÔkÍwÑyÏÓÒEÔkÌ

L

ÑdÒEÎdÕ7ßkËÌËwÑ ÔkÒEÔÖÕNˌ×ÓËwßNÎd̄ÕNÛwÎyÏ«òIÛËÌeÈ

RVOQM S¥

E

˜gžg­Œ™*“˜¦U—E™(šeªd˜ ˜g”?”¥r¨­'¥3®w™k˜šy¤L­'¥3—E“k“˜g”?”Ó˜›˜¦U—E“v›E™N¦­t˜g™*š

N

^žw¤E“kž

¤I¦­t˜g™*šUžŒ¦d¤Ešgšy´gžŒ˜w­-›˜šy¤E“!¤E“¤E” L­'¥3®w™k˜

1

^˜w­

F

˜^žw­‚™*“˜‚—E“v¦­'¥3—E“”…¥Ùž^ž˜ ž^™[¨I¨7—Ešw­s¦d—E©¨7¤I¦e­

0 5000 10000 15000 20000 25000 30000 35000 40000 45000

− 10000

− 9000

− 8000

− 7000

− 6000

− 5000

− 4000

− 3000

− 2000

− 1000 0

P

|d|6Yd∈D

h ˆ

_K

d

(

_d

)

0 . 0018 · Y

^3/2

· log Y

0 . 0050 · Y

^3/2

· log Y

HˆÄUI3JJ î†ØQßNÑdËwßNÎ=ÕNË̋ÑyÎUØEÍËÌ=ËwÔÜÒ[éIËwÔNÔkËÌyßN΋×ÓËÌYÍÒEßNÎyÚËÌ

26

^{ï ËwÑ}

26

^ü

ÐNÎUØQÑyÏÓޏßkËÌËwÑYÑyíkÛÒEÎyÏÓޏßkËÌ[È

›I¤E“kž

R

₊ ˜w­ˆ›˜©—L I˜w“k“˜Œžg­'šg¥'¦­t˜w©˜w“S­+¨N—Qž^¥'­'¥o¬E˜¤L”}—Eš^ž

X

d∈D

L(E | Q × χ

_d

, 1)F | d |

Y

= α

N

Y + O

^ε

N

^2314+ε

Y

^1314+ε

¨7—E™*š­]—L™*­

ε > 0

^—

α

_N ˜^žg­ˆ›´‡“k¥3˜˜g“

â7ÈäP$ ¹

PM ]M ]R.M M X RVOQM /t×SÔ zËÌyÑsÐSØĖÕ7ÏÝÍwÏ«×ÓËÕ aØEÕkØQÐNÑdËw·×Ù،ÕNÛwÜÒEÔkÌdÑyÎUØQÑyÏÓÒEÔ

ÕNË /103"+ ÍËÖÍeØEÌeÈCì-Ô ÎdËwÐNÎdËwÔSØQÔ(Ñ×ÓËÌÝÔkÒEÑUØQÑyÏÓÒEÔkÌ ÕNËÖ×aØQÎyÑyÏÓÍw×ÓËCÏ«×ÌdßѲÕNËÎdËwÜÐN×ÙØEÍËwÎ ×ÙØ

ý3ÒEÔkÍwÑyÏÓÒEÔ

V (X )

ÕNÛgùkÔNÏÓËØQßÐSØQÎUØQèLÎUØQÐNíkËäÐSØQèIË

369

ÐSØQÎY×ÙØý3ÒEÔkÍwÑyÏÓÒEÔ

V e (X) = e

^−X

.

)Ô¸ØØQ×ÓÒEÎdÌ

A (X, χ

_d

) = 

iπ Z

(/)

L(s + , E, χ

_d

)Γ (s) X

π

s

ds.

ã1ØÜÝØ %yÒEÎUØQÑyÏÓÒEÔ

A (X, χ

_d

) √

X

+ޏßNÏsÕNÛÍÒEßN×ÓËÕNË×Ï«ÔkÛwèØQ׫ϫÑdÛ²ÕNËîE×ÓÕNËwÎËwÑÕ ßNÔkËÝËÌyÑyÏ ÜÝØQÑyÏÓÒEÔ ÕNËÌ

a

n

ÑyÏÓËwÔ(цÑdÒEß'%yÒEßNÎdÌËwÑ/ØQÏ«ÔkÌdς×ÓËÌÜÝØ %GÒEÎUØQÑyÏÓÒEÔǩÌdßkÍÍËÌdÌyÏ«òIËÌ/Ë:ËÍwÑyßkÛËÌ/ÕkØQÔk̆×ÙØ

ÕNÛwÜÒEÔkÌyÑyÎUØQÑyÏÓÒEÔ²ÔkËYÐÒLÌUËwԏÑsÐSØEÌsÕNˈÐNÎdÒEÚN×KwÜËLÈ(ã1،ÌdËwßN×ÓËYÕ7Ï+ÛwÎdËwÔkÍË=ÔkÒEÑUØQÚN×ÓË=ò(ÏÓËwÔ(Ñ †×ÙØ/ÐSØQèIË

n\^Z]Pmh1fnQP6Pmh3h]Pmfh‚xP$ihtR^XXLPsxQR^nT"!%Ù|$#

~

_au*T RUpg_zZ$b_aPGn/x[P

„X 2π

«s

PqZ‚n\gn†xP-T3\gn†_rnecwPqh]T3Pg€