Sharpening a result by E.B. Davies and B. Simon

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Submitted on 24 Mar 2011

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Sharpening a result by E.B. Davies and B. Simon

Rachid Zarouf

To cite this version:

Rachid Zarouf. Sharpening a result by E.B. Davies and B. Simon. Comptes Rendus. Mathématique, Académie des sciences (Paris), 2009, Ser. I 347 (2009) ., pp.939–942. �hal-00367564v2�

Une am´ elioration d’un r´ esultat de E

. B

. Davies et B. Simon

Rachid Zarouf

R´esum´e

E. B. Davies et B. Simon ont montr´e (entre autres r´esultats) la chose suivante : soitT , une matrice n×ntelle que son spectreσ(T) soit inclus dans le disqueD={z∈C: |z|<1} et soitC=supn≥0kTⁿkE→E , (E ´etantCⁿ muni de la norme euclidienne|.|). AlorskR(1, T)kE→E≤C(3n/dist(1, σ(T)))^3/2 o`uR(λ, T) d´esigne la r´esolvante de T prise au pointλ.Nous am´eliorons ici cette derni`ere in´egalit´e `a travers le r´esultat suivant : sous les mˆemes conditions (portant sur la matriceT) et siE est cette foisCⁿ muni d’une norme quelconque|.|, alors pour toutλ /∈σ(A) tel que|λ| ≥1, on a kR(λ, T)k ≤C 5π/3 + 2√

2

n^3/2/dist(λ, σ).

Sharpening a result by E.B. Davies and B. Simon

Abstract

E. B. Davies et B. Simon have shown (among other things) the following result: ifT is ann×nmatrix such that its spectrumσ(T) is included in the open unit discD={z∈C: |z|<1} and ifC=supk≥0

T^k

E→E, whereE stands for Cⁿ endowed with the euclidean norm|.|2 , thenkR(1, T)kE→E≤C(3n/dist(1, σ(T)))^3/2where R(λ, T) stands for the resolvent ofT at point λ. Here, we improve this inequality showing that under the same hypotheses (on the matrixT) and if this timeE isCⁿ endowed with certain norm|.| , thenkR(λ, T)k ≤C 5π/3 + 2√

2

n^3/2/dist(λ, σ),for all λ /∈σ(T) such that|λ| ≥1.

Pour C≥1 et n∈N^⋆ on pose

K_n(C) =supkR(λ, T)kdist(λ, σ(T)),

o`u la borne sup´erieure est prise sur l’ensemble desλ∈Ctels que|λ| ≥1 et sur l’ensemble des op´erateurs T : E →E avec E= (Cⁿ,|.|) et v´erifiant∀k∈N,

T^k

E→E ≤C.

Le but de cette note est de d´emontrer le th´eor`eme suivant.

Th´eor`eme. (i) Pour tout n∈N^⋆ et pour tout C ≥1, on a K_n(C)≤C

5π/3 + 2√ 2

n^3/2. (ii) De plus, pour tout C≥1 on a

limsup_n→∞n⁻³²K_n(C)≤5Cπ/3.

Commentaires.

(1) Ce th´eor`eme est un r´esultat de nature “num´erique” dans la mesure o`u il s’agit d’une estimation du type kR(λ, T)k ≤Kdist(λ, σ(T)),o`u la question est d’´evaluer la taille de la constanteK =K<sub>n</sub>(C) en fonction des param`etres dont elle d´epend, `a savoirn etC.

(2) Le r´esultat principal de E. B. Davies et B. Simon est le suivant, voir [2]: SoitK_nla mˆeme borne sup´erieure que celle donnantK_n(C) en restreignant la condition (C₁) : [T : E →E avec E= (Cⁿ,|.|) et v´erifiant ∀k∈N, T^k

E→E ≤C] par (C₂) : [T est une contraction d’un espace de Hilbert]. Alors le facteur n³² “devient” n et K_n=cotan(π/4n).

1

2

(3) Dans ce dernier cas (o`u T est une contraction d’un espace de Hilbert), la m´ethode appliqu´ee ci-dessous pour montrer le Th´eor`eme faisant l’objet de cette note, donne K_n ≤ an o`u a = (1 +max_λ∈σ(T)|λ|). En particulier, pourr =max_λ∈σ(T)|λ|<4/π−1, cette majoration est plus pr´ecise que [2].

(4) En ce qui concerne l’exactitude du v´eritable ordre de croissance de la constante K_n(C), on sait pour l’instant queK_n(C)/n≥K_n/n≥b o`u b= (2 +√

3)/3, voir [2] p.4.

(5) L’hypoth`ese du th´eor`eme entraˆıne trivialement quekR(λ, T)k ≤C(|λ| −1)⁻¹,|λ|>1.Ce th´eor`eme peut donc ˆetre vu comme un analogue unilat´eral du “Lemme de Domar” bien connu (voir [1], [6]): siσ ⊂Detu une fonction sous-harmonique dansC\σ telle que pour toutλ∈C\σ, u(λ)≤Cmaxn

||λ| −1|⁻¹, dist(λ, σ)⁻¹o , alors pour tout λ ∈ C\σ, tel que |λ| ≥ 1/2, u(λ) ≤ 447Cdist(λ, σ)⁻¹. Une version aussi g´en´erale pour des estimations unilat´erales (|λ| ≥1), n’est pas vraie (exemple: u(λ) =kR(λ, M_θ)k, o`u M<sub>θ</sub> est l’op´erateur mod`ele surK_θ=H²ΘθH²,θ=exp

z+1 z−1

,voir [4]), mais notre r´esultat montre qu’elle est correcte pour des r´esolvantes de matrices de taille n(avec une constante d´ependant de n).

Nous avons recours en premier lieu au lemme suivant, de type principe du maximum.

Lemme. Soient C≥1, A >0 tels que pour tout op´erateur T agissant sur (Cⁿ,|.|) et de spectre σ(T), la condition suivante soit r´ealis´ee:

sup_k≥0 T^k

≤C

σ(T)⊂D =⇒[∀λ⋆tel que |λ⋆|= 1, dist(λ⋆, σ(T))kR(λ⋆, T)k ≤ A], alors,

K_n(C)≤A.

Preuve. Soit λtel que|λ|>1. λpeut alors s’´ecrire λ=ρλ_⋆ avec ρ >1 et |λ_⋆|= 1.On poseT_⋆ = ¹_ρT. Dans ces conditions,sup_k≥0

T_⋆^k

≤C etσ(T_⋆) = ¹_ρσ(T)⊂D. Par cons´equent, on a dist(λ_⋆, σ(T_⋆))kR(λ_⋆, T_⋆)k ≤A,ce que l’ont peut encore ´ecrire ρdist(λ_⋆, σ(T_⋆))

ρ⁻¹R(λ_⋆, T_⋆)

≤A.Il suffit maintenant de remarquer queρdist(λ_⋆, σ(T_⋆)) =dist(λ, σ(T)) etρ⁻¹R(λ_⋆, T_⋆) =R(λ, T).

Preuve du Th´eor`eme. SoientT une matrice de taillen v´erifiant la condition (C₁) et

σ=σ(T) ={λ₁, λ₂, ..., λ_n} son spectre (lesλ_j ´etant compt´es avec leur multiplicit´e). On d´efini le produit de BlaschkeB = Πⁿ_k=1b_λi, o`u pour touti= 1..n,b_λi = ^λi−z

1−λiz . Tout d’abord, kR(λ, T)k ≤C

1 λ−z

W/BW

,

(voir [3] Th´eor`eme 3.24, p.31), o`uW est l’alg`ebre de Wiener des s´eries de Taylor absolument convergentes, W =n

f =P

k≥0f(k)zˆ ^k : kfkW =P

k≥0

fˆ(k)

<∞o

et

1 λ−z

W/BW

=inf

kfk_W : f(λ_j) = 1

λ−λ_j, j= 1..n

.

On suppose dans un premier temps que|λ|>1.Soit P_B la projection orthogonale de l’espace de HardyH² surK_B =H²ΘBH². La fonction f =P_B(¹_λk_1/λ¯) verifie bien f− _λ−z¹ ∈BW,∀j= 1..n. En particulier, on a

1 λ−z

W/BW ≤ 1

λPBk_1/λ¯

W

. Mais on sait que

P_Bk_1/¯λ=

n

X

k=1

k_1/λ¯, e_k

H²e_k

o`u la famille (e<sub>k</sub>)<sup>n</sup><sub>k=1</sub> (appel´ee base de Malmquist relative `aσ, voir [5] p.117) d´efinie par, e₁ = 1− |λ₁|²¹₂

f₁, e_k=

1− |λ_k|²¹₂

Π^k−1_j=1b_λj

f_k= (f_k/kf_kk2)Π^k−1_j=1b_λj, k≥2, o`u f_k(z) = ¹

1−λkz.Du coup,

P_Bk_1/¯λ =

n

X

k=1

e_k 1/λ¯ e_k.

Nous allons maintenant appliquer l’in´egalit´e de Hardykfk_W ≤πkf^′k_H¹ +|f(0)|, (voir N. Nikolski, [4] p. 370 8.7.4 -(c)) `a P_Bk_1/λ¯ en profitant du fait remarquable que pourk= 2..n

e^′_k=

k−1

X

i=1

b^′_λ

i

b_λie_k+λ_k 1

1−λ_kze_k. On trouve alors

P_Bk_1/λ¯

^′

=

k_1/¯λ, e₁

H²

λ¯₁

1−λ₁ze₁+

n

X

i=1

b^′_λ

i

b_λi

n−1

X

k=i+1

k_1/λ¯, e_k

H²e_k+

n

X

k=2

k_1/λ¯, e_k

H²λ_k 1

1−λ_kze_k. Commek_1/λ¯ est le noyau reproduisant de H² associ´e au point 1/¯λ∈D, on trouve

e_k, k_1/¯λ

H² =e_k(1/λ),¯ et donc

P_Bk_1/¯λ

^′

=e₁ 1/λ¯ λ¯₁

1−λ₁ze₁+

n

X

i=1

b^′_λ

i

b_λi

n−1

X

k=i+1

e_k 1/¯λ e_k+

n

X

k=2

e_k 1/λ¯

λ_k 1

1−λ_kze_k. Maintenant,

e₁ 1/λ¯ λ₁ 1−λ₁ze₁

H¹

≤

e₁ 1/¯λ

λ₁ 1−λ₁z

H²

ke₁k_H² ≤ |λ| 1 dist(λ, σ)

en utilisant `a la fois l’in´egalit´e de Cauchy-Schwarz et le fait quee₁est de norme 1 dansH². Par la mˆeme raison (la famille (e_k)ⁿ_k=1 est orthonormale dans H²), on trouve

n

X

k=2

λ_ke_k 1/¯λ 1 1−λ_kze_k

H¹

≤

n

X

k=2

e_k 1/λ¯

λ_k 1 1−λ_kz

H²

ke_kkH² ≤

≤

n

X

k=2

1− |λ_k|²¹₂ 1−λ_k/λ

1 q

1− |λ_k|²

≤ |λ| (n−1) dist(λ, σ). Finalement,

n−1

X

i=1

b^′_λ

i

b_λi

n

X

k=i+1

e_k 1/¯λ e_k

H¹

≤

n−1

X

i=1

b^′_λ

i

b_λi L²

n

X

k=i+1

e_k 1/λ¯

2

!

1 2

. Comme en outre on a b^′_λ

i/b_λi = 1/(λ_i−z) +λ_i/ 1−λ_iz

,on en d´eduit que b^′_λ

i/b_λi

L² ≤ 2/

q

1− |λ_i|², et que

n−1

X

i=1

b^′_λ

i

b_λi

n

X

k=i+1

e_k 1/λ¯ e_k

H¹

≤2

n−1

X

i=1

1

1− |λ_i|²¹₂





n

X

k=i+1

1− |λ_k|² 1−λ_k/λ¯2





1 2

.

4

Maintenant, sans perte de g´en´eralit´e on peut supposer que la suite (|λi|)ⁿ_i=1 est croissante (quitte `a r´eordonner la s´equence σ). Dans ce cas, pourk≥i+ 1> i on a 1− |λ_k|²≤1− |λ_i|² ce qui donne

n−1

X

i=1

b^′_λ

i

b_λi

n

X

k=i+1

e_k 1/¯λ e_k

H¹

≤2

n−1

X

i=1 n

X

k=i+1

1 1−λ_k/λ¯2

!¹₂

≤

≤2 |λ| dist(λ, σ)

n−1

X

i=1 n

X

k=i+1

1

!¹₂

≤ 4

3|λ| 1 dist(λ, σ)

n³² −1 , puisque P_n−1

i=1

√j≤R_n

1

√xdx. Finalement,

1

λP_Bk_1/λ¯

^′ H¹

≤ 1

dist(λ, σ)+ (n−1) dist(λ, σ) +4

3

n³² −1 dist(λ, σ) =

= 1

dist(λ, σ)

−4

3+n+4 3n³²

≤ 5 3

n³² dist(λ, σ),

la derni`ere in´egalit´e reposant sur le fait que pour tout x≥0, ¹₃x³² −x+⁴₃ ≥0. Ceci donne

1

λP_Bk_1/¯λ

W

≤ 5

3π n³² dist(λ, σ) +

1 λ

n

X

k=1

e_k 1/λ¯

|e_k(0)| ≤ 5

3π n³²

dist(λ, σ) + 2n.

En particulier, (ii) est d´emontr´e. Pour r´esumer, on a pourn≥1, kR(λ, T)k ≤C

5π/3 + 2

√ndist(λ, σ)

n³² dist(λ, σ).

Faisons maintenant tendre radialement λ vers sa projection λ_⋆ sur le tore T et remarquons qu’alors, (puisque dist(λ⋆, σ)≤2),

kR(λ⋆, T)k ≤C

5π/3 + 2√

2 n³² dist(λ⋆, σ). Il reste alors `a appliquer le lemme avec A= 5π/3 + 2√

2

n³² pour achever la preuve de (i).

Remerciements

Je tiens `a remercier infiniment le Professeur Nikolai Nikolski pour ses conseils ˆo combien pr´ecieux.

References

[1] Y. Domar,On the existence of a largest subharmonic minorant of a given function, On the existence of a largest subharmonic minorant of a given function, 3 (1958), 429–440

[2] E. B. Davies and B. Simon,Eigenvalue estimates for non-normal matrices and the zeros of random orthogonal polynomials on the unit circle, J. Approx. Theory 141-2, (2006), 189–213.

[3] N.Nikolski,Condition Numbers of Large Matrices and Analytic Capacities,St. Petersburg Math. J., 17 (2006), 641-682.

[4] N.Nikolski,Operators, Function, and Systems: an easy reading, Vol.1. AMS, Providence, 2002.

[5] N.Nikolski,Treatise on the shift operator, Springer-Verlag, Berlin etc., 1986.

[6] N. Nikolski, and S. A. Khrushchev,function model and some problems in the spectral theory of functions, Trudy Mat. Inst.

Steklov. 176, (1987), 97–210 (Russian). English transl.: Proc. Steklov Inst. Math. (1988), 101–214.

Equipe d’Analyse et G´eom´etrie, Institut de Math´ematiques de Bordeaux,

Universit´e Bordeaux, 351 Cours de la Lib´eration, 33405 Talence, France.

E-mail address: [email protected]