Energy-saving Technology Adoption under Uncertainty in the Residential Sector

HAL Id: hal-00937500

https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-00937500

Submitted on 28 Jan 2014

HAL is a multi-disciplinary open access archive for the deposit and dissemination of sci- entific research documents, whether they are pub- lished or not. The documents may come from teaching and research institutions in France or abroad, or from public or private research centers.

L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est destinée au dépôt et à la diffusion de documents scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, émanant des établissements d’enseignement et de recherche français ou étrangers, des laboratoires publics ou privés.

Energy-saving Technology Adoption under Uncertainty in the Residential Sector

Dorothée Charlier, Alejandro Mosino, Aude Pommeret

To cite this version:

Dorothée Charlier, Alejandro Mosino, Aude Pommeret. Energy-saving Technology Adoption under

Uncertainty in the Residential Sector. Annales d’Economie et de Statistique, INSEE-GENES, 2011,

pp.43-70. �hal-00937500�

!""#

$ % &

' ( ) *

+$+ ) *

' ' ' , -

) * . &

' , ' & '

'

) / 0

&

) * ' '

& ' ) ' '

% ' . & ' ,)

1 2 3 4 5 66 76 86

9 ' 4

)

/ +$+ ' & &

, ) : :

' & !" ") ;

( & ' ) <

& 4 : & !=>

& CO & ' ?"> &

@8> & 3 A ; $ !""7B)

& &

- A $ 6#?#B) *

% & ' (

- & , &

) : -

& '

6

& A: !""#B)

3 & &

& 3 .

, A1 , !""8 !""8B)

$ ' AC 3

!""7B) < & (

& ) * ' ( ,

, '

( '

)

< ( ' % & &

3 D (D D - D

A1 % E 6##@ B) & '

' - &

! > ="> A C ' !""6 E ) 6## B) <

&

' '

; F ) $ & A6## B '

0 & ( &

& A $ &

6##=B) * ' &

3 & G ) C

&

& & & , &

) * E , A!""#B

& % &

& ( % 4 ' & 3

, '

& )

E & ( %

& & ' 3 ,

& ( & "> '

)

& 1 % E A6##@ B

) ( % ' &

' ( ) *

& ' & &

& A & , B ' )

< & &

& &

) < '

& 0

& % & (

& ' &

!

) : ' (

AE

$ ' 6##@ C !""? 0 / !""#B)

* ' , &

& % ) * &

' & & ,

) (

. & '

' & ,

⁶

) < '

% & -

. & ' ,) < &

.

) $ ) A!""7B

& ' & )

^!

<

(

0 & ' & H , )

E A!""#B , 3 &

. ) < 3

% (

& ) E ( 0

3 & &

0 )

< , 3 & ' ' '

0 % ) <

& %

& A D

D & B) < & ' ( .

' $ ) A!""7B) I

&

' '

) I 3

& , & &

)

⁼

< 3

' ) C & '

& ) A $ ) !""7

E !""#B

& & 0 ) ; ' 3

6

E : A!""#B & & , -

)

!

< ' $ ) A!"" B &

. & ' , & 3

)

=

& A & 3 B '

& G )

=

' 0

) I '

& ' ) * ,

& ' ' . & ) : '

' ' -

% 3 & ) <

, % & ' . )

. ( & -

( D (D E C J E &

A6## B)

< & & ' ) E !

( ' & ' )

C ,' ' =

. & ' , -

) * E @ ' &

&

0 ) I

) I 3 ' &

) E 8 )

I ' , ) $

r σ dz ) $

C C ) < & & '

& ' ) < rA

_t

− C

_t

− xC

_t

' A

_t

& ' x & ) <

& 3 ) < & & '

' & 4

dA = (rA − C − xC )dt + σ Adz

_t

& t < τ A6B

τ ' x &

' ' y) < & '

β) < ) ( σ

, & & &

' ) * ' 3 &

, & & ) ;

y x & '

' ' ' ) I 3

% ' x y - ) < &

& ' & & ' 4

dA = (rA − C − yC )dt − σ yC dz

t

+ σ Adz

t

& t ≥ τ A!B

@

< ' & &

( &

E

∞

e

^−ρt

U (C

_t

, C

_t

)dt = E

∞

e

^−ρt

(C

^a

C

^b

)

^−γ

1 − γ dt A=B

< & Θ &

& & (C, τ )

E

∞

e

^−ρt

U (C

_t

, C

_t

)dt < ∞ A@B

' ρ & γ

, & ' γ = 1 γ > 0) < a b

) I 3 % - & , A E

E !"" B4

R = 1 − (a + b)(1 − γ) A B

< ' ( 0

& & '

A ) < & & ' 4

V (A ) = sup

C,τ

E

τ

e

^−ρt

(C

^a_t

C

^b_t

)

^−γ

1 − γ dt + e

^−ρτ

W (A

_τ

− β) A8B

' W & ' τ

)

< ' ) : ' &

& & & '

) < &

) I 3 ( & & '

. & '

) ; , &

' ) E ' & &

)

I ' ) <

& & 4

E

τ

∞ τ

e

^{−ρ t−τ}

| U (C

t

, C

t

) | dt < ∞ A?B

< & & 4

W (A

_τ

) = sup

C

E

_τ

∞ τ

e

^{−ρ t−τ}

(C

^a_t

C

^b_t

)

^−γ

1 − γ dt A7B

< C . ' 4 W (A

_t

) = max

Ct,Ct

(C

^a_t

C

^b_t

)

^−γ

1 − γ dt + e

^−ρdt

E

_t

(W (A

_{t dt}

)) ' t ≥ τ A#B

< 3 &

4

^@

C

^∗_t

= (a + b)

a M B

^{−b −γ}

a −γ−

A

_t

A6"B

C

^∗_t

= BA

_t

A66B

I & & '

' 4

B = Ry ± (1 − γ) √

∆ Rσ y [2R − b(1 − γ)]

∆ = y a + b − 1

1 − γ − 4 R

2 σ y 2a + b − 2

(1 − γ) b R

2 σ − br + bρ 1 − R

< & B > 0. & γ

' & . )

M = a

a + b B

^−R

a

b y + Rσ y B

^{a −γ−}

< ( ' ' 4

E

t

(dA

t

/A

t

)

dt = r − E

t

C

^∗

A

_t

− yE

t

C

^∗

A

_t

= r − M

a (a + b)B

^{−b −γ}

a −γ−

− By

; ( ( A & E

E !"" B ( & %

' . ) < & '

4

∂(C

_t

/K

_t

)

∂σ = ∂(C

_t

/K

_t

)

∂M

∂M

∂B + ∂(C

_t

/K

_t

)

∂B

_{M M}

∂B

∂∆

∂∆

∂σ

> 0 & γ < 1

& γ > 1

∂(C

_t

/K

_t

)

∂σ = ∂B

∂∆

∂∆

∂σ

> 0 & γ < 1

< 0 & γ > 1 3

&

& A1/γB )

@

E ( )

8

' σ &

& ) < '

% 4

. & 3 ' % A

B % A B)

< % & &

) % & σ C

t

& γ > 1 & σ C

t

C

t

) : &

% & & ( A B)

: ( ( & & 4

W (A

_t

) = W (A

_t

) = M A

_t^−R

(1 − γ) A6!B

* ' &

(a + b)(1 − γ) − 1 < 0) < .

& & ) )

t→∞

lim E (W (A

t

)) = 0

* 3 & & & ' ' K & L (

A E A6##8BB) * MH W (K

_t

) .

4

E(dA) = W

_A

E(dA) + 1

2 W

_AA

E(dA ) < 0

⇔ M r − M

a (a + b)B

^{−b −γ}

a −γ−

− xB − R

2 σ x B + σ > 0,

I & 3 )

&

) $ '

' H . 0 ) < ' '

0 ) ; ( &

& & & '

' ' ρ = 0 (

) ; &

) < & ' ' (

' &

& )

E ( )

?

/ '

) < (

0 & & '

. ) ' '

& ' . A6"B A66B)

< & & & & '

4

V (A

_τ

) = W (A

_τ

− β) A6=B V

A

(A

τ

) = W

A

(A

τ

− β) A6@B

' A

_τ

& ' & ' ) *

' τ) < A6=B

. & ' A ) & A

_τ

& ' B

& ' . & '

) < A6@B &

& ' AV & ' W & ' B)

* & & ' )

E ' & ' 3

& ' 3

& & ' ' V

W , ' 4

W (A

_t

) ≤ V (A

_t

) ∀ t A6 B

< H 4

V (A ) = sup

C,τ

E

τ

(C

^a_t

C

^b_t

)

^−γ

1 − γ dt + W (A

τ

− β)

_{{τ <∞}}

A68B s.t. dA = (rA − C − xC )dt + σ Adz

_t

A6?B

< & ' ' &

' ' & ) *

' 0 & ' ' '

)

< 3 4

⁸

C

^∗_t

= a

^−bR−γ

b x

b −γ R

V

_A^−R

A67B

C

^∗_t

= a

^{a R−γ}

b x

−a −γ R

V

_A^−R

A6#B

8

E ( C)

7

N C . & ' (

& & ' & ' A ( CB 4

V

_A

(A

_t

) =



  D A

⁻_t

+ D A

^D_t

G t



 

R

A!"B

' D =



 R

γ − 1 a

^{a R−γ}

b x

b −γ R



 1

r − σ R A!6B D = − 2r

Rσ A!!B

I G(t) = D A

− ^r

Rσ

t

'

^?

) D '

7

A6@B) I 4

D = [M(a + b)]

^R

(A

_τ

− β)A

^Dτ

− D

A

^Dτ

A!=B

*& ' '

' G(t) = 0

& 4

^#

W (A

_t

) =



 

 

R

γ−

a

^{a R−γ} _x^b

b −γ R

r − σ R

D



 

 

R

A

_t^−R

(a + b)(1 − γ) A!@B

⇔ W (A

t

) = D

^R

(a + b)

A

_t^−R

(1 − γ)

' W (A

_t

) & & ' '

' ) & '

& ' 4

D > 0

/ W (A

t

) & &

' ' O & ' 4

W (A

_t

) ≤ W (A

_t

) A! B

?

/ ) I

' ' , & '

' 3 ) < & ( &

, & A ( , 6##@B) <

& , )

7

E ( C)

#

E ( C)

#

< ( '

& & ' ' '

' & & ' )

N ( & W

A

A . A!@BB & W

A

A . A6!BB V

A

(A

t

) ' 4

V

_A

(A

_t

) =



 

  W

_A

(A

_t

)

^R

+ [W

_A

(A

_τ

− β)]

^R

− W

_A

(A

_τ

)

^R

Aτ A

t

r Rσ

G t

'



 

 

R

A!8B

< & ' % 3 &

& ) < ( &

' ,

& ' ) * & G(t) = 0

& ' W

_A

(A

_t

). < %

' & ' A βB

& '

' ' '

A

t

Aτ )

I ' 4

• *& γ < 1 ' 4 W

A

(A

t

)

^R

< W

A

(A

t

)

^R

< W

A

(A

t

− β)

^R

G(t) > 0) < & ( & V

A

) <

& ' ' '

& ' '

) *

' '

' '

( )

• *& γ > 1 ' W

_A

(A

_t

)

^R

> W

_A

(A

_t

)

^R

) * & G(t)

) G(t) < 0) *

' ( & & '

) < &

' '

' ' ) *

' ,

'

( '

6"

) < ) $ '

&

& A

t

& A

t

< ( − D /D )

^{/ − r/Rσ}

( & V

_A^R

3 ) < &

G(t) < 0 )

G(t) > 0) * ' V

A

& '

W (A

t

) ≤ V (A

t

) ∀ t 3 A & γ > 1

& 2r/(σ R) > 1B) < & G(t) > 0

)

G(t) = 0. * V

_A^R

A 3 B

W (A

_t

) ≤ V (A

_t

) ∀ t 3 ) *

' & γ > 1. *

% ( &

' ) I A

^∗

& A

_t

G(t) = 0)

< & ' . A!@B A!8B4

A

^∗

= β 1 −

^{M a b}_D ^R

A!?B

A

^∗

' . M (a + b) < D

^R

A! B) ' &

' - A

( CB) < '

)

< & ' A

τ

'

. ' '

β A B4

V (A

_τ

) = W (A

_τ

− β) A!7B

< ' ' 4

• *& γ < 1 A

_τ

& 4

Aτ

V

_A

(A)dA = W (A

_τ

− β) A!#B V (0) = 0 & γ < 1) ; V

_A

& & & A

_τ

D ) . A!#B ) E

& ' & 4 σ = 0.013O b = 0.25O a = 0.7O

γ = 0.5O x = 10O y = 0.25O r = 0.05O σ = 0.5O β = 0.1) < &

% - & , R = 0.525)

66

: 6 ' & 4 V (A) & ' W (A − β)

& ' W (A) ' ' ) <

' A

τ

= 0.82. ; & yC A'

C & B xC A' C &

B) * & %

)

< , 4 V (A)

E 4 W (A − β)

2 4 W (A)

: 6 4 < & & γ < 1 A B

• *& γ > 1 ' A

τ

= A

^∗

' A

^∗

. A!?B) <

A6=B ' & &

' 4

V (A

t

) = 1

1 − R D

^R

A

_t^−R

+ [M(a + b)] (A

τ

− β)

^−R

− D

^R

A

_τ^−R

A="B

; A

^∗

V (A

_t

) 3 ' γ > 1) E

' & & ' &

4 σ = 0.013O b = 0.25O a = 0.7O γ = 2O x = 10O y = 0.25O r = 0.05O σ = 0.1O β = 0.1) < & % - & ,

R = 1.95.

6!

: ! ' & 4 V (A) & ' W (A − β)

& ' W (A) ' ' ) < '

' A

^∗

= 0.265 A . A!?BB) '

& γ < 1 % &

)

< , 4 V (A)

E 4 W (A − β)

2 4 W (A)

: ! 4 < & & γ > 1 A B

!

I 3 ( A B ' % &

) H ' & '

& )

< & ' & ' ' &

& x & & y) * .

& ' ' &

' & ' & ' ' ) & '

' )

2 % & & ) & a

A C B b A C B

^6"

'

6 "

; ' & &

b

'

. . b

a

)

6=

& ' 4 &

A ) ) aB ' '

% & b & γ ) <

, - γ ( % 0

' , ' )

E ' γ & '

)

2 ' % & ) < & ' & '

' Aσ B

- & & & '

) * & & & 3

ArB ' & & 3

Aσ B) : '

' & ' ) E

σ . & ' & Ar − σ RB

% ' r)

< % & r σ & γ < 1. : γ > 1

)

"

* ' &

. 0 ) * C . & ' 4

ρV = max

Ct,Ct

(C

^a_t

C

^b_t

)

^−γ

1 − γ + V

A

(rA − C − xC ) + 1

2 σ A V

AA

A=6B

( 0 ' C

t

C

t

ρV.V

−R R

A

= R

1 − γ a

^{a R−γ}

b x

b −γ R

+ rAV

_A^R

+ 1 2 σ A V

−R R

A

V

AA

A=!B

E .

( C & ρ = 0) C .

' ) ' 1 H

A 1 6##!B

I A!""@B)

" #

N . A=!B 3 L4

L(V )(A) = R

1 − γ a

^{a R−γ}

b x

b −γ R

+ rAV

_A^R

+ 1 2 σ A V

−R

AR

V

AA

− ρV

−r

AR

V.

6@

L & & & A ∈ [0, A

τ

])

1 A6##! 6##7B & L C &

C ) < % . A=!B '

. A6=B A6@B

' & 3 C & V 4

L(V )(A) = 0 A==B

V (A

τ

) = W (A

τ

− β) A=@B V

^′

(A

_τ

) = W

^′

(A

_τ

− β). A= B

< 3 A==B (

& V (A) & )

⁶⁶

'

( ' 4

V (A, ) = 1

2 c T (A) +

N

i

c

_i

T

_i

(A), A=8B

' A ∈ [0, A

_τ

] T

_i

(A) i &

3 , 3 & ' 4

T = 1

T = A

T

n

= 2AT

n

(A) − T

n−

(A), 4

T

_n

(A) = cos(n arccos A).

I ' . & (

( A 1 6##!B)

" ! $

I c = { c , c , c , ..., c

N

} V (A, c) &

& . A=!B) < ' 3 A=@B A= B

3 & 4

RF (A, ) ≡ L(V )(A)) A=?B

. A=?B & L(V )(A) ' 0 )

< & - c &

, RF (A, c) - 0 & ) . A=8B

. A=?B) ; ' N + 1 - c

_i

6 6

C I ' , '

C

& (

& ) E

N

. A=8B '

V A, c V A

)

6

& ) < & ' N + 1 A

i

∈ [0, A

τ

] ' A

τ

& A

τ

) : ( + 2

) < 3 & ' 4

^6!

A

_i

= A

_τ

2 (θ

_i

+ 1), θ

_i

= cos iπ

N .

&

& N + 1 . 4

RF

_i

(A

_i

, ) = 0, i = 0, 1, ..., N. A=7B

C ) )

) :

) A

τ

& A . A=8B

. A=@B 4

V (A

τ

) − W (A

τ

− β) = 0. A=#B

< 3 &

A=7B . A=#B) <

' c = (c

_i

)) E 3 ' ; ' H 4

c

^k

= c

^k

− (J

k

)

⁻

P(c

^k

) ' J

k

1 & RF (A, c)

c

^k

) : ' A

_τ

&

& ) I &

A

_τ

= A

_τ

& 4

V

^′

(A

_τ

) = W

^′

(A

_τ

− β)

* ' N = 10 H

A' B ( ρ = 0.0001)

E ' '

& )

⁶⁼

E 2 & ' )

* & ' 3 ' ' & & & '

' & ' A

_τ

4

6 !

< + 2 3 &

− ≤θi≤

) <

Ai

& &

θi ≤Ai≤Aτ

)

6 =

&

ρ

& )

68

!

← "

!

γ < 1) < A

_τ

= 0.5049.

!

!

!

!

!

#

!

← "

!

γ > 1) < A

τ

= 0.2653.

: ( ' &

' ) :

& '

) E 3 '

A ρB '

3 )

6?

% !

* ' ' ' ,

) C 3

- ) * . & ' , '

& -

' '

) <

& & 0 ) I 3

' 0 ) I

'

& ' ) *

, & ' ' .

& ) : ' ' '

- % 3

& ) < , % & '

. )

67

& '

; $ A!""7B D & . 2

D . !""7)

1) E , /) A!""#B D< ( F

(D =? A=B !"6!4!"!")

C 3 E) : ) : ) 1 ) A!""7B DI &

E / C D =" A!B

"=4 68)

C ' ) A!""6B K , : C C &

L !#A6@B 66#?46!"?)

C ) ) A!""?B D2 C P Q H - . D / G

. < R2F* @#48)

<) J I :) A!""@B)D * 4

& ' C . )D 1

& J !7 A?B 6@=?46@86)

0 / *) 1) A!""#B D -

$ * % D I , EE/;)

( ) 9) , /) E) A6##@B D* N D

N )

: ) A!""#B D/ , I & -

E / D I , <$ S E' 0 )

$ 9) ) & +) ) A6##=B D * 4

: TD !6 A8B ?6"4?68)

$ 9) ) & +) ) A6## B D < ( /

* 4 & D 1 &

? A!B !"64!6?)

$ 1) ) A6#?#B D* / N

0 & N D < C 1 & 6" A6B

==4 @)

$ 1) ) E E) A!"" B D* *

+ . D I , :/ " 6" E E & C )

$ 1) :) ) A!""7B D<

N + . D I , N & 2

)

6#

1 % ) C) E /) ;) A6##@ B D - *

D 1 6 A!B @=48 )

1 % ) C) E /) ;) A6##@ B K< - + ) I

TL !! A6"B 7"@476")

1 , ) A!""8B D C 3 &

- * / C E D =@

A!B 6?!467?)

1 9O2 A6##!B D & E + ' D

1 & 7 @6"4@ !)

1 9)2 A6##7B D; D < *< )

I) ) C 1 , ) A!""8B D , * , S 0 0

-0 I D A 3 &

- B : A + B &

<$ S E' 0 )

) E 9) A!""#B D <

N L 6= "@ @#=4 !!)

E )$) C ) E & E) ) A6## B K$ ' $

F - * TL !=A#B ?="4?@=)

E )$) $ ' /)C) A6##@B K; , , * &

- L !!A6"B4 7664767)

E I) <) 6##8 K: < & &

& ' ; ( N < L

2 =46!=U6=6)

E I) <) V) E) E !"" K ;

/ E & & TL 1 &

@#4 !U8?)

!"

( #

)

< C . ' 4

W (A

t

) = max

Ct,Ct

(C

^a_t

C

^b_t

)

^−γ

1 − γ dt + E

t

(W (A

t dt

)) ' t ≥ τ

N * MH . 4

C

max

t,Ct

(C

^a_t

C

^b_t

)

^−γ

1 − γ dt + W

A

(rA − C − yC )dt + σ

2 y C + σ

2 r A W

AA

dt = 0 A@"B

< 3 4

C

^∗_t

= W

AC^−b_t ^−γ a

a −γ−

C

^∗_t

=

^yWA

bC^b_t ^−γ− C^a_t ^−γ σ y WAA

I C

^∗_t

= B.A W (A

_t

) = W (A

_t

) =

^{M A}_−γ^−R

' B M

R = 1 − (a + b)(1 − γ) %

- & , A . A B ( B) < 4

W

_A

= M(a + b)A

^{a b −γ −}

W

_AA

= M(a + b) [(a + b)(1 − γ) − 1] A

^{a b −γ −}

C (

. ' 4

0 = 1

1 − γ



 W

A

(BA)

^{−b −γ}

a

a −γ a −γ−

(BA)

^{b −γ}





+W

_A

rA − W

_A

(BA)

^{−b −γ}

a

a −γ−

− y(BA) + W

_AA

σ

2 y (BA) + σ 2 A

!6

⇔ M

^{a −γ−}

B

^{a−b−γ−γ−}

= a a + b

−a −γ

a(1 − γ) 1 − a(1 − γ)

R

2 σ y B + σ − r + yB

( & C

^∗_t

' 4

M

^{a −γ−}

B

^{a−b−γ−γ−}

= B

b a

^{aa−γ−γ−}

(a + b)

^{−a −γ}

y + Rσ y B

$ 4

1 − γ

1 − a(1 − γ) σ y B + σ R

2 − r + yB = B

b y + Rσ y B

⇔ B R

2 σ y 1 − γ

[1 − a(1 − γ)] − 2

b + B y (1 − γ) 1 − a(1 − γ) − 1

b

+ ρ

1 − R − r + R

2 σ 1 − γ

1 − a(1 − γ) = 0

⇔ B R

2 σ y b − 2 [1 − a(1 − γ)]

1 − γ +B y b − [1 − a(1 − γ)]

1 − γ + b R

2 σ − br + bρ 1 − R = 0

⇔ B R

2 σ y 2a + b − 2

1 − γ +B y a + b − 1

1 − γ + b R

2 σ − br + bρ 1 − R = 0

∆ = y a + b − 1

1 − γ − 4 R

2 σ y 2a + b − 2

(1 − γ) b R

2 σ − br + bρ 1 − R

< & 4

B = − y ((a + b)(1 − γ) − 1) ± (1 − γ) √

∆ Rσ y [(2a + b) (1 − γ) − 2]

= − y ((a + b)(1 − γ) − 1) ± (1 − γ) √

∆ Rσ y [2 (a + b) (1 − γ) − 2 − b(1 − γ)]

= Ry ± (1 − γ) √

∆ Rσ y [2R − b(1 − γ)]

W (A

_t

) = B

^{b −γ}

B

b a

^{aa−γ−γ−}

(a + b)

^{−a −γ}

y + Rσ y B

a −γ −

A

^{a b −γ}

(1 − γ)

I ( & % - & ,

. ' A . 6! & ( B4

!!

W (A

_t

) = B

^{b −γ}

B

b a

^{aa−γ−γ−}

(a + b)

^{−a −γ}

y + Rσ y B

a −γ−

A

^−R

(1 − γ)

( % ) %

& σ C

t

& γ > 1 & σ C

t

C

t

)

< & ' 3 & %

& H @)!)

: 4 % & σ C

t

' γ > 1

: 4 % & & σ C

t

C

t

' γ < 1

: 4 % & σ C

_t

C

_t

' γ > 1

!=

)

N * MH & & V (Aτ)

_{t<τ}

& 4

C

max

t,Ct

(C

^a_t

C

^b_t

)

^−γ

1 − γ dt + V

_A

(rA − C − xC )dt + 1

2 σ A V

_AA

dt = 0 A@6B

< 3 4

aC

^a_t ^−γ−

C

^b_t ^−γ

= V

A

C

^a_t ^−γ

bC

^b_t ^{−γ −}

= xV

_A

< & 4

C

^∗_t

= a

^{−b −γ}

( b

x )

^{b −γ R}

V

_A^−R

C

^∗_t

= a

^{a R−γ}

( b

x )

^−aR−γ

V

_A^−R

/ ( C .

V

_A^−RR

4

R

1 − γ a

^{a R−γ}

b x

b −γ R

+ AV

_A^R

r + 1

2 σ A V

_A^−RR

V

_AA

= 0

I , & ' 4 f (A

_t

) = V

_A^R

f

^′

(A

_t

) =

R

V

_A^−RR

V

AA

) $ . ' 4

R

1 − γ a

^{a R−γ}

b x

b −γ R

+ f (A

_t

)A

_t

r + 1

2 σ A

_t

Rf

^′

(A

_t

) = 0

I f (A

_t

) ' & ' 4

f (A

t

) = D

A

_t

+ D A

^D_t

⇒ f

^′

(A

t

) = − D

A

_t

+ D D A

^D_t ⁻

' D D D ) < 4

!@

R

1 − γ a

^{a R−γ}

b x

b −γ R

+ D

A

_t

+ D A

^D_t

A

_t

r+ 1

2 σ RA

_t

− D

A

_t

+ D D A

^D_t ⁻

= 0

< . & & 4

g(A

_t

) + υ = 0

* & 3 ' A

_t

4

g(A

t

) = 0 υ = 0

< & 4 R

1 − γ a

^{a R−γ}

b x

b −γ R

+ D r − 1

2 σ R = 0

r + 1

2 σ RD = 0

< ' D D 4

D =



 R

γ − 1 a

^{a R−γ}

b x

b −γ R



 1

r − σ R

D = − r Rσ

I ' & ' & ' 4

V

_A

(A

_t

) =



 

 

R

γ−

a

^{a R−γ} _x^b

b −γ R

r − σ R

D

A

⁻_t

+ D A

⁻

r Rσ

t



 

 

R

D '

A . A6@B & ( B) : . ' 4

V

_A^R

= f (A) = D

A + D A

^D

⇒ V

A

= D

A + D A

^D

R

!

A . A6@B ( B4 V

_A

= W

_A

(A

_τ

− β) = M(a + b)(A

_τ

− β)

^−R

)

$ 4

D

A

_τ

+ D A

^D_τ

R

= M(a + b)(A

_τ

− β)

^−R

⇔ D

A

τ

+ D

^D

A

τ

= [M(a + b)]

^R

A

τ

− β

⇔ D A

^D_τ

= [M(a + b)]

^R

A

_τ

− β − D

A

_τ

⇔ D = [M (a + b)]

^R

(A

τ

− β)A

^Dτ

− D

A

^Dτ

.

< . A!=B ( )

= ⇒ V

_A

= D A

t

+ [M(a + b)]

^R

(A

τ

− β)A

^Dτ

− D

A

^Dτ

A

^D_t

R

=



 

  D A

_t

WA At /R

+



 

 

[M(a + b)]

^R

(A

_τ

− β)

WAAτ−β ^/R

− D A

_τ

WAAτ /R



 

  A

t

A

_τ

D



 

 

R

< ( & & ' ' & ' 4

V

_A

(A

_t

) =









R

γ−

a

^{a R−γ} _x^b

b −γ R

r − σ R



 A

⁻_t

+ G(t)





R

' G(t) ) * . A!"B ( )

; W (A

t

) & & ' '

& 4

0 = R

γ − 1 a

^{a R−γ}

b x

b −γ R

+ AW

A

r + 1

2 σ A W

AA

⇔ W (A

t

) =





R

γ−

a

^{a R−γ b}_x

b −γ R

r − σ R





R

A

^−R

(a + b)(1 − γ)

⇔ W (A

t

) = D

^R

A

^−R

(a + b)(1 − γ)

: ' σ = 0 x = y '

M = D

^R

/(a + b).

!8

! ! )

• : ρ = 0 γ < 1

% & x % & y

% & β

:& & a :& & b

!?

% & γ % & σ

% & σ % & r

!7

• : ρ = 0 γ > 1

% & x % & y

% & β

% a % & b

!#

% & γ % & σ

% & σ % & r

="

• : ρ = 0.0001 γ < 1

← ρ$

← ρ$

← ρ$

← β$

← β$

← β$

% & ρ % & β

%

←#$

←#$

←#$

←&$

←&$

←&$

% & x % & y

←$

←$

←$

←$

←$

← $

% & a % & b

=6

%

%

%

%

%

← σ$

← σ$

← σ$

← σ$

← σ_$

← σ$

% & σ % & σ

← γ$

← γ$

← γ$

←$

←$

←$

% & γ % & r

: ρ . γ >

!

!

!

!

!

!

!

#

← ρ$← ρ$

← ρ$

!

!

!

#

← ρ$ ← ρ$

← ρ$

% & ρ % & ρ A0 B

=!

!

!

!

!

!

!

!

#

←#$

←#$

←#$

!

!

!

!

#

←#$

←#$

←#$

% & x % & x A0 B

!

!

!

!

!

!

!

#

←&$ ←&$ ←&$

!

!

#

←&$ ←&$ ←&$

% & y % & y A0 B

!

!

!

!

!

!

!

!

#

←$←$← $

%

!

!

!

#

←$ ← $

←$

% & a % & a A0 B

==

!

!

!

!

!

!

#

←$

← $

← $

!

!

!

!

#

←$

← $

←$

% & b % & b A0 B

!

!

!

!

!

!

!

!

!

#

← σ$

← σ$

← σ$

!

!

!

!

!

!

!

!

!

#

← σ$ ← σ$ ← σ$

% & σ % & σ A0 B

!

!

!

!

#

← σ← σ$$

← σ$

!

!

!

!

!

!

#

← σ$← σ$

← σ$

% & σ % & σ A0 B

=@

!

!

!

!

!

!

!

!

#

← γ$← γ$

← γ$

% %

!

!

!

#

← γ$

← γ$

← γ$

% & γ % & γ A0 B

!

!

!

!

!

!

#

← β$ ← β$ ← β$

!

!

#

← β$ ← β$ ← β$

% & β % & β A0 B

=