Centre et opérateur d inertie

Centre et opérateur d’inertie

Compétences associées

B - Modéliser B2.19 Connaître la forme de la matrice d'inertie d'un solide et ses particularités et simplifications en fonction de la forme d'un solide

B2.20 Utiliser un modeleur volumique 3D pour déterminer la masse et les termes de la matrice d'inertie d'un solide

B2.21 Interpréter la signification des termes de la matrice d'inertie

B2.46 Écrire le modèle global de l’action de la pesanteur, du frottement fluide, de la résistance au roulement et du pivotement

Dans ce cours, nous allons nous baser sur l'exemple du robot ABB FlexPicker qui est un robot rapide permettant le déplacement de pièces sur une ligne d'assemblage (ou la mise en boîte de chocolats par exemple). Ce robot permet par exemple de déplacer une charge de 100 grammes d'une extrémité à l'autre de sa zone de travail (350 mm environ), et de revenir en position initiale en 0,3 secondes. Ces vitesses importantes, et alternées (cycles allers-retours) génèrent des accélérations très importantes dans le système. Les effets dynamiques sont alors non négligeables, et la conception ne peut se limiter à des études statiques et cinématiques. Il est nécessaire d'utiliser une modélisation dynamique.

⇒ Un modèle dynamique permet de prédire les efforts auxquels va être soumis le système (liaisons, pièces, etc.) lors de son fonctionnement qui fait intervenir des accélérations importantes.

Pour élaborer ce modèle dynamique, des caractéristiques inertielles propres aux pièces doivent être définies. C'est l'objet de ce cours.

1. Notion de masse et de centre d’inertie

1.1. Hypothèses et notations

En dynamique, les solides sont considérés comme : - indéformables ;

- homogènes.

On notera :

- 𝑆 le solide considéré ;

- 𝑉 le volume du solide 𝑆 (m³) ;

- 𝑑𝑉 un petit élément de volume situé autour d’un point 𝑃 de 𝑆 (m³) ; - 𝜌 la masse volumique du solide S, supposée uniforme (kg/m³) ; - 𝑑𝑚 = 𝜌. 𝑑𝑉 la masse de l’élément de volume 𝑑𝑉 (kg) ;

- 𝑚 la masse du solide 𝑆 (kg).

Pour simplifier les notations, on utilisera souvent des intégrales simples à la place des intégrales doubles ou triples, mais ce n'est qu'une simplification de notation :

𝑚 = ∭ 𝜌. 𝑑𝑉

𝑉

= ∫ 𝜌. 𝑑𝑉

𝑉

= ∫ 𝑑𝑚

𝑉

On rappelle que :

- une base est un ensemble de vecteurs : (𝑥⃗, 𝑦⃗, 𝑧⃗) - un repère est une base + une origine : (𝑂, 𝑥⃗, 𝑦⃗, 𝑧⃗)

- un référentiel est un repère + une échelle temporelle : (𝑂, 𝑥⃗, 𝑦⃗, 𝑧⃗, 𝑡)

1.2. Centre d’inertie

Centre d’inertie G

Le centre d'inertie d'un solide S est le point G tel que : 𝑚. 𝑂𝐺⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ∫ 𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗. 𝜌. 𝑑𝑉

𝑉

= ∫ 𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗. 𝑑𝑚

𝑉

Pour le calculer, on cherche 𝑂𝐺⃗⃗⃗⃗⃗⃗ par intégration. L'équation est valide quel que soit le point 𝑂 choisi. Il ne faut pas oublier de simplifier le problème grâce aux symétries du solide (voir ci-dessous).

Centre de gravité

Le centre de gravité du solide S est le point auquel l'action mécanique de la pesanteur (du poids) se résume à un glisseur (torseur des AM avec moment nul).

Si le champ de pesanteur est uniforme, centre d'inertie et de gravité sont confondus, ce qui sera toujours le cas en SI.

Exemple : Où se trouve le centre de gravité de l'effecteur de cette imprimante 3D delta ?

⇒ À l'intersection des 3 plans de symétrie, donc sur un axe. Reste à déterminer à quelle position sur l'axe par intégration.

1.3. Exemple de calcul de centre d’inertie

Calcul du centre d'inertie G d'un demi-cylindre de rayon R, d'épaisseur e : Simplification du problème grâce aux symétries :

𝑂𝐺⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑦_𝐺. 𝑦⃗ −𝑒 2. 𝑧⃗

Calcul de 𝑦𝐺 :

𝑚. 𝑂𝐺⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ∫ 𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗. 𝜌. 𝑑𝑉

𝑉

𝑚. (𝑦_𝐺. 𝑦⃗ −𝑒

2. 𝑧⃗) = 𝜌. ∫ 𝑟. 𝑒⃗⃗⃗⃗ + 𝑧. 𝑧⃗. 𝑟. 𝑑𝑟. 𝑑𝜃. 𝑑𝑧_𝑟

𝑉

On cherche seulement la composante suivant 𝑦⃗ :

𝑚. 𝑦_𝐺= 𝜌. ∫ 𝑟². (𝑒⃗⃗⃗⃗. 𝑦⃗). 𝑑𝑟. 𝑑𝜃. 𝑑𝑧_𝑟

𝑉

𝑚. 𝑦_𝐺= 𝜌. ∫ 𝑟². (𝑒⃗⃗⃗⃗. 𝑦⃗). 𝑑𝑟. 𝑑𝜃. 𝑑𝑧_𝑟

𝑉

𝑚. 𝑦_𝐺 = 𝜌. ∫ 𝑟². 𝑑𝑟

𝑟=𝑅

𝑟=0

. ∫ sin 𝜃 . 𝑑𝜃

𝜃=𝜋

𝜃=0

. ∫ 𝑑𝑧

𝑧=0

𝑧=−𝑒

𝑚. 𝑦_𝐺 = 𝜌.𝑅³ 3 . 2. 𝑒 or 𝑚 = 𝜌.^𝜋.𝑅2

2 . 𝑒

⇒ 𝑦_𝐺= 4

3𝜋. 𝑅 et 𝑂𝐺⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 4

3𝜋. 𝑅. 𝑦⃗ −𝑒 2. 𝑧⃗

2. Opérateur d’inertie

2.1. Définition

Le principe fondamental de la dynamique s'écrit, pour un solide en translation, comme :

∑ 𝐹⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑚. 𝑎𝑒𝑥𝑡→𝑆 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑀∈𝑆/𝑅₀

avec 𝑎⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ l'accélération d'un point 𝑀 de 𝑆 par rapport à un référentiel galiléen. _{𝑀∈𝑆/𝑅0}

⇒ Le terme 𝑚. 𝑎⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ est un terme d'inertie, qui a tendance à faire « conserver » sa vitesse au solide 𝑆 _{𝑀∈𝑆/𝑅0} en mouvement.

Pour un solide en rotation, le principe fondamental de la dynamique adopte une expression similaire qui fait appel non pas à la masse, mais à un opérateur d'inertie :

∑ 𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗(𝐹_𝑂 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗) = [𝑰]_{𝑒𝑥𝑡→𝑆 𝑺,𝑶}. (𝑑Ω⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗_𝑆/𝑅0 𝑑𝑡 )

𝑅₀

avec : - (^𝑑Ω⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗^𝑆/𝑅0

𝑑𝑡 )

𝑅₀l'accélération angulaire du solide 𝑆 par rapport au référentiel 𝑅₀ ; - [𝐼]_𝑆,𝑂 l'opérateur d'inertie du solide 𝑆 au point 𝑂.

Moment d’inertie d’un

solide 𝑺 par rapport à un

axe

C'est la résistance qu'oppose le solide à sa mise en mouvement de rotation. Ce moment est dû à la répartition de la masse autour de l'axe de rotation. Il se calcule à partir d'un opérateur d'inertie, qui est une matrice propre à la géométrie du solide 𝑆.

2.2. Formulation mathématique

Opérateur (ou matrice) d’inertie [𝑰]_𝑺,𝑶 d’un solide 𝑺 en

un point 𝑶

L'opérateur d'inertie du solide S (de volume V) au point O est défini par : [𝐼]_𝑆,𝑂. 𝑢⃗⃗ = ∫ 𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∧ (𝑢⃗⃗ ∧ 𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗). 𝑑𝑚

𝑉

L'opérateur d'inertie est représenté par une matrice symétrique 3×3 : [𝐼]_𝑆,𝑂= [

𝐴 −𝐹 −𝐸

−𝐹 𝐵 −𝐷

−𝐸 −𝐷 𝐶

]

(𝑥⃗,𝑦⃗⃗,𝑧⃗)

𝐴, 𝐵 et 𝐶 sont les moments d'inertie par rapport aux axes (𝑂, 𝑥⃗), (𝑂, 𝑦⃗) et (𝑂, 𝑧⃗) : 𝐴 = ∫ (𝑦²+ 𝑧²). 𝑑𝑚

𝑉

𝐵 = ∫ (𝑥²+ 𝑧²). 𝑑𝑚

𝑉

𝐶 = ∫ (𝑥²+ 𝑦²). 𝑑𝑚

𝑉

[𝑰]_𝑺,𝑶. 𝒖⃗⃗⃗ n'a de sens que si [𝑰]_𝑺,𝑶 et 𝒖⃗⃗⃗ sont exprimés dans la même base ! Un moment d'inertie par rapport à un axe (termes 𝐴, 𝐵 ou 𝐶) est :

- toujours positif ;

- nul si le solide est très fin suivant la direction considérée.

2.3. Base propre d’inertie

Base propre d’inertie

La base propre d'inertie est la base dans laquelle l'opérateur d'inertie du solide S, exprimé au centre de gravité G de S, est diagonal.

Cette base existe pour tout solide.

Si cette base propre d'inertie est (𝑥⃗, 𝑦⃗, 𝑧⃗), alors les axes (𝐺, 𝑥⃗), (𝐺, 𝑦⃗) et (𝐺, 𝑧⃗) sont les axes propres d'inertie, et le solide est dynamiquement équilibré autour de ces axes : il ne générera pas de vibrations lors de sa rotation autour de ces axes.

Notion d'équilibrage d'un solide en rotation autour d'un axe Δ :

- équilibrer statiquement le solide revient à placer son centre de gravité sur l'axe Δ.

- équilibrer dynamiquement le solide revient à s'assurer que l'axe Δ est l'un des axes propres d'inertie

Équilibrage dynamique ⇒

⇍ Équilibrage statique

Intérêt de l'équilibrage :

Si le solide n'est pas équilibré (statiquement et dynamiquement), il va générer un balourd (des vibrations) lors de sa rotation. Dans certains systèmes, comme le vibreur de téléphone représenté ci-contre, on cherche à créer des vibrations en utilisant un déséquilibrage.

Exemple : équilibrage d'une roue de voiture

Le but de l'équilibrage des roues, pratiqué à chaque montage de pneumatique sur une jante, est d'éviter les vibrations à haute vitesse.

On améliore ainsi la tenue de route et on réduit l'usure des pneumatiques.

2.4. Propriétés des opérateurs d’inertie

2.4.1. Symétrie par rapport à un plan

Si 𝑆 possède un plan de symétrie (𝑂, 𝑥⃗, 𝑦⃗), alors sa matrice d'inertie exprimée en un point 𝑂 de son plan de symétrie se met sous la forme :

𝐷 = ∫ 𝑦. 𝑧. 𝑑𝑚

𝑉

= 0 𝐸 = ∫ 𝑥. 𝑧. 𝑑𝑚

𝑉

= 0

⇒ [𝐼]_𝑆,𝑂 = [

𝐴 −𝐹 0

−𝐹 𝐵 0

0 0 𝐶

]

(𝑥⃗,𝑦⃗⃗,𝑧⃗)

car tout point 𝑃 a un symétrique 𝑃’.

2.4.2. Symétrie par rapport à deux plans perpendiculaires (et forme de révolution)

Si 𝑆 possède deux plans de symétrie (𝑂, 𝑥⃗, 𝑦⃗) et (𝑂, 𝑥⃗, 𝑧⃗) (ce qui est le cas des solides de révolution), alors sa matrice d'inertie exprimée en un point 𝑂 appartenant à l'intersection des deux plans de symétrie se met sous la forme :

𝐷 = 𝐸 = 𝐹 = 0

⇒ l’opérateur d’inertie [𝐼]_𝑆,𝑂 devient diagonal :

⇒ [𝐼]𝑆,𝑂 = [

𝐴 0 0

0 𝐵 0

0 0 𝐶

]

(𝑥⃗,𝑦⃗⃗,𝑧⃗)

2.5. Exemple de calcul d’un opérateur d’inertie

Calcul de l'opérateur d'inertie d'un cylindre en son centre de gravité G :

On recherche l'opérateur d'inertie d'un cylindre plein homogène 𝑆 de hauteur ℎ, de rayon 𝑅, de masse 𝑚, en son centre de gravité 𝐺, dans une base (𝑥⃗, 𝑦⃗, 𝑧⃗) telle que (𝐺, 𝑧⃗) est l'axe du cylindre.

𝐴 = ∫ (𝑦²+ 𝑧²). 𝑑𝑚

𝑉

𝐵 = ∫ (𝑥²+ 𝑧²). 𝑑𝑚

𝑉

𝐶 = ∫ (𝑥²+ 𝑦²). 𝑑𝑚

𝑉

Calcul de 𝑪 :

𝐶 = ∫ (𝑥²+ 𝑦²). 𝑑𝑚

𝑉

= ∫ 𝑟². 𝜌. 𝑟. 𝑑𝑟. 𝑑𝜃. 𝑑𝑧

𝑉

= 𝜌. ∫ 𝑟³. 𝑑𝑟

𝑅

0

∫ 𝑑𝜃

𝜋

−𝜋

∫ 𝑑𝑧

ℎ 2

−ℎ 2

=𝜌. 𝜋. 𝑅⁴. ℎ 2 or 𝑚 = 𝜌. 𝜋. 𝑅². ℎ

⇒ 𝐶 =𝑚. 𝑅² 2

Calcul de 𝑨 : On remarque qu'on peut lier l'intégrale à celle utilisée pour calculer 𝐶.

2𝐴 = 𝐴 + 𝐵 = ∫ (𝑥²+ 𝑦²+ 2𝑧²). 𝑑𝑚

𝑉

= 𝐶 + ∫ (2𝑧²). 𝑑𝑚

𝑉

∫ (2𝑧²). 𝑑𝑚

𝑉

= ∫ 2𝑧². 𝜌. 𝜋. 𝑅². 𝑑𝑧

ℎ 2

−ℎ 2

=2

3. 𝜌. 𝜋. 𝑅²((ℎ 2)

3

− (−ℎ 2)

3

) =𝑚. ℎ²

6 ⇒ 𝐴 =𝑚. 𝑅²

4 +𝑚. ℎ² 12

⇒ [𝐼]_𝑆,𝐺 = [

𝑚. 𝑅²

4 +𝑚. ℎ²

12 0 0

0 𝑚. 𝑅²

4 +𝑚. ℎ²

12 0

0 0 𝑚. 𝑅²

2 ](𝑥⃗,𝑦⃗⃗,𝑧⃗)

2.6. Théorème de Huygens

Théorème de Huygens

Déplacement d’une matrice d’inertie :

Ce théorème permet le calcul de l'opérateur d'inertie d'un solide S en un point P quelconque à partir de l'opérateur d'inertie de S en G, centre de gravité. Il s'écrit pour le solide S de masse m :

[𝐼]_𝑆,𝑃 = [𝐼]_𝑆,𝐺+ [𝐼]_{𝑚∈𝐺,𝑃} Ceci est équivalent à :

[𝐼]_𝑆,𝑃= [

𝐴_𝑃 −𝐹_𝑃 −𝐸_𝑃

−𝐹_𝑃 𝐵_𝑃 −𝐷_𝑃

−𝐸_𝑃 −𝐷_𝑃 𝐶_𝑃 ] = [

𝐴_𝐺 −𝐹_𝐺 −𝐸_𝐺

−𝐹_𝐺 𝐵_𝐺 −𝐷_𝐺

−𝐸_𝐺 −𝐷_𝐺 𝐶_𝐺

] + 𝑚. [

𝑦_𝐺²+ 𝑧_𝐺² −𝑥_𝐺. 𝑦_𝐺 −𝑥_𝐺. 𝑧_𝐺

−𝑥_𝐺. 𝑦_𝐺 𝑥_𝐺²+ 𝑧_𝐺² −𝑦_𝐺. 𝑧_𝐺

−𝑥_𝐺. 𝑧_𝐺 −𝑦_𝐺. 𝑧_𝐺 𝑥_𝐺²+ 𝑦_𝐺² ] avec (𝑥_𝐺, 𝑦_𝐺, 𝑧_𝐺) les coordonnées de 𝑃𝐺⃗⃗⃗⃗⃗⃗ dans (𝑥⃗, 𝑦⃗, 𝑧⃗).

Tous les opérateurs d'inertie sont bien sûr exprimés dans la même base (𝑥⃗, 𝑦⃗, 𝑧⃗).

Le théorème de Huygens revient à dire que l'opérateur d'inertie d'un solide S en un point P est la somme de :

- l'opérateur d'inertie de S en G (centre d'inertie du solide) ;

- l'opérateur d'inertie en P d'un solide dont la masse serait concentrée en G.

Souvent, on calcule l'opérateur d'inertie en G et on utilise le théorème de Huygens pour le déplacer au point P souhaité.

Utilisation du théorème de Huygens pour trouver la matrice d'inertie d'un cylindre en son extrémité O :

À partir des résultats obtenus précédemment, déterminer l'opérateur d'inertie du cylindre au point O.

[𝐼]_𝑆,𝑂 = [𝐼]_𝑆,𝐺+ [𝐼]_{𝑚∈𝐺,𝑂} On a : 𝑂𝐺⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (

𝑥_𝐺 𝑦_𝐺 𝑧_𝐺) = (

0 0

−^ℎ₂ ) D’après le théorème de Huygens :

[𝐼]_𝑆,𝑂 = [

𝐴 0 0

0 𝐴 0

0 0 𝐶

] + 𝑚. [

𝑦_𝐺²+ 𝑧_𝐺² −𝑥_𝐺. 𝑦_𝐺 −𝑥_𝐺. 𝑧_𝐺

−𝑥_𝐺. 𝑦_𝐺 𝑥_𝐺²+ 𝑧_𝐺² −𝑦_𝐺. 𝑧_𝐺

−𝑥_𝐺. 𝑧_𝐺 −𝑦_𝐺. 𝑧_𝐺 𝑥_𝐺²+ 𝑦_𝐺² ]

[𝐼]_𝑆,𝑂= [

𝐴 0 0

0 𝐴 0

0 0 𝐶

] + 𝑚.

[ (ℎ

2)

2

0 0

0 (ℎ

2)

2

0

0 0 0]

𝐴 + 𝑚 (ℎ 2)

2

0 0

𝑂