N OUVELLES ANNALES DE MATHÉMATIQUES
A RTHUR L EINCHUGEL
Concours d’admission à l’École spéciale militaire (1878). Deuxième question
Nouvelles annales de mathématiques 2
esérie, tome 18 (1879), p. 368-369
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CONCOURS D'ADMISSION A L'ÉCOLE SPÉCIALE MILITAIRE ( 1 8 7 8 )
DEUXIÈME QUESTION ( v o i r p . 9 0 ) ;
SOLUTION DE M. ARTHUR LEINCHUGEL, Etudiant en Mathématiques.
On donne les trois côtés a, £, c cVun triangle, et Von suppose a ^>b^> c. Déterminer la quantité x quil faut retrancher de chaque côte pour que le triangle qui aurait pour côtés a — x, h — or, c —x soit rec- tangle. (Discussion sommaire.)
On doit avoir, d'après l'énoncé,
[a — .r)2=z [b — ^)2-4- [c — x)2
ou
( 1 ) x2 — i{b-{-c — a)x-{- b2-\-c2— a2 = o .
Les deux racines de cette équation sont réelles, car on a (b-t-c — a)2 - ( / »2 + t2- «2) ~i[a — b) (a — c ) > o ; leur somme 2 ( 6 - J - c — a) est positive, puisque le côl<'>
a du triangle donné est moindre que la somme des deux autres côtés.
Le produit b2 -h c2 — a5 de ces racines peut s'écrire b2 -4- c2 — a2 =z ibe cos A ;
donc, quand A > 900, on a i2 -f- c? — a~ < o, et les ra- cines sont de signe contraire.
Pour A < 900, on a lr -4- c* — a- "> o, et les deux ra- cines sont positives.
Si À = 900, h" f-1- — a* = o, et l'équation (1) se ré- duit à
x [ x — 2 . ( b - t - c — « ) ] ; d ' o ù x = o e t x — i [ b -\- c — a ) . La racine 2 ( i + c — a ) , étant plus grande que c, ne peut convenir.
On voit facilement que, dans les hypothèses À ^ 900, la racine correspondant au signe -f-, pris devant le radi- cal, est plus grande que c, et, par suite, doit être reje- t é e ( « ) .
