Question d'examen (École navale)

N OUVELLES ANNALES DE MATHÉMATIQUES

Question d’examen (École navale)

Nouvelles annales de mathématiques 1

série, tome 17 (1858), p. 283-284

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QUESTION D'EXAMEN (ÉCOLE NAVALE).

Trouver la limite du produit cos a . cos - • cosT • cos ^ • • •

r 2 4 "

Euler a résolu la question-, il ne l'aurait pas proposée dans les examens d'admissibilité à l'Ecole Navale.

On a

sin ia =z 2.sin a.coscf,

sin a = i . sin I - i • cos ( — 5

W w

( cos ( — a \ . / *

) = 2.sin ( —

La multiplication de ces équations donne

sin 2 a = 2"⁺⁾ sin' ( ~ ) X cos a. cos I - ) cos ( — J. . cr>s d'où

fa\ / a

cos a. cos { - ) cos ( —;

' .sin I —

mais

/sin 20

I 1 f sin 2 a

2"+'.sin (l)

\ 2" /

(

' sin — / sin. —

sin —

Quand n augmente indéfiniment, la fraction -—r-2

moindre que l'unité augmente aussi, et tend vers l'unité,, ^%

A la limite (/? = 00 ) on a

CL

2*

a 2"

D o n c l a l i m i t e d u p r o d u i t c o s a . c o s f - j c o s [ j \ . • ., e s t

sin ia

ou cos a X • 2 a a

Supposons

7»

il en résultera

T. a = - 5 sin 2 a = 1 ; 2

ta par suite

l i m . c o s ( 7 • c o s 5 c o s - 7 • • • = : - :

\4/ \8/ \l6/ w ' l ' o ù

G.