Sommation de certains développements

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N OUVELLES ANNALES DE MATHÉMATIQUES

D ÉSIRÉ A NDRÉ

Sommation de certains développements

Nouvelles annales de mathématiques 2

^e

série, tome 10 (1871), p. 368-371

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SOMMATION DE CERTAINS DÉVELOPPEMENTS,

PAR M. DÉSIRÉ ANDRÉ.

I.

THÉORÈME. — Étant données deux suites de nombres

Ao, Aj j A2 j . . . 5 An y

Bo, B , , B2, . . . , B„,

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telles que, dans la première, les termes équidistants des extrêmes soient égaux, et que, dans la seconde, les termes équidistants des extrêmes aient une somme con- stante 2 G; si Von désigne par S la somme des termes de la première suite, on aura

En effet, on a

fc~n

Y A*BA = AoBê 4- A,B, -4- A2B,-t-. . . -f- A„B„

k ~o et

k=zn

AnBf i- + - A ^ i B , , ™ , 4 - A „ _2B „ _ _a -f- . . . - t - A0A0 ;

ajoutons ces égalités, membre à membre, en nous rap- pelant que, par hypothèse. A„_* = A ^ nous trouvons

Bⁿ) + A,(B, 4- B„_.) -f- .. . -4-A„(B„-4- B.);

or, chaque parenthèse est égale à 2G, d'après l'énoncé du théorème ; donc

h=zn

2 Y A A B * : = 2 G ^ A O - 4 - A, -4-. . . -4- A„),

donc

k = n

z=GS, ce qu'il fallait démontrer.

Remarque. — On établirait facilement un théorème

Ânn. de Mathémat., 2€ série, t. X. (Août 1871.) 2^

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analogue, mais plus général, en supposant que les nombres de la seconde suite satisfissent a l'égalité

vS laquelle/?, q, /désignent des constantes.

IL iIC application. — Supposons

AA = i, B* = a -4- /Y/,

en appliquant le théorème précédent, nous trouvons

formule qui donne la somme des n + i premiers termes d'une progression arithmétique ayant pour premier terme a et pour raison d.

I^e application. — Prenons pour première suite les coefficients du binôme, pour seconde suite les termes d'une progression arithmétique, ce qui revient à poser

nous avons

S — 2n, 2 G — 2 Û ~h nd,

et par suite

A=zn

3e Application. — Appelons toujours C* le coefficient de x*, dans le développement de (i -+- w)n, et posons

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alors

S = 2n, 2.G r= sin/ia, et l'on trouve

\ C* sin^a cos(/2 — A)a = a71"^1 sinrea.