Solution de la question 464

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N OUVELLES ANNALES DE MATHÉMATIQUES

C REMONA

Solution de la question 464

Nouvelles annales de mathématiques 1

^re

série, tome 19 (1860), p. 149-151

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SOLUTION DE LA QUESTION 4 6 4

(voir t. XVIII, p. 117);

PAR M. CREMONA, Professeur à Crémone (*).

Soient a , (3 , y, à les distances d'un point quelconque à quatre plans donnés; il est évident que l'équation la plus générale d'une surface du second ordre circonscrite au tétraèdre formé par les quatre plans

(*) Maintenant piofebseur^au lycée à Milan.

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( » 5 o ) sera

/jiy -f- m y a -f- /îap 4- Aa5 + {*p5 -f- ^7$ = O.

Cette surface est coupée par le plan â = o suivant la co- nique

Soient a', j3', y' les distances d'un point quelconque du plan 3 = 0 aux côtés du triangle à = o (a = o, /3 = o, y = o) : triangle fournie par l'intersection du plan â avec les plans a, (3 , y \ on a

où ad est l'angle des plans a — ô = o, etc. Donc l'équa- tion de la conique rapportée au triangle inscrit sera

Les angles du triangle sont |3(îy, yda, aJ[3 où |3(îy (*) ex- prime l'angle que fait l'intersection des faces j5 == cî = o avec l'intersection des faces y = J == o. On sait que la conique représentée par l'équation ci-dessus est une cir- conférence, si Ton a

l \ m \ n =. sina£.sin^7 : sin$8.sin75a : sin7<î.sina<îp.

(Salmon.) De même, si les plans a = o,/3 = o , y = o coupent la surface suivant des circonférences, on aura

/ : u. ; v = sin SOL . sin ^ 7 IH ; v ; X = sin5p.sin7pa ; si

// : A : u. = . sin 57 . sin a7Ji : sin ^7. sin57a : s i n a 7 . sin

(^A) /So'/ e»l l'angle qui, dans renonce de la question, a ete désigné par S*, y*). P.

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De là ou tire immédiatement que / , m, rc, X, fi, v sont proportionnelles aux quantités

——-— sin 78a. sin 7 0 a ,

SH170C 'r '

sin B7 . _ . - — ~ Sin aBo . sin a«yd, sin a(î

s i n 7ÛC

——7-r bin B7 S. sin Öa^, sin ftf ' ' ^ sinaö . . . _.

-: 7: sin7aö. sin 7S0 ,

sin7# r

<e qui démontre le théorème de M. Prouhet.