Note sur la théorie des logarithmes

(1)

N OUVELLES ANNALES DE MATHÉMATIQUES

M OURGUE

Note sur la théorie des logarithmes

Nouvelles annales de mathématiques 1

^re

série, tome 11

(1852), p. 109-112

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(2)

NOTE SUR LA THÉORIE DES LOGARITHMES;

PAR M. MOURGUE, Professeur au lycée de Marseille.

De simples considérations d'arithmétique permettent d'arriver à l'inégalité

et d'en déduire une limite de l'erreur commise dans l'em- ploi de la proportion tabulaire.

Admettons, pour un instant, l'inégalité

(i - h a)m «< i -H m a (i -f~ a)'",

dans laquelle m désigne un nombre entier, et a un nom- bre commensurable ou non.

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( " o ) Si, après lui avoir donné la forme

[i -t-g)m— i J ^ w( , .+.«)« ' on pose

I -f- a — y IO,

il en résulte

et, par suite,

h IO/W

d'où Ton déduit, en faisant m = 9.10",

9.io"/

V.O.

Mais, dans le système décimal dont il s'agit ici, le logarithme de V10 est . Donc

f 9«^IO'^J

Cela posé, on a *

log (N 4- A) — log'N = log —

d'où

Pour une même valeur de h, cette dernière quantité di- minue quand N augmente, et, pour une même valeur de N, elle diminue avec h.

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Soient maintenant h = — et N = io4, on aura

io² /

Ainsi, quand un nombre J N ^ i o o o o reçoit des accroissements successifs égaux à , il en résulte, pour son logarithme, des accroissements correspondants, dont les valeurs vont en décroissant, et deux de ces valeurs consécutives sont égales entre elles, à moins de •—.

. 9.10"

Soit i le premier de ces accroissements ; le second sera compris entre i et i -> le troisième entre i et

r 9 '^{1 0}

i — 2 , . . . , le centième entre i et i — oo.

9.10" ^ 9 . 1 0 "

Donc, si le nombre N croît de 100 centièmes ou 1, la variation A de son logarithme sera la somme des cent accroissements précédents, et sera comprise entre 1001 et

I O O . Q Q 1 , y j '

100 J — • ? c est-a-dire que 2 9 . 1 0 " *•

ö.100.oq

& = 1 0 0 i ^ 5 2 . 9 . 1 0 "

en désignant par 9 une quantité comprise entre o et 1.

De même, si le nombre N croît de p centièmes, on aura, pour la variation de son logarithme,

D = , / On déduit de là

D A P = 0

100 2 . 9 . io11

Or, pour /?<^ioo, le numérateur est inférieur à 10% et le second membre est plus petit que -5 ou -^—— •

r v ^ 18.10" 1,8. ioB

(5)

Ainsi l'égalité D = A-^~, qui n'est autre chose que la proportion usitée, donne pour D une valeur exacte, à moins de - d'une unité du huitième ordre. Cette limite5

9

est la moitié environ de celle que donne l'algèbre, comme on le voit dans l'intéressant article de M. Serret (p. 3i).

Passons maintenant à la démonstration de l'inégalité précédemment admise.

De l'égalité on déduit

d'où, par

(H-a)"1

(H-a)—

i H- a

addition,

( i + a

< (

< (

<

i -f-a I -4-a

i

; r -+-

)m~l -f-

)-'+

-+-

m a (i a

a

+

(' + (> + (>-*-

• a ) "1.

•a)™,

• a ) - ,