E308-Le problème depuis longtemps impossible
Solution
Soient X,Y et Z les âges des trois enfants pris dans l’ordre croissant à la date où Théophile pose l’énigme à Diophante et Hippatie..
Comme il est fait allusion au plus jeune des enfants, on a X <Y Z.Par ailleurs, aucun des enfants n’est majeur à ce jour, donc X <Y Z < 21.
Par ailleurs Théophile a posé le problème à Hippolyte il y a k années avec 1 < k < X. Les enfants de Théophile avaient donc pour âges X-k, Y-k et Z-k.
Si Hippolyte et Diophante n’ont pas su répondre, c’est qu’ils étaient l’un et l’autre face à des ambiguïtés avec deux ou plusieurs triplets de nombres entiers ayant la même somme S et le 1 même produit P en ce qui concerne Hippolyte, la même somme 1 S et le même produit 2 P en 2 ce qui concerne Diophante.
Un programme informatique très simple permet de faire l’inventaire complet de tous les couples de triplets possibles constitués de nombres entiers compris entre 3 et 20 et pour lesquels il existe une somme commune et un produit commun.
Le tableau ci-après en donne la liste classée selon les sommes croissantes et pour une somme donnée selon les produits croissants.
Il s’agit d’identifier dans ce tableau les triplets qui sont à la fois de le forme X-k, Y-k, Z-k et X,Y,Z avec k=2,3,4,5,6. Ils traduisent le fait qu’Hippolyte n’a pas pu répondre il y a k années et que Diophante lui non plus n’a pas pu répondre cette année.
En bleu pâle, clair et foncé les trois couples de triplets pour lesquels le décalage est de deux ans : (3,4,14) et (5,6,16),puis (3,12,14) et (5,14,16) ,enfin (7,10,18) et (9,12,20).
En vert pâle, clair et foncé les trois couples de triplets qui font apparaître un décalage de trois ans : (4,5,12) et (7,8,15),puis (2,9,15) et (5,12,18), enfin (3,4,12) et (6,7,15).
Enfin en rouge, l’unique couple de triplet qui traduit un décalage de quatre ans : (5,6,12) et (9,10,16).
somme produit
n°1 X Y Z X Y Z produit
n°2 X Y Z X Y Z produit
n°3 X Y Z X Y Z produit
n°4 X Y Z X Y Z 19 144 2 8 9 3 4 12
21 168 2 7 12 3 4 14 240 3 8 10 4 5 12 23 360 4 9 10 5 6 12
24 240 2 10 12 3 5 16 25 360 3 10 12 4 6 15 26 270 2 9 15 3 5 18 27 480 4 8 15 5 6 16
28 432 3 9 16 4 6 18 560 4 10 14 5 7 16 630 5 9 14 6 7 15 29 360 2 12 15 3 6 20 504 3 12 14 4 7 18
30 840 6 10 14 7 8 15 31 720 4 12 15 5 8 18 32 1008 6 12 14 7 9 16 33 840 4 14 15 6 7 20
35 1080 5 12 18 6 9 20 1120 5 14 16 7 8 20 1260 6 14 15 7 10 18 1440 8 12 15 9 10 16 36 1200 5 15 16 6 10 20
37 1440 6 15 16 8 9 20 40 2160 9 15 16 10 12 18 41 2160 8 15 18 9 12 20
Il n’ y a pas de couples pour lesquels le décalage est de cinq ans ou six ans. Il y a un couple qui fait ressortir un décalage de sept ans : (2,8,9) et (9,15,16) mais il va au delà du laps de temps mentionné par Théophile.
Le décalage ne peut pas être de deux ans car Théophile n’aurait pas pu affirmer à Hippatie qu’elle serait en mesure de répondre car il y a ambiguïté sur trois couples de triplets et seule une information supplémentaire permettrait de lever cette ambiguïté. Même raisonnement avec le décalage de trois ans. A l’inverse, il y a un seul couple de triplets qui fait apparaître un décalage de quatre ans. Si Hippatie peut répondre sans avoir besoin d’informations
supplémentaires, c’est donc ce couple qui lui fournit la seule solution possible.
Les âges actuels des enfants de Théophile sont donc de
