2017-2018
3M270-Partiel du 26 mars 2018
Les documents, ordinateurs, calculatrices et téléphones portables sont interdits.
Veillez à bien justifier vos réponses.
I
1)Déterminer les facteurs invariants du groupeG=Z/63Z×Z/14Z×Z/6Z×Z/147Z..
2)Déterminer, à isomorphisme près, tous les groupes abéliens d’ordre2205.
Pour chacun d’eux on indiquera ses facteurs invariants.
NB :2205 = 32×5×72.
II
Soitn≥5un nombre entier etSnle groupe des permutations denéléments.
On noteAn le sous-ensemble deSn formé des permutations paires.
1)Montrer queAn est un sous-groupe distingué deSn.
2) Montrer que tout produit de2transpositions est un produit de cycles de longueur3.
En déduire que An est engendré par les cycles de longueur3.
3)
a) Soitσ= (i j k)un cycle de longueur 3. Montrer qu’il existeτ ∈An tel queσ=τ(1 2 3)τ−1.
b) SoitGun sous-groupe distingué deAn. contenant un cycle de longueur 3.
Montrer queGcontient tous les cycles d’ordre3. En déduire queG=An. 4)
a)Soitσ= (i j)(k l)une double transposition (produit de deux transpo- sitions disjointes). Montrer qu’il existeτ ∈An tel que σ=τ(1 2)(3 4)τ−1.
b) SoitGun sous-groupe distingué deAn. contenant une double transposi- tion.
Montrer queGcontient toutes les doubles transpositions.
Suite au verso
1
On suppose désormais quen= 5 5) DansA5, donner :
- le nombre de doubles transpositions . - le nombre de cycles de longueur 3 - le nombre de cycles de longueur 5.
6) SoitX⊂A5l’ensemble des cycles de longueur 5.
a) Montrer queA5 opère surX par conjugaison.
b)Expliciter le stabilisateur deσ= (1 2 3 4 5)et donner son cardinal.
c) En déduire qu’il y a deux orbites, chacune de cardinal 12.
7)SoitH 6={id}un sous-groupe distingué deA5. Déduire de ce qui précède queH =A5.
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