PS26 PRINTEMPS 2010 FINAL (correction) : Cours

PS26 PRINTEMPS 2010 FINAL (correction) : Cours

Question 1: La loi d’Ohm locale dit que dans un conducteur ohmique, la densité de courant j^et le champ électrique _E^sont proportionnels soit : j^ E^. Dans cette expression,  est la conductivité du matériau.

Question 2 : Expressions des champs électromoteurs d’induction :

1. Dans le cas de l’induction de Lorentz, E^_m ^v B^ où ^_v est le vecteur vitesse d’un point d’un circuit en mouvement et _B^ le champ magnétique dans lequel se trouve ce circuit.

2. Dans le cas de l’induction de Newmann, E_m A t

 

   où _A^est le potentiel vecteur au point du circuit considéré.

Question 3 : La loi de Lenz dit qu’un courant induit par ses effets s’oppose aux causes qui l’ont fait naître. Par exemple si un circuit se déplace dans un champ magnétique (induction de Lorentz), le courant induit créé par ce déplacement provoquera une force de Laplace qui tendra à diminuer cette vitesse. Si un courant induit est créé par un champ magnétique variable (induction de Neumann), le champ magnétique créé par ce courant induit sera en sens contraire de la variation du champ inducteur.

Question 4 : Les deux relations sont :

E Grad V A t B rot A

  

 

  





Question 5: Dans une onde électromagnétique plane, les champs électrique et magnétique sont perpendiculaires entre eux et perpendiculaires à la direction de propagation. Champ électrique, champ magnétique et direction de propagation doivent dans cet ordre former un trièdre direct. La norme du champ électrique est c fois plus grande que la norme du champ magnétique (c célérité de la lumière).

Question 6 : L’onde se propageant suivant les y décroissants, il doit apparaître la variable (t y)

c ce qui élimine la première et la quatrième proposition. D’autre part, le champ électrique doit être perpendiculaire à la direction de propagation u^_y ce qui élimine la troisième proposition. Donc seule la deuxième proposition

o z

E E cos(w(t y)) u c

 

  est correcte.

PS26 PRINTEMPS 2010 FINAL (deuxième partie) :

Exercices 1 h 40 mn Polycopié et calculettes

autorisés

Exercice n°1 (TP) : D’après la formule le pas sin r sin(13, 43)₉ ⁵

p 1.46 10

k 3*531.10^

  

 m^-1. Or le pas est le nombre de

traits par unité de longueur donc l’inverse de la distance séparant deux traits du réseau donc cette distance a vaut : a 1 6.86.10 m⁶

p

   .

Exercice n°2 (TP) :

1. u^z est un vecteur parallèle à l’axe de la spire orienté suivant la règle d’Ampère (faire un schéma).

2.

Pente (mT/A) Ordonnée à l’origine (mT)

Valeur 6.3 10^-1 1.2 10^-1

Ecat-type 0.1 10^-1 3 10^-2

3. On aura 0 ⁶

2R * pente

1.2710 N

    SI (en passant la pente en T/A).

4. Oui, la valeur théorique appartient à l’intervalle obtenu en prenant une pente comprise entre 6,1 et 6,7 10^-4 SI.

5. Non car l’ordonnée à l’origine aurait du être nulle ce qui n’est pas le cas même à trois écart-types près.

Il y a peut être un décalage de zéro du capteur de champ magnétique, ce qui n’influencerait pas la pente d’où la valeur correcte pour o.

Exercice n°3 :

1. Compte tenu de l’orientation de la spire le vecteur surface est parallèle à u^_z et de même sens.

2. Le champ étant uniforme et parallèle au vecteur surface, on aura simplement   a²B cos wto . 3. D’après Faraday, e d B a²w sin wt_o

dt

     .

4. Il s’agit-il d’induction de Neumann puisque le circuit est fixe et le champ variable.

5. On aura simplement i e a²B w sin wt⁰

R R

 

6. La résultante des forces magnétiques est nulle puisque le champ est uniforme et que le circuit est fermé (théorème de cours). On peut aussi montrer que les forces s’annulent deux à deux par symétrie.

7. En utilisant la formule de l’exercice précédent, on aura :

0 0

i z

aB w sin wt

B u

2 R

   



8. On se propose de montrer que les résultats précédents sont conformes à la loi de Lenz.

a. La cause du courant induit est la variation du champ magnétique.

a. Calculer _i d B ⁰ aB w² sin ²wt⁰²

B . dt 2 R

   

  < 0.

b. Le champ induit est bien en sens contraire des variations du champ inducteur, cause de l’induction. La loi de Lenz est donc bien vérifiée.

Deuxième partie :.

1. Le circuit étant en mouvement, il s’agit d’induction de Lorentz.

2. On a E^_m  ^v B vB u^ ₀ ^_.

3. Il suffit de faire circuler le champ électromoteur sur la spire avec dl dl u ,e^ ^_ 

 

i R

 

5. _J 4 ²a²v²B ²⁰ P Ri²

R

  

6. df^ i dl B^  ^ idlB u₀ ^_z

7. En intégrant dl et en remplaçant i par sa valeur on trouve bien 4 ²a²B ²v⁰ _z

F u

R

  

  .

8. 4 ²a²v²B ²⁰ _J

P F. v P

R

  

    

9. P + PJ = O. On retrouve la loi de base de la physique : la conservation de l’énergie.

Exercice n°4

:

1. La première se dirige suivant l’axe des x dans le sens des x décroissants et la deuxième suivant le même axe mais dans le sens des x croissants.

2. Les deux champs gardant une direction fixe suivant Oy, la polarisation est donc rectiligne.

3. Le champ électrique doit être perpendiculaire à la direction de propagation et perpendiculaire au champ magnétique, le trièdre formé devant être direct on aura donc :

1 o1 Z

E cB cos(w(t x)) u c

 

 

2 o2 z

E cB cos(w(t x) ) u c

 

    

4. ₁ ^{1 1 o12} _x

0 0

cB

E B x

cos ²(w(t )) u c

 

  

    

 

2 o2

2 2

2 x

0 0

cB

E B x

cos ²(w(t ) ) u c

 

  

     

 

Ces deux vecteurs doivent être orientés dans le sens de propagation de l’onde qu’ils représentent. Leur norme donne la puissance par unité de surface de l’onde.

5. L’onde émise par A doit être l’onde 2 car elle doit aller de A vers M donc dans le sens des x croissants.

6. A un instant donné, le cos doit avoir la même valeur en x = 0 pour l’onde 2 et en x = d pour l’onde 1 donc : wd

  c .

7. Comme  = cT, si d est un multiple de la longueur d’onde,  sera un multiple de 2 et pourra être ignoré dans une fonction sinusoïdale. En effet wd wp wpcT 2p

c c c

     .

8. B_tot B B_{1 2} 2B cos(wt) cos(₀ wx) u_y c

   

   ce qui est bien la forme demandée.

9. De même E_tot E₁ E₂ 2cB sin(wt)sin(₀ wx) u_z c

   

   

10. Le champ magnétique peut donc être vu comme une fonction sinusoïdale du temps ayant pour amplitude ₀ wx

2B cos ( )

c . De même, le champ électrique avec pour amplitude ₀ wx 2cB sin ( )

c . 11. Le champ électrique sera donc nul lorsque ₀ wx

2cB sin ( )

c sera nul soit x multiple de.

12. Deux nœuds seront donc séparés d’une demi longueur-d’onde.

13. Le champ électrique sera donc maximal lorsque 0

2cB sin (wx)

c sera maximal soit x multiple impair de.

14. Deux ventres seront donc aussi séparés d’une demi longueur-d’onde.