PS26 PRINTEMPS 2010 FINAL (première partie) : Cours
20 mn maximum Aucun document autorisé
Dans cette partie de cours, vous devez rédiger par des phrases très claires et très précises en vous aidant éventuellement de schémas. La notation tiendra grandement compte de la qualité et de la précision des explications et des schémas.
Question 1: Enoncer la loi d’Ohm locale pour un conducteur ohmique en précisant clairement la signification de tous les termes intervenant dans cette équation.
Question 2 : Donner les expressions des champs électromoteurs d’induction : 1. Dans le cas de l’induction de Lorentz.
2. Dans le cas de l’induction de Newmann.
Question 3 : Enoncer la loi de Lenz et donner un exemple.
Question 4 : Donner les relations permettant de trouver les champs électrique et magnétique Eet B à partir des potentiels scalaire V et vecteurA.
Question 5 : Rappeler toutes les propriétés fondamentales des ondes électromagnétique planes dans le vide.
Question 6 : Une onde électromagnétique plane sinusoïdale se propage suivant l’axe Oy d’un repère cartésien (Oxyz) dans le sens des y décroissants. Parmi les propositions ci-dessous, donner en justifiant très clairement (y compris pour les expressions fausses) les expressions du vecteur champ électrique qui vous paraissent mathématiquement compatibles avec une telle onde :
o x
E E cos(w(t y)) u c
o z
E E cos(w(t y)) u c
o y
E E cos(w(t y)) u c
o y
E E cos(w(t z)) u c
PS26 PRINTEMPS 2010 FINAL (deuxième partie) :
Exercices 1 H 40 mn Polycopié et calculettes
autorisés
Exercice n°1 (TP) : La formule des réseaux utilisés sous incidence nulle est sin r = kp. Si on mesure à l’ordre 3 la déviation de la raie verte du Thallium (531 nm), on trouve r = 13,43° (degrés décimaux). Quelle est la distance séparant deux traits du réseau ? On arrondira correctement le résultat en fonction de la précision des données.
Exercice n°2 (TP) : La formule du champ magnétique créé en son centre par une spire circulaire de rayon R = 5 cm et comportant N = 50 spires est 0NI z
B u
2R
où uz est un vecteur unitaire.
1. Quels sont la direction et le sens de uz par rapport à la spire et à l’orientation du courant (faire un schéma).
2. L’étudiant de tp trace la courbe donnant la norme de B (en mT) en fonction de I (en A). Il obtient une droite dont les caractéristiques sont les suivantes :
Pente Ordonnée à l’origine
Valeur 6.336758 10-1 1.273948 10-1
Ecart-type 0.116489 10-1 2.83844 10-2
a. Donner les unités de la pente et de l’ordonnée à l’origine.
b. Arrondir correctement les chiffres en laissant un seul chiffre significatif dans les écart-types.
3. Déduire des valeurs du tableau la valeur de o perméabilité magnétique du vide en utilisant la pente obtenue.
4. En admettant une incertitude égale à trois écart-types, peut-on considérer que la valeur de o
est satisfaisante ? La valeur théorique est 4 10-7 SI.
5. Le TP vous semble-t-il réussi ? Exercice n°3 : Induction.
Première partie: Spire fixe dans un champ variable.
On considère une spire circulaire de rayon a, d’axe Oz, de résistance R. Cette spire est placée dans un champ magnétique d’origine extérieure B(t) uniforme parallèle à son axe et dépendant du temps suivant une loi sinusoïdale du type B(t) = Bo cos wt uz (voir figure).
B
= Bo cos wt uz
O z
uz
1. Placer sur le schéma le vecteur surface de cette spire en respectant l’orientation imposée.
2. Déterminer le flux magnétique dans la spire en fonction de Bo, a, w et t.
3. En déduire la fem d’induction prenant naissance dans la spire en utilisant la loi de Faraday.
4. S’agit-il d’induction de Neumann ou de Lorentz ?
5. Déterminer le courant i induit dans la spire en fonction de Bo, a, w, t et R en négligeant l’autoinduction.
6. Quelle est la résultante des forces magnétiques agissant sur la spire (aucun calcul compliqué !).
7. Déterminer le champ magnétique induit
Bi créé par le courant induit qui traverse la spire au centre de cette dernière en fonction de o, a, B0, w , t et d’un vecteur unitaire judicieusement choisi. La formule donnant le champ crée par une spire est donnée dans l’exercice n°2.
8. On se propose de montrer que les résultats précédents sont conformes à la loi de Lenz.
a. Quelle est la cause du courant induit dans le cas de l’exercice ? b. Calculer i d B
B . dt
(produit scalaire) en fonction de o, Bo, a, w, t et R.
c. Déduire des questions précédentes que la loi de Lenz est bien vérifiée dans le cas de cet exercice.
Deuxième partie : Pour cet exercice, on utilisera les coordonnées cylindriques (voir schéma).
La même spire que précédemment est maintenant placée dans un champ magnétostatique radial qui vaut au niveau du fil
o r
B B u
, la valeur du champ étant mal connue ailleurs (structure vue en td dans l’étude du haut- parleur). Elle est lancée dans le champ magnétique avec une vitesse v0 v uo z parallèlement à son axe. Ensuite cette vitesse évolue et vaut
v(t) v(t) u z .
1. Il va apparaître un courant induit dans la spire. S’agit d’induction de Lorentz ou de Newmann ?
2. Déterminer le champ électromoteur de Neumann au niveau d’un élément de circuit de la spire en fonction de v(t), Bo et d’un vecteur unitaire judicieusement choisi.
3. Montrer que la fem prenant naissance dans la spire vaut e = v(t)B2a. Le résultat étant donné, on détaillera très clairement le calcul !!!
4. En déduire le courant i dans la spire en fonction de v(t), B, a et R résistance de la spire en négligeant les phénomènes d’auto-induction.
5. En déduire la puissance Joule mise en jeu dans la spire.
6. En faisant un dessin très soigné, calculer la force df s’exerçant sur un élément dlde spire en fonction de i, Bo , dl (norme du vecteur dl) et d’un vecteur unitaire judicieusement choisi.
7. En déduire que la force totale exercée sur la spire vaut F 4 ²a²B²vuz R
. Le résultat étant donné, on détaillera très clairement le calcul !!!
8. Calculer la puissance de cette force en fonction de a, R, B et v.
9. Comparer à la puissance Joule et conclure.
O z
uz
o r
B B u
Exercice n°4
:
Ondes électromagnétiques. Expérience de Hertz.On considère deux ondes électromagnétiques planes qui admettent pour représentations mathématiques de leurs champs magnétiques, les expressions suivantes dans un repère cartésien classique :
Champ magnétique de l’onde 1 : B1 B cos(w(to1 x)) uy c
Champ magnétique de l’onde 2 : B2 B cos(w(to2 x) ) uy c
1. Donner pour chacune des ondes la direction et le sens de propagation correspondant.
2. Quel est le type de polarisation de ces ondes.
3. Donner les champs électriques E et E1 2 associés. Faire des schémas très clairs faisant apparaître les vecteurs unitaires utilisés.
4. Donner les vecteurs de Poynting
1 et 2
associés. Discuter de leur orientation et donner leur signification physique.
Ces deux ondes sont émises par deux émetteurs A et B situés sur un même axe Ox cartésien et sont détectées par un récepteur situé au point M situé entre A et B. Le point A est situé à l’origine O et le point B est situé à l’abscisse d de l’axe (AB = d). Le récepteur est situé à l’abscisse x (AM = x < d). On supposera que B01=B02 = B0 pour simplifier.
5. L’onde en M émise par A est-elle l’onde 1 ou l’onde 2 ? Justifier très clairement.
On suppose que ces deux ondes se superposent dans l’espace.
6. Déterminer en fonction de w, d et c la valeur de pour que les deux sources émettent les ondes en phase (les deux signaux émis sont maximum ou minimum en même temps en A et B).
7. Montrer que si d est un multiple entier de la longueur d’onde, est un multiple de 2 et peut donc être ignoré dans la formule. On se placera dans ce cas pour la suite.
8. Donner le champ magnétique résultant de cette superposition. On mettra le champ total sous la forme :
tot y
B f (x)g(t) u
9. Donner le champ électrique total résultant de cette superposition. On mettra le champ total sous la forme :
tot z
E h(x)k(t) u
10. Montrer que dans les deux cas, on peut considérer les champs comme des dépendant sinusoïdalement du temps mais dont l’amplitude dépend de la position. On parle alors d’onde stationnaire.
11. Montrer qu’il existe des points M de l’axe (compris entre A et B) tels que le champ électrique soit toujours nul quelque soit t. On parle de nœuds du champ électrique.
12. Donner la distance séparant deux nœuds du champ électrique en fonction de la longueur d’onde.
13. Montrer qu’il existe des points M de l’axe (compris entre A et B) tels que l’amplitude du champ électrique soit maximale. On parle de ventres du champ électrique. Donner la distance séparant deux ventres du champ électrique en fonction de la longueur d’onde.
Remarque : c’est en détectant ces nœuds et ces ventres de champ électrique que Hertz a mis en évidence la propagation des ondes électromagnétiques.
