Université “François Rabelais” de Tours Faculté des Sciences et Tehniques
Licence Physique–Chimie 2009–2010 Ondes–Optique Ondulatoire
TD1 : Introduction à la Notion de l’Onde
1. On a vu en cours que la solution générale de l’équation pour le mouvement longitudinal de N masses identiques, mj =m, attachées entre elles par des ressorts identiques de rigidité kj =k est donnée par l’expression
Xj(t) = 1
√N
N−1
X
p=0
hApei(2πpjN −ωpt) +Bpei(2πpjN +ωpt)i
Les coefficients Ap et Bp sont déterminés par les conditions initiales, c.à.d. la position, Xj(0) et la vitesse,[dXj(t)/dt](t = 0) de chaque masse. En outre cette expression corres- pond aux conditions aux bords périodiques, c.à.d. la masse j = 0 a comme voisines les masses j = 1 et j =N −1, dont le mouvement n’est pas spécifié à l’avance.
– Trouver les coefficients Ap et Bp pour le cas où, à t = 0, toutes les masses ont vitesse initiale nulle et seulement une masse est déplacée de sa position d’équilibre,Xj(0) = ∆. Dessiner la configuration de la chaîne pour un choix du nombre des masses et discuter si le dessin est sensible au choix de la masse que l’on prend initialement.
– Déduire ce qui change si l’on impose conditions aux bords fixes, c.à.d. si l’on pose X0(t) = 0 et XN(t) = 0.
– L’expression
Xej(t) = 1
√N
N−1
X
p=0
hAepei(2πpjN +ωpt) +Bepei(−2πpjN +ωpt)i
est-elle, également, solution ? En quoi diffère-t-elle de Xj(t)? 2. Dans la limite continue on a trouvé que l’équation prend la forme
∂2X
∂t2 =v2∂2X
∂z2
avec v2 ≡ ka2/m. Montrer que, si l’on définit les variables U ≡ −z+vt et V ≡ z+vt, alors l’équation devient
∂2X
∂U ∂V = 0
ce qui implique que la solution générale est donnée parX(U, V) =f(U) +g(V). Dans un dessin, où l’on pose l’espace en axe horizontal et le temps en axe vertical, tracer les droites U = 0 et V = 0 et discuter le sens physique des domaines, dans lesquels elles partagent ce plan. Appliquer les conséquences pour le cas de la chaîne de la question précédente, où l’on a déplacé une masse àt = 0. Déduire, en particulier, après combien de temps une autre masse de la chaîne ressentira ce mouvement. Comment les conditions aux bords influencent-elles ce résultat ?
