Leçon 17 Système d’équations et système d’inéquations 1.

(1)

Leçon 17 Système d’équations et système d’inéquations

1. Système d’équations exponentielles Exemple 1 : Résoudre le système :

4 6

6 36 36 36

y x

+ +

 =



 =

Solution

4 6

6 36 36 36

y x

+ +

 =



 =

( )



 +

= +

 =







=

 =







=

 = ₊

+ +

+

6 8 2 36

36 6 6 36

36 6 6

6 8 2 6

2 4

x y

x y x

y y x

2 6

8 6 2

8

2  + = +  =−





+

= +

= x x x

x y

x

y

Reporter x=−2 dans y=x+6 : y=−2+6=4

Le couple solution du système est (−²^, ⁴) On écrit S =(−2,4)

Exemple 2 : Résoudre le système :

2 4 3

7 7

2

x y

y x

+ −

 =



 − =

Solution

2 4 3

7 7

2

x y

y x

+ −

 =



 − = ² ² ⁷ ²

7 2 2

3 4

2  + = +



 +

= +

 =





=

−

=

 + x x

x y

x y x

y

y x

5 2

7

2x+ =x+ x=−

Reporter x=−5 dans y= x+2 : y=−5+2=−3

Le couple solution du système est (−⁵^,−³) On écrit ^S ⁼(⁻⁵^,⁻³)

2 5

2 11

3 9 27

3 27

x y

+ +

−

 = 



 =

Solution

2 5

2 11

3 9 27

3 27

x y

+ +

−

 = 



 =

( ) ( )







=

 =







=



 = ⁺ ₋ ⁺

+

− +

33 6

17 3 5 2

11 3 2

3 2 2

3 3

3 3 3

3

3 3 3

y x

y y x

x y x





−

= +

 =





−

=

+

=

 +







=

− + +

33 6

15 3 33

6

17 3 2 3

3 3 3

33 6

17 3 2

y x

y x y

x

y x

33 6 15 33 3

6 15

3  + = −





−

= +

= y y

y x

16 48

3 33 6 15

3y+ = y−  y= y=

Reporter y=16 dans x=3y+15 : x=316+15=63

Le couple solution du système est (63,16) On écrit S =(63,16)

(2)

2 4

4 1 5

4 3 155

2 3 265

x y

−

+ −

 + =



+ =

( )







= +



=

 +







= +



=

 + ₋

−

265 3

2 2

155 3

2 265 3

2 2

155 3

2

5 4

4 4

5 4 2 4 2

y x

y x y

x x y

⁴ ₅ ⁴ ₄ ³ ⁵ ²⁶⁵ ²

(

¹⁵⁵ ³ ⁴

)

2 2 265 3

3 155

2 ₋ ₋

−

=

 







−

=

−

= _y _y

x y

y x

3^y⁻⁵=265−310+23^y⁻⁴

3^y⁻⁵−23^y⁻⁴ =−453^y3⁻⁵−23^y3⁻⁴ =−45

45

3 2 3

3 1₅ ₄=−



 



 −

y

45

3 3 2 3

3 1₅ ₄ =−



 



 

−

y

−53^y =−453⁵

3^y =93⁵=3²3⁵

3^y =3⁷ y=7

Reporter y=7 dans 2⁴^x =155−3^y⁻⁴ :

27 155 3

155

2⁴^x = − ⁷⁻⁴= − 7 4 2 128

2⁴^x = = ⁷  x= soit

4

=7 x

Le couple solution du système est 



 



 ,7 4 7

On écrit







 



 



=  ,7 4 S 7

4 2

2 21

2 16 16

16 4

x x y

x y

+

−

  =



 =

Solution

4 2

2 21

2 16 16

16 4

x x y

x y

+

−

  =



 =

( ) ( )







=

 

− +

21 2 2

2 4

4 4

16 16

2

x y

y x x





−

=

 +







=

 =







=

  ₋

+

− +

21 2 2

2 2 4

4

16 16

4 4

16 16

16

21 2 2

2 2 21

2 2

2

y x

x





−

=

−

=

 −





−

=

 +

) 2 ( 21 2

2

) 1 ( 2 2

21 2 2

2 2

y x

y x y

x

y x

) 2 ( ) 1

( − membre à membre :y=19

Reporter y=19 dans 2x+2=y :

2 19 17

2

2x+ = x=

(3)



 



 ,19 2 17

On écrit







 



 



=  ,19 2 S 17

2 2

2 2 9

4 16 4

9 3

x x y

x y

+

−

  =



 =

Solution

2 2

2 2 9

4 16 4

9 3

x x y

x y

+

−

  =



 = _^^

( )



=

 

− +

9 2 2

2

) 2 ( 2 2

3 3

4 4

4

x y

y x

x





−

=

 +







=

 =







=

  ⁺₋ ⁺ ₋

9 2 4

4 4 3

3

4 4

3 3

4 4

4

9 2 4

4 4 9

2 4

4 2 2

y x

y x y

x

y x x

( )





−

=

− +

= +

 =





−

=

= +

1 8 9 4 4 2 4

4 4 9

2 4

4 4

x x

x x y y

x

y x









=

= +



=

 



= +

=

4 1

5 4 4

4 1 1

4

4 4

x y x

x y



 



 ,5 4 1

On écrit







 



 



=  ,5 4 S 1

2 1

2 2 21

7 49 49

25 5

x x y

x y

+

  =



 =

Solution

2 1

2 2 21

7 49 49

25 5

x x y

x y

+

  =



 = _^^

( )



=

 

+ +

21 2 2

2

2 1 2 2

5 5

) 7 ( ) 7 ( ) 7 (

x y

y x

x





+

=

 +







=

 =







=

  ₊

+ +

−

21 2 4

1 2 5

5

49 49

5 5

49 49

49

21 2 4

1 2 21

2 4

1

y x

x

( ) _^^ =

+

 =





+

= +

 =





+

=

= +

impossible 2

0

1 2 2

4 4

1 2 1

2 2 4

1 2

x x y x

x y x

Donc le système n’admet aucune solution.

On écrit S=.

2. Système d’inéquations exponentielles

Exemple 1 : Résoudre le système d’inéquations :

4 3

1 2 14

2 16

9 3

x y

+

− −

 



 

(4)

Solution

4 3

1 2 14

2 16

9 3

x y

+

− −

 



  _^^

( )





 

− − +

14 1 2

2

4 3 4

3 3

) 2 ( 2

x y

y x





 +

−

 +

 −





−



−



 +









 ₋⁺  ₋

0 6

0 3 4 4 14 2 2 2

4 3 4 3

3

2 2

14 2 2 2

4 3 4

y x

y x y

x

y x

Dans un même repère orthonormé

(

^O^;ⁱ^^, ^^j

)

, on trace deux droites

0 3 4 4

: x− y+ =

d et d':x− y+6=0.

D’après le graphique, le système n’admet aucune solution.

On écrit S=  .

Exemple 2 : Résoudre le système d’inéquations :

2

1 12

5 1 5

125

8 2

x y

+

− −

  



 



Solution

2

1 12

5 1 5

125

8 2

x y

+

− −

  



 



( )

^







 











  ₋ ₋

− +

− − +

12 3

3

3 2

1 12 3

3 2

2 2

5 5 2

2 5 5 5 1

y x

x y

y x





 +

−

 +

 −





−



−



 +

0 9 3

0 5 12

3 3

3 2

y x

y x y

x y x

Dans un même repère orthonormé

(

^O^;ⁱ^^, ^^j

)

, on trace deux droites

0 5 :x−y+ =

d et d':3x−y+9=0.

d :4x-4y+3=0 d' :x-y+6=0

2 3

-1 -2 -3 -4 -5 -6 -7

2 3 4 5 6

-1 -2

0 1

1

x y

(5)

D’après le graphique, les couples du domaine non hachurée sont les solutions

du système.

d :x-y+5=0

d' 3x-y+9=0

Domaine de solutions

2 3

-1 -2 -3 -4 -5 -6 -7

2 3 4 5 6

-1 -2

0 1

1

x y

(6)

Exercices

1. Résoudre les équations suivantes : 1)

2 4 3

5 5

1

x y

y x

+ −

 =



 − = 2)

( )

13 9

2 2

3 81

x y

 = −



 =

3)

2 1 2

5 2 2 1

1 2

4 49 1

7

x

y

y x

+

+ −

   =

  

  

  

=  

  



4)

2 2

2 2 16

4 16 16

36 6

x x y

x y

+

  =



 =

5)

1

2 2 5

3 9 3

15 3 5

x x y

+

−

  =



= 

 6)

1 2

2 2 2 8

5 8 4 2

12 4 3

x y y

x x y

+

−

  − =



= 



7)

2 2

25 15625 25 5 625

x y

x y

 + =



 =

 8)

2 6

2 2 2 2

18 9 6

9 49 21 3

x x y

x y y

+

−

 = 



 = 



9)

2 1

2 4

16 16

81 1

x y

+ −

+

 =



 = 10)

7 3

2 5 15

6 7

7 6

36 6

x y

+ −

   = 

    

    

 =



2. Résoudre les inéquations suivantes : 1)

3 2 6

3 6 3

4 1

4 16

x y

− +

+ −

 



  2)

1 2

2 7 6

4 10 1

2 8

8 64

x y

+ +

 

 



3)

2 4

1 1 1

5 15 3

27 14 42

x y y

− −

− + +

  



 

 4)

5

8 4

3 7 3 7 4

1 9

27

3 7 1 49

9

x y y

x x y

− −

− − − −

   

  

  

     

  



5)

1 2 3 7 1

2 5 2

16 4 2 8

12 3 4 1

16

x x y y

x y y

+ + +

+ −

 −  −



  

 6)

8 2

1 2

1 16

2

2 9

3 4

x

y

x y

+ −

−

  

  

      

    

