VARIATIONSCLASSIQUESSURUNTHEMEQUANTIQUE ELECTRODYNAMIQUE

ELECTRODYNAMIQUE

VARIATIONS CLASSIQUES SUR UN THEME QUANTIQUE

Un sujet d’examen de th´eorie quantique des champs 8 janvier , 14 heures

D.E.A. de CHAMPS, PARTICULES, MATIERES — PARIS 7

Ces quelques consid´erations classiques — dans au moins deux sens de l’adjec- tif — sur le th`eme du rayonnement dans le cadre de l’´electrodynamique quantique r´epondront peut-ˆetre `a quelques unes des questions que tout un chacun se pose plus souvent qu’il n’ose l’exprimer. Autrement dit, existe t-il des ´etats du champ

´electromagn´etique (quantique) dans lesquels les grandeurs physiques (du champ quantique) auraient un comportement quasi classique, `a savoir une valeur moyenne

´evoluant classiquement, et une dispersion aussi menue que d´esir´ee ?

Vous aurez sans doute `a vous rem´emorer quelques souvenirs d’´electrody- namique classique faisant partie du patrimoine culturel, et les calculs quoique abondants, n’exc`edent pas les techniques de la m´ecanique quantique ordinaire (il n’y a pas de relativit´e). Votre r´edaction personnelle doit ˆetre grˆacieusement remise `a Jacqueline Dufournet avant le vendredi 10 janvier, 16 heures dernier d´elai.

Pour le reste, vous pouvez travailler comme vous l’entendez, ce qui ne m’interdit nullement de prof´erer quelques avis :

• N’h´esitez pas `a recourir aux catalogues du commerce lorsque vous avez besoin d’une formule d’analyse ou d’arithm´etique.

• Des erreurs absolument involontaires ont pu se glisser dans l’´enonc´e qui suit.

Ne restez pas esclaves du texte.

• Votre aptitude `a trouver de bonnes sources est une forme de comp´etence (apr`es tout, il n’y aura ici rien de bien nouveau ; une partie des questions trait´ees remonte `a Schr¨odinger, en ), mais le bon usage voudrait que l’on n’omette pas de citer celles-ci.

• Efforcez vous de parvenir `a une r´edaction claire, concise et originale. Vous concevrez que les exigences du lecteur sous ce rapport ne sont pas les mˆemes que lors d’une ´epreuve en temps plus limit´e. Tout ce qui peut troubler l’assoupissement dudit lecteur est souhaitable.

• Si vous travaillez en ´equipe, que ce soit l’occasion d’exercer votre esprit critique (quoi de plus irritant que la lecture d’une erreur r´ep´et´ee `a sati´et´e ?), mais n’oubliez pas que votre progression peut en ˆetre consid´erablement ralentie.

• Rassurez vous ; il n’est absolument pas n´ecessaire de r´epondre `a toutes les questions qui suivent pour r´ealiser une performance honorable.

votre contact : Alain Laverne couloir 24-14, 5^e ´et.

Universit´e Paris 7

2 place Jussieu, Paris V^e 158 rue St. Jacques, Paris V^e

t´el.

44 27 79 79

43 29 09 02

Electrodynamique : Variations. . . 1 CHAMPS ELECTRIQUE ET MAGNETIQUE QUANTIQUES 1. i) Rappelez l’expression du d´eveloppement en modes (plans, p´eriodiques dans une

caisseV, polaris´es rectilignes) de l’op´erateur du champ ´electromagn´etique en jauge de Coulomb.

ii) En d´eduire les d´eveloppements en modes des op´erateurs champ ´electrique transverse et champ magn´etique quantiques.

iii) Quelles sont `a votre avis les justifications (`a d´efaut de raisons) de ces d´enominations ?

2. Etant donn´e la popularit´e classique des ondes ´electromagn´etiques planes, on va chercher des ´etats quasi classiques de ce type. Dor´enavant, et sauf avis con- traire expr`es, on se bornera au sous-espace des ´etats associ´es `a un mode (k,εεˆε), g´en´eralement sous-entendu (¸ca all`ege l’´ecriture. . . et permet de n´egliger un in- fini !). Quelles sont les expressions des op´erateurs champs ´electrique E(r, t) et magn´etique B(r, t) effectifs dans ce sous-espace ?

OPERATEURS AMPLITUDE ET PHASE

Le probl`eme est maintenant de trouver un ´etat dans lequel on aura, par exemple, E(r, t)=E₀ sin(ωt−k·r−ϕ),

et avec une dispersion quantique minimale. Pour cela, force est d’´etudier les valeurs moyennes et dispersions d’amplitudes et de phases dont il va falloir tenter de d´efinir les op´erateurs.

3. L’allure de l’expression de E(r, t) sugg`ere ´evidemment de poser a=Ae^iΦ,

a⁺ =Ae^−iΦ, avec A² =a a⁺. . . ou a⁺a ( ?), et Φ =−iLog(a/√

A²) + 2nπ ( ?). Tout cela est-il bien r´egulier ?

4. Essayons de d´efinir d’une part l’op´erateur amplitude √

N + 1 (en fonction de l’op´erateur nombre de photons dans le mode) et, d’autre part, l’op´erateur F — comme (facteur de) phase — tel que

a=√

N + 1F.

i) Montrez que l’expression de F en fonction de N eta est parfaitement d´efinie.

ii) Calculez F F⁺ et F⁺F. L’op´erateur F est-il hermitique ? unitaire ? Tout cela est-il bien normal ?

iii) Etant donn´e un ´etat `a nphotons |n, calculez F|net F⁺|n.

iv) Calculez les commutateurs [N, F] et [N, F⁺].

2 D.E.A. Champs &tc. . .

5. Etant donn´e l’origine deF, on lui associe les op´erateurs C ^df= F +F⁺

2 ,

S ^df= F −F⁺ 2i ,

dans l’espoir qu’ils aient un rapport avec un cosinus et un sinus de la phase, mais quoi qu’il en soit parfaitement d´efinis.

i) Calculez les commutateurs [N, C] et [N, S].

ii) En d´eduire des in´egalit´es de Heisenberg entre dispersions et valeurs moyennes des grandeurs N, C et S dans un ´etat quelconque.

iii) Qu’en concluez-vous sur l’espoir de trouver un ´etat quantique dans lequel les valeurs des champs ´electrique et magn´etique soient certaines ?

LES ETATS DE NOMBRE DE PHOTONS

Commen¸cons notre quˆete d’´etats quasi-classiques par l’´etude des ´etats qui, en le sous-tendant, nous ont servi `a construire l’espace des ´etats du champ

´electromagn´etique quantique, `a savoir les ´etats propres |n deN =a⁺a.

6. i) Quelles sont les valeur moyenneNnet dispersion (∆N)_ndans un de ces ´etats ? ii) Calculez les valeurs moyennes Cn, Sn, C²n et S²n. En d´eduire les dispersions (∆C)_n et (∆S)_n. Celles-ci vous paraissent-elles grandes ? par rapport

`

a quoi ? Qu’en est-il des in´egalit´es de Heisenberg ?

7. i) Quelle est la valeur moyenne du champ ´electrique, E(r, t)n? Y a t-il quelque espoir que le champ ´electrique ait, dans un ´etat|n, un comportement d’onde plane classique ?

ii) Par acquit de conscience, calculez la valeur moyenne E²(r, t)n et la disper- sion

∆E(r, t)

n.

8. Discutez — en vous aidant de l’expression de l’op´erateur champ ´electriqueE(r, t) en fonction de l’amplitude √

N + 1 et du facteur de phaseF — de la distribution des valeurs de E(r, t) dans un ´etat |n, d’abord `a r et t donn´es, puis en fonction de t en un lieur donn´e.

LES ETATS DE PHASE

9. Que pouvez-vous dire du commutateur [C, S] ? Qu’en est-il de l’espoir de trouver des ´etats propres de la phase ? Et pourtant. . .

10. Etant donn´es les nombres ϕr´eel et s entier (ai-je bien dit qu’il ´etait naturel ?), on d´efinit le vecteur d’´etat

|ϕ, s^df= 1

√s+ 1

s

n=0

e^{i n ϕ}|n.

Electrodynamique : Variations. . . 3 i) Calculez les valeurs moyennesFϕ,s,Cϕ,s,Sϕ,s,F⁺Fϕ,s,C²ϕ,s,S²ϕ,s, et surtout leurs limites lorsque s → ∞. En d´eduire les limites des disper- sions (∆C)_ϕ,s et (∆S)_ϕ,s.

ii) A quel comportement faut-il s’attendre de la part du nombre de photons ? Calculez effectivement les valeurs moyennesNϕ,sN²ϕ,s, la dispersion (∆N)_ϕ,s, et leurs limites lorsque s→ ∞. Tout cela est-il coh´erent ?

iii) Pouvez-vous discuter de la distribution des valeurs deE(r, t) dans un ´etat|ϕ, s (avec s ´elev´e) `a r et t donn´es ? `a r donn´e ?

LES ETATS COHERENTS

Pas encore d´ecourag´es, revenons `a notre recherche d’un hypoth´etique ´etat, |?, norm´e `a 1, dans lequel le champ ´electrique aurait une valeur d´etermin´ee au mieux autour d’une valeur moyenne

E₀ sin(ωt−k·r−ϕ),

c’est-`a-dire avec des dispersions d’amplitude et de phase, alias (∆N)?, (∆C)?, (∆S)<sub>?</sub> qui, `a d´efaut d’ˆetre toutes nulles, saturent tout au moins les in´egalit´es de Heisenberg.

11. D’abord, pour r´ealiser la valeur moyenne, posons α=^df ?|a|?.

i) Calculez E(r, t)? en fonction de |α| et ϑ ^df= argα. En d´eduire l’amplitude E₀ et la phase ϕ correspondantes.

ii) L’´etat |? peut-il ˆetre un ´etat |n? Le ket|a?=^df a|? peut-il ˆetre nul ? 12. Ensuite, il faut minimiser la dispersion du champ ´electrique. Pour cela. . .

i) Exprimez E²(r, t) en fonction de N, a² et a⁺². En d´eduire les expressions de E²(r, t)?, puis de

∆E(r, t)2

?.

ii) Comme on ne sait pas encore tr`es bien ce que l’on cherche au juste, si ce n’est une onde plane, qui a la propri´et´e de se reproduire identique `a elle-mˆeme partout, tout le temps, on peut aussi bien se proposer de d´eterminer un ´etat|?dans lequel la dispersion (∆E(r, t)? serait une constante, ind´ependante de la position et du temps. Montrez que ce genre de souhait n´ecessite une condition sura²?. Montrez que l’on doit avoir ?|a|a?=?|a?².

iii) Dans ces conditions, quelle est la valeur de

∆E(r, t)2

?, en fonction de N?

et |α|²?

13. On veut ´evidemment que notre ´etat quasi-classique procure aux valeurs moyennes tous les attributs d’une onde plane ´electromagn´etique, en particulier son ´energie.

Il faut donc

i) Calculer l’´energie de l’onde ´electromagn´etique classique, dont le champ ´electri- que a l’amplitude E₀, dans la caisseV.

4 D.E.A. Champs &tc. . .

ii) En identifiant cette ´energie `a la valeur moyenne de l’hamiltonien du champ transverse, effectif dans le mode, d´eterminez la relation entre N? et |α|. Que devient cette relation dans la limite des grandes valeurs de N? (ou de |α|) qui seule nous int´eresse puisque, comme on l’a vu dans les questions pr´ec´edentes, ce n’est pas avec quelques ´etats `a quelques photons que l’on peut esp´erer obtenir un

´etat quasi-classique.

iii) Montrez que l’on doit avoir a?|a?=|?|a?|².

14. Ne reste plus, en rassemblant les conditions n´ecessaires, qu’`a construire explicite- ment l’´etat |?.

i) Montrez que l’´etat |? doit ˆetre ket propre de a, pour une valeur propre `a d´eterminer.

ii) En d´eduire l’expression de l’´etat ?, sous forme de d´eveloppement sur les ´etats de nombres de photons |n. C’est cet ´etat, dont le vecteur est norm´e `a l’unit´e, avec une phase d´etermin´ee en convenant que sa composante n = 0|? soit r´eelle positive, qui sera d´esormais appel´e´etat coh´erent et symbolis´e par |α, ou |α_k,εεεˆ si l’on veut rappeler le mode.

QUELQUES PROPRIETES DES ETATS COHERENTS 15. Etant donn´es deux nombres complexes α et α. . .

i) Calculez|α|α|².

ii) Rappelez les effets de a|α, a|α.

iii) Calculez la probabilit´e Pr(n si α) d’avoirnphotons dans l’´etat|α. Sentez-vous si ce produit est bien frais ?

iv) En faisant appel `a vos souvenirs de la formule dite, selon les goˆuts, de Glauber, ou de Campbell-Baker-Hausdorf, calculez le r´esultat de l’action de l’op´erateur e^{αa+−α∗a} sur le vide |0. Concluez.

v) Calculez les valeurs moyennesNαetN²α, la dispersion (∆N)_α, la dispersion relative (∆N)α/Nα, et la limite de cette derni`ere pour des ´etats coh´erents tels que Nα 1. A d´efaut de propret´e de |α, qu’en concluez-vous concernant la distribution des valeurs de l’amplitudedu champ ´electrique dans cet ´etat ? vi) Pour les analystes obsessionnelles seulement : Estimez chacune des valeurs moyennes Sα, Cα, S²α, C²α, sous forme de d´eveloppement asymptotique en puissances de |α|⁻². En d´eduire les comportements des dispersions (∆S)α

et (∆C)_α `aNα ´elev´ee. Qu’en concluez-vous en ce qui concerne la distribution des valeurs de la phase du champ ´electrique dans l’´etat |α? Pour les insatiables : Estimez les produits (∆N)_α(∆S)_α et (∆N)_α(∆C)_α en fonction de Cα etSα. Concluez.

Electrodynamique : Variations. . . 5 16. Plus physiquement, ´etant donn´eα complexe. . .

i) Rappelez l’expression deE(r, t)α en fonction de |α| et ϑ^df= argα.

ii) Rappelez la valeur de

∆E(r, t)

α en fonction de ω etV, et en fonction de E0

et Nα.

iii) Enfin, pour avoir une id´ee de la valeur moyenne du champ ´electrique et de sa dispersion dans divers ´etats coh´erents, tracez les triplets de courbes repr´esentatives de

f_α(t)^df= E(r, t)α

∆E(r, t)

α

,

et de f_α(t)±1, pour diverses valeurs deα de mˆeme argumentϑ, correspondant `a Nα = 4, 40 et 100 photons respectivement, en un point r tel quek·r+ϑ= 0, en fonction du temps t.

iv) Et pour souffler un peu, ´etant donn´e un mode (k,εεˆε), r´ecapitulez :

— la propri´et´e caract´eristique de l’´etat coh´erent |α_k,εεˆε,

— l’expression explicite de |α_k,εεεˆ en termes des ´etats |n_k,εεˆε,

— les valeurs moyennes, dans cet ´etat, des vecteurs champs ´electrique E(r, t) et magn´etique B(r, t) effectifs dans le mode.

LA FABRICATION DES ETATS COHERENTS

Reste, pour conforter nos bases classiques, `a nous assurer que les ´etats coh´erents sont effectivement r´ealisables, en particulier par des sources quasi-classiques.

V´erifierab initiol’existence de telles sources serait un peu long pour cette fois, aussi nous allons nous contenter d’admettre que l’´electrodynamique quantique contient,

`

a la limite dite non-relativiste, la th´eorie des fermions charg´es `a la Schr¨odinger, elle-mˆeme admettant comme limite (souvenez vous du th´eor`eme d’Ehrenfest) la m´ecanique classique des charges ponctuelles.

Partant de la densit´e hamiltonienne de l’´electrodynamique quantique en jauge de Coulomb

H=He+HCoul.+Hγtransv. −qj·A,

on ´etudie donc l’´evolution du champ ´electromagn´etique quantique coupl´e `a une source externe classique, ´evolution r´egie par l’hamiltonien

H =H_γtransv.+V,

dans lequelH_γtransv. est l’hamiltonien du champ ´electromagn´etique transverse libre, tandis que

V(t)^df=−q

Vd³r j(r, t)·A(r, t)

repr´esente l’interaction entre la densit´e de courant classique qj et le rayonnement quantique A.

6 D.E.A. Champs &tc. . .

17. i) Rappelez le d´eveloppement en modes du champ A(r, t) en repr´esentation d’interaction.

ii) En d´eduire l’expression deV(t) en termes d’op´erateurs de cr´eation/annihilation de photons.

iii) Que pouvez vous dire du commutateur des op´erateurs V(t1) etV(t2) ? iv) Montrez que l’op´erateur −it

0 dt₁V(t₁) peut se mettre sous forme d’un d´eveloppement

kT

αkT(t)a⁺_kT −α_kT^∗ (t)akT

.

18. i) Rappelez l’´equation d’´evolution du ket d’´etat|tdu champ quantique au tempst, en repr´esentation d’interaction.

ii) Rappelez l’´equation du mouvement et la condition initiale d´efinitoires de l’op´erateur d’´evolution U(t, t₀) qui fait passer de l’´etat |t₀ `a l’´etat |t dans cette repr´esentation.

iii) Montrez que, pour ∆t petit, on a U(t₀+ ∆t, t₀)∼e^{−i∆t V(t0)}.

iv) En d´eduire une expression de U(t₀+n∆t, t₀) sous forme de produits de tels op´erateurs.

19. Pour achever la construction explicite de l’op´erateur d’´evolution, il nous faut d’abord d´emontrer une propri´et´e amusante.

i) Soit une famille d’op´erateursA_i dont tous les commutateurs sont des nombres.

Rappelez l’expression du produit e^A2e^A1 en fonction de e^A1+A2.

ii) En d´eduire l’expression du produit e^A3e^A2e^A1 en fonction dee^A1+A2+A3, pour finalement en induire l’expression du produite^Ane^An−1. . . e^A1 en fonction dee^ΣiAi. iii) En d´eduire que l’op´erateur d’´evolution peut s’´ecrire

U(t, t₀) =e⁻ⁱ t

t0

dt1V(t1)

e^{i ϕ(t,t0)}, o`u ϕ(t, t₀) est une simple phase num´erique.

20. En d´eduire la nature de l’´etat du rayonnement cr´e´e au tempstpar le branchement,

`

a t = 0, de la sourceqj(r, t).

UNE AFFAIRE QUI TOURNE

Etant donn´e le vecteur de mode k et les vecteurs unitaires ˆεεε₁ et ˆεεε₂ constituant

— dans cet ordre — un tri`edre orthogonal direct, on se place maintenant dans le sous-espace des ´etats du rayonnement associ´es aux modes (k,ˆεεε₁) et (k,ˆεεε₂).

21. i) Quelle est l’expression du d´eveloppement en modes de l’op´erateur de champ effectif dans ce sous-espace ?

ii) On d´efinit d’autres vecteurs de base, complexes, ˆεεε_± ^df=∓ 1

√2(ˆεεε₁ ±iˆεεε₂).

Electrodynamique : Variations. . . 7 D´eterminez les op´erateurs a₊ et a₋ associ´es `a ces nouveaux vecteurs de base, en fonction des op´erateurs d’annihilation a1 eta2 associ´es `a ˆεεε₁ et ˆεεε₂.

iii) Calculez les commutateurs des op´erateursa+, a₋, a₊⁺, a₋⁺. Conclusion ? iv) Quelle est l’expression d’un ´etat |n+, normalis´e, de n photons dans le mode (k,ˆεεε₊), construit par action d’op´erateurs a₊⁺ sur le vide ?

22. On va, juste pour voir, fabriquer des ´etats coh´erents de photons (k,ˆεεε₊).

i) Etant donn´e un nombre complexe α, rappelez le d´eveloppement de l’´etat coh´erent |α+ sur les ´etats de base |n+.

ii) En d´eduire le d´eveloppement de|α+ en termes d’op´erateursa⁺₁ eta⁺₂ agissant sur le vide.

iii) Montrez que |α+ peut s’´ecrire sous forme d’un produit d’´etats coh´erents —

`

a d´eterminer soigneusement — dans les modes ˆεεε₁ et ˆεεε₂ respectivement.

23. Reste `a ´etudier les grandeurs physiques dans l’´etat coh´erent |α+.

i) Rappelez l’expression trouv´ee pour la valeur moyenne 1α1|E(r, t)|α11 du champ ´electrique effectif dans un ´etat coh´erent α₁ du mode (k,ˆεεε₁).

ii) En d´eduire la valeur moyenne₊α|E(r, t)|α+ du champ ´electrique effectif dans l’´etat coh´erent |α+.

iii) Qu’en concluez-vous sur la signification des ´etats coh´erents |α±? LE PROBLEME DES AMATEURS DE CLASSIQUE

Une physicienne s’inqui`ete de l’´eventualit´e d’avoir `a recourir `a l’´electrodynamique quantique afin d’analyser le processus de r´eception, `a Orsay, de son ´emetteur favori, fr´equence 91,70 MHz, puissance (en toute l´egalit´e) 2 kW, situ´e sur la tour Eiffel.

Une estimation des ordres de grandeur s’impose. Comme il s’agit d’´evaluation qualitative, on peut se permettre — au risque de choquer toute maˆıtresse experte en physique — de faire comme si le rayonnement ´etait isotrope.

24. i) Estimez l’amplitude du vecteur de Poynting du rayonnement de l’´emetteur, puis l’amplitude du champ ´electrique, `a Orsay, en fonction de la puissance et de la distance de l’´emetteur.

ii) En d´eduire le nombre moyen de photons de l’´etat du rayonnement analys´e `a Orsay, en fonction de la puissance, de la distance et de la fr´equence de l’´emetteur, et du volume de la caisse `a modes.

iii) Quel doit ˆetre le volume minimal de la caisse admettant ce mode de ray- onnement ? Cette caisse permet-elle d’inclure aussi le baladeur de l’auditrice, y compris son antenne ?

iv) En d´eduire le nombre moyen de photons minimal de l’´etat permettant la description quantique du rayonnement en interaction avec le r´ecepteur.

v) Alors. . . A t-elle besoin de l’´electrodynamique quantique ?

8 D.E.A. Champs &tc. . .

LES ETATS COMPRIMES

Encore d’autres ´etats du rayonnement quantique, apparent´es aux ´etats coh´erents, et pourtant fondamentalement diff´erents.

25. Les ´evolutions spatiale et temporelle du champ dans un mode ´etant trivialement reli´ees, on va se contenter, pour all´eger l’´ecriture, de consid´erer le champ en r=0.

Rappelez (cf.question2) l’expression de l’op´erateur champ ´electrique, effectif dans le mode (k,ˆεεε), en r=0.

26. i) Inspir´es par l’alg`ebre des op´erateurs a et a⁺, on va tenter non plus une description ´equivalente en termes d’amplitude et de phase, mais plutˆot en fonction des op´erateurs

P =^df a+a⁺ 2 , Q=^df a−a⁺

2i .

Calculez le commutateur de P et Q. En d´eduire une in´egalit´e de Heisenberg entre dispersions (∆P) et (∆Q) dans un mˆeme ´etat, quelconque.

ii) Exprimez l’op´erateur champ ´electrique effectif E(0, t) en fonction de P et Q.

27. Avant d’attaquer le vif du sujet, il peut ˆetre instructif de se livrer `a une petite v´erification des propri´et´es d’un ´etat coh´erent|α.

i) Rappelez la valeur moyenneNαdu nombre de photons dans l’´etat coh´erent|α. ii) Calculez les valeurs moyennes Pα etQα. En d´eduire les dispersions (∆P)_α et (∆Q)α.

iii) Glosez des valeurs de ces dispersions par rapport `a leur in´egalit´e de Heisenberg.

28. Etant donn´es deux nombres complexes µ et ν, on d´efinit l’op´erateur b^df=µ a+ν a⁺,

en sorte que la transformation soit canonique c’est-`a-dire telle que [b, b⁺] = 1.

i) Quelle conditionµ et ν doivent-ils n´ecessairement satisfaire ?

ii) Par analogie avec les ´etats coh´erents, on va chercher, et construire, des ´etats propres de l’op´erateur b. Soit :

b|β=β|β.

Dans quel cas l’´etat |β est-il un ´etat coh´erent ?

iii) Soit le d´eveloppement de l’´etat |β sur les ´etats propres |n du nombre de photons dans le mode :

|β=

?

n=0

cn|n.

Electrodynamique : Variations. . . 9 Etablir la relation de r´ecurrence entre les coefficientsnc_n, et en d´eduire l’existence des ´etats |β.

29. Mais on va voir un autre proc´ed´e de construction des mˆemes ´etats |β, beaucoup plus pratique. Soit l’op´erateur ˜N ^df=b⁺b.

i) Quelles sont les propri´et´es du spectre de ˜N ?

ii) Montrez, en calculant explicitement les premiers termes de son d´eveloppement sur les ´etats |n, qu’il existe un ´etat |˜0 tel queb|˜0 = 0 (. . . `a une normalisation et un choix de phase pr`es. Aussi vous pouvez vous contenter d’exprimer |˜0 en fonction de son amplitude c₀ sur l’´etat |0.)

iii) Montrez que l’on peut construire les ´etats propres de l’op´erateur ˜N par actions de l’op´erateur b⁺ sur l’´etat |˜0.

iv) En d´eduire, imm´ediatement, le d´eveloppement de l’´etat|βsur les ´etats propres de ˜N, not´es |n˜. (On choisit |β norm´e `a 1, et sa phase telle que l’amplitude de

|β sur |˜0 soit r´eelle positive.)

30. Quelques propri´et´es des |β. Les nombres complexesµ, ν et β ´etant donn´es. . . i) Quelles sont les valeurs moyennes N˜β, bⁿβ et (b⁺)ⁿβ?

ii) Calculez les valeurs moyennes Pβ et Qβ.

iii) Calculez les valeurs moyennesP²β etQ²β. (Un conseil pratique : exprimez d’abord les op´erateurs P² et Q² en fonctions des op´erateurs b², (b⁺)² et ˜N.) iv) En d´eduire les dispersions (∆P)²_β et (∆Q)²_β.

31. On s’int´eresse, pour faire simple, au cas particulier µ, ν, β r´eels.

i) Donnez, dans ce cas, les expressions de Pβ, Qβ et Nβ en fonctions de µ, ν et β.

ii) Donnez les expressions des dispersions (∆P)β et (∆Q)β.

iii) Discutez de l’in´egalit´e de Heisenberg pourP et Q dans un ´etat|β.

iv) Pourquoi appelle t-on les ´etats propres de b des ´etats comprim´es? Ces ´etats pourraient-ils ˆetre dits quasi classiques ?

EPILOGUE

Il faudrait encore montrer que ces ´etats comprim´es sont effectivement r´ealisables (on commence `a y parvenir) et qu’ils sont potentiellement riches d’applications, mais les meilleures choses doivent avoir une fin et je commence `a ˆetre fatigu´e. Pas vous ?