Exercice 25 : Quelques questions à propos du nombre de Prandtl (A)

7. Transferts thermiques par convection (libre ou forcée)

Exercice 25 : Quelques questions à propos du nombre de Prandtl (A)

1- Rappeler la définition du nombre de Prandtl. En partant de l'unité de chaque paramètre, utiliser l'équation aux dimensions pour montrer que le nombre de Prandtl est bien sans unité. Donner une interprétation physique du nombre de Prandtl, notamment à partir de sa définition ( ).

2- Pour un fluide en écoulement laminaire dans un tuyau cylindrique, on peut montrer que le nombre de Nusselt est fourni par la relation suivante : , où Re représente le nombre de Reynolds. Trouver une expression approchée du nombre de

Nusselt pour l'air à la température ambiante, en écoulement forcé, sachant que Pr = 0,71. Quelle est la précision de cette expression où ne figure plus le nombre de

Prandtl ?

3- En repartant des définitions pour les couches limites visqueuse et thermique δ et δ ', montrer que le nombre de Prandtl relie ces deux paramètres. Indiquer quelle est cette relation. Quelle conclusion pouvez-vous en déduire pour l'air ?

4- Le nombre de Prandtl varie très peu pour l'air entre 100K et 2500K, voir Table jointe, cf. Annexe 1. Par exemple à 300K, Pr = 0,708 et à 2300K, Pr = 0,710. Pourtant, la viscosité dynamique µ , la chaleur massique à pression constante C _p et la conductivité thermique λ varient fortement. Comment pourriez-vous expliquer ce résultat ? En quoi la colonne du nombre de Prandtl est redondante dans cette Table ? Justifier votre réponse en effectuant le calcul numérique pour T = 300K et pour T = 2300K.

Solution :

1- Le nombre de Prandtl est simplement défini comme étant le rapport de la viscosité cinématique divisé par la diffusivité thermique . Au final, on retrouve bien le résultat annoncé, , où représente la viscosité dynamique, la chaleur massique à pression constante, et la conductivité thermique.

L’équation aux dimensions permet de montrer que le nombre de Prandtl est bien sans dimension. De fait, les dimensions des diverses grandeurs sont les suivantes :

Pr = C

_P

µ

!

Nu = 0,332 Re

^{1 / 2}

Pr

^{1 / 3}

! = µ / " ! = " / # C

_P

P

_r

= µ C

_P

/ ! µ

C

_P

!

[ ] ! ^{= H} t LT

!

"#

$

%& ; [ ] µ ^{= M}

L t

!

"#

$

%& ; [ ] C

P

^{= H}

MT

!

"#

$

%& ' [ ] Pr ⁼ [ ] ^C

^P

[ ] ^µ

[ ] ! ⁼ H MT

!

"#

$

%&

M L t

!

"#

$

%&

H t LT

!

"#

$

%&

,

d’où : [ ] Pr ^{= H} MT

!

"#

$

%&

M L t

!

"#

$

%&

t LT H

!

"

# $

% & = [ cste ] ^.

Le nombre de Prandtl est bien sans dimension, comme il se doit. Ce paramètre assure le lien entre effets thermiques (terme de la conductivité thermique ), et effets visqueux (terme de la viscosité ).

2- En écoulement laminaire de l’air dans un tuyau, on peut écrire : N

_u

= 0, 332. R

^1/2_e

P

_r^1/3

. Sachant que : P

_r^air

= 0, 71 ! N

_u

= 0, 296 R

_e

. On observe donc une variation du nombre de Nusselt sur la racine carrée du nombre de Reynolds. Cette expression est précise, du fait que le nombre de Prandtl de l’air varie très peu sur une large gamme de température.

3- Les expressions des épaisseurs de couche limite visqueuse et thermique sont fournies par les expressions classiques :

! = 2µ

"

₀

# ; ! ' = 2µ

"

₀

# P

_r

! !

!' = P

_r

" 0,843 ! ! > ! ' . Pour l’air, on en déduit que l’épaisseur de couche limite visqueuse est donc plus grande.

4- Les Tables de valeurs des paramètres pour l’air indiquent effectivement que le nombre de Prandtl varie très peu sur une large gamme de température, entre 0,708 et 0,710 par exemple entre 300 K et 2300 K. Pourtant les paramètres entrant dans la définition du nombre de Prandtl de l’air, à savoir : µ , C

_P

, ! , possèdent eux des variations importantes sur la même gamme de température entre 300 K et 2300 K, soit sur des écarts de 2000 K. On note par exemple :

µ

^300K

=1,8462.10

^!5

kg / m.s ; C

_P^300K

=1, 0057 kJ / kg.K ; !

^300K

= 0, 02624 W / m.K ; µ

^2300K

= 7,14.10

^!5

kg / m.s ; C

_P^2300K

= 1, 482 kJ / kg.K ; !

^2300K

= 0,149 W / m.K .

On constate que la viscosité de l’air augmente avec la température, alors que la conductivité thermique augmente elle aussi. La chaleur massique (à pression constante) dans le même temps varie assez peu (de l’ordre de 40%), alors que les écarts de la viscosité et de la conductivité sont eux beaucoup plus grands (de l’ordre d’un facteur 5).

En fait, ces variations plus ou moins fortes sur la gamme de température considérée (entre 300 K et 2300 K), se compensent complétement pour l’air, ce qui aboutit à la stabilité du nombre de Prandtl (de l’ordre de 2 sur 710, soit environ 0,3 %).

Exercice 26 : Quelques questions sur le nombre de Nusselt (A)

En utilisant l’équation aux dimensions, montrer pourquoi le nombre de Reynolds et le nombre de Prandtl sont bien des quantités sans dimension. Justifier alors à partir de deux arguments différents pourquoi le nombre de Nusselt est lui aussi sans dimension.

!

µ

Le nombre de Nusselt est toujours supérieur à l’unité. Sauriez-vous expliquer pourquoi, sachant que sa définition, que l’on cherchera à interpréter, est la suivante :

!

Nu = " CT !

v # $ % ^! T

( ) ^{• d S !}

&

# $ % ^! T

( ) ^{• d S !}

& ^.

Solution :

Les nombres de Reynolds et de Prandtl sont bien sans dimension. Pour s’en convaincre, il faut revenir à leurs définitions, en écrivant : P

_r

= C

_P

µ / ! ; R

_e

= ! U " / µ . Le calcul détaillé pour le nombre de Prandtl a été effectué à l’exercice précédent. Ici pour le nombre de Reynolds, l’équation aux dimensions fournit :

[ ] ! ⁼ [ ] ^{L ;} [ ] ^{U = !} _"# ^L _t ^$ _%& ^; [ ] ^{! = M} _L

3

!

"#

$

%& [ ] µ ^{= !} _{"# L t} ^{M $} _%& ^' [ ] ^{Re =} [ ] ^! [ ] ^U [ ] ^! [ ] µ ⁼

L

²

!" $%

[ ] t ^. M L

³

!

"#

$

%& . L t M

!

"

# $

% & = [ cste ] ^.

Le nombre de Nusselt dans le cas général peut s’écrire sous la forme générique : N

_u

= cste. R

_e^!

P

_r^"

, avec α et β des exposants arbitraires. Du fait que les nombres de Reynolds et de Prandtl sont sans dimension, cela implique que le nombre de Nusselt ne possède pas de dimension lui non plus. Cela vient aussi de sa définition : _N

_u

_{= h! / !} . Par ailleurs, la définition du nombre de Nusselt, indique que ce paramètre est forcément supérieur à l’unité, car il existe deux termes positifs au numérateur, pour un seul terme (positif aussi) au dénominateur. Le terme du dénominateur : # ( _! ! "T ^! ) ^{•d S !} , est relatif au transfert de chaleur par conduction, via une écriture intégrale « modifiée » de la loi de Fourier. Le numérateur ! CT !

v ! ! "T ^!

( )

# ^{• d S !} , fait donc intervenir un terme supplémentaire qui est lié à la vitesse d’écoulement. On y retrouve le produit ! C , entre la masse volumique et la capacité calorifique. Ce terme est donc une signature d’un bilan « calorimétrique » ou bien du terme dépendant du temps de l’équation de la chaleur, ! !T = " C "T

"t # # !T = "T

"t .

Exercice 27 : Nombres caractéristiques en convection forcée (A)

Pour les transferts thermiques par convection, on définit le nombre de Nusselt, Nu comme étant le rapport , où h représente la conductance (pour la loi de Newton de la convection), λ la conductivité thermique (pour la loi de Fourier de la conduction), et  une longueur caractéristique. Le nombre de Nusselt peut s'exprimer de façon générale à partir du nombre de Reynolds, Re et du nombre de Prandtl, Pr , par exemple sous la forme : , où a et b sont a priori des puissances arbitraires (fractionnaires ou quelconques).

1- Expliquer, en vous appuyant sur les dimensions de chaque quantité, ce qui justifie que les puissances a et b soient a priori quelconques.

N

u

= h !

!

N

_u

= Cte R

_e^a

P

_r^b

2- Pour une plaque plane, en régime laminaire, Nu = 0,332 Re ^1/2 Pr ^1/3 , alors que pour un tube cylindrique en régime turbulent Nu = 0,023 Re ^4/5 Pr ^2/5 . Montrer que l'évaluation du rapport de ces deux quantités autour de la transition turbulente (Re = 2200) est proche de 1 (on prendra la valeur du nombre de Prandtl pour l'eau à 20 °C, Pr = 6,87).

3- Calculer alors ce rapport entre les deux régimes (laminaire d'une part, et turbulent d'autre part), lorsque le nombre de Reynolds turbulent est égal à 10 fois, puis 100 fois le nombre de Reynolds laminaire. Quelle conclusion pouvez-vous tirer sur la meilleure efficacité du transfert thermique par convection forcée en régime turbulent par rapport au cas du régime laminaire, et quelle est la loi de dépendance avec le nombre de Reynolds de cette efficacité ? Quel commentaire pouvez-vous faire de ce résultat ? Solution :

1- Les relations fonctionnelles de définition du nombre de Nusselt, sont a priori en convection forcée du type suivant : . Dans cette relation générique, a et b sont des constantes arbitraires. Sachant qu’il s’agit d’exposants, cela implique forcément que les trois nombres (Nusselt, Reynolds et Prandtl) doivent bien tous être sans dimension, car sinon l’équation aux dimensions ne pourrait certainement pas être validée, notamment en modifiant ces deux exposants.

2- Les deux expressions fournissant le nombre de Nusselt, à la transition entre régime laminaire et régime turbulent fournissent des valeurs similaires. Le calcul numérique est le suivant :

• Régime laminaire :

.

• Régime turbulent :

.

C’est effectivement normal de retrouver des nombres de Nusselt voisins, car les expressions numériques ont justement été retrouvées pour qu’il n’y ait pas de discontinuité majeure à la transition entre régime laminaire et régime turbulent.

3- Par contre bien évidemment, lorsque la vitesse de l’écoulement du fluide continue à augmenter, alors dans ce cas, le nombre de Nusselt augmente aussi, même si la relation de dépendance n’est pas linéaire, le paramètre croit comme la puissance 0,8 du nombre de Reynolds.

• Régime turbulent (10 fois le nombre de Reynolds critique) : .

• Régime turbulent (100 fois le nombre de Reynolds critique) : . N

_u

= Cte R

_e^a

P

_r^b

N

_u

= 0, 332 R

^1/2_e

P

_r^1/3

= 0, 332 . (2200)

^1/2

(6,87)

^1/3

= 0, 332 . 46, 90 . 1, 90 = 29, 58

N

_u

= 0, 023R

_e^4/5

P

_r^2/5

= 0, 023 . (2200)

^4/5

(6,87)

^2/5

= 0, 023 . 471, 99 . 2,16 = 23, 45

N

_u

= 0, 023R

_e^4/5

P

_r^2/5

= 0, 023 . (22000)

^4/5

(6,87)

^2/5

= 0, 023 . 2978,1 . 2,16 = 147, 95

N

_u

= 0, 023R

_e^4/5

P

_r^2/5

= 0, 023 . (220000)

^4/5

(6,87)

^2/5

= 0, 023 . 18790 . 2,16 = 933, 48

Exercice 28 : Convection libre et forcée pour une lampe ordinaire (B)

On considère une lampe à basse consommation de puissance nominale 40 W, sous la forme approchée d'une sphère de diamètre d = 50 mm. On suppose que le champ de température est uniforme à la surface de la lampe de valeur Ts = 127 °C, alors que la température de l'air extérieur est T _f = 27 °C.

1- Dans un premier cas, on cherche à évaluer la puissance évacuée en convection forcée par un écoulement de l'air autour de la lampe s'effectuant à 0,3 m/s.

Evaluer à l'aide des données numériques fournies dans la Table jointe (cf. Annexe 1) les propriétés de l'air à la température de référence de 27°C. Calculer aussi le nombre de Reynolds Re. Pour ce problème, le nombre de Nusselt Nu fournissant le coefficient de convection h sera pris sous la forme : Nu=(hd/ λ )=0,37 Re ^0,6 . Calculer h (en W / m ² .K), puis φ (en W) à partir de la relation fondamentale de la convection φ =hS (Ts–Tf ). En déduire le pourcentage de la puissance dissipée par convection forcée.

2- Dans un deuxième cas, on suppose que l'écoulement d'air est supprimé, et que les échanges se déroulent par convection libre. Refaire les calculs en notant le nombre de Nusselt Nu sous la forme Nu = (hd/ λ ) = 0,60 (Gr Pr) ^0,25 , où Pr et Gr représentent respectivement les nombres de Prandtl et de Grashof, Gr = [ ρ ² g β (Ts – T f )  ^{3 ] /} µ ² , où g = 9,81 m/s ² , β = 1/T où T est la température absolue de référence (prendre ici 300 K), et où µ est la viscosité dynamique (en kg/m.s). En prenant  = 10 mm, montrer que le nombre de Grashof est de l’ordre de 13300. Revenir au calcul de φ , puis déduire le pourcentage de la puissance dissipée par convection libre. Conclure enfin sur l'importance relative de ces deux mécanismes de convection en terme d'efficacité dans le refroidissement de l'ampoule.

Solution :

1- Cas de la convection forcée

Les propriétés de l’air à 27 °C (300 K) sont tirées de la Table A1 de valeurs : .

Par ailleurs, ,

avec : .

Or, .

Il est alors possible de calculer le flux d’énergie thermique évacuée par convection : , soit 23,4 % de l’énergie nominale de l’ampoule dissipée par convection forcée.

2- Cas de la convection libre

! = 1,1774 kg / m

³

; µ =1,8462.10

^!5

kg / m.s ; " = 0, 02624 W / m.K N

_u

= hd / ! = 0, 37. R

_e^0,6

R

_e

= ! U!

µ ⁼

0, 3 . 1,1774 . 50.10

^!3

1,8462.10

^!5

= 956, 6 " N

_u

= 22, 73 W / m

²

.K h = ! N

_u

d = 0, 02624 . 22, 73

50.10

^!3

= 11, 93 W / m

²

.K

! = hS(T

_S

! T

_f

) = 11, 93. " . 50 ( )

²

^.10

^!6

^{.100 = 9, 36 W}

On repart de la relation fonctionnelle pertinente : , avec Pr = 0,708 et : G _r = ! g " ² ( T _s ! T _f ) ^{d 3}

µ ^{2 =}

0, 333.10 ^!2 . 9,81. 1,1774 ( ) ^{2 .100 . 10 3 .10 !9}

1,8462

( ) ^{2 .10 !10 = 13298}

. On considère le nombre de Grashof égal à 13300 pour la suite des calculs.

N _u = 0, 6 ( G _r P _r ) ^{0,25 = 5, 91 , d’où : h = 3,10 W / m 2 .K} , soit ici φ = 2,43 W, c’est-à-dire à peine 6,1 % de l’énergie nominale de l’ampoule dissipée par la convection libre. En fait, les deux mécanismes peuvent coexister et dans ce cas ils s’ajoutent tout simplement, pour une contribution totale de 11,79 W, soit 29,5 % de l’énergie dissipée par la convection libre et forcée. La convection forcée est plus efficace ici que la convection libre, d’un facteur proche de 4 (9,36 / 2,43 = 3,85).

Exercice 29 : Convection forcée d’une conduite chauffée en surface (B)

On considère une conduite de diamètre D et de longueur L dans laquelle s’écoule de l’eau à la vitesse U. La température de l’eau à l’entrée de la conduite est

!

T

_i

, alors que celle à la sortie est

!

T

_o

. La surface de la conduite est maintenue à la température constante

!

T

_S

>

!

T

_i

. La conductance mise en jeu au cours des échanges convectifs entre l’eau et la paroi solide est notée h, alors que la masse volumique de l’eau est ρ , et sa capacité calorifique à pression constante est C _P .

1- Écrire le bilan énergétique des échanges thermiques pour une tranche de fluide d’épaisseur dx, située le long de l’axe x d’écoulement du fluide entre x = x et x = x +dx.

La température moyenne de la tranche d’épaisseur dx sera notée :

!

T

_e

= 1

2 ( T(x) + T(x + dx) ) ^{" T(x)} . Montrer que l’équation de bilan peut finalement se mettre

sous la forme :

!

h"D T (

_S

# T(x) ) ^{dx = C}

P

$U "

4 D

²

dT(x) dx dx.

2- En effectuant le changement de variable

!

"(x) = T

_S

# T(x) , montrer alors que cette équation peut s’écrire sous la forme

!

"(x) + A d " (x)

dx = 0 , avec

!

A = C

_P

"UD 4h . En considérant une solution de cette équation différentielle sous la forme

!

"(x) = K exp # x A

$

% & ' ( ) , montrer en utilisant les conditions aux limites

!

"

_(x=0)

= T

_S

# T

_i

et

!

"

_{(x= +L)}

= T

_S

# T

_o

que la température de l’eau T

_o

à la sortie de la conduite s’écrit finalement :

!

T

_o

= T

_S

+ ( T

_i

" T

_S

) ^{exp " 4hL}

C

_P

# UD

$

% & '

( ) . En supposant que

!

C

_P

"UD >> 4hL , c’est-à-dire pour une vitesse d’écoulement U du fluide suffisamment rapide, montrer que

!

T

_o

peut finalement s’écrire :

!

T

_o

= T

_i

+ ( T

_S

" T

_i

) _C ^4hL

P

#UD .

3- Le problème est maintenant résolu par différence finie sur la longueur totale du tube, en considérant que la température de l’eau

!

T

e

est la moyenne de

!

T

_o

et de

!

T

_i

, c’est à dire

N

_u

= 0, 6 ( G

_r

P

_r

)

^0,25

sous la forme

!

T

_e

= 1

2 ( T

_o

+ T

_i

) . Montrer alors que la nouvelle équation du bilan thermique dans le tuyau peut se mettre sous la forme :

!

4hL T (

_S

" T

_e

) ^{= C}

P

#UD T (

_o

" T

_i

) . Calculer à partir de cette approximation. Sachant que l’inégalité de la question 2- ( ε =L/2A <<1) est toujours vérifiée pour une vitesse d’écoulement U suffisamment grande, montrer alors que l’expression de la question 2-,

!

T

0

= T

i

(1" 2#) + 2T

S

# , est bien retrouvée.

4- Calculer alors numériquement

!

T

_o

à partir de l’expression complète établie à la question précédente, à savoir :

!

T

_o

= T

_i

1 " # 1 + #

$

% & '

( ) + T

_S

2#

1+ #

$

% & '

( ) , ou bien à partir de l’expression approchée

!

T

₀

= T

_i

(1 " 2 # ) + 2T

_S

# . On prendra les données suivantes : U = 10 cm/s ; L = 5 m ; D = 0,1 m ;

!

T

_i

= 40 °C ;

!

T

_S

= 90 °C. Les propriétés de l’eau seront calculées pour la température moyenne

!

T

_e

= 1

2 ( T

_o

+ T

_i

) = 65 °C, à savoir : ρ = 981,9 kg/m ³ ; C _P = 4,187 kJ/kg.K ;

!

µ = 0,432 10- ³ kg/m.s ; λ = 0,6629 W/m.K ; Pr = 2,72.

Le nombre de Nusselt sera estimé à l’aide de la relation de Sieder et Tate :

!

Nu = 1,86 D L Re Pr

"

# $ %

&

'

1/ 3

µ µ

S

"

# $ %

&

'

0,14

, où

!

µ

S

= 0,285 10- ³ kg/m.s. Justifier que les deux expressions de

!

T

_o

fournissent des valeurs numériques très proches du fait que ε << 1.

Solution :

1- Le bilan thermique proposé correspond à indiquer que la quantité de chaleur échangée par convection doit être égale à la chaleur nécessaire pour faire varier la température du fluide considéré (loi fondamentale de la calorimétrie) :

, soit en notant : ,

, avec ,

.

2- Après simplifications d’usage, il reste finalement :

, soit après changement de variable :

, il reste l’équation différentielle ordinaire du premier ordre :

!

T

_o

d ! = h(T

_S

! T

_e

)dS = h " D(T

_S

!T

_e

)dx T

_e

! T (x)

d ! = mC !

_P

(T ( x + dx) ! T( x)) = mC !

_P

dT (x)

dx dx m ! = ! U "

4 D

²

! h ! D(T

_S

" T (x))dx = C

_P

" U !

4 D

²

dT ( x) dx dx

4h(T

_S

!T ( x)) = C

_P

! UD dT (x) dx

! (x) = T

_S

! T (x)

x T=T _S

T=T _i

T=T _o

x=0 x=L

T=T _S

, du type : , avec : . Si la solution générale est prise sous la forme : . Il faut alors utiliser les conditions aux limites :

, d’où : T ₀ = T _S ! ( T _S ! T _i ) ^{exp(!L / A) .}

Lorsque la vitesse d’écoulement U est suffisamment forte, alors : . Il est alors possible de développer la fonction exponentielle à l’ordre 1, sous la forme : . L’équation fournissant se met alors sous la forme suivante :

.

3- Le problème est dorénavant résolu en utilisant une équation de différence finie sur la longueur L du tuyau, soit pour l’équation du bilan thermique l’expression suivante :

, avec ,

soit : .

Cette équation est alors réécrite en notant : , ce qui permet d’établir :

, soit : .

Pour , , d’où :

.

4- Application numérique : On note les valeurs des paramètres : ;

! = 981, 9 kg / m ³ ; C _P = 4,187 kJ / kg.K ; µ = 0, 432.10 ^!3 kg / m.s ; .

On trouve , ce qui permet de calculer par l’une ou l’autre des deux approximations :

, ou bien : T

₀

= 2T

_S

!

1+ !

!

"

# $

% & + T

_i

1 '!

1+ !

!

"

# $

% & = 43, 23 °C .

On retrouve effectivement le même ordre de grandeur dans la limite de l’approximation 4h ! = ! " C

_P

UD d !

dx ! (x) + A d ! (x)

dx = 0 A = !C

_P

UD 4h

!( x) = K exp ! x A

"

# $ %

&

'

!

_(x=0)

= T

_S

! T

_i

= K ; !

_(x=+L)

= T

_S

! T

₀

= K exp(!L / A) " T

_S

!T

₀

= ( T

_S

!T

_i

) ^{exp(!L / A)}

1 / A ! 0

exp(!L / A) " 1! L / A T

₀

T

₀

! T

_i

+ ( T

_S

"T

_i

) ^{L / A}

4hL(T _S ! T _e ) = C _P ! UD(T ₀ ! T _i ) _T

_e

₌ ¹

2 (T

₀

+ T

_i

) T

_S

! 1

2 (T

₀

+ T

_i

) = ! C

_P

UD

4hL (T

₀

! T

_i

) = A

L (T

₀

! T

_i

)

! = L 2A <<1

2T _S ! (T ₀ + T _i ) = 1

! (T ₀ !T _i ) T

₀

= 2T

_S

! + T

_i

(1 !! ) (1 +! )

! << 1 ¹

1 +! ! 1 "!

T

₀

! 2T

_S

! (1 " ! ) + T

_i

(1" ! )

²

! 2T

_S

! + T

_i

(1" 2 ! )

U = 10cm / s ; L = 5m ; D = 0,1m ; T

_i

= 40 °C ; T

_S

= 90 °C

! = 0, 6629 W / m.K ; P

_r

= 2, 72 ! R

_e

= 22729 ; N

_u

= 20,82

! = 0, 0335 T

₀

T

₀

! 2T

_S

! + T

_i

(1" 2 ! ) = 43, 35 °C

effectuée ici.

Exercice 30 : Refroidissement en convection forcée d’une pompe industrielle (C) Pour éviter le réchauffement d’une pompe industrielle au cours de son fonctionnement, le corps de pompe baigne dans de l’huile placée dans un carter étanche. Pour limiter l’élévation de température de l’huile (notée T _huile ), qui se dégraderait trop rapidement au cours du temps, un serpentin d’eau passe au cœur du bain d’huile, ayant ainsi pour objectif d’extraire la chaleur indésirable. Le diamètre du serpentin est noté d, et sa longueur totale L, dans lequel s’écoule de l’eau à la vitesse U. La température de l’eau à l’entrée de la conduite est notée :

!

T

_i

, alors que celle à la sortie est

!

T

_o

. La surface du serpentin est maintenue à la température supposée constante T _huile =

!

T

_S

>

!

T

_i

. La conductance mise en jeu au cours des échanges convectifs entre l’eau et la paroi solide est notée par le coefficient h, alors que la masse volumique de l’eau est ρ, et sa capacité calorifique à pression constante est C _P .

1- Écrire le bilan énergétique des échanges thermiques pour une tranche de fluide d’épaisseur dx, située le long de l’axe x d’écoulement du fluide entre x=x et x=x+dx.

Montrer que l’équation du bilan thermique peut finalement se mettre sous la forme : h ! d T (

_S

! T( x) ) ^{dx = ! C}

^P

^{U "} ₄ ^d

²

^dT _dx ^{(x) dx .}

2- En effectuant le changement de variable,

!

"( x) = T

_S

# T(x) , montrer alors que cette équation peut s’écrire sous la forme

!

"(x) + A d " ( x)

dx = 0 , avec : A = !C

_P

Ud 4h . En considérant une solution de cette équation différentielle sous la forme :

!

"(x ) = K exp # x A

$

% & '

( ) , montrer en utilisant les conditions aux limites :

!

"

(x=0)

= T

_S

# T

_i

et

!

"

_{(x= +L)}

= T

_S

# T

_o

, que la température de l’eau

!

T

_o

à la sortie de la conduite s’écrit finalement : T

_o

= T

_S

+ ( T

_i

!T

_S

) ^{exp ! 4hL}

! C

_P

Ud

"

# $ %

&

' . 3- Calculer alors numériquement

!

T

_o

à partir de l’expression générale établie à la question précédente. On prendra les données suivantes : U = 0,5 m/s ; L = 2,15 m ; d = 5 mm ;

!

T

_i

= 20 °C ;

!

T

_S

= 30 °C. Les propriétés de l’eau sont : ρ = 982 kg/m ³ ; C _P = 4,2 kJ/kg.K ;

!

µ = 0,432 10- ³ kg/m.s ; λ = 0,6629 W/m.K ; Pr = 2,72. Le nombre de Nusselt sera estimé à l’aide de la relation fonctionnelle: Nu = 0, 023 Re

^4/5

Pr

^3/10

. En déduire la valeur numérique du flux de chaleur, exprimée en Watt (W) :

!

_eau

= ! C

_P

U !

4 d

²

( T

_o

! T

_i

) . Refaire les mêmes calculs numériques pour : U = 0,2 m/s ;

!

T

_S

= 50 °C, en conservant toutes les autres grandeurs inchangées.

4- Comparer alors vos valeurs numériques de T _o et de φ _eau avec celles de la Table.

Commenter les résultats, en terme de performances thermiques, notamment en fonction

de la vitesse du fluide, pour les deux températures de fonctionnement envisagées (50°C

et 30°C).

Re (-) Nu (-) h

( W/m ² °C ) To

(°C) φ _eau

(W)

φ _huile (W) U = 1 m/s & T _S = 50°C 11360 56,3 7470 48,67 2322 2322 U = 1 m/s & T _S = 30°C 11360 56,3 7470 29,56 774 774 U=0,5m/s & T _S = 50°C 5680 32,4 4290 49,16 1180 1180 U=0,5m/s & T _S = 30°C 5680 32,4 4290 ???? ???? ????

U=0,2m/s & T _S = 50°C 2272 15,5 2060 ???? ???? ????

U=0,2m/s & T _S = 30°C 2272 15,5 2060 29,86 159 159

5- Pour justifier le fait que le flux de chaleur perdu par l’huile est exactement celui fourni et évacué par l’eau (c’est-à-dire l’égalité des valeurs numériques des deux dernières colonnes de la Table), il faut repartir de l’expression de la différentielle du flux de chaleur échangé avec l’huile, sous la forme : d ! = h " D T (

_S

! T (x) ) ^{dx , avec :}

T (x) = T

_S

+ ( T

_i

! T

_S

) ^{exp ! 4hx}

! C

_P

Ud

"

# $ %

&

' . Intégrer alors cette expression sur la longueur du serpentin, pour aboutir finalement à la relation suivante :

!

_huile

= !

_eau

= ! C

_P

U !

4 d

²

( T

_o

! T

_i

) ^.

6- Les données constructeurs de la pompe indiquent que la puissance mécanique nominale de roulement des pièces mobiles vaut : P = 167,91 W. C’est donc cette énergie par unité de temps qui doit être évacuée sous forme de chaleur. On suppose dans cette question que le circuit secondaire (serpentin) est absent. Calculer alors en utilisant la relation fondamentale de la calorimétrie, la valeur que prendra la température de l’huile lubrifiante ISOVG32, en régime de fonctionnement, sachant que le carter de la

pompe contient 5 litres d’huile. On prendra comme valeurs : ρ = 930 kg/m ³ ; C _P = 1,8 kJ/kg.K .

Solution :

1- De nouveau, le bilan thermique proposé correspond ici à considérer que la quantité de chaleur échangée par convection doit être égale à la chaleur nécessaire pour faire varier la température du fluide considéré (loi fondamentale de la calorimétrie), avec :

d ! = h T (

_S

! T

_e

) ^{dS = h ! d T} (

^S

^!T

^e

) ^dx , soit en notant : , , avec m ! = ! U "

4 d

²

,

! h ! d T (

_S

"T (x) ) ^{dx = ! C}

^P

^{U "} ₄ ^d

²

^dT( _dx ^{x) dx .}

2- Après simplifications d’usage, il reste finalement :

T _e ! T (x ) d ! = mC !

_P

(T (x + dx ) ! T (x)) = mC !

_P

dT( x)

dx dx

4h T (

_S

! T( x) ) ^{= ! C}

^P

^{Ud dT(} _dx ^x) , soit après changement de variable :

, il reste l’équation différentielle ordinaire du premier ordre : 4h ! = ! " C

_P

Ud d !

dx , du type : , avec : ^{A =} ! C

_P

Ud 4h . La solution générale est prise sous la forme : . Il faut alors utiliser les conditions aux limites :

,

d’où : .

3- Application numérique : On note les valeurs des paramètres : U = 0, 5m / s ; L = 2,15m ; d = 5mm ; T

_i

= 20°C ; T

_S

= 30°C ;

! = 982 kg / m

³

; C

_P

= 4, 2 kJ / kg.K ; µ = 0, 432 10

^!3

kg / m.s ;

! = 0, 6629 W / m.K ; Pr = 2, 72 ! Re = 5680 ; Nu = 32, 4 ;

!

eau

= " C

_P

U #

4 d

²

( T

_i

! T

_o

) ^{= 387 W .}

Pour des valeurs légèrement différentes de certains paramètres, on note : U = 0, 2m / s ; T

_S

= 50°C ; _{Re = 2272 ; Nu = 15, 5 !} !

_eau

= " C

_P

U #

4 d

²

( T

_i

!T

_o

) ^{= 479 W .}

4- D’où les résultats complets pour la Table de référence qui regroupent les calculs réalisés à la question précédente 3-, valeurs fournies en caractères italiques et gras :

Re (-) Nu (-) h ( W/m ² °C ) To (°C) φ _eau (W) φ _huile (W) U = 1 m/s & T _S = 50°C 11360 56,3 7470 48,67 2322 2322 U = 1 m/s & T _S = 30°C 11360 56,3 7470 29,56 774 774 U=0,5m/s & T _S = 50°C 5680 32,4 4290 49,16 1180 1180 U=0,5m/s & T _S = 30°C 5680 32,4 4290 29,72 387 387 U=0,2m/s & T _S = 50°C 2272 15,5 2060 49,59 479 479 U=0,2m/s & T _S = 30°C 2272 15,5 2060 29,86 159 159

La tendance générale de ces résultats est la suivante. On observe tout d’abord que le nombre de Reynolds est systématiquement supérieur à 2200, ce qui indique que le régime turbulent est toujours atteint avec ce dispositif. Ceci est du à des vitesses d’écoulement de l’eau dans le serpentin qui sont élevées. Dès lors, la relation fonctionnelle donnant le nombre de Nusselt fait intervenir la puissance 0,8 sur le

! (x) = T

_S

! T (x)

! ^{( x)} + A d ! ( x) dx = 0

! (x) = K exp ! x A

"

# $ %

&

'

!

_(x=0)

= T

_S

! T

_i

= K ; !

_(x=+L)

= T

_S

! T

₀

= K exp(!L / A) " T

_S

! T

₀

= ( T

_S

!T

_i

) ^{exp(!L / A)}

T

₀

= T

_S

+ ( T

_S

! T

_i

) ^{exp(!L / A)}

nombre de Reynolds (et 0,3 sur le nombre de Prandtl). Cette dépendance presque linéaire sur la vitesse d’écoulement se traduit ensuite sur des nombres de Nusselt et donc sur le coefficient de convectance thermique h qui sont eux aussi élevés. A partir de là, on constate dans les calculs numériques que la température de sortie de l’eau au bout du serpentin, T ₀ est très proche de celle du carter de la pompe (ou de celle de l’huile) T _S . Ce résultat est normal, démontrant que le dispositif de refroidissement est efficace, pour un serpentin de 5 mm de diamètre et de 2,15 m de longueur. Ainsi, la consigne est largement atteinte, puisque l’essentiel du flux de chaleur produite au sein de la pompe par les éléments mécaniques en mouvement est efficacement évacuée. Le flux de chaleur calculé fournit une indication importante qui pourra être comparée à la question suivante aux données constructeur de la pompe. Même si ce dispositif de refroidissement, incorporant un circuit secondaire avec un serpentin d’eau fraiche situé dans le carter d’huile, est efficace, il existe tout de même un prix à payer, à savoir l’eau qui est justement utilisée. Bien entendu dans les installations industrielles, cette eau est recyclée en boucle, mais il faut tout de même faire attention car sa température peut alors dériver vers le haut sur le long terme au cours du temps, en s’écartant de la température de référence (ici notée à 20°C).

5- Dans la table de référence, nous avons indiqué l’égalité entre le flux de chaleur fournie par l’huile du carter à l’eau du circuit secondaire constitué par le serpentin d’eau. C’est ce qui apparaît sur les deux dernières colonnes de la Table. Pour autant cette égalité formelle ( _!

_eau

_{= !}

_huile

) n’a pas été démontrée ici d’un point de vue mathématique, et c’est justement l’objet de cette question d’en effectuer la démonstration. Repartons de la relation de définition de la chaleur échangée au niveau de l’huile, écrite ici sous sa forme différentielle : _d !

huile

= h " d T (

S

!T (x) ) ^dx . Il s’agit simplement de la quantité de chaleur échangée par l’huile du carter en direction du serpentin pour la tranche de celui-ci comprise entre x=x et x=x+dx. La démarche est alors la suivante. Dans cette relation de définition, le terme T(x) représente la température de l’eau à l’intérieur du serpentin, dont on connaît l’expression analytique générale qui s’écrit : ^{T(x) = T}

S

! ( T

_S

! T

_i

) ^exp ( ^{! x / A} ) , avec : ^{A = ! C}

^P

^Ud

4h . D’où : d !

_huile

= h " d T (

_S

!T

_i

) ^exp ( ^{!x / A} ) ^dx , expression qui est alors intégrée sur la longueur du serpentin :

!

_huile

= d !

_huile

0 L

! ^{= h " d T (}

^S

^"T

ⁱ

^{) exp ( "x / A ) dx}

0 L

! ^,

! !

_huile

= h"d T (

_S

"T

_i

) ^A #$ ^{1" exp} ( ^{"L / A} ) %& .

Pour terminer le calcul, il faut réinjecter l’expression de la constante A dans ce résultat, ce qui aboutit à l’expression suivante :

!

_huile

= " C

_P

Ud

²

#

4 ( T

_S

! T

_i

) "# ^{1! exp} ( ^{!L / A} ) $% . Soit en notant : T

_o

= T

_S

+ ( T

_i

! T

_S

) ^exp ( ^{!L / A} ) ^,

!

_huile

= " C

_P

Ud

²

#

4 "# ( T

_S

! T

_i

) ⁺ ( ^T

ⁱ

^{! T}

^S

) ^exp ( ^{!L / A} ) $% ,

! ! _huile = " C _P Ud ² #

4 #$ ( T _S " T _i ) ⁺ ( ^T o " T _S ) %& = ! C _P Ud ² "

4 ( T _o " T _i ) ^{= !} eau .

Ceci constitue le résultat final attendu, à savoir que le flux de chaleur perdue par l’huile est bien intégralement restitué à l’eau circulant dans le serpentin. Il peut y avoir néanmoins d’autres pertes thermiques par exemple par convection naturelle avec l’air environnant la pompe, mais ce transfert de chaleur est a priori beaucoup plus faible ici.

6- Les données constructeurs indiquent que la puissance mécanique de roulement des pièces mobiles vaut P = 167,91 W. C’est donc cette énergie qui doit être évacuée sous forme de chaleur, et il faut regarder dans la table les conditions se rapprochant le plus possible de ce cas. En fait, la dernière ligne de la Table indique que pour U = 0, 2m / s ; T

_S

= 30°C , on se trouve déjà dans des conditions similaires, avec un flux de chaleur évacuée qui vaut : !

eau

= "C

P

U #

4 d

²

( T

_i

! T

_o

) ^{=159 W} . Par raison de sécurité, il sera certainement judicieux d’augmenter un peu la vitesse d’écoulement de l’eau dans le serpentin, ou bien de contrôler la température de sortie de l’eau (ou bien celle de l’huile dans le carter) pour s’assurer que l’on reste dans le gabarit correspondant aux préconisations du constructeur. Si le serpentin est supprimé, alors toute la chaleur reste confinée dans l’huile et par extension au niveau de la pompe. Un calcul élémentaire fournit :

! _huile = " VC _P !T " !T = ! _huile / " VC _P = 167, 91 / 930 . 0, 005 . 1800 = 0, 02°C / s . En première approximation, il ne s’agit pas d’une dérive thermique trop importante, puisque l’on parle ici de 1,2 °C par minute. Ceci étant, au bout de 10 minutes, cela correspond tout de même à 12 °C, ce qui fait sortir du gabarit de température (fixée par exemple ici à 30 °C, comme discuté dans la Table). En bref, ce type de pompe a effectivement besoin d’un refroidissement à l’aide d’un circuit secondaire réalisé avec le serpentin d’eau fraiche, d’où la modélisation élémentaire proposée dans cet exercice.

Exercice 31 : Champ de température d’une sphère immergée dans un fluide (B) Une sphère de rayon R et de coefficient de conductivité thermique λ ₁ est immergée dans un liquide immobile de conductivité thermique λ ₂ . Une source de chaleur est disposée très loin de la sphère (à la limite à l'infini) produisant un gradient de température supposé constant dans le fluide de la forme dT/dr = A, où r représente la coordonnée radiale prise autour de la sphère (r = 0 correspond simplement à son centre), et où A est une constante positive. Le champ de température est donc implicitement supposé être une fonction de la coordonnée radiale r uniquement.

1- En dehors des sources thermiques, qui sont donc repoussées à l'infini, il est supposé

que l'équation de la chaleur se réduit à l'équation de Poisson ΔT = 0, où Δ représente le

Laplacien scalaire. La solution générale de cette équation est prise sous la forme de

deux termes distincts. Le premier est noté T(r) = Ar. Montrer qu'une telle solution

vérifie bien l'équation de Poisson en tout point r. Le deuxième terme est pris sous la

forme T(r) = A/r ² . Montrer qu'il valide bien la condition limite pour r infini, mais que

par contre, il existe une singularité au centre de la sphère (pour r = 0).

2- Justifier finalement que le champ de température admissible s'écrit pour la sphère T ₁ (r) = C ₁ Ar , et pour le fluide l'entourant T ₂ (r) = A r + C 2 A / r ² , où C ₁ et C ₂ sont deux constantes arbitraires. Ecrire alors les conditions aux limites à la surface de la sphère (en r = R) à la fois sur le champ de température, ainsi que sur le flux de chaleur échangée. Aboutir ainsi au calcul des deux constantes C ₁ et C ₂ . Montrer que le champ de température à l'intérieur de la sphère et dans le fluide environnant s'écrit finalement sous la forme :

Pour r < R, T ₁ (r) = [(3λ ₂ / (λ ₁ +2λ ₂ )] A r ;

Pour r > R, T ₂ (r) = [1+(λ ₂ – λ ₁ ) / (λ ₁ +2λ ₂ ) (R/r) ³ ] A r.

3- Montrer alors que les deux conditions aux limites de la question 2- sont bien vérifiées à la surface de la sphère (en R = r) à la fois pour le champ de température, ainsi que pour le flux de chaleur échangée. Que se passe-t-il lorsque λ ₁ = λ ₂ , c'est à dire pour le cas où la sphère et le liquide l'entourant possèdent la même conductivité thermique ? Est-ce que le résultat obtenu vous semble normal ?

4- On suppose dorénavant que le fluide caloporteur entourant la sphère se déplace avec la vitesse U le long d'un axe noté y. Ecrire alors l'équation de Fourier généralisée à deux dimensions (ici notées x et y). Est-ce que le champ de température vérifie encore dans ce cas une équation de Laplace du type ΔT = 0 ? Par quelle équation générique faut-il la remplacer. En repartant du champ de température dans le fluide de la question 2-,

admissible ici que pour de faibles vitesses d'écoulement U, montrer alors que ΔT = UA/χ , où χ représente la diffusivité thermique χ = λ / ρ CP . Discuter ce résultat,

ainsi que les hypothèses et le cas limite où U = 0 (absence d'écoulement).

Solution :

1- La source thermique située à l’infini impose une condition aux limites du type : , pour . Sachant que , pour r quelconque, les

solutions proposées sont du type : , ou bien .

* Si , alors , d’où un champ valide jusqu’en , soit , pour tout r.

* Si , alors , et , soit , pour r suffisamment grand.

Par contre, il existe une singularité pour .

D’où finalement : dans la sphère solide, et dans le fluide autour de la sphère.

2- Il faut prendre en compte les conditions aux limites sur la surface de la sphère (en r=R), à savoir :

* continuité de la température (condition de Dirichlet) :

!T = A r ! " !T = !

"• !

"T = 0 T = !

A • !

r = Ar T = ! A • !

! 1

r

"

# $ %

&

' = A / r

²

T = Ar !T = A r ! 0 !T = 0

T = A / r

²

_{!T = "} ^2A

r

³

!T = 6A

r

⁴

!T = 0 r ! 0

T

₁

= C

₁

Ar T

₂

= C

₂

A / r

²

+ Ar

.

* continuité du flux de chaleur (condition de Neumann) :

,

soit : .

Il reste alors : ,

et : .

3- Finalement, les champs de température dans la sphère et dans le fluide s’écrivent : T ₁ (r) = 3 ! ₂

! ₁ + 2 ! ₂

!

"

# $

% & Ar ; T ₂ (r) = 1+ ! ₂ ' ! ₁

! ₁ + 2 ! ₂

!

"

# $

% & R r

!

"

# $

% &

( 3

)

* *

+ , - - Ar .

A la surface de la sphère (en r = R), on retrouve bien la même valeur pour les deux champs, à savoir :

T ₁ (R) = 3 ! ₂

! ₁ + 2 ! ₂

!

"

# $

% & AR ; T ₂ (R) = 1+ ! ₂ ' ! ₁

! ₁ + 2 ! ₂

!

"

# $

% &

(

) * +

, - AR = 3 ! ₂

! ₁ + 2 ! ₂

!

"

# $

% & AR .

4- En présence d’un écoulement, on repart de l’équation de la chaleur « généralisée », écrite sous la forme :

, avec le terme qui est négligeable.

, car , en notant . Si ,

alors, . Pour y suffisamment grand, alors : . Pour

, on retrouve bien .

Exercice 32 : Evolution de la température d’une bille immergée dans un fluide (B)

Une bille d'acier de 5 cm de diamètre initialement à la température uniforme Ti = 450° C est soudainement placée dans un environnement d'air maintenu à 100°C.

Caractéristiques de l'acier : Coefficient de conduction : λ = 35 W/m.K, chaleur massique : c = 0.46 kJ/kg.K, masse volumique : ρ = 7800 kg/m

³

. Coefficient de convection de l'air à la température considérée : h = 10 W/m

²

K.

T

_1r=R

= T

_2r=R

! C

₁

AR = C

₂

R

³

+ 1

"

# $ %

&

' AR ! C

₁

= 1+ C

₂

R

³

!

_1r=R

= !

_2r=R

! "

₁

"T

₁

"r

_r=R

= "

₂

"T

₂

"r

_r=R

! "

₁

C

₁

A = "

₂

C

₂

R

³

+1

#

$ % &

' ( A ) "

₂

3C

₂

R

⁴

AR

!

₁

C

₁

= !

₂

1! C

₂

R

³

"

# $ %

&

' ( C

₁

= !

₂

!

₁

^1!

C

₂

R

³

"

# $ %

&

'

C

₂

R

³

1 + 2 !

₂

!

₁

!

"

# $

% & = !

₂

!

₁

'1 ( C

₂

= !

₂

' !

₁

!

₁

+ 2 !

₂

!

"

# $

% & R

³

C

₁

=1+ !

₂

! !

₁

!

1

+ 2 !

2

" C

₁

= 3 !

₂

!

1

+ 2 !

2

V

_x

!T

!x +V

_y

!T

!y = ! !

²

T

!x

²

^V

^x

!T

!x <<1

!T " 0 ! !T " U #T

#y U ! V

_y

T (y) = Ay + C

₂

A / y

²

!!T " UA ( 1# 2C

₂

/ y

²

) ^{!T " UA / !}

U ! 0 !T = 0

1- Donner la définition du nombre de Biot et le calculer. Conclusion ?

2- Faire un bilan énergétique de la bille et en déduire l'équation différentielle régissant l'évolution de sa température.

3- En déduire le temps nécessaire pour que la bille atteigne la température T = 150°C.

4- En intégrant le flux de chaleur perdu entre t=0 et t, retrouver la quantité de chaleur fournie à l'air ambiant jusqu'à ce que la bille atteigne la température T(t).

Solution :

1- On commence par calculer le nombre de Biot, rapport de la résistance thermique interne (pour la conduction) à la résistance externe (pour la convection) :

.

Sachant que l’on a affaire à une bille sphérique de rayon R, la longueur caractéristique L

s’écrit : .

Au final, .

Sachant que le nombre de Biot est très petit devant 1, on en déduit que la résistance interne est très faible, ce qui indique l’uniformité de la température à l’intérieur du corps solide, en relation avec la loi de Fourier s’écrivant . Du fait que , et pour traduire le fait qu’a priori le flux reste fini, alors il faut que les écarts de température à l’intérieur du corps restent eux-mêmes finis, d’où l’uniformité de la température attendue, cf. méthode dite de la « capacité en bloc », voir page 53.

2- Le bilan thermique indique que le flux de chaleur perdu par convection correspond à un refroidissement global du corps solide. On place un signe moins devant la deuxième quantité pour bien indiquer un refroidissement (dans le cas inverse d’un réchauffement du corps solide, on placerait alors un signe plus dans l’équation de bilan). Soit ici, au final :

, avec : .

3- Il s’agit d’une équation différentielle ordinaire du premier ordre qui est aisément résolue, en écrivant :

, c’est-à-dire après intégration : . Les valeurs numériques fournissent :

;

! = !. !" ^! _!!!

^!

^!!

^!

!

= 2990. !" !"#!!""

!"#!!"" = 5818  ! ≈ 1ℎ40!"#.

4- La quantité de chaleur fournie à l’air ambiant se calcule aisément à partir de sa définition :

B

_i

= ( L / !S ) ^{/ 1 /} ( ^hS ) ^{= hL / !}

L = V / S = (4 / 3) ! R

³

/ 4 ! R

²

= R / 3

B

_i

= hR / 3 ! = (10 . 2, 5.10

^!2

) / (3 . 35) = 2, 4.10

^!3

<< 1

! = !T / R

_in

R

_in

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