N OUVELLES ANNALES DE MATHÉMATIQUES
M ICHAEL R OBERTS
Sur quelques questions d’algèbre
Nouvelles annales de mathématiques 1resérie, tome 19 (1860), p. 23-26
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SUR QUELQUES QUESTIONS »'ALGÈBRE;
PAR M. MICHAKL ROBERTS.
Étant donnée l'équation
( a , b,c,d9e,f9. . . ) ( * , i ) » = o ,
dont les racines bont (.r1; x2, . . . , xn) *, soient s0, A4, 52. les sommes des puissances z é r o , p i e m i è r e , d e u x i è m e , . de ces racines.
Calculons les valeurs de la fonction symétrique
— x * )t p, ou bien de l'invariant quadratique
de la forme (•)
pour p=zi, p = 2y p = Nous trouvons
^ <^n _ _ 3/ i / , , ^
6
nk(fr— ac)3— i »i a(iï — a ) (« — 5) tf"
X {ad'-+-eb2-h &— zbcd— ace) a3
X {ag —
2.3.4.5
-15 Ê ' C —
t XVIll,p. 3o4.
« • y =«»(ii-i)
2/23(rt — 2) ( 3 « — 7)«3
X (b2--ac){ad3-{-eb3-hc3—zbcd—ace)
X (*<?'—4 M H-3c*)*
9°
i5ec— 10
X
— 3bcf—acg\
3 ) / 2.3.4.5.6.7
X (ait —8*A 4 - 2 8 ^ — 56df-+- 35^2) On trouve aussi pour l'invariant cubique (I5) de la forme
l'expression suivante
Posons n = 3, e = o, Ton retombe sur le discriminant de la fonction cubique homogène à deux variables (*).
Pour n == 4, nous avons
(*) Résultat connu.
( 2 6 )
Or, en nous reportant à l'équation au carré des diffé- rences des racines d'une équation biquadra tique que j'ai déjà donnée (*), nous tirons l'équation suivante.
3 c2) X
en .sorte que la relation entre les racines d'une équation du quatrième degré exprimée par Téquation
entraîne Tune ou Fautre des conditions
So Si .V, .V2
S2 S3