Sur quelques questions d'algèbre

N OUVELLES ANNALES DE MATHÉMATIQUES

M ICHAEL R OBERTS

Sur quelques questions d’algèbre

Nouvelles annales de mathématiques 1^resérie, tome 19 (1860), p. 23-26

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SUR QUELQUES QUESTIONS »'ALGÈBRE;

PAR M. MICHAKL ROBERTS.

Étant donnée l'équation

( a , b,c,d9e,f9. . . ) ( * , i ) » = o ,

dont les racines bont (.r1; x2, . . . , xn) *, soient s0, A4, 52. les sommes des puissances z é r o , p i e m i è r e , d e u x i è m e , . de ces racines.

Calculons les valeurs de la fonction symétrique

— x * )^{t p}, ou bien de l'invariant quadratique

de la forme (•)

pour p=zi, p = 2y p = Nous trouvons

^ <^n _ _ 3/ i / , , ^

6

nk(fr— ac)3— i »i a(iï — a ) (« — 5) tf"

X {ad'-+-eb2-h &— zbcd— ace) a3

X {ag —

2.3.4.5

-15 Ê ' C —

t XVIll,p. 3o4.

« • y =«»(ii-i)

2/2³(rt — 2) ( 3 « — 7)«³

X (b2--ac){ad3-{-eb3-hc3—zbcd—ace)

X (*<?'—4 M H-3c*)*

9°

i5ec— 10

X

— 3bcf—acg\

3 ) / 2.3.4.5.6.7

X (ait —8*A 4 - 2 8 ^ — 56df-+- 35^2) On trouve aussi pour l'invariant cubique (I5) de la forme

l'expression suivante

Posons n = 3, e = o, Ton retombe sur le discriminant de la fonction cubique homogène à deux variables (*).

Pour n == 4, nous avons

(*) Résultat connu.

( 2 6 )

Or, en nous reportant à l'équation au carré des diffé- rences des racines d'une équation biquadra tique que j'ai déjà donnée (*), nous tirons l'équation suivante.

3 c2) X

en .sorte que la relation entre les racines d'une équation du quatrième degré exprimée par Téquation

entraîne Tune ou Fautre des conditions

S^o Si .V, .V2

S2 S3