CORPS FINIS. APPLICATIONS.

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�� CORPS FINIS. APPLICATIONS.

SoitPl’ensemble des nombres premiers. Les corps considérés seront supposés commutatifs.

I. Notion de corps fini

[Per��, §�.�, p��–��] [Rom��, Ch��, p��]

I. A. Vocabulaire général sur les corps

Cloture algébrique unique à isomorphisme près (admis).

Corps de rupture / de décomposition.

Théorème deW��

I. B. Premiers résultats

D��. Un corps fini est un corps de cardinal fini.

P��. PourpœP,F^p=Z/pZest un corps fini àpéléments.

P��. SoitKun corps. L’applicationZ ≠æ K, m ‘≠æ m1Kest un morphisme d’anneaux de noyaunZpour unnœN.

D��. L’image de cette application est un sous-corps deKappelé sous-corps premier.nest appelé caractéristique deK, notécar(K).

P��. SiKest fini, on acar(K)œP.

A��. Le sous-corps premier deKest alors isomorphe àZ/pZ. PourpœP, on noteF^p=Z/pZ.

C��. SiKest un corps fini de caractéristiquep, alorsKest unF^p-espace vectoriel oùp= car(K), de cardinalpⁿoùn= dim_Fp(K).

A��. Il n’existe par de corps à6éléments.

I. C. Existence et unicité

SoitpœPetnœN^ú. Soitq=pⁿ.

D��. [�� F��]

SoitKun corps de caractéristiquep.Frob :K≠æK, x‘≠æx^pest un morphisme de corps appelé morphisme deF��.

P��. Frobest injectif et siKest fini, c’est un automorphisme.

P��. PourK=F^p, on aFrob = Id.

P��. SoitF^pune clôture algébrique deF^p. Alors l’ensemble des racines deX^pⁿ≠ XdansF^pest un sous-corps deF^pàq=pⁿéléments, contenantF^p.

C��. Il existe un corps fini àqéléments, unique à isomorphisme près : c’est le corps de décomposition deX^q≠XsurF^p. On le noteF^q.

II. Eléments de structure

[Per��, §III.�, p��]

II. A. Structure d’un corps fini

Fqest unFp-espace vectoriel de dimensionn, donc isomorphe àFⁿp

F^◊q =F^úqest cyclique, donc isomorphe à(Z/(q≠1)Z,+) Racine primitive, nombre de racines primitives

Élement primitif : une racine primitive est un élément primitif

II. B. Inclusion entre corps finis

P��. Les sous-corps deF^pⁿsont lesFp^dpourd|n.

T��. [�� ]

SoientK,L,Mdes corps,(ei)iœI une base deLsurK,(fj)jœJune base deMsurL. Alors (eifj)(i,j)œI◊Jest une base deMsurK.

En particulier, lorsque deux des degrés d’extensions sont finis, le troisième aussi et on a [M:K] = [M:L][L:K].

A��. On a alors[F^pⁿ:Fp^d] =ⁿ_d.

E��. Schéma des inclusions des sous-corps deF2²⁰.

II. C. Structure du groupe des isomorphismes

[Rom��, §��.�, p��]

Aut(F^q)est un groupe de neutreid

Sif œAut(F^q), alorsF^pµ{xœF^q|f(x) =x} Aut(F^q)est cyclique d’ordren, engendré parFrob

ÉNS Paris-Saclay –��/�� AntoineB��–https://perso.ens-lyon.fr/antoine.barrier/fr/ Page��sur��

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Agrégation – Leçons ��– Corps finis. Applications.

III. Applications

III. A. Résolution d’équations de degré 2

[Rom��, §��.�–�, p��–��] [Per��, §III.�, p��–��]

SoitpœPetq=pⁿoùnœN^ú. On noteF²q =)

x²|xœF^q*etF^úq2=F²qﬂF^úq. P��. Sip= 2, alorsF²q =F^q. Sinon, on a--F²q

--= ^q+1₂ .

A��. Poura, bœF^úpetcœF^p,ax²+by²=cadmet des solutions dansF²p. On suppose dans la suitepimpair.

L��. On axœF^úq2

≈∆x^q^≠1² = 1.

E��. ≠1est un carré moduloqsi et seulement siq|1 mod 4.

E��. DansZ/7Z,2est un carré mais par3.

On aimerait savoir rapidement si un entieradonné est un carré modulop, donc savoir six²©a modpadmet ou non une solution entière.

D��. [�� L��]

SoitaœZ, on appelle symbole deL��(deamodulop) l’entier : 3a

p

4=

Y] [

1 six²©a modpest résoluble etp-a 0 sip|a

≠1 sinon

P��. On a1

a p

2©a^p^≠1² modppour toutaœZ.

P��. 1

a p

2=1_a+kp

p

2pour touta, kœZ. On peut donc définirxœF^p‘≠æ1

x p

2. C’est l’unique morphisme de groupes non trivial de(F^úp,◊)vers({±1},◊).

R��. Le nombre de solutions dex²=apouraœF^pest1 +1

a p

2.

T��. [�� ]

Soientp”=qdes nombres premiers impairs. Alors1_p

q

2 1_q

p

2= (≠1)^p≠1² ^q≠1² .

P��. Pourppremier impair, on a1₂

p

2= (≠1)^p²⁸^≠1. Ainsi2est un carré modulo

psi et seulement sip©±1 mod 8.

On peut donc calculer1

n p

2pour tout entiern: E��. !₂₆

307"₌! ₂

307" !₁₃

307"₌

≠(≠1)^13≠1² ^307≠1² !₃₀₇

13"₌

≠!₈

13"₌

≠!₂

13" !₄

13"₌

≠1

Ainsi26n’est pas un carré modulo307.

III. B. Irréductibilité dans Z [X] et Q [X], réduction modulo p

[Per��, §�.�-�.�, p��–��]

P��. Un polynôme de degré supérieur ou égal à1est irréductible dansZ[X] si et seulement si il est de contenu1et irréductible dansQ[X].

P��. [�� ’E��]

SoitP = qr

i=0aiXⁱ œ Z[X]. Soitp œ P. Sip - ar,’i < r, p | aietp² - a0, alorsP est irréductible dansQ[X].

E��. Sim œ Za un facteur premier sans carré alorsXⁿ≠mest irréductible dans Z[X]pour toutnœN.

P��. SoitpœPetP =qr

i=0aiXⁱ œZ[X]. SoitPla réduction dePmodulo p. Sip-anet siPest irréductible dansF^p[X], alorsPest irréductible dansQ[X].

E��. X³+462X²+2433X≠67691est irréductible dansZ[X], tout commeX^p≠X≠1 pour toutpœP.

D��. [�� ]

On définit len-ième polynôme cyclotomique n œCⁿ[X]par n(X) =r

’œU^◊n(X≠’).

P��. nœZ[X].

T��. [��  n] nest irréductible surZet donc surQ. Liens entre irréductibilité et degré des extensions [Per��, p��–��]

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Agrégation – Leçons ��– Corps finis. Applications.

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Dans la première partie, on essaie de comprendre ce qu’est un corps fini. Les outils principaux étant les notions de caractéristique et de sous-corps premier, le morphisme deF��. Cela va mener à l’ unicité du corps de cardinalp^dà isomorphisme près.

Ensuite, on regarde la structure de ces corps finis, avec notamment les racines primitives et les éléments primitifs. Le problème est qu’il n’y a pas de méthode générale pour exhiber une racine primitive. On s’intéresse aux sous-corps d’un corps fini et aux degrés des di�érentes extensions et on étudie également le lien entre les automorphismes du corps et le morphisme de F��.

La dernière partie s’intéresse aux applications des corps finis, avec la résolution d’équations de degré2dans ces corps (loi de réciprocité quadratique), et les critères d’irréductibilité de polynômes.

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Voir aussi le [Dem��].

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[Dem��] M.D��:Cours d’algèbre. Cassini,��.

[Per��] D.P��:Cours d’algèbre. Ellipses,��.

[Rom��] J.-E.R��: Mathématiques pour l’agrégation : Algèbre et géométrie. De Boeck,

��.

￿￿￿ CORPS FINIS. APPLICATIONS.