ECE 2 MATHEMATIQUES DS 7 - durée : 2h
3 mars 2020
Les documents, la calculatrice, et tout matériel électronique sont interdits.
Le soin, la précision et la qualité de la rédaction seront pris en compte dans la notation.
Exercice I.
On considère la fonctionf définie, sur l’ouvert]0,+∞[×]0,+∞[, par f(x, y) = (x+y) 1
x +1 y
. 1. Montrer que ∀(x, y)∈]0,+∞[×]0,+∞[, f(x, y) = 2 + y
x +x
y et f(x, y) = (x+y)2 xy . 2. Montrer quef est de classeC2sur]0,+∞[×]0,+∞[.
3. Montrer quef possède une infinité de points critiques et les déterminer.
4. Déterminer les dérivées partielles secondes def. Cela permet-il de conclure à l’existence d’un extremum local def sur]0,+∞[×]0,+∞[?
5. a. Comparer les réels(x+y)2et4xy. (On pourra calculer la différence.)
b. En déduire quef admet sur ]0,+∞[×]0,+∞[un minimum global égal à4 en tous ses points cri- tiques.
6. Soitgla fonction définie pour tout(x, y)de]0,+∞[×]0,+∞[, par g(x, y) = 2 ln(x+y)−ln(x)−ln(y).
Montrer que ∀(x, y)∈]0,+∞[×]0,+∞[, g(x, y)≥2 ln(2).
Exercice II.
Soitθun réel strictement positif. On considère la fonctionf définie surRpar f(x) =
( eθ−x six≥θ 0 six < θ . On rappelle que E(aX+b) =aE(X) +b et V(aX+b) =a2V(X).
1. a. Vérifier que ∀A≥θ, Z A
θ
f(x)dx= 1−eθ−A. b. Montrer quef est une densité.
On noteXune variable aléatoire réelle de densitéf. 2. Déterminer la fonction de répartitionFX deX.
3. On considère la variable aléatoire Y =X−θ.
a. Montrer que la fonction de répartitionFY deY est définie par FY(y) =
( 1−e−y siy>0 0 siy <0 . b. En déduire queY est une variable à densité qui suit une loi classique dont on précisera le paramètre.
Préciser son espérance et sa variance.
c. En déduire l’espérance et la variance deX.
4. Dans toute la suite,ndésigne un entier naturel non nul et(Xk)16k6nest unn−échantillon deX.
On cherche à estimer le réelθà l’aide de la variable aléatoireSn= 1 n
n
X
k=1
(Xk−1).
a. Montrer queSnest un estimateur sans biais deθ.
b. Calculer son risque quadratique notér(Sn).Snest-il un estimateur convergent deθ?
ECE 2 1/2 Lycée François Couperin
ECE 2 MATHEMATIQUES DS 7 - durée : 2h
3 mars 2020
Exercice III.
Un joueur gagne55%des parties qu’il dispute. On prendra si besoin √
0.55×0.45'0.5 et √
2475'50.
1. a. Il joue 1000 parties. On noteXle nombre de parties gagnées.
Quelle est la loi deX? Combien peut-il espérer gagner de parties ? b. Rappeler l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev, et l’appliquer àX.
c. Compléter |X−550| 6 50 ⇐⇒ ? 6 X 6? , puis en déduire un intervalle de confiance de niveau de confiance90%pourX.
2. a. Le joueur jouenparties, avecn∈N∗. On noteSnle nombre de parties gagnées.
En utilisant le théorème central limite, montrer qu’un intervalle de confiance asymptotique de ni- veau95%pourSnesth
0.55n−0.98√
n; 0.55n+ 0.98√ ni
.
b. En utilisant la table de loi normale, déterminer le nombrende parties à jouer pour que le joueur soit certain à99%d’en gagner au moins50%.
ECE 2 2/2 Lycée François Couperin
