Un problema sul gruppo degli automorfismi di un <span class="mathjax-formula">$p$</span>-gruppo finito

R ^ENDICONTI

del

S ^EMINARIO M ^ATEMATICO

della

U NIVERSITÀ DI P ^ADOVA

F ^EDERICO M ^ENEGAZZO

Un problema sul gruppo degli automorfismi di un p-gruppo finito

Rendiconti del Seminario Matematico della Università di Padova, tome 69 (1983), p. 1-6

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problema gruppo degli

di

un

p-gruppo finito.

FEDERICO MENEGAZZO

(*)

Un teorema di O. Muller

[2]

asserisce che

ogni

p-gruppo finito

G,

che non sia abeliano elementare o

extraspeciale, possiede

automorfismi esterni che inducono l’identità sul

quoziente

^{modulo il}

sottogruppo

di Frattini

~(G).

^Il

problema

dell’esistenza di automorfismi esterni che inducono

l’identità,

oltre che sul

quoziente

^{anche sul}

sottogruppo Ø(G)

^{è stato} studiato da P. Schmid ⁱⁿ

[4].

^{Per i}

gruppi

^G

tali che tale

problema

ammette la

seguente

^formu-

lazione

equivalente

^{in termini}

coomologici: Z( ~(G) )~ ~ 1 ~

In

[4]

si dimostra

appunto che,

^{se G è un} p-gruppo

regolare,

^allora

Z( ~(G) )~ ~ ^1,

e si chiede se un tale risultato vale in

generale.

In

questo

lavoro si costruisce una

famiglia

^di

p-gruppi

^finiti per ognuno dei

quali

^e

~(~(~Z(~((7)))==l;

^ciò

permette

^di

rispondere negativamente

alla domanda

posta

ⁱⁿ

[4].

I

gruppi

ⁱⁿ

questione

vengono esibiti ^come

sottogruppi

^di

opportuni prodotti intrecciati;

si vede dalla costruzione stessa che possono venire scelti ad arbitrio il centro del gruppo ^{e il numero} di

generatori,

^{e che}

la classe di

nilpotenza

^{e la}

lunghezza

^di risolubilità possono ^essere arbitrariamente alte.

l. Alcuni risultati

preliminari.

DEFINIZIONE. Siano ^un p-gruppo abeliano

elementare,

^{A un}

p-gruppo

abeliano,

entrambi finiti e non identici. Il

sottogruppo

(*)

Indirizzo dell’A.: Seminario Matematico, Università di Padova, ^via Belzoni, ^{7 - 35100 Padova}

(Italia).

2

«base » B del

prodotto

intrecciato standard AwrH

è,

^{in modo}

ovvio,

un H-modulo.

Ogni

H-modulo M isomorfo a B verrà chiamato H- modulo intrecciato su A.

Se in

particolare

^{.~. è} omociclico di

esponente

pn ^e dimensione _m,

ogni

H-modulo intrecciato su A è isomorfo a sul

quale

H opera

moltiplicando

^{a destra.}

La

proposizione seguente

^è

probabilmente

^{ben nota.}

LEMMA 1.1. Siano H un p-gruppo abeliano

elementare,

^{A un} p- gruppo

abeliano,

^entrambi

f initi

^{e non}

identici;

^{se M è 2cn H-modulo}

intrecciato ^su

A,

^allora

HI(H, M)

^{= 1.}

DIMOSTRAZIONE. Induzione su d ⁼

dim H; possiamo

supporre che .lVl’ sia

proprio B,

^il

sottogruppo

^« base » del

prodotto

intrecciato stan- dard AwrH. Se d ⁼ 1 e t è un

generatore

^di

.H~,

^risulta

B) _

([1], ^I, 16.10);

^{è noto che}

consiste esattamente delle funzioni b : H - A

p - 1

tali ⁼

1,

^e di conseguenza ha ordine d’altra

parte

i=O

CB(H)

⁼

Z(AwrH) = A,

^{da cui}

|{[b, t]lb

^E

B} ( _ i = Sup- poniamo

^ora

d &#x3E; 1, spezziamo

^{H in}

prodotto

^diretto

con t #

1,

^e dimostriamo che

ogni

automorfismo di ⁼ AwrH che induca l’identità su B e su è interno

(vedi ^[1], 1, 17.1).

^{Sia a un}

tale automorfismo.

(BK)a

⁼

BK,

^{e per}

l’ipotesi

^indut-

tiva

OCIBK

^è

^interno,

indotto da ^un certo

Se g

indica l’automor- fismo interno di ~ indotto da

g, f3

⁼

ag-1

induce l’identità su BK

e su e in

particolare tf3

⁼

t f

^con

f

^E

GB(K),

^{da cui =}

= è a sua volta

(isomorfo ad)

^un

prodotto

^intrec-

ciato standard con

sottogruppo

^{« base »}

induce l’identità su

GB(K)

^{e su} Ne segue che

è

interno,

indotto da un certo

g*

^{E Se con}

g*

^si indica l’auto- morfismo interno di ’W’ indotto da

g*,

è subito visto che

##*-i =

=

1,

^{cioè oc è}

interno,

^{come si voleva.}

LEMMA 1.2. Per

ogni

p-gruppo

finito

^{abeliano non} identico A esiste

~~ p-gruppo

f inito G,

^{con due}

generatori,

tale che A ^{^~}

Z(G) ^{c G’.}

(La

costruzione che segue, ^non

pubblicata,

^{è dovuta a R. E. Phil-}

lips ; ringrazio

vivamente il

prof. Phillips

per avermi cortesemente per-

messo di

includerla) .

DIMOSTRAZIONE. Sia C un gruppo ciclico di ordine

pn

⁼ exp

A;

è noto che nel gruppo V ⁼⁼ .AwrC si ha A ~

Z( V’)

^{V’. Sia ora T =}

t&#x3E;

un gruppo ciclico di ordine pm, dove m è sufficientemente

grande

^da

garantire

l’esistenza di un sottoinsieme di T tale che

ISI

⁼

Sul

^{1 per}

^ogni

^{u E}

^T,

^{u =1= 1. Ad}

^esempio,

^{una scelta soddisfa-}

cente le condizioni dette è pm &#x3E;

21 Y1 + 1, ~S’

⁼⁼

{t, ^{t2, t4,} ... , t21 Yi + 1~ ^[3].

^Il

gruppo G

^{cercato sarà un}

sottogruppo

^{di ~W’ =} VwrT. Sia _cp una biie- zione di ~S su

V;

^la

posizione f (s)

⁼

q(s)

^per

ogni s

^E

S, f (x)

^{= 1 se}

x E

-Y’BB8

^{definisce un elemento}

f

^del

sottogruppo

^« base » di W . Po- niamo ora G ⁼

f, t&#x3E;;

^{G è un} p-gruppo finito ^{con 2}

generatori.

^Per

ogni coppia

v,, elementi di V risulta _v, ⁼ _V2 ⁼

cp( S2)

^con

Si ^r1

8s2’

⁼

{1},

^il

supporto

^{di è} esattamente e

dunque

il commutatore g ⁼ è una funzione di

supporto {i}

^{e tale}

che

g(1)

^_

[fSi1(1), fs-12(1)]

^_

[f (s1), f(82)1

⁼

v2]. Questa

osservazione

permette

^di

concludere,

y utilizzando il fatto ovvio che G’ è T-inva-

riante,

^{che il} derivato .I" del

sottogruppo

^{base F di}

W,

costituito da tutte le funzioni di T in V la cui

immagine

^{è contenuta in}

V’,

^{è con-}

tenuto in

G’ ;

^ne segue da ^un lato che

Z( ‘G~) c G’,

^{da cui}

dall’altro e

dunque G’ &#x3E;

~ Z(G) = Z( ‘~P) ~ Z( TT ) ^J

^A.

COROLLARIO 1.3. Per

ogni

p-gruppo

finito

^{abeliano non} identico A

e per

ogni

^intero

d &#x3E; 2

esiste un p-gruppo

finito Gd

^{con d}

generatori,

^tale

che A = Z(Gd) G’d.

DIMOSTRAZIONE.

G2

^{è stato} costruito nel lemma

precedente;

sup-

poniamo

d &#x3E; 2 ^e di aver costruito

G2 ,

^{1 ...,} basta definire

Gd

⁼⁼⁼

= dove è ciclico di ordine _{p . La} verifica che

Gd

^sod-

disfi le condizioni richieste è immediata.

,

2. La costruzione.

TEOREMA 2.1. g un p-gruppo abeliano elementare ^non

ciclico,

A un p-gruppo abeliano ^non identico entrambi

finiti,

^{M un H-modulo}

intrecciato su A. Esiste un p-gruppo

finito

^{G tale che H e}

=

Z( ~(G) ) ~ .ll~l,

^dove il secondo

isomor f ismo

^{è un isomor-}

fismo di

^H-moduli.

DIMOSTRAZIONE. Sia H ⁼ X ... X una

decomposizione

^{di H}

in fattori diretti di ordine _{p ;}

d ~ 2

per

ipotesi.

^{Sia L un} p-gruppo finito

con d

generatori 111 ... , Zd

^{tale che}

A ~ Z(L) L’ (per esempio,

L po- trebbe essere il gruppo

G,,

del corollario

1.3).

^Nel

sottogruppo

^{« base»}

4

F del

prodotto

intrecciato standard W ⁼ LwrH si considerino

gli

^ele-

menti f

ⁱ

(i

⁼⁼

1,

...,

d)

^{cos definiti:}

li(1)

^{= == 1} per

ogni

~eNB{l};

si ponga G ⁼⁼

f~h~, ...,

^{G è un} p-gruppo finito ^con

al

più

^d

generatori; WIF

⁼ segue che G ha

precisamente

^d

generatori

^{e che è una}

funzione di H in L con

supporto hi&#x3E;

^{e tale che}

(f i hi)P(l)

r=o

-

= 1, ;

^ne segue che 9,1,ii ⁼⁼

(fjhj)p]

^{è una} funzione di sup-

porto {l}

^{e tale che =}

^{1;]. Questo}

^{è il}

^primo

passo nella dimo- strazione per induzione ^{che se c =}

lx,,

X2’ ... ,

xk]

^{è un} commutatore di peso

k &#x3E; 2

^con

entrate xi

^E

Z2 , ... , Zd~ ,

la funzione

~ ~ 2013~

^con

supporto {l}

^{e tale che = c}

appartiene

^a

O(G); infatti, supposto

k &#x3E; 2 e

posto

^c’=

[Xl’

... ,

9 Xk-11,

^{xk =}

lr,

u,,, ^E

O(G)

per

ipotesi

^indut-

tiva e Uc ⁼

O(G).

^{Ma allora tutte} le funzioni con sup-

porto {l}

^e

^immagine

ⁱⁿ

L’ appartengono

^a

O(G),

^{e anzi}

(il trasporto

d

dal

supporto {i}

^al

supporto {h},

^{dove h}

= Rhrii, ^può

^{essere realiz-}

zato

coniugando

^con

i=1

con

f * opportuno

^elemento

di

.F’)

^{tutto il} derivato .F" di F è contenuto in

16(G).

^In

partico-

f E Z(I’) ;

^ne segue che ^{= =}

Z(F).

Osservando

poi

che è isomorfo ad AwrH con

sottogruppo

^{« base»}

Z(I’),

^si

conclude che M è isomorfo a

Z( fb(G) )

^come

H-modulo,

^{e la dimostra-}

zione è terminata.

OSSERVAZIONE. Risulta immediatamente dalla dimostrazione che

Z(G) = Cz(p)(H)

⁼

Z(W) ~ A.

Combinando il teorema 2.1 con il lemma 1.1 si ottiene una fami-

glia di p-gruppi

^{finiti con la}

proprietà

che per ognuno di essi ⁼

= e ⁼ 1

(o,

^{se si}

preferisce,

^{tali che}

ogni

automorfismo che induca l’identità su

O(G)

^{e su}

GjØ(G)

^risulta

interno), rispondendo ^cos negativamente

alla domanda

posta

ⁱⁿ

[4].

Rimane ovviamente

aperto

^il

problema

^di

quali coppie (H, M)

^dove

H,

M sono

p-gruppi

^abeliani

finiti,

^H è elementare non

ciclico,

^{M è un} H-modulo non identico tale che

Hl(H, M)

⁼

1,

^sono ottenibili in

questo modo;

per

quali coppie

^del

tipo

suddetto cioè esista un p-gruppo

finito G con e come H-moduli. Un

primo

risultato in

questa

direzione è la

proposizione seguente.

PROPOSIZIONE 2.2. Siano H un p-gruppo abeliano

elementare,

^{M un}

tale che

.H1(g, M)

^{= 1}

(H,

^entrambi

finiti

^{e non}

identici) ;

se M è un p-gruppo abeliano

elementa,re,

allora esiste un p-gruppo abe- liano A tale che M è un intrecciato su A.

DIMOSTRAZIONE. Sia A un

complemento (gruppale)

^di

[M, H]

in M. Dimostreremo che è un H-modulo intrecciato su

.A ; poichè

se X è ^un H-sottomodulo di ^~ tale che M ⁼

X[M, H]

^{allora .~ =}

M,

si tratta di verificare che M =

XAh .

Faremo induzione

hEH

su d=dimh. Se

d = 1, H = ~t~,

^{sia B un}

sottogruppo

^{di A tale}

che massimale

rispetto

^a

questa proprietà.

Supponiamo

che B sia diverso

da A,

^{e ha ordi-}

ne

pP, perchè

altrimenti sarebbe

af ~t~

⁼ 1 con

f

^di

grado

minore di p, ^e il

polinomio

minimo di t su

~c~~ ~t~,

^{che è del}

tipo (x -1 )r,

avrebbe

grado

^minore

di p

^e

quindi

dividerebbe

(r20131)~"~;

^{ma allora}

sarebbe

~~+"+~==1~

^cioè

c~ E [.~1, t],

^una contraddizione.

Sup- poniamo

^ora

~)~A~=~1;

^{allora 1 #}

Bt&#x3E;,

^anzi

E ma è un

t&#x3E;-modulo

intrecciato su

B,

^e

quindi .B) = 1,

^e

CBt&#x3E;(t)

^{= E}

B},

^{da cui = per}

qualche (~-~)~+~ +~"==1,

contraddizione.

Questo significa

^{che ha ordine}

contro la massimalità

t2013U

di B : abbiamo visto che B ⁼

A,

cioè la tesi

(se

^{d =}

1).

^{Sia ora} d &#x3E;

1, H = K x (1)

^con

dà,

^per

quanto

visto sopra, è un K-sottomodulo di M ed è subito visto che =1. Per

l’ipotesi

^induttiva

allora,

^{se U è}

un

sottogruppo

^{di tale che}

K],

^risulta

~ ==

. In conclusione

I

come volevasi.

6

La

proposizione precedente risponde

^al

problema posto

per le

coppie (H, M)

^{con M di}

esponente

p ; è d’altra

parte

facile costruire

esempi

di H-moduli M con ⁼

p 2,

exp M ⁼

p2, Hl(H, .M)

^{= 1 che}

non sono

intrecciati,

^ai

quali dunque

^la

proposizione precedente

^{e la}

costruzione del teorema 2.1 non si

applicano.

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(1980),

pp. ^1-3.

Manoscritto pervenuto ^{in redazione il 29 novembre 1981.}