Une démonstration « classique » de la formule de ralentissement de Bethe dans le cas non-relativiste

(1)

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Une démonstration “ classique ” de la formule de ralentissement de Bethe dans le cas non-relativiste

Michel Bayet

To cite this version:

Michel Bayet. Une démonstration “ classique ” de la formule de ralentissement de Bethe dans le cas non-relativiste. J. Phys. Radium, 1957, 18 (5), pp.361-361. �10.1051/jphysrad:01957001805036100�.

�jpa-00235671�

(2)

361 UNE DÉMONSTRATION

^«

CLASSIQUE

^»

DE LA FORMULE DE RALENTISSEMENT DE BETHE

DANS LE CAS NON-RELATIVISTE

Par Michel BAY _ET, Faculté des Sciences de Toulouse.

Un était que le

^«

ralentissement

^»

d’une particule atomique ^A ^de ^masse ^M ^très grande vis-à-vis de celle de l’électron (m), ^de charge Ze, ^de vitesse Y et d’énergie E, dans un milieu renfermant _{par cm3} N1 ^atomes A 1 ^de

numéro atomique Z,, ^est ^donné par la formule de Bethe [1] (~

⁼⁼ ⁼

NI Zi) :

On ^a négligé ^les ^termes correctifs pour la

^«

^non

participation

^o

^des ^électrons K, ^L

...,

et désigné

comme d’habitude _par I1 l’énergie moyenne d’ionisation

caractéristique ^de ^{l’élément} A ~.

Pour les faibles valeurs de ~, l’expression ^entre

crochets peut ^se développer :

et l’on pourra généralement négliger ~4 (et ^les ^termes suivants) pour E C Mc2, d’où finalement :

Sous cette forme le pouvoir ^de ralentissement a une

forme ^assez voisine de celle que donne la théorie de

Bohr[2]

- - - . --- - ---

où V 1 est ^une

^«

fréquence caractéristique

^»

des électrons

atomiques ^de A 1, ^et ^l~ ^un coefficient numérique égal, d’après Bohr, ^à ~.,~2 ~2r~

⁼

0,178. ^C’est ^ce qui ^{nous a}

incité à reprendre le calcul classique, ^ce que l’on peut faire de la façon ^{suivante :}

L’échange d’énergie ^dans ^un ^choc élastique ^A-élec-

tron, lorsque ^la déviation de A est _oc, et le

^«

paramètre d’impact

^»

correspondant p, ^est donné, pour m « M,

par (3) :

car l’on ^a tg a/2

⁼

Pm Ip, si l’on pose :

Le nombre des électrons rencontrés à une distance _p le long ^d’un parcours dx étant 2nnp dp dx, ^on ^en déduit immédiatement la valeur de deldx :

Toute la difficulté provient ^de ^{la limite} supérieure qu’il faut fixer à l’intégrale, qui ^autrement ^serait

infinie. On est alors conduit à admettre _que les

échanges d’énergie trop faibles, correspondant ^aux

grandes ^valeurs de p, n’ont pas lieu. Cette condition peut ^se ^mettre ^sous ^{la forme :}

( (1)

¹

^étant ^une

^«

pulsation caractéristique

⁾⁾

^rio

l’atome ~41), ^nA qui ^conduit ^{à 1 -1-} ² ^{ü)’2 et}

par suite à :

On retrouve ainsi, à peu de choses près (J2 ^au ^l’eu

de ’l,’l2) ^la formule de Bohr (2). ^Toutefois ^une ^telle

limitation de l’intégrale êst âssez arbitraire, êt îl êst

diflicile de justifier l’introduction dans de la

quantité ^pm

⁼

responsable ^en particulier ^de l’apparition ^de ^Z ^{dans le} logarithme.

Or il semble que l’on puisse ^obtenir ^une ^limitation plus vraisemblable en écrivant _que l’énergie potentielle

d’interaction maxima entre A et l’é,lectron doit être

supérieure ^à ^une ^certaine

^«

énergie caractéristique

de A 1. ^Cette énergie potentielle 0 ayant pour expres-

=

Ze2fr1nin ^et ^la ^distance ^minimum d’approche

entre A et l’électron ayant pour valeur :

on devra donc avoir :

soit :

et par suite

Aux vitesses V assez élevées pour que ^{l’on ait} m V2 » 1;, ^on ^retrouve ^donc ^la ^formule ^{de Bethe} (1’) ^à condition de prendre 1~

⁼

I1 j2 (soit l, # ^{9 eV} pour

l’hydrogène, ^valeur ^assez voisine du premier potentiel d’excitation de ^cet élément : 10,15 eV, ^{et :} 5Z,

pour les éléments ^assez lourds : 30).

Par contre, ^aux vitesses faibles (dans ^la ^mesure ^où

ces théories sont valables), ^cette ^formule présente ^une diff érence essentielle avec celle de Bethe sous sa

forme (1) ^ou (1’) (ainsi qu’avec ^{celle de} Bohr) ; d’après

ces dernières, ^en effet, ^le pouvoir ^de ralentissement tend ^alors ^vers

^-

oo ; ^au contraire, d’après ^{la for-}

mule (3),

^-

dE jdx ^tend ^vers ^{la valeur} positive ^{finie :}

(qui ^doit évidemment être supérieure ^à ^la réalité, ^du

fait de la

^«

non participation

^»

^des ^électrons ^les plus liés) : ^ce ^n’est peut-être ^pas ^un désavantage.

Lettre reçue le 6 avril 1957.

BIBLIOGRAPHIE

’

[1] ^BETHE (H.), ^Ann. Physik, 1930, 5, 325 ; ^Z. Physik, 1932, 76, ^293.

[2] ^BOHR (N.), ^Phil. Mag., 1913, 25, 10 ; 1915, 30, ^581.

[3] Cf. BERTHELOT (A.), Rayonnement ^des particules ^ato- miques..., ^{ch. II} (Masson, 1956). ^BAYET (M.), Phy- sique électronique ^{des gaz} ^et des solides (Masson,

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L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est destinée au dépôt et à la diffusion de documents scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, émanant des établissements d’enseignement et de recherche français ou étrangers, des laboratoires publics ou privés.

Une démonstration “ classique ” de la formule de ralentissement de Bethe dans le cas non-relativiste

Michel Bayet

To cite this version:

Michel Bayet. Une démonstration “ classique ” de la formule de ralentissement de Bethe dans le cas non-relativiste. J. Phys. Radium, 1957, 18 (5), pp.361-361. �10.1051/jphysrad:01957001805036100�.

�jpa-00235671�

361

UNE DÉMONSTRATION

CLASSIQUE

DE LA FORMULE DE RALENTISSEMENT DE BETHE

DANS LE CAS NON-RELATIVISTE

Par Michel BAY ET, Faculté des Sciences de Toulouse.

Un était que le

ralentissement

d’une particule atomique A de masse M très grande vis-à-vis de celle de l’électron (m), de charge Ze, de vitesse Y et d’énergie E, dans un milieu renfermant par cm3 N1 atomes A 1 de

numéro atomique Z,, est donné par la formule de Bethe [1] (~

NI Zi) :

On a négligé les termes correctifs pour la

non

participation

des électrons K, L

et désigné

comme d’habitude par I1 l’énergie moyenne d’ionisation

caractéristique de l’élément A ~.

Pour les faibles valeurs de ~, l’expression entre

crochets peut se développer :

et l’on pourra généralement négliger ~4 (et les termes suivants) pour E C Mc2, d’où finalement :

Sous cette forme le pouvoir de ralentissement a une

forme assez voisine de celle que donne la théorie de

Bohr[2]

où V 1 est une

fréquence caractéristique

des électrons

atomiques de A 1, et l~ un coefficient numérique égal, d’après Bohr, à ~.,~2 ~2r~

0,178. C’est ce qui nous a

incité à reprendre le calcul classique, ce que l’on peut faire de la façon suivante :

L’échange d’énergie dans un choc élastique A-élec-

tron, lorsque la déviation de A est oc, et le

paramètre d’impact

correspondant p, est donné, pour m « M,

par (3) :

car l’on a tg a/2

Pm Ip, si l’on pose :

Le nombre des électrons rencontrés à une distance p le long d’un parcours dx étant 2nnp dp dx, on en déduit immédiatement la valeur de deldx :

Toute la difficulté provient de la limite supérieure qu’il faut fixer à l’intégrale, qui autrement serait

infinie. On est alors conduit à admettre que les

échanges d’énergie trop faibles, correspondant aux

grandes valeurs de p, n’ont pas lieu. Cette condition peut se mettre sous la forme :

( (1)

étant une

pulsation caractéristique

rio

l’atome ~41), nA qui conduit à 1 -1- 2 ü)’2 et

par suite à :

On retrouve ainsi, à peu de choses près (J2 au l’eu

de ’l,’l2) la formule de Bohr (2). Toutefois une telle

limitation de l’intégrale est assez arbitraire, et il est

diflicile de justifier l’introduction dans de la

quantité pm

responsable en particulier de l’apparition de Z dans le logarithme.

Or il semble que l’on puisse obtenir une limitation plus vraisemblable en écrivant que l’énergie potentielle

d’interaction maxima entre A et l’é,lectron doit être

supérieure à une certaine

énergie caractéristique

de A 1. Cette énergie potentielle 0 ayant pour expres-

Ze2fr1nin et la distance minimum d’approche

entre A et l’électron ayant pour valeur :

on devra donc avoir :

soit :

et par suite

Aux vitesses V assez élevées pour que l’on ait m V2 » 1;, on retrouve donc la formule de Bethe (1’) à condition de prendre 1~

I1 j2 (soit l, # 9 eV pour

l’hydrogène, valeur assez voisine du premier potentiel d’excitation de cet élément : 10,15 eV, et : 5Z,

pour les éléments assez lourds : 30).

Par contre, aux vitesses faibles (dans la mesure où

Par Michel BAY _ET, Faculté des Sciences de Toulouse.

d’une particule atomique ^A ^de ^masse ^M ^très grande vis-à-vis de celle de l’électron (m), ^de charge Ze, ^de vitesse Y et d’énergie E, dans un milieu renfermant _{par cm3} N1 ^atomes A 1 ^de

numéro atomique Z,, ^est ^donné par la formule de Bethe [1] (~

On ^a négligé ^les ^termes correctifs pour la

^non

^des ^électrons K, ^L

comme d’habitude _par I1 l’énergie moyenne d’ionisation

caractéristique ^de ^{l’élément} A ~.

Pour les faibles valeurs de ~, l’expression ^entre

crochets peut ^se développer :

et l’on pourra généralement négliger ~4 (et ^les ^termes suivants) pour E C Mc2, d’où finalement :

Sous cette forme le pouvoir ^de ralentissement a une

forme ^assez voisine de celle que donne la théorie de

où V 1 est ^une

atomiques ^de A 1, ^et ^l~ ^un coefficient numérique égal, d’après Bohr, ^à ~.,~2 ~2r~

0,178. ^C’est ^ce qui ^{nous a}

incité à reprendre le calcul classique, ^ce que l’on peut faire de la façon ^{suivante :}

L’échange d’énergie ^dans ^un ^choc élastique ^A-élec-

tron, lorsque ^la déviation de A est _oc, et le

correspondant p, ^est donné, pour m « M,

car l’on ^a tg a/2

Le nombre des électrons rencontrés à une distance _p le long ^d’un parcours dx étant 2nnp dp dx, ^on ^en déduit immédiatement la valeur de deldx :

Toute la difficulté provient ^de ^{la limite} supérieure qu’il faut fixer à l’intégrale, qui ^autrement ^serait

infinie. On est alors conduit à admettre _que les

échanges d’énergie trop faibles, correspondant ^aux

grandes ^valeurs de p, n’ont pas lieu. Cette condition peut ^se ^mettre ^sous ^{la forme :}

^étant ^une

^rio

l’atome ~41), ^nA qui ^conduit ^{à 1 -1-} ² ^{ü)’2 et}

On retrouve ainsi, à peu de choses près (J2 ^au ^l’eu

de ’l,’l2) ^la formule de Bohr (2). ^Toutefois ^une ^telle

limitation de l’intégrale êst âssez arbitraire, êt îl êst

quantité ^pm

responsable ^en particulier ^de l’apparition ^de ^Z ^{dans le} logarithme.

Or il semble que l’on puisse ^obtenir ^une ^limitation plus vraisemblable en écrivant _que l’énergie potentielle

supérieure ^à ^une ^certaine

de A 1. ^Cette énergie potentielle 0 ayant pour expres-

Ze2fr1nin ^et ^la ^distance ^minimum d’approche

Aux vitesses V assez élevées pour que ^{l’on ait} m V2 » 1;, ^on ^retrouve ^donc ^la ^formule ^{de Bethe} (1’) ^à condition de prendre 1~

I1 j2 (soit l, # ^{9 eV} pour

l’hydrogène, ^valeur ^assez voisine du premier potentiel d’excitation de ^cet élément : 10,15 eV, ^{et :} 5Z,

pour les éléments ^assez lourds : 30).

Par contre, ^aux vitesses faibles (dans ^la ^mesure ^où

ces théories sont valables), ^cette ^formule présente ^une diff érence essentielle avec celle de Bethe sous sa

forme (1) ^ou (1’) (ainsi qu’avec ^{celle de} Bohr) ; d’après

ces dernières, ^en effet, ^le pouvoir ^de ralentissement tend ^alors ^vers

oo ; ^au contraire, d’après ^{la for-}

dE jdx ^tend ^vers ^{la valeur} positive ^{finie :}

(qui ^doit évidemment être supérieure ^à ^la réalité, ^du

^des ^électrons ^les plus liés) : ^ce ^n’est peut-être ^pas ^un désavantage.

[1] ^BETHE (H.), ^Ann. Physik, 1930, 5, 325 ; ^Z. Physik, 1932, 76, ^293.

[2] ^BOHR (N.), ^Phil. Mag., 1913, 25, 10 ; 1915, 30, ^581.

[3] Cf. BERTHELOT (A.), Rayonnement ^des particules ^ato- miques..., ^{ch. II} (Masson, 1956). ^BAYET (M.), Phy- sique électronique ^{des gaz} ^et des solides (Masson,

sous presse). ^BAYET ^(M.), ^J. Physique ^Rad. (sous presse).