Table d'intégrales à deux centres

(1)

HAL Id: jpa-00235687

https://hal.archives-ouvertes.fr/jpa-00235687

Submitted on 1 Jan 1957

HAL is a multi-disciplinary open access archive for the deposit and dissemination of sci- entific research documents, whether they are pub- lished or not. The documents may come from teaching and research institutions in France or abroad, or from public or private research centers.

L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est destinée au dépôt et à la diffusion de documents scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, émanant des établissements d’enseignement et de recherche français ou étrangers, des laboratoires publics ou privés.

Table d’intégrales à deux centres

Jacques Tillieu, Jean Baudet, Jean Guy

To cite this version:

Jacques Tillieu, Jean Baudet, Jean Guy. Table d’intégrales à deux centres. J. Phys. Radium, 1957,

18 (7), pp.455-458. �10.1051/jphysrad:01957001807045500�. �jpa-00235687�

(2)

TABLE D’INTÉGRALES ^A DEUX CENTRES Par JACQUES TILLIEU, ^JEAN ^BAUDET ^et ^JEAN GUY,

Laboratoire de Physique moléculaire, Faculté de Pharmacie, ^Paris.

PHYSIQUE 13, 1957,

I. Au cours du calcul de certaines grandeurs

mol6culaires (énergie, ^moment dipolaire, polari-

sabilit6 6lectrique, susceptibilite magnetique, etc...) 1’emploi ^des ôrbitales atomiques ^K êt ^L ^du type hydrog6noide ôu ^d’un type ^voisin ^conduit â ^de nombreuses intégrales â ^deux ^centres. ^{Un certain}

nombre de celles-ci ont d6jh ^ete tabul6es, ^en parti-

culier _par Coulson [1] qui ^les ^a publi6es ^{sous une}

forme completement d6velopp6e mais pour laquelle

le calcul num6rique ^{eff ectif} ^est ^souvent ^laborieux.

En plus ^de ^certaines int6grales d6jh deterininees par Coulson, ^la pr6sente ^table comporte ^{des int6-} grales ^nouvelles ^et ^toutes ^sont presentees ^{sous une}

forme condens6e (d6jh ^utilis6e par Preuss [2]) ^tr6s

favorable au calcul numerique.

Nous d6signons par ^J des int6grales ^a ^deux

centres heteronucleaires A et B, ^du type :

et par K des int6grales ^a ^deux ^centres ^lmma- nucleaires, ^du type :

ou r1 êt r2 ^sont les rayons vecteurs du point ^P (fig. 1) êt f une expression alg6brique ^de rl, r2 et ^des lignes trigonometriques ^de 61 êt 02.

FIG. 1.

II. Ces diverses intégrales ^J ^et ^K ^sont calculables

en passant ^aux coordonn6es sph6roidales ^x, ^{y, cp,}

d6finies par :

Cette transformation conduit a des expressions comportant uniquement ⁴ types ^de fonctions des

param6tres :

soit :

1) les fonctions

connues par recurrence [1] ^a partir ^{de :}

et

2) les fonctions

pour lesquelles les formules de recurrence sui- vantes [1] permettent ^un ^calcul rapide :

3) ^les ^fonctions

qui peuvent etre calcul6es par recurrence ^a partir

de CO(a) ([3], ^voir également l’appendice).

4) Enfin les fonctions

d6termin6es _par recurrence a partir ^de .Do (voir appendice).

III. Il convient de noter les principales ^remar-

ques suivantes, pour ^un emploi ^correct ^de ^la ^{table :} 1) ^{Il est} commode de debuter _{par la} d6ter- mination des valeurs numeriques ^des A, B, ^C ^et ^D

n6cessaires a la resolution du probleme envisage (en general, il faut aller jusqu’à ^l’indice ⁵ ^ou 6).

Une fois ces divers nombres connus, il ^ne reste plus

a faire _que des produits ^et ^des ^sommes ^pour ^obtenir

les int6grales ^d6sir6es.

2) ^Certaines int6grales qui ^ne figurent pas expli-

citement dans la table, peuvent ^se ^d6duire ^faci- lement des int6grales tabul6es, par addition ou

soustraction ; ^on a, par exemple :

3) ^Permuter ^les ^indices ^{1 et} 2, ^dans l’expression f

de (1), ^revient ^a permuter les coefficients (x et p ^en

laissant f inchang6e. L’int6grale Jm(B, ^a., p) ^est

immediatement connue a partir ^de Jm(oc, P, p) ^en changeant ^le signe ^des termes contenant des fonc- tions Bn(b) ^d’ordre impair.

Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphysrad:01957001807045500

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456

(4)

(5)

458 4) ^Les int6grales K(a, p) ^ont ^ete ^calcul6es ^sur ^le demi-espace z # 0, c’est-à-dire _pour 0 u ^1.

Ce champ d’intégration ^se pr6sente lorsqu’on ^tient compte ^des plans ^{nodaux de} ^certaines ^fonctions

d’onde. Les int6grales ^calcul6es ^sur ^tout 1’espace

sont facilement. obtenues a partir ^des expressions tabul6es, ^en conservant uniquement les facteurs d’indice pair ^ou impair, suivant que la fonction est

répertoriée P ôu Î êt ên multipliant ^1’ensemble

restant par deux. On _a, par exemple, pour le demi- espace :

et pour 1’espace ^{entier :}

V. Appendice : Calcul des int6grales ^de ^{la forme :}

1) Dn ^est ^une fonction unif ormement continue du

paramètre b ^et ^peut ^etre obtenue, par des deri- vations successives sous le signe d’intégration, ^à partir ^de Do.

2) ^{Il faut} ^donc ^{calculer :}

En posant u

⁼

^cos ⁰ (0 0 -- 7t), (13) ^{devient :}

Or la theorie des fonctions de Bessel fournit la relation générale [4] pour les fonctions d’ordre v :

On voit facilement _que (14) ^est ^un ^cas particulier

de (15), ^obtenu ^en prenant :

On ^a alors pour la fonction de Bessel d’ordre 1 et

d’argument imaginaire

d’ou

3) D’apr6s (12) ^et (17) ^on ^{aura :}

et d’apr6s les formules de recurrence [5] :

Les fonctions Dn(b) s’exprimeront uniquement ^à

1’aide des fonctions de Besse] d’ordre zero Jo(z) ^et

d’ordre un J1(z) dont il existe des tables [6].

Les 6 premi6res ^fonctions Di’(b) ^sont ^les ^sui-

vantes :

On peut remarquer que les fonctions C deja publi6es ^[3] ^se présentent d’une maniere tr6s

analogue âux fonctions D. On passera de Dk â Ck ên remplaçant le facteur de multiplication î7t par 7t /2,

les fonctions JL êt Jo respectivement par les fonc- tions de Hankel H1(1) êt Ho a, ^le parametre b par â.

On a par exemple ^la correspondance :

Manuscrit _regu le 6 juin ^1957.

BIBLIOGRAPHIE

[1] ^COULSON (C. A.), ^Proc. Cambridge ^Phil. Soc., 1942, 38,

210. [2] ^PREUSS (H.), Integraltafeln ^zur quantenchemie (Sprin- ger Verlag), 1956, 1, ^43.

[3] ^GUY (J.) et TILLIEU (J.), ^J. Physique Rad., 1955, 16, 801.

[4] ^GOUDET (G.), Les fonctions de Bessel et leurs appli-

cations en physique (Masson), ^1954, p. 31, ^formule (III, 18).

[5] ^GOUDET (G.), Les fonctions de Bessel et leurs appli-

cations en physique (Masson), ^1954, ^p. ^31, ^for-

mules (III, 4 ^et 3’).

[6] ^Voir par exemple ^JAHNKE (E.) ^{et EMDE} (F.), ^{Tables of}

functions (Dover Public, ^4e éd.), p. 226 et suivantes.

Table d'intégrales à deux centres

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Submitted on 1 Jan 1957

HAL is a multi-disciplinary open access archive for the deposit and dissemination of sci- entific research documents, whether they are pub- lished or not. The documents may come from teaching and research institutions in France or abroad, or from public or private research centers.

L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est destinée au dépôt et à la diffusion de documents scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, émanant des établissements d’enseignement et de recherche français ou étrangers, des laboratoires publics ou privés.

Table d’intégrales à deux centres

Jacques Tillieu, Jean Baudet, Jean Guy

To cite this version:

Jacques Tillieu, Jean Baudet, Jean Guy. Table d’intégrales à deux centres. J. Phys. Radium, 1957,

18 (7), pp.455-458. �10.1051/jphysrad:01957001807045500�. �jpa-00235687�

TABLE D’INTÉGRALES A DEUX CENTRES Par JACQUES TILLIEU, JEAN BAUDET et JEAN GUY,

Laboratoire de Physique moléculaire, Faculté de Pharmacie, Paris.

PHYSIQUE 13, 1957,

I. Au cours du calcul de certaines grandeurs

mol6culaires (énergie, moment dipolaire, polari-

sabilit6 6lectrique, susceptibilite magnetique, etc...) 1’emploi des orbitales atomiques K et L du type hydrog6noide ou d’un type voisin conduit a de nombreuses intégrales a deux centres. Un certain

nombre de celles-ci ont d6jh ete tabul6es, en parti-

culier par Coulson [1] qui les a publi6es sous une

forme completement d6velopp6e mais pour laquelle

le calcul num6rique eff ectif est souvent laborieux.

En plus de certaines int6grales d6jh deterininees par Coulson, la pr6sente table comporte des int6- grales nouvelles et toutes sont presentees sous une

forme condens6e (d6jh utilis6e par Preuss [2]) tr6s

favorable au calcul numerique.

Nous d6signons par J des int6grales a deux

centres heteronucleaires A et B, du type :

et par K des int6grales a deux centres lmma- nucleaires, du type :

ou r1 et r2 sont les rayons vecteurs du point P (fig. 1) et f une expression alg6brique de rl, r2 et des lignes trigonometriques de 61 et 02.

FIG. 1.

II. Ces diverses intégrales J et K sont calculables

en passant aux coordonn6es sph6roidales x, y, cp,

d6finies par :

Cette transformation conduit a des expressions comportant uniquement 4 types de fonctions des

param6tres :

soit :

1) les fonctions

connues par recurrence [1] a partir de :

et

2) les fonctions

pour lesquelles les formules de recurrence sui- vantes [1] permettent un calcul rapide :

3) les fonctions

qui peuvent etre calcul6es par recurrence a partir

de CO(a) ([3], voir également l’appendice).

4) Enfin les fonctions

d6termin6es par recurrence a partir de .Do (voir appendice).

III. Il convient de noter les principales remar-

ques suivantes, pour un emploi correct de la table : 1) Il est commode de debuter par la d6ter- mination des valeurs numeriques des A, B, C et D

n6cessaires a la resolution du probleme envisage (en general, il faut aller jusqu’à l’indice 5 ou 6).

Une fois ces divers nombres connus, il ne reste plus

a faire que des produits et des sommes pour obtenir

les int6grales d6sir6es.

2) Certaines int6grales qui ne figurent pas expli-

citement dans la table, peuvent se d6duire faci- lement des int6grales tabul6es, par addition ou

soustraction ; on a, par exemple :

3) Permuter les indices 1 et 2, dans l’expression f

de (1), revient a permuter les coefficients (x et p en

laissant f inchang6e. L’int6grale Jm(B, a., p) est

immediatement connue a partir de Jm(oc, P, p) en changeant le signe des termes contenant des fonc- tions Bn(b) d’ordre impair.

Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphysrad:01957001807045500

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4) Les int6grales K(a, p) ont ete calcul6es sur le demi-espace z # 0, c’est-à-dire pour 0 u 1.

Ce champ d’intégration se pr6sente lorsqu’on tient compte des plans nodaux de certaines fonctions

d’onde. Les int6grales calcul6es sur tout 1’espace

sont facilement. obtenues a partir des expressions tabul6es, en conservant uniquement les facteurs d’indice pair ou impair, suivant que la fonction est

répertoriée P ou I et en multipliant 1’ensemble

restant par deux. On a, par exemple, pour le demi- espace :

et pour 1’espace entier :

V. Appendice : Calcul des int6grales de la forme :

1) Dn est une fonction unif ormement continue du

paramètre b et peut etre obtenue, par des deri- vations successives sous le signe d’intégration, à partir de Do.

2) Il faut donc calculer :

En posant u

cos 0 (0 0 -- 7t), (13) devient :

Or la theorie des fonctions de Bessel fournit la relation générale [4] pour les fonctions d’ordre v :

On voit facilement que (14) est un cas particulier

de (15), obtenu en prenant :

On a alors pour la fonction de Bessel d’ordre 1 et

d’argument imaginaire

d’ou

TABLE D’INTÉGRALES ^A DEUX CENTRES Par JACQUES TILLIEU, ^JEAN ^BAUDET ^et ^JEAN GUY,

Laboratoire de Physique moléculaire, Faculté de Pharmacie, ^Paris.

mol6culaires (énergie, ^moment dipolaire, polari-

sabilit6 6lectrique, susceptibilite magnetique, etc...) 1’emploi ^des ôrbitales atomiques ^K êt ^L ^du type hydrog6noide ôu ^d’un type ^voisin ^conduit â ^de nombreuses intégrales â ^deux ^centres. ^{Un certain}

nombre de celles-ci ont d6jh ^ete tabul6es, ^en parti-

culier _par Coulson [1] qui ^les ^a publi6es ^{sous une}

le calcul num6rique ^{eff ectif} ^est ^souvent ^laborieux.

En plus ^de ^certaines int6grales d6jh deterininees par Coulson, ^la pr6sente ^table comporte ^{des int6-} grales ^nouvelles ^et ^toutes ^sont presentees ^{sous une}

forme condens6e (d6jh ^utilis6e par Preuss [2]) ^tr6s

Nous d6signons par ^J des int6grales ^a ^deux

centres heteronucleaires A et B, ^du type :

et par K des int6grales ^a ^deux ^centres ^lmma- nucleaires, ^du type :

ou r1 êt r2 ^sont les rayons vecteurs du point ^P (fig. 1) êt f une expression alg6brique ^de rl, r2 et ^des lignes trigonometriques ^de 61 êt 02.

II. Ces diverses intégrales ^J ^et ^K ^sont calculables

en passant ^aux coordonn6es sph6roidales ^x, ^{y, cp,}

Cette transformation conduit a des expressions comportant uniquement ⁴ types ^de fonctions des

connues par recurrence [1] ^a partir ^{de :}

pour lesquelles les formules de recurrence sui- vantes [1] permettent ^un ^calcul rapide :

3) ^les ^fonctions

qui peuvent etre calcul6es par recurrence ^a partir

de CO(a) ([3], ^voir également l’appendice).

d6termin6es _par recurrence a partir ^de .Do (voir appendice).

III. Il convient de noter les principales ^remar-

ques suivantes, pour ^un emploi ^correct ^de ^la ^{table :} 1) ^{Il est} commode de debuter _{par la} d6ter- mination des valeurs numeriques ^des A, B, ^C ^et ^D

n6cessaires a la resolution du probleme envisage (en general, il faut aller jusqu’à ^l’indice ⁵ ^ou 6).

Une fois ces divers nombres connus, il ^ne reste plus

a faire _que des produits ^et ^des ^sommes ^pour ^obtenir

les int6grales ^d6sir6es.

2) ^Certaines int6grales qui ^ne figurent pas expli-

citement dans la table, peuvent ^se ^d6duire ^faci- lement des int6grales tabul6es, par addition ou

soustraction ; ^on a, par exemple :

3) ^Permuter ^les ^indices ^{1 et} 2, ^dans l’expression f

de (1), ^revient ^a permuter les coefficients (x et p ^en

laissant f inchang6e. L’int6grale Jm(B, ^a., p) ^est

immediatement connue a partir ^de Jm(oc, P, p) ^en changeant ^le signe ^des termes contenant des fonc- tions Bn(b) ^d’ordre impair.

4) ^Les int6grales K(a, p) ^ont ^ete ^calcul6es ^sur ^le demi-espace z # 0, c’est-à-dire _pour 0 u ^1.

Ce champ d’intégration ^se pr6sente lorsqu’on ^tient compte ^des plans ^{nodaux de} ^certaines ^fonctions

d’onde. Les int6grales ^calcul6es ^sur ^tout 1’espace

sont facilement. obtenues a partir ^des expressions tabul6es, ^en conservant uniquement les facteurs d’indice pair ^ou impair, suivant que la fonction est

répertoriée P ôu Î êt ên multipliant ^1’ensemble

restant par deux. On _a, par exemple, pour le demi- espace :

et pour 1’espace ^{entier :}

V. Appendice : Calcul des int6grales ^de ^{la forme :}

1) Dn ^est ^une fonction unif ormement continue du

paramètre b ^et ^peut ^etre obtenue, par des deri- vations successives sous le signe d’intégration, ^à partir ^de Do.

2) ^{Il faut} ^donc ^{calculer :}

^cos ⁰ (0 0 -- 7t), (13) ^{devient :}

On voit facilement _que (14) ^est ^un ^cas particulier

de (15), ^obtenu ^en prenant :

On ^a alors pour la fonction de Bessel d’ordre 1 et

3) D’apr6s (12) ^et (17) ^on ^{aura :}

Les fonctions Dn(b) s’exprimeront uniquement ^à

1’aide des fonctions de Besse] d’ordre zero Jo(z) ^et

Les 6 premi6res ^fonctions Di’(b) ^sont ^les ^sui-

On peut remarquer que les fonctions C deja publi6es ^[3] ^se présentent d’une maniere tr6s

analogue âux fonctions D. On passera de Dk â Ck ên remplaçant le facteur de multiplication î7t par 7t /2,

les fonctions JL êt Jo respectivement par les fonc- tions de Hankel H1(1) êt Ho a, ^le parametre b par â.

On a par exemple ^la correspondance :

Manuscrit _regu le 6 juin ^1957.

[1] ^COULSON (C. A.), ^Proc. Cambridge ^Phil. Soc., 1942, 38,

[2] ^PREUSS (H.), Integraltafeln ^zur quantenchemie (Sprin- ger Verlag), 1956, 1, ^43.

[3] ^GUY (J.) et TILLIEU (J.), ^J. Physique Rad., 1955, 16, 801.

[4] ^GOUDET (G.), Les fonctions de Bessel et leurs appli-

cations en physique (Masson), ^1954, p. 31, ^formule (III, 18).

[5] ^GOUDET (G.), Les fonctions de Bessel et leurs appli-

cations en physique (Masson), ^1954, ^p. ^31, ^for-

mules (III, 4 ^et 3’).

[6] ^Voir par exemple ^JAHNKE (E.) ^{et EMDE} (F.), ^{Tables of}

functions (Dover Public, ^4e éd.), p. 226 et suivantes.