Exercices résolus de mathématiques.
TRI 7
EXTRI070 – EXTRI079
http://www.matheux.be.tf
Jacques Collot
1 mai 03
EXTRI070
– Polytech, questions posées de 1995 à 1998.Polytech, Umons, Mons, juillet 2015
Enoncé de 1995-1998.
Démontrer l’identité suivante.
4sin sin sin sin sin sin sin
2 2 2
a b b c c a
a b c a b c
Enoncé de juillet 2015
Si 2 , vérifier l’identité suivante.
4sin sin sin sin sin sin sin
2 2 2
a b c d
a b b c c a
a b c d
sin sin 2 sin cos
2 2
sin sin 2 sin cos
2 2
2 sin cos 2
2 2
Le second membre s'écrit donc : sin sin sin sin
2 sin cos 2 sin cos 2
2 2 2 2
2 sin cos cos 2
2 2 2
a b a b
a b
c a b c c a b c
c a b c
a b a b c
a b c a b c
a b a b a b a b c
a b a b a b c
2 sin 2 sin sin
2 2 2
4 sin sin sin
2 2 2
Pour l'énoncé de 2015, il suffit de remarquer que
sin sin 2 sin sin
b c
a b a c
a b a c b c
a b c d d d
Modifié le 16 septembre 2015
EXTRI071
– Polytech, Mons, questions posées de 1995 à 1998.Démontrer que la surface d’un quadrilatère est égale à la moitié du produit de ses diagonales par le sinus de l’angle compris entre celles-ci.
A B
O
D
C r q
s
p a
ABCD
Soit et
La surface du quadrilatère est donnée par : S
Or
1 sin 2 1 sin 2 1 sin 2 1 sin 2
1sin . 2 1sin . 2 1sin . 2
AOB BOC COD DOA
AOB
BOC
COD
DOA
ABCD
AC r p BD s q
S S S S
S qr
S pq
S ps
S sr
S rq pq ps sr
q r p s p r r p s q
a
a
a
a
a
a
a
1sin . .
2 AC BD
a
EXTRI072
– Polytech, Mons, questions posées de 1995 à 1998.
2 2
Démontrer que l’expression suivante est indépendante de
cos 2 cos cos cos cos
x
E x a x ax ax
2
2
2
2 2 2
2
cos cos . cos 2 cos cos
cos cos . cos
cos 1 cos 2 cos 2 2
cos 1 1 2sin 2 cos 1
2 sin
E x a x a x a x
x a x a x
x a x
x a x
a
EXTRI073
– Mons, questions posées de 1995 à 1998.Résoudre l’équation trigonométrique suivante :
sin 2xcos 2x 2.sinx
et représenter les solutions sur le cercle trigonométrique.
Méthode 1
sin 2 cos sin cos 2
4 4
sin 2 cos 2 sin 2 tan cos 2
4 cos
4
sin 2 sin 2
4 4
2 2
cos4
sin 2 sin
4 Solutions
) 2 2 2
4 4
)2 2 2
4 4 3
Méthode 2
sin 2 cos 2 2.s
x x
x x x x
x x
x x
a x x k x k
b x x k x k
x x
in
sin 2 sin 2 2.sin
4
2 sin .cos 2 2.sin
4 4
2.cos 2 2.sin
4
2.sin 2 2.sin
2 4
sin 2 sin
4 Suite : voir méthode 1
x
x x x
x x
x x
x x
x x
EXTRI074
– Mons, questions posées de 1995 à 1998.Résoudre l’équation trigonométrique suivante :
2 2
3 cos x2sin cosx x 3 sin x 2
et représenter les solutions sur le cercle trigonométrique.
2 2
3 cos 2 sin cos 3 sin 2
1 cos 2 1 cos 2
3 sin 2 3 2
2 2
3 cos 2 sin 2 2 Comme tan 1
6 3
sin 6 2
cos 2 sin 2
cos 3 6
cos 2 cos sin 2 sin 2cos
6 6 3 6
2 3 2
cos 2 cos
6 3. 2 2 4
Solutions
) 2 2 5
6 4 24
) 2
x x x x
x x
x
x x
x x
x x
x
a x k x k
b x
2
6 4 k x 24 k
EXTRI075
– Mons, questions posées de 1995 à 1998.Si les côtés a, b, c d’un triangle sont en progression arithmétique, démontrer la relation :
tan . tan 1
2 2 3
A C
Si est la raison de la progression, on peut écrire :
sin sin sin
Or dans une proportion, si 2
sin sin sin
or sin sin 2 sin cos
2 2
et sin sin sin 2 sin cos
2 r
b r b b r
A B C
x z x z x z y w y w y w
b b
A C B
A C A C
A C
A C A
B A C A C
2
2 1
2 sin cos 2 sin cos
2 2 2 2
2 cos cos
2 2
2 cos cos 2 sin sin cos cos sin sin
2 2 2 2 2 2 2 2
cos cos 3sin sin 0
2 2 2 2
tan tan 1
2 2 3
C
A C A C A C A C
A C A C
A C A C A C A C
A C A C
A C
EXTRI076
– Mons, questions posées de 1995 à 1998.Soit
cos cos 2 ...cos , 2 , , 0
S x x nx x x k nN n
Démontrer que :
sin sin cos 1
2 2 2
x nx x
S n
sin cos sin cos 2 sin cos 3 sin ...cos sin
2 2 2 2 2
3 5 3
2 sin sin sin sin sin
2 2 2 2 2
2 1 2 1
... sin sin
2 2
2 1
sin sin
2 2
2 sin cos 1
2 2
x x x x x
S x x x nx
x x x x x
S
n x n x
n x x
n x nx
EXTRI077
– Bruxelles, juillet 2000.Dans le parallélogramme ABCD, on a
30 , 30 , et 60
AB BC B
Calculer la longueur des diagonales AC et BD , l’aire du parallélogramme et le cosinus de l’angle formé par les diagonales.
A B
D C
30
20 O
60°
2 2 2
2 2 2
2 2 2
30 20 2 30 20 cos 60 26.4575
30 20 2 30 20 cos120 43.5890
Aire : 30 20 sin 60 519.6152
21.7945 13.2288
30 21.7945 13.2288 2 21.7945 13.2288 cos cos
AC AC
DB DB
S
OB OA
AOB AOB
0.4336 AOB 115.693
Modifié le 19 juin 2008 (Anthony Bertagno)
EXTRI078
– Bruxelles, juillet 2000.Résoudre et discuter, suivant les valeurs réelles de a, le système d’équations (les inconnues sont x et y).
2 2
2 2
cos sin sin
sin cos cos
a x a y a
a x a y a
2 2
4 2 2 2 2 2
2 2
2
2
2
3 3 2 2
2
cos sin
cos sin cos sin cos sin cos 2
sin cos
sin sin
sin cos cos sin sin 2 cos sin cos cos
cos sin
cos sin cos sin cos sin cos sin
sin cos
sin 2
cos sin 1
2
x
y
a a
a a a a a a
a a
a a
a a a a a a a
a a
a a
a a a a a a a
a a
a a a
Etudions
cos 2 0 2 2
2 4
) 0,
4
2
2 2 2
Le système devient : 2
2
2 2 2
) 1, 3 Système impossible
4
) 2, 5 2
4
) 3, 7 Système impossible
4
a a k a k
a k a
x y
y x
x y
b k a
c k a y x
d k a
sin cosa a
x
EXTRI079
– Bruxelles, septembre 2000.Démontrer que si A, B, C sont les mesures des angles d’un triangle non rectangle alors.
tanAtanBtanCtanAtanBtanC
tan tan tan tan tan tan
sin sin sin sin sin sin
cos cos cos cos cos cos
sin cos cos sin cos cos sin cos cos sin sin sin Réarrangeons le premier membre :
sin cos sin cos cos sin cos cos sin
A B c a B C
A B C A B C
A B C A B C
A B C B A C C A B A B C
A B B A C C A B
A
cos sin cos cos
sin cos sin cos cos
sin cos cos sin sin sin cos cos sin sin sin
B A B C A B
C A B C A B
C A B A B C A B
A B C
