des Semi-conducteurs

(1)

Cours de Physique

des Semi-conducteurs

Alain CHOVET

&

Pascal MASSON

([email protected] [email protected])

(2)

Sommaire

Généralités

Quelques propriétés

Semi-conducteur à l’équilibre

Semi-conducteur non dopé ou dopé

Équation de Poisson - Conséquences Perturbations faibles de l’équilibre Perturbations fortes de l’équilibre Équations d’évolution

Contact entre deux matériaux différents

(3)

Conducteurs – Isolants – Semi-conducteurs

Généralités

Conducteurs

Matériaux ayant la plus faible résistivité à température ambiante ρ < 10⁻⁵ Ωcm

Cuivre, or, argent, aluminium...

Conduction électrique ⇒ électrons libres (de 10²² à 10²³ cm⁻³) Augmentation de la température ⇒ augmentation légère de ρ Electro-migration

(4)

Généralités

Conducteurs

(5)

Généralités

Isolants

ρ > 10⁸ Ωcm

Verre, mica, la silice (SiO₂), le carbone (diamant)...

Augmentation de la température ⇒ baisse de ρ (libération d’électrons et de trous)

Fuite ou claquage de l’isolant

mica

(6)

Généralités

Semi-conducteurs

10⁻³ Ωcm < ρ < 10⁴ Ωcm

La conduction électrique se fait par les électrons et/ou les trous Semi-conducteur pur ⇒ intrinsèque

dopé ⇒ extrinsèque

Silicium assez pur + un atome de Bore ou de Phosphore pour 10⁵ atomes de Silicium ⇒ ρ passe de 10³ à environ 10^-2 Ωcm

III-V

Colonne Semi-conducteur

IV Ge, Si

binaire GaAs, GaP, GaSb, InAs, InP, InSb ternaire Al_xGa_1-xAs, GaAs_yP_1-y

quaternaire Al_xGa_1-xAs_yP_1-y

II-VI binaire CdS, HgTe, CdTe, ZnTe, ZnS ternaire Cd_xHg_1-xTe

(7)

Généralités

Semi-conducteurs

Matériau étudié depuis les années 1830

(8)

Généralités

Semi- conducteurs

Silicium GaAS

(9)

Généralités

Structure de l’état solide

Matériaux cristallins

Atomes rangés régulièrement aux nœuds d’un réseau périodique La maille (ou motif) élémentaire se répète régulièrement

Matériaux amorphes

Ordre local et non répété à ″longue distance″

(10)

Généralités

Structure de l’état solide

Familles de solides cristallins

Cristaux ioniques (Na⁺Cl^−…) : ions liés par attraction coulombienne, aucun électron libre (cristaux isolants), liaison très solide.

Cristaux covalents (colonne IV : C, Si, Ge, Sn) : quatre électrons périphériques mis en commun avec quatre voisins (liaisons de valence), liaisons moins fortes que les liaisons ioniques.

Métaux (Li, Na, K, Cu, Ag, Au) : conducteurs électriques (un électron libre par atome), température de fusion est moins élevée que celle des cristaux covalents

Cristaux moléculaires

Système cristallin et réseau cristallin

Cristal représenté à partir d’une cellule de base Cellule de base répétée périodiquement

Il existe sept systèmes cristallins dont le système cubique

(11)

Cristal cubique

Quelques propriétés

Il existe trois réseaux différents

Cubique simple Cubique centré Cubique face centrée Plans cristallographiques

z

y x

(110)

y z

x

(001)

(100)

(010)

z

y x

(111)

z

y x

(110)

(12)

Cristal cubique

Quelques propriétés

Semi-conducteurs de la colonne IV (Ge, Si) – Réseau diamant Les électrons d’un atome isolé prennent des valeurs d’énergie discrètes Pour chaque niveau : nombre limité d’électrons (2n²)

les niveaux les plus proches du noyau sont occupés Pour le silicium :

Numéro atomique Z = 14

2 électrons sur la première couche (n = 1) 8 sur la seconde (n = 2)

4 sur la dernière (nombre de places = 18) (n = 3)

14⁺ 4⁺

(13)

Cristal cubique

Quelques propriétés

Semi-conducteurs de la colonne IV (Ge, Si) – Réseau diamant Atome stable : 8 électrons sur la couche externe (gaz rares)

Atome de silicium isolé non stable

Formation du cristal : association avec quatre voisin

A T = 0 K (aucune liaison brisée) : pas d’électrons libres (isolant)

Cristal : deux réseaux cubiques faces centrées imbriqués (décalés du quart de la diagonale principale du cube)

(14)

Cristal cubique

Quelques propriétés

Semi-conducteurs composés (III-V ou II-VI) – Réseau Zinc-blende Gallium (Z = 31)

Arsenic (Z = 33)

GaAs : Ga (resp. Ar) prend quatre atomes de As (resp. Ge) comme voisins

Cristal constitué de deux réseaux cubiques faces centrées (l’un de Ga et l’autre de As) imbriqués et décalés du quart de la diagonale principale.

As⁺

As⁺ Ga^-

Ga^-

As⁺ Gallium

Arsenic

En réalité : le cristal construit à partir de Ga⁻ et As⁺ (4 électrons périphériques)

(15)

Bandes d’énergie

Quelques propriétés

Mécanique quantique pour un atome isolé :

Énergie

Électrons libres

Électrons liés

M L

K ^1s

2s 2p 3p

3s

Niveaux d’énergie discret

Couche M : électrons de valence

Couche K : électrons fortement liées Si on approche 2 atomes :

Fonctions d’ondes des électrons perturbées

Deux fois plus d’électrons sur le même niveau ? Chaque niveau : 2 niveaux très rapprochés

Si on approche N atomes :

Apparition de bandes d’énergies (niveaux discrets très rapprochés) Si une bande à p places et n électrons : N.p places et N.n électrons Si la couche externe est saturée : pas de courant

(16)

Bandes d’énergie

Quelques propriétés

Bandes de conduction et de valence (électrons des niveaux 3s et 3p) Apparition d’une bande interdite ou Gap

d₀ d_i

(>>d₀)

E_G Énergie

des électrons

Distance inter-atomique

d₀ d_i

E

4N états

0 électrons (BC)

4N états

4N électrons (BV)

6N états/2N électrons (sous niveau «p»)

2N états/2N électrons (sous niveau «s»)

E_C

E_V

(17)

Bandes d’énergie

Quelques propriétés

Exemple de largueur de bande interdite

atome E_G (eV) type de matériau d (Å)

C (Carbone) 5.5 isolant 3.567

Si (Silicium) 1.12 semi-conducteur 5.431

Ge (Germanium) 0.7 semi-conducteur 5.646

Sn(Etain) 0 conducteur 6.489

Gap direct ou indirect

E_C,V(k) : relations de dispersion

Minimum E_C égale maximum de E_V

E_G

k E_C(k)

E_V(k) BC

BV

Direct

∆E

∆ k

k

Indirect Minimum E_C différent maximum de E_V

Gap direct

Gap indirect

(18)

Conduction par électron ou par trou

Quelques propriétés

Apport d’une énergie à une liaison de valence On arrache un ou plusieurs électrons

Cet électron de la BV passe dans la BC

L’électron se comporte comme une particule

″quasi-libre″ (sous l’influence du réseau)

E_C

E_V

E_G

Électron libre Liaison

brisée

Trou libre

Il peut participer à la conduction électrique

On lui affecte une masse effective m_n différente de m₀ (0,91 10^-30 kg) En fait, il apparaît aussi un trou libre

(19)

Quelques propriétés

Analogie avec le déplacement de voitures

Courant d’électrons

(20)

Quelques propriétés

Analogie avec le déplacement de voitures

Courant d’électrons Courant de trous

Pour simplifier le système on parlera :

Des électrons de la bande de conduction

Des trous de la bande de valence (non de ses électrons) avec une masse m_p Au voisinage d’un extremum des bandes : développement de E(k)

Masse effective dans la vallée considérée : inverse de la courbure E(p)

( )

E k E d E

dk

C k

≈ + +0 1 +

2

2 2

2 ...

( )

n 2 2

2 2

C 2m

p p p

E 2

E 1 p

E =

∂

≈ ∂

ou −

(21)

Quelques propriétés

Nombre de places disponibles dans la BC : densité d’états

n_C(E)dE = nombre d’états (m^-3) dans la ″tranche″ d’énergie E, E + dE On obtient au final :

( ) ( )

n E m

E E

C n

=  C

 

 −

1 2

2

2 2

32 1

2

π h

( ) ( )

n E m

E E

V

p

=  V

 

 −

1 2

2

2 2

32 1

2

π h

Pour la bande de conduction

Pour la bande de valence

E

n_C(E)

n_V(E) E_C

E_V

(22)

Semi-conducteur non pollué (volontairement ou non) par des impuretés Pour T ≠ 0, des électrons peuvent devenir libres

La densité d’électrons (resp. trous) libres est notée ″n″ (resp. ″p″) = n_i

Semi-conducteur non dopé ou dopé

Semi-conducteur intrinsèque

200 400 600 800 1000

10⁵ 10⁸ 10¹¹ 10¹⁴ 10¹⁷

Ge : E_G = 0,7 eV Si : E

G = 1,1 eV GaAs : E_G = 1,42 eV

n i (cm-3 )

Température (K)

0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 10⁵

10⁸ 10¹¹ 10¹⁴ 10¹⁷

1000 500 400 300 200

Température (K)

Ge Si GaAs

n i (cm-3 )

1/Température (K^-1)

( )

n p n T AT E

i kTG

= = = −

 



32

exp 2

E_G grand ⇒ meilleure stabilité en température (Puissance)

ln(n_i) en fonction de 1/T est une droite : déduction de E_G avec la pente

(23)

Semi-conducteur extrinsèque : dopage

Semi-conducteurs de type n

Atomes (ou impuretés) de type donneur (d’électrons) en faible quantité Conduction par électrons plutôt que par trous

Cristal de la colonne IV ⇒ atomes la colonne V (phosphore)

Un faible apport d’énergie (0,04 eV), par exemple dû à une température différente de 0 K, peut ″libérer″ le cinquième électron de l’atome de phosphore

Semi-conducteur non dopé ou dopé

Silicium

Phosphore

Si

Si Si

P P

électron libre

charge fixe Si

Si

Si P⁺

(24)

Semi-conducteurs de type n

Semi-conducteur non dopé ou dopé

Etat occupé Etat libre Electron libre Trou libre E_D

E_C

E_V

E_D E_C

E_V

Apparition d’un niveau d’énergie E_D dans la BI (E_C − E_D = 0,04 eV) A partir d’environ 50 K toutes les impuretés sont ″dégelées″

n₀ = N_D >> n_i >> p₀

Comportement intrinsèque du matériau pour T > 500 K

(25)

Semi-conducteurs de type p

Semi-conducteur non dopé ou dopé

trou libre

charge fixe Silicium

Bore

B B^-

B

Si

Si Si

Atomes (ou impuretés) de type accepteur (d’électrons) en faible quantité Conduction par trous plutôt que par électrons

Cristal de la colonne IV ⇒ atomes la colonne III (bore)

Un faible apport d’énergie permet à l’atome de bore de subtiliser un électron à un proche voisin

(26)

E_A E_C

E_V

E_A E_C

E_V

Etat occupé Etat libre Electron libre Trou libre

Semi-conducteurs de type p

Semi-conducteur non dopé ou dopé

Apparition d’un niveau d’énergie E_D dans la BI

A partir d’environ 50 K toutes les impuretés sont ″dégelées″

p₀ = N_A >> n_i >> n₀

Comportement intrinsèque du matériau pour T > 500 K

(27)

Semi-conducteurs compensé

Semi-conducteur non dopé ou dopé

Les impuretés dopantes de type différent peuvent se compenser, partiellement ou totalement. p₀ = N_A >> n_i >> n₀

Parfaitement compenser (N_A = N_D): semi-conducteur ″intrinsèque par compensation″

E_C

E_V E_A E_D

E_C

E_V E_A E_D

Etat occupé Etat libre Electron libre Trou libre

Le dopage minimum dépend du raffinage du matériau

Concentrations résiduelles de bore d’environ 10¹³ atomes par cm³ (silicium intrinsèque à température ambiante : n_i ≈ 10¹⁰ cm^-3)

(28)

Semi-conducteur dopé : exemples

Semi-conducteur non dopé ou dopé

Source Grille Drain

0

- 50 50

0

40

80

120

x

y

Schéma d’un implanteur

Dopage d’un transistor MOS

L = 50 nm, W = 0.1 µm Atomes donneurs : Atomes accepteurs :

(29)

Concentration des porteurs libres à l’équilibre

Distribution de Fermi-Dirac. Niveau de Fermi

Semi-conducteur à l’équilibre

La probabilité d’occupation (à l’équilibre) d’un niveau d’énergie E par un électron est donnée par (statistique de Fermi-Dirac) :

( ) ( )

( )

f E n E dE

( )

n E dE

n

C

= nombre de cases occupées par les électrons entre E et E + dE = nombre de cases disponibles entre E et E + dE

( )

f E

E E kT

n

F

=

+  −

 

 1

1 exp

-0.2 -0.1 0.0 0.1 0.2

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

T = 0 K, 50 K, 150 K, 300 K, 500 K

f n(E)

(30)

Distribution de Fermi-Dirac. Niveau de Fermi

La probabilité f_p(E) qu’un niveau E soit occupé par un trou :

Semi-conducteur à l’équilibre

( ) ( )

f E f E

E E

kT

p n

F

= − =

+  −

 



1 1

1 exp

Statistique de Boltzmann :

( )

f E

E E kT

E E

n kT

F

≈ F

 −

 



= − −

 

 1

exp

Pour les électrons (E − E_F est exp

supérieure à quelques kT) Pour les trous (E_F − E est supérieur à quelques kT )

( )

f E

E E

kT

E E

p kT

F

≈ F

 −

 



= − −

 

 1

exp

Niveau de Fermi intrinsèque : E_Fi se situe près du milieu de la bande interdite E_i = (E_C + E_V)/2

(31)

E

f_n(E) 1

E_C

E_V

n_C(E) n(E)

E_F 0.5

Concentrations à l’équilibre pour les électrons

Semi-conducteur à l’équilibre

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

n n E dE n_C E f_n E dE n E f E dE

C

C n

C 0 =

∫

_BC =

∫

_E^Emax ≅

∫

_E^∞

( )

n N E E

kT N f E

C C F

C n C

0 = − −

 

 = exp

N m kT

C =  h n

 

 2 2

2

32

π

Densité équivalente d’états dans la bande de conduction ramenée en E_C

(32)

Semi-conducteur à l’équilibre

Concentrations à l’équilibre pour les trous

E

f_p(E) 1

E_C

E_V

n_V(E) p(E)

E_F 0.5

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

p p E dE n_V E f_p E dE n E f E dE

V

V p

V

0 =

∫

_BV =

∫

≅

∫

_−∞

Emin

E E

( )

p N E E

kT N f E

V F V

V p V

0 = − −

 

 = exp

N m kT

V h

=  p

 

 2 2

2

32

π

Densité équivalente d’états dans la bande de valence ramenée en E_V

(33)

Loi d’action de masse

Multiplication des densités d’électrons et de trous :

Semi-conducteur à l’équilibre

n p N N E E

kT N N E

C V C V kT

C V G

0 0 = − −

 

 = −

 



exp exp



 



 −

−

=

= kT

E exp E

N n

p

n_i ₀ ₀ _C ^C ^Fi



 



−

 ∝



 



−

= 2kT

exp E kT T

2 exp E

N N

n_i _C _V ^G ³² ^G

n₀p₀ est indépendant de E_F et donc du dopage Dans un matériau intrinsèque on a :

La loi d’action de masse s’écrit :

( )

^T

kT n exp E

N N p

n₀ ₀ _C _V ^G  = _i²



 



−

=

Concentration intrinsèque de porteurs

(34)

E E E kT N

N E kT N

N E

Fi C V C

V

i C

V

= + i

− 

 

 = − 

 

 ≈

2 2 ln 2 ln

( )

n N E E

kT

E E

kT n T E E

C C Fi Fi F kT

i F Fi

0 = − −

 

 − −

 

 =  −

 



exp exp exp

( ) ( )

p n T E E

kT

n T

i F Fi in

0

2 0

= − −

 

 = exp

Densités d’électrons et de trous en fonction de n_i

Expression du niveau de Fermi intrinsèque à partir de n₀ = n_i

Semi-conducteur à l’équilibre

N E E

kT N N E E

C C Fi kT

C V C V

exp− − exp

 

 = − −

 

 2

E E E kT N

N E kT N

N E

Fi C V C

V

i C

V

= + i

− 

 

 = − 

 

 ≈

2 2 ln 2 ln

Soit :

Densité d’électrons

Densité de trous

( )

n N E E

kT

E E

kT n T E E

C C Fi Fi F kT

i F Fi

0 = − −

 

 − −

 

 =  −

 



exp exp exp

( ) ( )

p n T E E

kT

n T

i F Fi in

0

2 0

= − −

 

 = exp

(35)

Équation de la neutralité électrique

Semi-conducteur à l’équilibre

p₀ + N_D⁺ = n₀ + N_A⁻

Dans un semi-conducteur homogène :

où N_D⁺ et N_A⁻ représentent les impuretés ionisées Densité d’atomes donneurs ionisés :

N N f E N

E E

kT

D D p D D

F D

+ = =

+  −

 

 ( )

exp 1 1

Densité d’atomes accepteur ionisés :

N N f E N

E E

kT

A A n A A

A F

− = =

+  −

 

 ( )

exp 1 1

(36)

E E kT N

N E kT N

F C C n

D Fi D

i

= − 

 

 = + 

 



ln ln

E E kT N

N E kT N

F V V n

A Fi A

i

= + 

 

 = − 

 



ln ln

Équation de la neutralité électrique : cas du silicium de type n

Semi-conducteur à l’équilibre

A température ambiante, l’équation de la neutralité se simplifie (N_D⁺ = N_D) :

n p N n

n N

D i

D

0 0

2 0

= + = +

n₀ ≈ N_D

p₀ ≈ N_A Pour ce type de semi-conducteur n₀ >> p₀ :

E E kT N

N E kT N

F C C n

D Fi D

i

= − 

 

 = + 

 



ln ln

Expression du niveau de Fermi :

Équation de la neutralité électrique : cas du silicium de type p

Pour ce type de semi-conducteur p₀ >> n₀ :

E E kT N

N E kT N

F V V n

A Fi A

i

= + 

 

 = − 

 



ln ln

Expression du niveau de Fermi :

(37)

Propriété fondamentale

Le niveau de Fermi dans une structure à l’équilibre

Semi-conducteur à l’équilibre

Quelle que soit la structure du matériau (homogène ou non), le niveau de Fermi est le même partout à l’équilibre thermodynamique.

Illustration

E_C

E_V E_F E_G

x Energie

E_C

E_V E_F E_G

x Energie flux d’électrons

flux de trous Quelle est la particularité du dopage pour ces deux figures ?

(38)

Application : diode PN à l’équilibre

Le niveau de Fermi dans une structure à l’équilibre

Semi-conducteur à l’équilibre

Déterminer le potentiel interne de la diode, V_b.

E_Cp

E_Vp E_F nn₀

np₀

pn₀

pp₀ V_b

x E_Cn

E_Vn E_F E_Fin

E_Fip ξ_int

→













 =













 =













 =







= 







= 

i2 D A 0

0 i2 i2

0 0 0

0 0

b 0

n N ln N

q kT np

pn ln n q kT n

pp ln nn

q kT pn

ln pp q kT np

ln nn q

V kT

(39)

Rappels :

Théorème de Gauss

Équation de Poisson - Conséquences

Un matériau SC homogène est neutre en tout point (neutralité électrique locale)

Lorsqu’un matériau est non homogène il y a une possibilité d'existence d'un champ électrique interne associé à celle d’une densité de charge dans une

″zone de charge d’espace″ (ZCE).

Soit un volume V délimité par une surface fermée S contenant une charge Q, le flux du champ électrique sortant s’écrit :

( )

∫∫∫ ( )

∫∫

_S^ξⁿ^dS ⁼ ^ε_SC^Q ⁼

∫∫∫

^ε^V_SC^ρ ^r ^dV ⁼ _V^div ^ξ^r ^dV

r rr

nr

( )

^r^r dV

ρ

Q

dS

(40)

Densité de charges dans un volume dV :

Équation de Poisson

Équation de Poisson - Conséquences

(

)

[ ]

ρ r

r = q N_D⁺ + p N− _A⁻ − n

( )

^{( )} _^ ⁺ ⁻ ⁻ _^

= ε ε

= ρ ξ

= ξ

∇ r q N ⁺ p N ⁻ n

div _D _A

SC SC

r r r

r

( )^V ( )^V

grad = −∇

−

=

ξr ^→ r

∆V V V

x

V y

V z

q N p N n

SC

D A

= ∇ = + + = −  + − −







+ −

2 2

2

2 2

∂

∂ ε

( ) ( ) ( ) ( )_^

 + − −

−ε

∂ =

− ∂ξ

=

∂

∂ ₊ ₋

x n x N

x p x q N

x x

V D A

SC x

2 2

Densité de charges et théorème de Gauss :

Le champ électrique et la tension électrique V étant reliés par :

L’équation de Poisson est donnée par :

L’équation de Poisson à une seule dimension :

(41)

Présentation de la structure

MOS : Métal / Oxyde / Semi-conducteur

Équivalent à la mise en série de deux capacités :

Application (et conséquences) : la capacité MOS

Équation de Poisson - Conséquences

Capacité de l’oxyde

Capacité du substrat (qui dépend de la polarisation)

M O

S

V_GB

C_ox C_SC Capacité MOS : base du transistor MOS (composant le plus utilisé)

(42)

Dans la suite, on ne s’intéresse qu’au substrat Quel est le type du substrat ?

Donner l’expression du potentiel de volume, Φ_F.

Caractéristiques de la structure

Équation de Poisson - Conséquences

E_i(x) E_C(x)

E_V(x) E_F

0

E(x) = − qV(x)

V(x)

x

− qΦ_F On suppose que pour V_GB = 0 les

bandes du substrat sont plates de l’interface vers le volume. Que ce passe t-il pour l’interface lorsque V_GB devient positif ?

Compléter le diagramme de bandes.

(43)

E_i(x) E_C(x)

E_V(x) E_F

0 E_C(0)

E_V(0)

E(x) = − q Ψ(x)

x

− qΨ(x)

− qΦ_F

x_d Dans la suite, on ne s’intéresse qu’au substrat

Quel est le type du substrat ?

Donner l’expression du potentiel de volume, Φ_F.

Courbures des bandes d’énergie

Équation de Poisson - Conséquences

Compléter le diagramme de bandes.

On suppose que pour V_GB = 0 les bandes du substrat sont plates de l’interface vers le volume. Que ce passe t-il pour l’interface lorsque V_GB devient positif ?

(44)

−qN_A

SC d S qNAx

= ε ξ

Champ électrique

Équation de Poisson - Conséquences

Donner l’expression de la densité volumique de charges dans la ZCE.

A partir de l’équation de Poisson, déterminer l’évolution du champ électrique et compléter le graphique ci- dessous.

( )

ρ x = −qN_A

0 x

x_d ξ

ξ_S Donner l’expression du champ

électrique maximum.

( ) (

_d

)

SC

A x x

x qN −

− ε

= ξ

ZCE

x ρ(x) x_d

(45)

Potentiel et potentiel de surface

Équation de Poisson - Conséquences

Déterminer l’expression du potentiel.

( ) (

_d

)

²

SC

A x x 2

x qN −

= ε Ψ

0 x

x_d Ψ_x

Ψ_S Évolution en x² Donner l’expression de Ψ_S (potentiel de

surface) en fonction de x_d puis de ξ_S.

d 2 S

SC d

S A x

2 x 1

2

qN = ξ

= ε Ψ

A S d SC

qN

x 2ε Ψ

=

En déduire l’expression de x_d en fonction de Ψ_S.

(46)

M O S

Pour aller plus loin

Équation de Poisson - Conséquences

Donner l’expression de la charge dans la ZCE par unité de surface.

d A

SC qN x

Q = −

A partir du théorème de Gauss, déterminer l’expression de ξ_S.

S SC

S Q cos 2

n S

) 0 cos(

n 0 2 S

cos n S

) 0 cos(

n  ′= ε



 



 π ξ

+

′+



 



 π

− ξ

+ ξ

−

SC A SC

SC

S SC qN xd

S SQ S

Q

= ε

− ε ε =

−

= ξ

nr

nr nr

nr

= 0 ξ r ξS

−

= ξ

r r

ξ r

ξ r Est ce que la région de la ZCE proche Q

de x_d est réellement une ZCE ?