Mr :Khammour.K Résumé 1 : Nombres complexes 4

Mr :Khammour.K Résumé 1 : Nombres complexes 4 ^éme Math & Sc-exp

 z   a ib ; a et b sont deux réels : forme cartésienne ou algébrique de z , a  Re( ) et z b  Im( ) z . z   a ib : le conjugué de z z  a ²  b ² : module de z .

2 2 2

2 Re( ) 2 Im( ) . Re( ) Im( ) z   z z z   z i z z z  z  z  z

Pour tout nombre complexe z et z 0 on a :  ^{z  z 0}   ^{z  z 0}  ^{ z 2  2 Re( ) z z 0  z 2 .}

 z est réel ssi Im(z) = 0 ssi z  z .

z est imaginaire ssi Ré(z) = 0 ssi z   z .

 Le plan muni d’un repère orthonormé direct ( ⃗ ).

A tout point M (a , b) on associe le nombre complexe z   a ib noté aff(M) où z _M . On a :

  ^{ }

et , arg( ) 2

OM  z u OM  z 

M’=S _(Ox) (M) ssi z _M  z _{M '} ; M’= S _O (M) ssi z _{M '}   z _M M’=S _(Oy) (M) ssi  z _M  z _{M '} Opérations sur les arguments:

  ^’ arg( ) arg( ') 2  

arg zz  z  z  arg( ) arg( ') 2  

’

arg z z z

z 

   

    ^{arg 1 arg( ) 2 z}  

z 

     

  ^{n arg( ) 2}    

arg z  n z  ^{arg z}   ^{  arg( ) 2 z    a rg    z    arg( ) 2 z   }

L’affixe du vecteur AB est z _B  z _A

    ^{ }

et arg , 2

B A B A

z  z  AB z  z  u AB 

L’affixe du milieu de [AB] est 2

A B

z  z .

M d’affixe z appartient à la médiatrice de [AB] ssi z _M  z _A  z _M  z _B M d’affixe z appartient au cercle de centre A et de rayon r ssi z _M  z _A  r

 ^,  ^{arg D C (2 )}

B A

z z AB CD

z z 

  

     

et deux vecteurs tels que est non nul

u v v

et

u v sont colinéaires ssi ^{( )} ( ) aff u

aff v est réel.

et

u v sont orthogonaux ssi ^{( )} ( ) aff u

aff v est imaginaires.

 ^A

B

z z MA

z z MB

 

 et  ^,  ^{arg B M (2 )}

A M

z z MA MB

z z 

  

     

 {M un point du plan tel que , MA 1

MB  } = med [AB].

 {M(z) tel que , arg( z  z _A )    (2 ) }= la demi droite [AT) privé du point A tel que  ^{u AT ,}  ^{   (2 ) .}

 {M(z) tel que , arg( z  z _A )    ( ) }= la droite (AT) privé du point A tel que  ^{u AT ,}  ^{   (2 ) .}

 {M(z) tel que ,  ^{MA MB ,}  ^{    (2 );  k } }= l’arc AB privé des points A et B du cercle passant par A et B et tangent à [AT) tel que  ^{AT AB ,}  ^{   (2 ) .}

Remarque : Si ( )

  2 , l’ensemble est le demi cercle de diamètre [AB] privé de A et B.

 {M du plan tel que ,  ^{MA MB ,}  ^{    (2 );  k } }= cercle passant par A et B privé des points A et B et tangent à [AT) tel que  ^{AT AB ,}  ^{   (2 ) .}

Remarque : Si (2 )

  2 , l’ensemble est le cercle de diamètre [AB] privé de A et B.

 z  r (cos   i sin )  : forme trigonométrique de z avec r  a ²  b ² et  tel que cos a

  r et sin b

  r . z  re i ^ : forme exponentielle de z.Formule de Moivre :   ^{e i  n  e in  ou cos    isn   n  cos( n  )  i sin   n }

    ^{ }

, 0 et arg( ) 2 et , 2

z  re i ^ r   z  r z     OM  r u OM    . Opposé :   z re ^{i (    )} Conjugué : z  re ^{ i }

Produit : re r e ^{i } . ' ^{i  '}  rr e ' ^{i (    ')}

Quotient : _' ^{( ')}

' '

i

i i

re r

r e r e

  

  

Puissance : ( re ^{i } ) ⁿ  r e ^{n in }

cos 2

i i

e ^ e ^

  ^{ } et sin

2

i i

e e

i

 

  ^{ }

1 2 cos 2

2

i x

ix x

e e

  et 1 2 sin ²

2

i x

ix x

e i e

  

  _{   }

0

, 0 il existe , 0 Re ⁱ

A z R

M z     z z   R   IR z   z ^



2

1 ssi z , k {0,1, 2,..., 1}, racines nièmes de l'unité

i k

n n

z k e n



    .

( 2 )

ssi z avec r = et arg (a) (2 ), k {0,1, 2,..., 1}

i k

n n n n

z a k re a n

 

  

    

 Equation : az ² +bz+c=0

On calcule   b ²  4 ac et on cherche  une racine carré de . Si    x iy alors : {

| | ( ) ( )

' et ''

2 2

b b

z z

a a

 

   

  sont les solutions de l’équation.

' b

z z

   a et ' c zz  a .

 P(z)=0 équation de degré n :

Si z 0 solution de P(z)=0 alors P(z) = (z-z 0 )Q(z) est un polynôme de degré n-1.