Limite non visqueuse pour le système de Navier-Stokes dans un espace critique

HAL Id: hal-00001610

https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-00001610

Submitted on 24 May 2004

HAL is a multi-disciplinary open access archive for the deposit and dissemination of sci- entific research documents, whether they are pub- lished or not. The documents may come from teaching and research institutions in France or

L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est destinée au dépôt et à la diffusion de documents scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, émanant des établissements d’enseignement et de recherche français ou étrangers, des laboratoires

Limite non visqueuse pour le système de Navier-Stokes dans un espace critique

Taoufik Hmidi, Sahbi Keraani

To cite this version:

Taoufik Hmidi, Sahbi Keraani. Limite non visqueuse pour le système de Navier-Stokes dans un espace critique. Comptes Rendus. Mathématique, Académie des sciences (Paris), 2004, 338 (9), pp.689-692.

�10.1016/j.cma.2004.02.013�. �hal-00001610�

Limite non visqueuse pour le syst`eme de Navier-Stokes dans un espace critique

T. Hmidi ¹ et S. Keraani ²

R´ esum´ e. Dans un article r´ ecent [11], Vishik montre que le syst` eme d’Euler bidimensionnel est globalement bien pos´ e dans l’espace de Besov critique B

. Nous mon- trons ici que le syst` eme de Navier-Stokes est globalement bien pos´ e dans B

, avec des estimations uniformes par rapport ` a la viscosit´ e. Nous prouvons ´ egalement un r´ esultat global de limite non visqueuse. Le taux de convergence dans L

est de l’ordre ν.

Abstract. In a recent paper [11], Vishik proved the global well-posedness of the two-dimensional Euler equation in the critical Besov space B

. In the present paper we prove that Navier-Stokes system is globally well-posed in B

, with uniform estimates on the viscosity. We prove also a global result of inviscid limit. The convergence rate in L

is of order ν.

keywords. navier-Stokes equations; Incompressible inviscid fluids, vorticity flows; viscous-inviscid interaction.

Classification MSC. 76D05, 76C05, 76D09.

1 Introduction

L’´ ecoulement d’un fluide visqueux incompressible ´ evoluant dans l’espace tout entier R

est d´ ecrit par le syst` eme

(N S

)







∂

v

+ v

· ∇v

− ν∆v

= −∇p

div v

= 0

v

= v

,

1

Ecole Polytechnique. E-mail: hmidi@math.polytechnique.fr

2

Universit´ e Rennes 1. E-mail: keraani@maths.univ-rennes1.fr

o` u v

(t, x) ∈ R

d´ esigne le champ de vitesse du fluide et p(t, x) ∈ R son champ de pression. Le param` etre ν > 0 est le cœfficient de viscosit´ e cin´ ematique.

Lorsque il n’y a pas de forces de frottement visqueux (ν = 0) alors le syst` eme correspondant porte le nom d’Euler :

(E)







∂

v + v · ∇v = −∇p div v = 0

v

= v

.

La th´ eorie qui traite des probl` emes d’existence et d’unicit´ e de solutions pour ces deux syst` emes est tr` es abondante mais on va se restreindre seulement

`

a quelques r´ esultats significatifs relatives aux solutions fortes. Il convient d’abord de rappeler le fameux r´ esultat de H. Fujita et T. Kato [7] qui date des ann´ ees soixante et assure pour le syst` eme de Navier-Stokes l’existence d’une unique solution locale dans l’espace de Sobolev H

, s ≥

− 1. En revanche le r´ esultat est global dans les deux cas suivants : soit la donn´ ee est petite devant la viscosit´ e, soit d = 2. En ce qui concerne le syst` eme d’Euler, il s’inscrit dans le cadre des syst` emes hyperboliques et comme cons´ equence on montre qu’il est localement bien pos´ e dans les espaces de Sobolev H

d` es que s >

+ 1 (voir par exemple [9]). En rempla¸cant l’espace critique H

par B

, alors on peut assurer un r´ esultat local d’existence d’une unique solution (voir par exemple [6]). Lorsqu’on est en dimension deux d’espace alors la solution d’Euler est globale pour toute donn´ ee surcritique. Ceci est fortement li´ e surtout au fait que le tourbillon ω = ∂

v

− ∂

v

satisfait une

´

equation de transport et il en d´ ecoule alors que sa norme L

est conserv´ ee.

Il est bon de noter que le tourbillon eul´ erien peut ˆ etre explicit´ e ` a chaque instant comme une composition de la donn´ ee initiale et l’inverse du flot ψ(t).

Ce dernier est d´ efini par l’´ equation int´ egrale : ψ(t, x) = x +

Z

v(τ, ψ(τ, x))dτ.

C’est ` a l’aide de cette repr´ esentation que Vishik a ´ etabli une estimation logarithmique fine reliant le tourbillon et le flot, ce qui lui a permis de prouver que le syst` eme d’Euler bidimensionnel poss` ede une unique solution globale lorsque la donn´ ee initiale est dans l’espace de Besov critique B

, avec p ∈]1, +∞[. Les cas extr´ emaux sont exclus ` a cause de l’op´ erateur de Riesz qui n’op` ere pas continˆ ument dans les espaces de Lebesgue correspondants.

Lorsque la donn´ ee initiale est prise dans un espace B

, avec s < 1+2/p, alors

le champ de vitesse n’est pas n´ ecessairement lipschitzien et par cons´ equent un ph´ enom` emene de d´ egradation de la r´ egularit´ e au cours du temps est mis en

´

evidence (voir [1]). Concernant la limite non visqueuse, on peut ´ etablir que si la donn´ ee initiale est dans un espace surcritique et si la solution d’Euler vit jusqu’` a l’instant T alors la solution de Navier-Stokes l’est aussi. De plus, elle converge fortement vers la solution d’Euler sur le mˆ eme intervalle de temps.

Le taux de convergence dans l’espace L

est de l’ordre ν. Ce mˆ eme r´ esultat persiste encore dans les espaces critiques B

, cependant il n’est ´ etabli que sur un petit intervalle de temps, mˆ eme en dimension deux.

Dans le pr´ esent travail nous allons montrer qu’en dimension deux le syst` eme de Navier-Stokes est globalement bien pos´ e dans l’espace critique B

, avec un contrˆ ole uniforme par rapport ` a la viscosit´ e. Nous prou- vons ´ egalement un r´ esultat de limite non visqueuse. La d´ emonstration est fond´ ee sur une estimation uniforme par rapport ` a la viscosit´ e de la quantit´ e kv

k

tLip(R²)

, et l’on utilise ` a cette fin un effet r´ egularisant de l’´ equation de transport-diffusion relative ` a un champ de vecteurs lipschitzien et r´ egissant le tourbillon visqueux ω

= ∂

v

− ∂

v

:

(T D

) ∂

ω

+ v

· ∇ω

− ν∆ω

= 0.

Voici notre principal th´ eor` eme.

Th´ eor` eme 1. Soit v

un champ de vecteurs de R

` a divergence nulle et ap- partenant ` a B

. Alors le syst` eme (N S

) poss` ede une unique solution globale dans L

( R

; B

) satisfaisant l’estimation uniforme en ν

kv

(t)k

2,1

≤ Ckv

k

2,1

exp e

0k_B2 2,1

.

De plus, la solution de (N S

) converge vers celle d’Euler, quand la viscosit´ e tend vers z´ ero , dans tous les espaces B

, pour tout s > 0 :

kv

(t) − v(t)k

≤ C(νt)kv

k

2,1

e

0k_B2

2,1

. (1)

Le plan de l’article est structur´ e comme suit : la premi` ere section est un

rappel de la th´ eorie de Littlewood-Paley suivi de l’´ enonc´ e de quelques lemmes

techniques bien connus. Nous d´ emontrons dans la section d’apr` es l’estimation

(1) qui repose sur le r´ esultat de Vishik dans le cas d’Euler. Nous d´ ecrirons

dans le paragraphe qui suit l’effet r´ egularisant d´ evelopp´ e dans l’´ equation

(T D

). Par contre la fin de l’article est consacr´ ee ` a la preuve du r´ esultat de

propagation de la r´ egularit´ e, uniform´ ement en ν.

2 Outils de base

Nous allons d´ efinir dans cette partie les op´ erateurs de localisation en fr´ equences.

Nous donnons ´ egalement la d´ efinition des espaces de Besov B

et nous achevons ce paragraphe par quelques lemmes fort utiles pour la preuve des r´ esultats ´ enonc´ es.

Proposition 1. Il existe deux fonctions radiales χ et φ appartenant respec- tivement aux espaces D( R

) et D( R

\{0}) telles que,

χ(ξ) + X

q≥0

ϕ(2

ξ) = 1, 1

3 ≤ χ

(ξ) + X

q≥0

ϕ

(2

ξ) ≤ 1,

|p − q| ≥ 2 ⇒ supp ϕ(2

·) ∩ supp ϕ(2

·) = ∅ , q ≥ 1 ⇒ supp χ ∩ supp ϕ(2

) = ∅ . On pose alors pour toute distribution temp´ er´ ee v

∆

v = χ(D)v ; ∀q ∈ N , ∆

v = ϕ(2

D)v et S

v = X

−1≤p≤q−1

∆

v.

Le calcul paradiff´ erentiel introduit par J.-M. Bony dans [2] est bas´ e sur la d´ ecomposition, dite de Bony, qui reconnaˆıt dans un produit uv trois parties:

deux termes de paraproduits correspondant ` a une domination fr´ equencielle de l’une par rapport ` a l’autre et un terme de reste o` u les fr´ equences sont de mˆ eme taille. Plus pr´ ecis´ ement, nous avons la d´ efinition suivante

D´ efinition 1. On appelle paraproduit de v par u et on note T

v l’op´ erateur T

v = X

q

S

u∆

v.

On appelle reste du produit uv et on note R(u, v) l’op´ erateur bilin´ eaire sym´ etrique suivant :

R(u, v) = X

|q⁰−q|≤1

∆

u∆

v.

Ainsi le produit uv s’´ ecrit formellement

uv = T

v + T

u + R(u, v).

Nous d´ efinissons les espaces de Besov B

, avec p ∈ [1, +∞] et s ∈ R comme ´ etant l’ensemble des distributions temp´ er´ ees u v´ erifiant

kuk

p,1

d´ef

=

+∞

X

q=−1

2

k∆

uk

< +∞.

La chaˆıne d’espaces (B

)

est d´ ecroissante. Nous avons de plus l’inclusion de Sobolev :

B

, → L

.

Nous aurons ´ egalement besoin de la description suivante de l’effet r´ egularisant du semi-groupe de la chaleur:

Lemme 1. Soit C une couronne. Il existe deux constantes positives c et C telles que, pour tout couple (t, λ) de r´ eels positifs, pour tout p ∈ [1, +∞] et pour tout a ∈ L

, on aura l’implication :

Supp b a ⊂ λC ⇒ ke

ak

≤ Ce

kak

.

Nous ferons usage du lemme de Bernstein qui d´ ecrit le coˆ ut d’une diff´ erentiation d’une distribution. Plus pr´ ecis´ ement nous avons

Lemme 2. (Bernstein) Soit (r

, r

) un couple de r´ eels strictement positifs tels que r

< r

. Il existe une constante C telle que, pour tout entier k, pour tout couple (a, b) tel que 1 ≤ a ≤ b et pour toute fonction u ∈ L

( R

), on ait

supp b u ∈ B(0, λ r

) ⇒ sup

|α|=k

k∂

uk

≤ C

λ

kuk

, supp u b ∈ C (0, λr

, λr

) ⇒ C

λ

kuk

≤ sup

|α|=k

k∂

uk

≤ C

λ

kuk

.

3 Limite non visqueuse

Ce paragraphe est consacr´ e ` a la preuve de l’estimation (1). Elle se d´ emontre via une estimation d’´ energie et fait appel aux estimations suivantes, prouv´ ees dans [11]:

kv(t)k

2,1

≤ Ckv

k

2,1

e

0k_B2

2,1

et k∇v(t)k

≤ e

0k_B2

2,1

. (2) Posons

W

= v

− v.

Alors en combinant les ´ equations (N S

) et (E), on trouve que W

satisfait l’´ equation







∂

W

+ v

· ∇W

− ν∆W

+ ∇p

= ν∆v + W

· ∇v div W

= 0

W

= 0.

En faisant le produit scalaire L

de cette ´ equation avec W

et en se servant de la contrainte d’incompressibilit´ e, on aboutit ` a

1 2

d

dt kW

(t)k

+ νk∇W

(t)k

≤ νk∆vk

kW

k

+ k∇vk

kW

k

. Donc cela entraˆıne suite ` a une int´ egration en temps et une application du lemme de Gronwall,

kW

(t)k

≤ ν Z

0

k∆v(τ)k

dτ e

. Il suffit ` a ce stade d’utiliser les estimations (2) pour d´ eduire (1).

4 Effet r´ egularisant

Le but de cette section est de d´ ecrire le gain d’une moyenne en temps du tourbillon visqueux. Le point le plus important est d’avoir le gain souhait´ e avec une croissane lin´ eaire et non pas exponentielle de la norme Lipschitz de la vitesse. Un tel r´ esultat est d´ ej` a ´ etabli dans [8] mais nous le red´ emontrons pour la commodit´ e du lecteur.

Proposition 2. Soit ω

∈ L

, avec p ∈ [1, +∞] et v

une solution de (N S

) qui soit lipschitzienne. Alors, pour tout q ∈ N on a l’estimation

ν2

Z

0

k∆

ω

(τ )k

dτ ≤ Ckω

k

1 + Z

0

k∇v

(τ )k

dτ

.

D´ emonstration : La preuve se fait en deux temps : en premier lieu

nous d´ emontrons l’effet r´ egularisant sur un petit intervalle de temps qui ne

d´ epend pas de la donn´ ee initiale mais d´ ependant uniquement du champ de

vecteurs v. Ensuite, nous proc´ edons ` a un d´ ecoupage en temps permettant

ainsi d’´ etendre les estimations ` a n’importe quel temps arbitrairement positif.

Estimation Locale

Nous commen¸cons par localiser en fr´ equences l’´ equation (T D

) qui gouverne le tourbillon visqueux, not´ e ω (afin d’all´ eger les notations). Alors, en posant ω

= ∆

ω, nous obtenons

∂

ω

+ S

v · ∇ω

− ν∆ω

= −[∆

, v · ∇]ω + (S

v − v) · ∇ω

,

d´ef

= f

. (3)

Remarquons d’abord que le spectre fr´ equenciel de f

est localis´ e dans une coronne de taille 2

et que l’on a aussi, en vertu de la proposition 3, l’estimation

f

(t)

≤ C

∇v (t)

ω(t)

.

Or nous savons que la norme L

est major´ ee ` a chaque insatant t par sa valeur initiale. Ainsi, nous en d´ eduisons que

f

(t)

≤ C

∇v(t)

ω

. (4) Nous allons maintenant faire le changement de variables lagrangiens dans l’´ equation (3). Posons

¯

ω

(t, x) = ω

(t, ψ

(t, x)) et f ¯

(t, x) = f

(t, ψ

(t, x)).

En ´ ecrivant ω

(t, x) = ¯ ω

(t, ψ

(t, x)) et en calculant son laplacien ` a l’aide de la formule de d´ erivation de fonctions compos´ ees, alors, en notant la hessienne de ¯ ω

par ∇

ω ¯

, on trouve

∆ω

(t)◦ψ

(t, x) =

d

X

i=1

D

∇

ω ¯

(t, x)·(∂

ψ

)(t, ψ

(t, x)), (∂

ψ

)(t, ψ

(t, x)) E

+ ∇¯ ω

(t, x) · (∆ψ

)(t, ψ

(t, x)). (5) Le symbole h·, ·i d´ esigne le produit scalaire canonique de R

. Pour le contrˆ ole des d´ eriv´ ees du flot et de son inverse ψ

(t, x), nous disposons des estimations classiques

k∇ψ

(t)k

≤ exp Z

k∇S

v(τ )k

dτ

. (6)

Dor´ enavant on adopte les notations suivantes : V (t) =

Z

k∇v(τ )k

dτ et V

(t) = Z

0

k∇S

v(τ )k

dτ.

Quand on d´ erive l’´ equation d’´ evolution r´ egissant l’inverse du flot par rapport

`

a la variable d’espace alors on peut d´ eduire, grˆ ace ` a (6), que la fonction ψ

satisfait une ´ equation de type

(∂

ψ

)(t, ψ

(t, x)) = e

+ g

(t, x), (7) avec e

le i

vecteur canonique de R

. De surcroˆıt, la fonction g

se majore comme suit :

kg

(t)k

≤ exp Z

0

k∇S

v(τ)dτ Z

0

k∇S

v (τ )k

dτ.

Comme S

envoie uniform´ ement en q l’espace L

dans lui-mˆ eme, alors nous aurons

kg

(t)k

≤ CV (t)e

=

g (t). (8) En ce qui concerne l’estimation des d´ eriv´ ees secondes de ψ

(t), nous d´ erivons deux fois l’´ equation d’´ evolution de ψ

et nous obtenons, suite ` a une appli- cation du lemme de Gronwall, que

k∇

ψ

(t)k

≤ e

Z

0

k∇

S

v(τ)k

dτ. (9) Ainsi donc, par le biais de l’in´ egalit´ e de Bernstein et l’estimation (6), l’in´ egalit´ e (9) devient

k∇

ψ

(t)k

≤ C2

g (t). (10) Int´ eressons-nous maintenant ` a l’´ equation satisfaite par ¯ ω

. Alors un simple calcul utilisant les informations (3), (5) et (7) montre que la fonction ¯ ω

v´ erifie

(∂

− ν∆)¯ ω

(t, x) = ν

d

X

i=1

h∇

ω ¯

(t, x)g

, g

(t, x)i + 2ν

d

X

i=1

h∇

ω ¯

(t, x)e

, g

(t, x)i + ν∇¯ ω

(t, x) · (∆ψ

)(t, ψ

(t, x)) + ¯ f

(t, x)

=

R

(t, x). (11) Comme la fonction compos´ ee ¯ ω

n’est pas n´ ecessairement localis´ ee en fr´ equences, alors nous ne pouvons pas appliquer imm´ ediatement le lemme 1. Donc nous serons amen´ es ` a tronquer l’´ equation (11) via l’op´ erateur ∆

, avec j ∈ N . Ainsi la formule de Duhamel montre que la fonction ∆

ω ¯

v´ erifie

∆

ω ¯

(t, x) = e

∆

ω

(0) + Z

0

e

∆

R

(τ, x)dτ. (12)

Le support de f b

est localis´ e dans une boule de taille 2

. Donc, il s’ensuit, grˆ ace au lemme de Bernstein et la pr´ eservation de la mesure par le flot, que

k∆

f ¯

(t)k

≤ C2

k∇(f

◦ ψ

(t))k

,

≤ C2

k∇ψ

(t)k

kf

(t)k

. Ainsi les in´ egalit´ es (4) et (6) permettent d’avoir

k∆

f ¯

(t)k

≤ C2

e

kω

k

k∇v(t)k

≤ C2

e

kω

k

k∇v (t)k

.

En cons´ equence, nous d´ eduisons, ` a l’aide du lemme 1 et des in´ egalit´ es (8) et (10), que

k∆

ω ¯

(t)k

≤ Ce

k∆

ω

(0)k

+ +Cν g(t) + g

(t)

Z

e

k∇

ω ¯

(τ )k

dτ + +Cν2

g(t)

Z

e

k∇¯ ω

(τ )k

dτ + +C2

e

kω

k

Z

e

k∇v(τ)k

dτ. (13) Prenons la norme L

en temps dans les deux membres de l’in´ egalit´ e (13).

Alors nous obtenons par le biais de l’in´ egalit´ e de convolution retard´ ee et la croisssance de g,

k∆

ω ¯

(t)k

≤ C(ν2

)

k∆

ω

(0)k

+ +C g(t) + g

(t)

2

k∇

ω ¯

k

+Cg(t)2

2

k∇¯ ω

k

+Cg(t)kω

k

2

(ν2

)

. (14) En se servant de (6), (10) et du lemme de Bernstein on aboutit, grˆ ace ` a la conservation de la mesure par le flot, aux estimations

k∇¯ ω

(t)k

≤ C2

e

kω

(t)k

, (15)

k∇

ω ¯

(t)k

≤ C2

e

kω

(t)k

. (16)

Soit N

un entier que l’on choisira ` a la fin. Alors en reportant (15) et (16) dans (14) et en sommant sur les entiers j ≥ q − N

, on trouve

ν2

X

j≥q−N0

k∆

ω ¯

(t)k

≤ C(kω

k

+ 2

h(t)(ν2

)kω

k

+ 2

kω

k

g(t)), (17) o` u l’on a pos´ e h(t) = g(t) + g(t)

. Faisons remarquer qu’il n’y a pas un cœffi- cient en N

dans le premier terme du second membre de (17) car ∆

ω

(0) = 0, si |j−q| ≥ 2. Il faut noter aussi que le calcul que nous venons de d´ evelopper est valable pour les entiers q ≥ N

, sinon, l’estimation (17) serait fausse. Con- cernant le cas des basses fr´ equences j ≤ q − N

, on dispose du lemme suivant, d´ emontr´ e par M. Vishik dans [11].

Lemme 3. Soit d un entier sup´ erieur ou ´ egal ` a 2. Il existe une constante positive C ne d´ ependant que de d telle que, pour toute fonction a de la classe de Schwartz et pour tout diff´ eomorphisme ψ de R

pr´ eservant la mesure de Lebesgue, on aura pour tout p ∈ [1, +∞] et pour tous les j, q ≥ −1,

k∆

(∆

a ◦ ψ(·))k

≤ C2

k∇ψ

k

k∆

ak

, o` u l’on a pos´ e

α(j, q) =

|j−q|

, sij 6= q, 0, sinon.

Nous convenons que ψ

= Id.

Admettons pour le moment ce lemme et voyons comment il permet de conclure. Vu que le flot est une transformation qui pr´ eserve la mesure de Lebesgue, alors on peut ´ ecrire via le lemme 3 et les in´ egalit´ es (17) et (6) que

ν2

kω

k

= ν2

k¯ ω

k

≤ ν2

X

j≥q−N₀

k∆

ω ¯

k

+ +ν2

X

j≤q−N₀

k∆

ω ¯

k

≤ C2

h(t)(ν2

)kω

k

+ C2

kω

k

g(t) +

+ Ckω

k

+ C(ν2

)kω

k

2

e

. (18)

Sous cette forme on voit clairement le rˆ ole que l’entier N

joue : dans la zone des hautes fr´ equences on profite de la petitesse (en temps) de la fonction h.

Tandis que dans le spectre des basses fr´ equences on agrandit N

de mani` ere

`

a ce que le dernier terme figurant dans (18) soit absorb´ e par la quantit´ e de gauche. Mais le choix du temps et de N

sont fortement li´ es. ils sont donn´ es par les deux conditions suivantes :

C2

h(t) ≤ 1

4 et C2

e

≤ 1

4 · (19)

Par suite, si V (t) ≤ 1, on choisit N

pour que 2

≤

e

, puis quitte

`

a diminuer encore V (t), on assure que C2

h(t) ≤ 1/4. Ainsi on montre l’existence d’une constante C

telle que, si

Z

k∇v (τ )k

dτ ≤ C

(20) alors (19) aura lieu. Auquel cas l’entier N

est aussi absolu. Il s’ensuit que pour tout t satisfaisant (20) et pour tout q ≥ N

,

(ν2

)

kω

k

≤ Ckω

k

. (21) Pour finir cette premi` ere ´ etape, il nous reste ` a voir comment s’estiment les basses fr´ equences : nous obtenons ais´ ement, grˆ ace ` a l’estimation

kω(t)k

≤ kω

k

et via la continuit´ e uniforme en q de l’op´ erateur de localisation en fr´ equence

∆

∈ L(L

), que

ν2

k∆

ωk

≤ C(νt)kω

k

. (22) Ainsi, nous parvenons ` a ´ etablir localement en temps, le r´ esultat ´ enonc´ e dans la proposition 2.

Estimation globale

L’extension du r´ esultat local obtenu ` a n’importe quel temps arbitraire positif

T n’est pas difficile. Nous parvenons ` a propager l’effet r´ egularisant de proche

en proche car la condition locale (20) ne tient pas compte des estim´ ees de

la solution a. Elle est uniquememt li´ ee au gradient du champ de vecteurs v. Le point de d´ epart de la preuve est de partager l’intervalle [0, T ] en une subdivision (T

)

comme ci-dessous :

T

= 0 ≤ T

≤ ... ≤ T

= T et

Z

Ti

k∇v(τ)k

dτ ' C

, ∀ i ∈ [[0, N −1]].

Dans chacun de ces sous intervalles [T

, T

], on reproduit exactement la mˆ eme d´ emarche locale sauf qu’au lieu d’utiliser le flot ψ

fixant l’espace ` a l’instant t = 0, nous devons r´ einitialiser le flot ` a l’instant T

. On obtient alors pour tout entier q ≥ N

(N

est le mˆ eme entier qui apparaˆıt dans la preuve locale)

ν2

kω

k

≤ Ckω(T

)k

≤ Ckω

k

. (23) Sachant que N ' 1 +

Z

k∇v(τ )k

dτ, alors en sommant les in´ egalit´ es de 0 jusqu’au N − 1, nous obtenons grˆ ace ` a l’in´ egalit´ e triangulaire que pour tout entier q ≥ N

ν2

kω

k

≤ ν2

N−1

X

i=0

kω

k

≤ Ckω

k

1 +

Z

k∇v(τ )k

dτ

. (24) Ainsi l’estimation de la proposition 2 d´ ecoule facilement des relations (22) et (24).

5 Estimation Lipschitz de la vitesse

Nous allons voir que l’estimation (1) combin´ ee avec l’effet r´ egularisant per- mettent de contrˆ oler la quantit´ e R

0

k∇v

(τ )k

dτ. Soit N un entier positif.

Alors l’in´ egalit´ e triangulaire donne Z

0

k∇v

(τ )k

dτ ≤ Z

0

k∇S

v(τ)k

dτ + Z

0

k∇S

(v

− v)(τ )k

dτ +

Z

k∇(Id − S

)v

(τ)k

dτ. (25)

Nous soulignons d’abord que l’in´ egalit´ e de convolution entraˆıne Z

0

k∇S

v(τ )k

dτ ≤ Z

0

k∇v(τ )k

dτ. (26) D’un autre cˆ ot´ e, nous avons par le biais de l’in´ egalit´ e de Bernstein et l’estimation (1)

Z

k∇S

(v

− v)(τ )k

dτ ≤ C2

Z

0

k(v

− v)(τ )k

dτ

≤ Cν t 2

e

0k

B2

2,1

. (27)

Pour la majoration du dernier terme de (25), on utilise la proposition 2, qui implique

Z

k∇(Id − S

)v

(τ )k

dτ ≤ X

q≥N

Z

k∆

ω

(τ )k

dτ

≤ C kω

k

ν2

1 +

Z

k∇v

(τ )k

dτ

. (28) En reportant (26), (27) et (28) dans (25), on trouve

Z

k∇v

(τ )k

dτ ≤ C

1 + ν t 2

e

0k

B2 2,1

+ + C kω

k

ν2

1 + Z

0

k∇v

(τ)k

dτ

. Par cons´ equent, en choisissant N tel que

C kω

k

ν2

' 1

2 , alors on aura

Z

k∇v

(τ )k

dτ ≤ C(1 + tkω

k

)e

0k

B2 2,1

≤ Ce

0k

B2

2,1

. (29)

Nous avons utilis´ e dans le dernier passage l’inclusion de Sobolev (d=2):

B

, → L

.

6 Estimation du commutateur

Nous nous proposons dans cette section de fournir une estimation pr´ ecise du commutateur [∆

, v · ∇]ω, o` u ω = rot v.

Proposition 3. Soit v un champ de vecteurs r´ egulier de R

, ` a divergence nulle. Soit ω son rotationnel, donn´ e par ω = ∂

v

− ∂

v

. Alors pour tout q ≥ −1 et pour tout p ∈ [1, +∞] on a

k[∆

, v · ∇]ωk

≤ Ck∇vk

X

j≥q−N0

2

k∆

ωk

. Les nombres C et N

sont des constantes absolues.

D´ emonstration : Nous ferons usage de la d´ ecomposition de Bony [2]:

[∆

, v · ∇]ω = [∆

, T

· ∇]ω + [∆

, T

· v ]ω + [∆

, R(v, ∇·)]ω. (30) L’estimation du second terme est facile. On ´ ecrit simplement

k[∆

, T

· v]ωk

≤ C X

|j−q|≤N0

kS

∇ωk

k∆

vk

. (31) Or, nous avons par le lemme de Bernstein et par d´ efinition du tourbillon

kS

∇ωk

≤ C2

kωk

≤ C2

k∇vk

.

D’un autre cˆ ot´ e, la somme figurant dans (31) porte sur des entiers j qui sont positifs, sinon l’op´ erateur S

est nul. Par cons´ equent, on aura par le biais du lemme de Bernstein,

k∆

vk

≤ C2

k∆

ωk

.

Ainsi en reportant ces estimations dans (31), nous obtenons k[∆

, T

· v]ωk

≤ Ck∇vk

X

|j−q|≤N0

k∆

ωk

(32)

Concernant le second terme qui apparaˆıt dans le second membre de 30, nous

avons par d´ efinition du paraproduit et grˆ ace ` a la commutation des op´ erateurs

∆

entre eux

[∆

, T

· ∇]ω =

2

X

k=1

X

j

[S

v

∂

∆

, ∆

]ω,

=

2

X

k=1

X

j

[S

v

∂

, ∆

]∆

ω

La somme est en fait finie et ne concerne que les indices j v´ erifiant |j − q| ≤ N

. Ceci est dˆ u, d’une part, ` a la localisation du support de la transform´ ee de Fourier de S

v

∆

∂

a dans une couronne de taille 2

et d’autre part au fait que ∆

∆

≡ 0, si |j − q| ≥ 2.

Pour majorer chacun de ces commutateurs, on ´ ecrit l’op´ erateur ∆

comme une int´ egrale de convolution :

[S

v

∂

, ∆

]∆

ω(·) = 2

Z

h(2

(· − y)) S

v

(·) − S

v

(y)

∆

∂

ω(y)dy.

Ainsi, l’in´ egalit´ e de Young donne [S

v

∂

, ∆

]∆

ω(·)

≤ C2

k∇S

vk

k∆

∂

ωk

,

≤ Ck∇vk

2

k∆

ωk

. (33) En cons´ equence, nous aurons l’estimation

k[∆

, T

· ∇]ωk

≤ Ck∇vk

X

|j−q|≤N0

2

k∆

ωk

. (34) Le terme de reste s’´ ecrit par d´ efinition comme:

[∆

, R(v, ∇·)]ω = X

j≥−1 i∈{∓1,0}

[∆

, ∆

v · ∇]∆

ω = X

j≥q−N0 i∈{∓1,0}

[∆

, ∆

v · ∇]∆

ω.

Il se d´ ecompose aussi de la mani` ere suivante

[∆

, R(v, ∇·)]ω = R

(v, a) + R

(v, a), avec R

(v, ω) = X

q−N0≤j≤q i∈{∓1,0}

[∆

, ∆

v · ∇]∆

ω et R

(v, ω) = X

q+1≤j i∈{∓1,0}

[∆

, ∆

v · ∇]∆

ω.

Pour estimer R

(v, ω), on imite l’in´ egalit´ e (33) et l’on trouve : kR

(v, ω)k

≤ C X

q−N0≤j≤q i∈{∓1,0}

2

k∇∆

vk

k∇∆

ωk

≤ Ck∇vk

X

q−N0≤j≤q i∈{∓1,0}

2

k∆

ωk

≤ Ck∇vk

X

q−N0≤j i∈{∓1,0}

2

k∆

ωk

.

Par contre pour contrˆ oler le terme R

(v, ω) on utilise la condition de diver- gence nulle qui implique

R

(v, ω) =

2

X

k=1

X

q+1≤j i∈{∓1,0}

∂

[∆

, ∆

v

]∆

ω.

En d´ eveloppant le commutateur figurant dans cette somme, on constate que sa transform´ ee de Fourier est support´ ee dans une boule de taille 2

. Ainsi le lemme de Bernstein donne (j ∈ N )

k∂

[∆

, ∆

v

]∆

ωk

≤ C2

k∆

v

k

k∆

ωk

≤ Ck∇vk

2

k∆

ωk

. Par suite, on aura

kR

(v, ω)k

≤ Ck∇vk

X

q+1≤j

2

k∆

ωk

. Ce qui ach` eve la preuve de la proposition 3.

7 Fin de la d´ emonstration du th´ eor` eme 1

Pour prouver l’estimation de propagation dans B

, il suffit de le faire pour le tourbillon dans l’espace B

. On commence par appliquer l’op´ erateur de filtrage en fr´ equences ∆

` a l’´ equation qui r´ egit le tourbillon visqueux et l’on trouve que ω

= ∆

ω satisfait

∂

ω

+ v · ∇ω

− ν∆ω

= −[∆

, v · ∇]ω.

En prenant le produit scalaire L

avec ω

et en se servant de l’incompressibilit´ e du flot et de la proposition 3, on trouve suite ` a une int´ egration en temps kω

(t)k

≤ kω

(0)k

+ 2

Z

kω

(τ )k

k∇v(τ )k

X

j≥q−N0

2

k∆

ω(τ )k

dτ.

En appliquant le lemme de Gronwall, on trouve kω

(t)k

≤ kω

(0)k

+ 2

Z

k∇v(τ )k

X

j≥q−N0

2

k∆

ω(τ )k

dτ.

Posons c

(t) = 2

kω

(t)k

. Alors l’estimation ci-dessus peut s’´ ecrire sous la forme

c

(t) ≤ c

(0) + 2 Z

0

k∇v(τ )k

X

j≥q−N0

2

c

(τ )dτ.

Il suffit ` a ce stade de sommer sur les q et d’appliquer l’in´ egalit´ e de Young pour aboutir ` a

kω(t)k

2,1

≤ kω

k

2,1

+ Z

0

k∇v(τ )k

kω(τ )k

2,1

dτ.

On conclut par le lemme de Gronwall qui implique kω(t)k

2,1

≤ kω

k

2,1

e

. (35) Pour estimer la vitesse dans B

, on ´ ecrit

kv(t)k

2,1

≤ k∆

v(t)k

+ X

q∈N

2

k∆

v(t)k

≤ kv(t)k

+ kω(t)k

2,1

. (36)

Or l’in´ egalit´ e d’´ energie nous assure que pour tout t positif kv(t)k

≤ kv

k

≤ kv

k

2,1

.

Donc, en reportant cette estimation ainsi que (35) dans (36), on trouve kv(t)k

2,1

≤ Ckv

k

2,1

e

.

Il suffit maintenant d’utiliser le contrˆ ole Lipschitz (29).

References

[1] H. Bahouri et J.-Y. Chemin, Equations de transport relatives ` a des champs de vecteurs non-lipschitziens et m´ ecanique des fluides, Arch.

Rational Mech. Anal., 127, pages 159-181, 1994.

[2] J.-M. Bony, Calcul symbolique et propagation des singularit´ es pour les ´ equations aux d´ eriv´ ees partielles non lin´ eaires, Annales de l’´ ecole sup´ erieure, 14, pages 209-246, 1981.

[3] J.-Y. Chemin, Perfect incompressible Fluids, Oxford University Press.

[4] J.-Y. Chemin, A Remark on the inviscid limit for two-dimmensionnel incompressible fluid, Communications in Partial Differential Equa- tions, 21, pages 1771-1779, 1996.

[5] P. Constantin and C. Foias, Navier-Stokes equations, Chicago Lec- tures in Mathematics, University of Chicago Press (1988).

[6] R. Danchin, The inviscid limit for density-dependent incompressible fluids.

[7] H. Fujita and T. Kato, On the nonstationnary Navier-Stokes system, rend. Sem. Mat. Univ. Padova, 32, pages 243 − 260, (1962).

[8] T. Hmidi, r´ egularit´ e h¨ old´ erienne des poches de tourbillon visqueuses, Pr´ epublication de L’Ecole Polytechnique, 2003.

[9] T. Kato and G. Ponce, Commutator estimates and the Euler and Navier-Stokes equations, Communications on Pure and Applied Math- ematics, 41, pages 891 − 907 (1988)

[10] A. Majda, Vorticity and the mathematical theory of an incompressible fluid flow, Communications on Pure and Applied Mathematics, 38, pages 187-220, 1986..

[11] M. Vishik, Hydrodynamics in Besov Spaces, Arch. Rational Mech.

Anal 145, pages 197-214, 1998.