Evidential Grammars for Image Interpretation. Application to multimodal traffic scene understanding

HAL Id: hal-00932897

https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-00932897

Submitted on 18 Jan 2014

HAL is a multi-disciplinary open access archive for the deposit and dissemination of sci- entific research documents, whether they are pub- lished or not. The documents may come from teaching and research institutions in France or abroad, or from public or private research centers.

L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est destinée au dépôt et à la diffusion de documents scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, émanant des établissements d’enseignement et de recherche français ou étrangers, des laboratoires publics ou privés.

Evidential Grammars for Image Interpretation.

Application to multimodal traffic scene understanding

Jean-Baptiste Bordes, Franck Davoine, Philippe Xu, Thierry Denoeux

To cite this version:

Jean-Baptiste Bordes, Franck Davoine, Philippe Xu, Thierry Denoeux. Evidential Grammars for

Image Interpretation. Application to multimodal traffic scene understanding. Third International

Symposium on Integrated Uncertainty in Knowledge Modeling and Decision Making, Jul 2013, Beijing,

China. pp.65-78. �hal-00932897�

❊❱■❉❊◆❚■❆▲ ●❘❆▼▼❆❘❙ ❋❖❘ ■▼❆●❊

■◆❚❊❘P❘❊❚❆❚■❖◆✳ ❆PP▲■❈❆❚■❖◆ ❚❖ ▼❯▲❚■▼❖❉❆▲

❚❘❆❋❋■❈ ❙❈❊◆❊ ❯◆❉❊❘❙❚❆◆❉■◆●

❏❡❛♥✲❇❛♣t✐st❡ ❇♦r❞❡s

✱ ❋r❛♥❝❦ ❉❛✈♦✐♥❡

✱ P❤✐❧✐♣♣❡ ❳✉

✱ ❛♥❞ ❚❤✐❡rr② ❉❡♥÷✉①

1

❯▼❘ ❈◆❘❙ ✼✷✺✸✱ ❍❡✉❞✐❛s②❝✱ ❯♥✐✈❡rs✐té ❞❡ ❚❡❝❤♥♦❧♦❣✐❡ ❞❡ ❈♦♠♣✐è❣♥❡✱ ❇P ✷✵✺✷✾✱ ✻✵✷✵✺ ❈♦♠♣✐è❣♥❡

❈❡❞❡① ❋r❛♥❝❡

2

▲■❆▼❆✱ ❈◆❘❙✱ P❡❦✐♥❣ ❯♥✐✈❡rs✐t②✱ ❇❡✐❥✐♥❣✱ P✳❘✳ ❈❤✐♥❛

❆❜str❛❝t✳ ■♥ t❤✐s ♣❛♣❡r✱ ❛♥ ♦r✐❣✐♥❛❧ ❢r❛♠❡✇♦r❦ ❢♦r ❣r❛♠♠❛r✲❜❛s❡❞ ✐♠❛❣❡ ✉♥❞❡rst❛♥❞✐♥❣

❤❛♥❞❧✐♥❣ ✉♥❝❡rt❛✐♥t② ✐s ♣r❡s❡♥t❡❞✳ ❚❤❡ ♠❡t❤♦❞ t❛❦❡s ❛s ✐♥♣✉t ❛♥ ♦✈❡r✲s❡❣♠❡♥t❡❞ ✐♠❛❣❡✱ ❡✈❡r② s❡❣♠❡♥t ♦❢ ✇❤✐❝❤ ❤❛s ❜❡❡♥ ❛♥♥♦t❛t❡❞ ❞✉r✐♥❣ ❛ ✜rst st❛❣❡ ♦❢ ✐♠❛❣❡ ❝❧❛ss✐✜❝❛t✐♦♥✳ ▼♦r❡♦✈❡r✱

✇❡ ❛ss✉♠❡ t❤❛t ❢♦r ❡✈❡r② s❡❣♠❡♥t✱ t❤❡ ♦✉t♣✉t ❝❧❛ss ♠❛② ❜❡ ✉♥❝❡rt❛✐♥ ❛♥❞ r❡♣r❡s❡♥t❡❞ ❜② ❛

❜❡❧✐❡❢ ❢✉♥❝t✐♦♥ ♦✈❡r ❛❧❧ t❤❡ ♣♦ss✐❜❧❡ ❝❧❛ss❡s✳ Pr♦❞✉❝t✐♦♥ r✉❧❡s ❛r❡ ❛❧s♦ s✉♣♣♦s❡❞ t♦ ❜❡ ♣r♦✈✐❞❡❞

❜② ❡①♣❡rts t♦ ❞❡✜♥❡ t❤❡ ❞❡❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥ ♦❢ ❛ s❝❡♥❡ ✐♥t♦ ♦❜❥❡❝ts✱ ❛s ✇❡❧❧ ❛s t❤❡ ❞❡❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥

♦❢ ❡✈❡r② ♦❜❥❡❝t ✐♥t♦ ✐ts ❝♦♠♣♦♥❡♥ts✳ ❚❤❡ ♦r✐❣✐♥❛❧✐t② ♦❢ ♦✉r ❢r❛♠❡✇♦r❦ ✐s t♦ ♠❛❦❡ ✐t ♣♦ss✐❜❧❡

t♦ ❞❡❛❧ ✇✐t❤ ✉♥❝❡rt❛✐♥t② ✐♥ t❤❡ ❞❡❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥✱ ✇❤✐❝❤ ✐s ♣❛rt✐❝✉❧❛r❧② ✉s❡❢✉❧ ✇❤❡♥ t❤❡ r❡❧❛t✐✈❡

❢r❡q✉❡♥❝✐❡s ♦❢ t❤❡ ♣r♦❞✉❝t✐♦♥ r✉❧❡s ❝❛♥♥♦t ❜❡ ❡st✐♠❛t❡❞ ♣r♦♣❡r❧②✳ ❆s ✐♥ tr❛❞✐t✐♦♥❛❧ ✈✐s✉❛❧

❣r❛♠♠❛r ❛♣♣r♦❛❝❤❡s✱ t❤❡ ❣♦❛❧ ✐s t♦ ❜✉✐❧❞ t❤❡ ✏♣❛rs❡ ❣r❛♣❤✑ ♦❢ ❛ t❡st ✐♠❛❣❡✱ ✇❤✐❝❤ ✐s ✐ts

❤✐❡r❛r❝❤✐❝❛❧ ❞❡❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥ ❢r♦♠ t❤❡ s❝❡♥❡✱ t♦ ♦❜❥❡❝ts ❛♥❞ ♣❛rts ♦❢ ♦❜❥❡❝ts ✇❤✐❧❡ t❛❦✐♥❣ ✐♥t♦

❛❝❝♦✉♥t t❤❡ s♣❛t✐❛❧ ❧❛②♦✉t✳ ■♥ t❤✐s ♣❛♣❡r✱ ✇❡ s❤♦✇ t❤❛t t❤❡ ♣❛rs❡ ❣r❛♣❤ ♦❢ ❛♥ ✐♠❛❣❡ ❝❛♥ ❜❡

♠♦❞❡❧❧❡❞ ❛s ❛♥ ❡✈✐❞❡♥t✐❛❧ ♥❡t✇♦r❦✱ ❛♥❞ ✇❡ ❞❡t❛✐❧ ❛ ♠❡t❤♦❞ t♦ ❛♣♣❧② ❛ ❜♦tt♦♠✲✉♣ ✐♥❢❡r❡♥❝❡

✐♥ t❤✐s ♥❡t✇♦r❦✳ ❆ ❝♦♥s✐st❡♥❝② ❝r✐t❡r✐♦♥ ✐s ❞❡✜♥❡❞ ❢♦r ❛♥② ♣❛rs❡ tr❡❡✱ ❛♥❞ t❤❡ s❡❛r❝❤ ♦❢ t❤❡

♦♣t✐♠❛❧ ✐♥t❡r♣r❡t❛t✐♦♥ ♦❢ ❛♥ ✐♠❛❣❡ ❢♦r♠✉❧❛t❡❞ ❛s ❛♥ ♦♣t✐♠✐③❛t✐♦♥ ♣r♦❜❧❡♠✳ ❚❤❡ ✇♦r❦ ✇❛s

✈❛❧✐❞❛t❡❞ ♦♥ r❡❛❧ ❛♥❞ ♣✉❜❧✐❝❧② ❛✈❛✐❧❛❜❧❡ ✉r❜❛♥ ❞r✐✈✐♥❣ s❝❡♥❡ ❞❛t❛✳

❑❡②✇♦r❞s✿ ❱✐s✉❛❧ ❣r❛♠♠❛rs❀ ❇❡❧✐❡❢ ❢✉♥❝t✐♦♥s❀ ■♠❛❣❡ ✉♥❞❡rst❛♥❞✐♥❣

✶ ■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥

❆✉t♦♠❛t✐❝ ✉♥❞❡rst❛♥❞✐♥❣ ♦❢ t❤❡ tr❛✣❝ s❝❡♥❡ ✐♥ ❢r♦♥t ♦❢ ❛ ❝❛r ✐s ❛♥ ❡ss❡♥t✐❛❧ t❛s❦ ❢♦r ❛✉t♦♥♦♠♦✉s

❞r✐✈✐♥❣✱ ❛s ✇❡❧❧ ❛s ❢♦r s❛❢❡t② s②st❡♠s✳ ●❡♥❡r❛❧❧② s♣❡❛❦✐♥❣✱ ❜② ✏✉♥❞❡rst❛♥❞✐♥❣✑ ✇❡ ♠❡❛♥ ❞❡t❡❝t✐♥❣

t❤❡ ♦❜❥❡❝ts ✐♥ t❤❡ ✐♠❛❣❡ ❛♥❞ ❡✈❡♥t✉❛❧❧② ❞❡s❝r✐❜✐♥❣ s♦♠❡ s♣❛t✐❛❧ ♦r ❢✉♥❝t✐♦♥❛❧ r❡❧❛t✐♦♥s❤✐♣s ❜❡t✇❡❡♥

t❤❡♠✳ ❍♦✇❡✈❡r✱ ❞❡t❡❝t✐♥❣ ❡✈❡♥ ❛ s✐♥❣❧❡ ❦✐♥❞ ♦❢ ♦❜❥❡❝t ❝❛♥ ❜❡ ✈❡r② ❝❤❛❧❧❡♥❣✐♥❣ s✐♥❝❡ t❤❡ ✈❛r②✐♥❣

❧✐❣❤t✐♥❣ ❝♦♥❞✐t✐♦♥s✱ t❤❡ ❤✐❣❤❧② ❝❧✉tt❡r❡❞ ❡♥✈✐r♦♥♠❡♥t✱ t❤❡ ❞②♥❛♠✐❝❛❧❧② ❝❤❛♥❣✐♥❣ ❜❛❝❦❣r♦✉♥❞s ❛♠♦♥❣

♠❛♥② ♦t❤❡rs ❝♦♥tr✐❜✉t❡ t♦ t❤❡ ❞✐✣❝✉❧t② ♦❢ t❤❡ t❛s❦✳ ▼❛♥② ❛❧❣♦r✐t❤♠s ❤❛✈❡ ❜❡❡♥ ❞❡✈❡❧♦♣❡❞ ✇❤✐❝❤

❛r❡ s♣❡❝✐❛❧✐③❡❞ ❢♦r ♦♥❡ ♦❢ t❤❡s❡ ❞❡t❡❝t✐♦♥ s✉❜t❛s❦s ❛♥❞ ❡❛❝❤ ♦❢ t❤❡♠ ❝❛♥ ✉s❡ ❞✐✛❡r❡♥t ❦✐♥❞s ♦❢

s❡♥s♦rs✳ ❍♦✇❡✈❡r✱ ❡✈❡♥ t❤❡ ♠♦st ❝♦♠♣❡t✐t✐✈❡ st❛t❡✲♦❢✲t❤❡✲❛rt ❞❡t❡❝t✐♦♥ ♠♦❞✉❧❡s ❛r❡ s♦✉r❝❡s ♦❢ ❢❛❧s❡

❞❡t❡❝t✐♦♥s✱ ❛s ✇❡❧❧ ❛s ♠✐s❞❡t❡❝t✐♦♥s ✭♣❡❞❡str✐❛♥ ❞❡t❡❝t✐♦♥ ❢♦r ❡①❛♠♣❧❡✮✳ ❇② ♠♦❞❡❧❧✐♥❣ t❤❡ ❝♦♥s✐st❡♥❝②

♦❢ t❤❡ r❡❧❛t✐✈❡ ♣♦s✐t✐♦♥s ♦❢ t❤❡ ♦❜❥❡❝ts ✇✐t❤ r❡s♣❡❝t t♦ t❤❡ s❝❡♥❡✱ ✐t ✐s ♣♦ss✐❜❧❡ t♦ str❡♥❣t❤❡♥ ✇❡❛❦

❞❡t❡❝t✐♦♥ ✇❤✐❧❡ ♣r✉♥✐♥❣ s♦♠❡ ❢❛❧s❡ ❞❡t❡❝t✐♦♥s✳ ❋♦r ❜❡tt❡r r❡s✉❧ts✱ t❤❡s❡ ♣♦st✲♣r♦❝❡ss✐♥❣ ♠❡t❤♦❞s s❤♦✉❧❞ t❛❦❡ ✐♥t♦ ❛❝❝♦✉♥t t❤❡ ✉♥❝❡rt❛✐♥t② ♦❢ ❝❧❛ss✐✜❝❛t✐♦♥ ♦✉t♣✉ts ♣r♦✈✐❞❡❞ ❜② ❞✐✛❡r❡♥t ✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥t

♠♦❞✉❧❡s✱ ✇❤✐❝❤ ✐s ♣♦ss✐❜❧❡ ✉s✐♥❣ t❤❡ ❉❡♠♣st❡r✲❙❤❛❢❡r t❤❡♦r② ❬✾❪✳ ■♥❞❡❡❞✱ t❤✐s t❤❡♦r② ♣r♦✈✐❞❡s ❛♥

❡❧❡❣❛♥t ❢♦r♠❛❧✐③❛t✐♦♥ ♦❢ ✉♥❝❡rt❛✐♥t② ❛♥❞ t❤❡ ❉❡♠♣st❡r✬s ❝♦♠❜✐♥❛t✐♦♥ r✉❧❡ ✐s ❛♥ ❡✣❝✐❡♥t ✇❛② t♦ ❢✉s❡

✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ✐♥ ❛ ♠✉❧t✐✲s❡♥s♦r ❝♦♥t❡①t✳ ❚❤❡ ❝r✐t✐❝❛❧ ❣♦❛❧ ✇❤✐❝❤ ✐s ❛❞❞r❡ss❡❞ ✐♥ t❤✐s ♣❛♣❡r ✐s t❤✉s t♦

❞❡✜♥❡ ❛ ♣r❡❝✐s❡ ❢r❛♠❡✇♦r❦ t♦ ♠♦❞❡❧ t❤❡ ❝♦♥s✐st❡♥❝② ♦❢ ❛ s❝❡♥❡ ✇❤✐❧❡ ❤❛♥❞❧✐♥❣ t❤❡ ✉♥❝❡rt❛✐♥t② ♦♥

t❤❡ ❝❧❛ss ♦❢ ❞❡t❡❝t❡❞ ♦❜❥❡❝ts✳

✶✳✶ ❘❡❧❛t❡❞ ❲♦r❦

❙❝❡♥❡ ✉♥❞❡rst❛♥❞✐♥❣ ✐s ♦♥❡ ♦❢ t❤❡ ♠❛✐♥ ❣♦❛❧s ✐♥ ❝♦♠♣✉t❡r ✈✐s✐♦♥ ❛♥❞ r♦❜♦t✐❝s✳ ■♥ t❤❡ ❧❛st ❞❡❝❛❞❡✱

t❤❡ ❛❝❝✉r❛❝② ♦❢ ♦❜❥❡❝t ❞❡t❡❝t✐♦♥ ♠❡t❤♦❞s ❤❛s ✐♥❝r❡❛s❡❞ s✉❜st❛♥t✐❛❧❧②✳ ❖♥ ✉r❜❛♥ s❝❡♥❡s✱ ❊ss ❡t ❛❧✳

❬✸❪ ❛♥❞ ●❛✈r✐❧❛ ❡t ❛❧✳ ❬✺❪ ❤❛✈❡ s✉❝❝❡ss❢✉❧❧② ❝♦♠❜✐♥❡❞ ❛ s❡t ♦❢ ✈✐s✉❛❧ ❝✉❡s ❡①tr❛❝t❡❞ ❢r♦♠ ❛ st❡r❡♦

❝❛♠❡r❛ ❢♦r ♣❡❞❡str✐❛♥ ❞❡t❡❝t✐♦♥ ✐♥ r❡❛❧ t✐♠❡✳ ▼♦r❡ r❡❝❡♥t ❛♣♣r♦❛❝❤❡s tr② t♦ ❛♥♥♦t❛t❡ ❡✈❡r② ♣✐①❡❧s

♦❢ t❤❡ ✐♠❛❣❡ ✇✐t❤ s❡♠❛♥t✐❝ ❝❛t❡❣♦r✐❡s✿ ❊ss ❡t ❛❧ ❬✹❪ ✉s❡ t❡①t✉r❛❧ ❢❡❛t✉r❡s ❛s ✇❡❧❧ ❛s s♦♠❡ ❣❡♦♠❡tr✐❝

✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ t♦ tr❛✐♥ ❛ s❡t ♦❢ ❝❧❛ss✐✜❡rs ✐♥ ♦♥❡ ✈❡rs✉s ❛❧❧ ♦♥ s♠❛❧❧ ♣❛t❝❤❡s ♦❢ t❤❡ ✐♠❛❣❡✳ ❙♦♠❡ t❡♠♣♦r❛❧

s♠♦♦t❤✐♥❣ ✐s t❤❡♥ ❛♣♣❧✐❡❞ ❛s ❛ ♣♦st✲♣r♦❝❡ss✐♥❣ ❜✉t t❤❡ ❛♥♥♦t❛t✐♦♥ ✐s ♣✉r❡❧② ❧♦❝❛❧✳ ❲♦❥❡❦ ❡t ❛❧ ❬✶✵❪

❡①♣❧♦✐t t❤❡ s❝❡♥❡ ❧❛②♦✉t ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ❛t ❛ ❢✉rt❤❡r ❡①t❡♥t ✉s✐♥❣ ❥♦✐♥t ♦❜❥❡❝t ❞❡t❡❝t✐♦♥ t♦ ♣❡r❢♦r♠ t❤❡

s❡❣♠❡♥t❛t✐♦♥❀ t❤❡ ♠♦❞❡❧ ✐♥❝❧✉❞❡s s♦♠❡ ❝♦♥s✐st❡♥❝② ❝❧✉❡s ❛❜♦✉t t❤❡ s♣❛t✐❛❧ r❡❧❛t✐♦♥s❤✐♣s ❜❡t✇❡❡♥

t❤❡ ♦❜❥❡❝ts ✭t❤❡ ❞✐st❛♥❝❡ ❜❡t✇❡❡♥ ♣❡❞❡str✐❛♥s ❛♥❞ t❤❡ ❣r♦✉♥❞ ❢♦r ❡①❛♠♣❧❡✮✳

▼♦r❡ ❣❡♥❡r❛❧❧②✱ ❛♥ ❡✣❝✐❡♥t ✇❛② t♦ t❛❦❡ ✐♥t♦ ❛❝❝♦✉♥t s♣❛t✐❛❧ ❛♥❞ ❢✉♥❝t✐♦♥❛❧ r❡❧❛t✐♦♥s❤✐♣s ❜❡t✇❡❡♥

t❤❡ ♦❜❥❡❝ts ✐s t❤❡ ✉s❡ ♦❢ ♦♥t♦❧♦❣✐❡s ❬✶❪✱ ✇❤✐❝❤ ✐s t❤❡ ❢♦r♠❛❧ r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥ ♦❢ ❝♦♥❝❡♣ts ❢♦r ❛ ♣❛rt✐❝✲

✉❧❛r ❞♦♠❛✐♥ ❛♥❞ t❤❡✐r s❡♠❛♥t✐❝ r❡❧❛t✐♦♥s❤✐♣s✳ ❚❤❡ ▲✐t❡r❛t✉r❡ ♦♥ ❝♦♠♣✉t❡r ✈✐s✐♦♥ ♣r♦✈✐❞❡s s❡✈❡r❛❧

r❡❢❡r❡♥❝❡s ❛❜♦✉t ♦♥t♦❧♦❣② ❛♣♣❧✐❝❛t✐♦♥ ♦♥ ✈❛r✐♦✉s t②♣❡s ♦❢ ❞❛t❛❜❛s❡s✱ ❡✳❣✳✱ ♦♥ t❤❡ P❆❙❈❆▲ ❝❤❛❧❧❡♥❣❡

❞❛t❛❜❛s❡ ✉s✐♥❣ ❲♦r❞◆❡t s❡♠❛♥t✐❝ ♥❡t✇♦r❦ ❬✽❪ ♦r ♦♥ tr❛✣❝ s❝❡♥❡s ❬✶❪ ✇❤❡r❡ ❇r❡❤❛r ✉s❡s t❤❡ ♦♣❡♥❈②❝

♦♥t♦❧♦❣②✳ ❚❤❡ s❡♠❛♥t✐❝ ❤✐❡r❛r❝❤② ♣r♦✈✐❞❡❞ ❜② ♦♥t♦❧♦❣✐❡s ❧✐❦❡ ❲♦r❞◆❡t ♦r ♦♣❡♥❈②❝ ✐s ✉s❡❢✉❧ t♦ s❤❡❞

❧✐❣❤t ♦♥ ✐♥t❡r✲❝❧❛ss r❡❧❛t✐♦♥s ❜❡t✇❡❡♥ ✈✐s✉❛❧ ❡❧❡♠❡♥ts✳ ❍♦✇❡✈❡r✱ ✇❡ ❜❡❧✐❡✈❡ ✐t ✐s ♥♦t s✉✣❝✐❡♥t ❢♦r

♠♦❞❡❧❧✐♥❣ s②♠❜♦❧✐❝ r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥ ♦❢ ❛ ✈✐s✉❛❧ s②st❡♠ s✐♥❝❡ ✐t ❞♦❡s ♥♦t ❛❝❝♦✉♥t ❢♦r s♦♠❡ ✐♠♣♦rt❛♥t

❛s♣❡❝ts ♦❢ s❡♠❛♥t✐❝ r❡❧❛t✐♦♥s s✉❝❤ ❛s s♣❛t✐❛❧ ❛♥❞ ❢✉♥❝t✐♦♥❛❧ r❡❧❛t✐♦♥s❤✐♣s✳ ■♥ ❬✶✸❪✱ ❛♥❞✴♦r ❣r❛♣❤s

❛r❡ ✉s❡❞ t♦ r❡♣r❡s❡♥t t❤❡ ❞❡❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥ ♦❢ s❝❡♥❡s ✐♥t♦ ♦❜❥❡❝ts✱ ♣❛rts ❛♥❞ ❧♦✇✲❧❡✈❡❧ ♣❛tt❡r♥s ❝❛❧❧❡❞

✏♣r✐♠✐t✐✈❡s✑✳ ❚❤✐s ❣r❛♣❤ ✐s s❡t ✐♥ r❡❧❛t✐♦♥ ✇✐t❤ ❛ ✈✐s✉❛❧ ❣r❛♠♠❛r✱ ✇❤✐❝❤ ✐s ❛ s❡t ♦❢ ❞❡r✐✈❛t✐♦♥ r✉❧❡s✳

❇② ❛✉❣♠❡♥t✐♥❣ t❤❡s❡ r✉❧❡s ✇✐t❤ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t✐❡s✱ ❛ st♦❝❤❛st✐❝ ♠♦❞❡❧ ✐s ❞❡✜♥❡❞ ✇❤✐❝❤ ✐s tr❛✐♥❡❞ ❛♥❞

t❤❡♥ ✉s❡❞ t♦ ❝♦♠♣✉t❡ t❤❡ ♣❛rs✐♥❣ ❣r❛♣❤ ♦❢ ❛ t❡st ✐♠❛❣❡ ✉♥❞❡r t❤❡ ❇❛②❡s✐❛♥ ♣♦st❡r✐♦r✳ ■♠♣r❡ss✐✈❡

r❡s✉❧ts ❤❛✈❡ ❜❡❡♥ ❛❝❤✐❡✈❡❞ ♦♥ ✈❛r✐♦✉s ❞❛t❛s❡ts ❝♦♥t❛✐♥✐♥❣ ❛ ❧❛r❣❡ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ♦❜❥❡❝t ❝❛t❡❣♦r✐❡s ❬✶✷❪✳

❚❤❡ str♦♥❣ ❛❞✈❛♥t❛❣❡ ♦❢ ✈✐s✉❛❧ ❣r❛♠♠❛rs ♦✈❡r ❞✐s❝r✐♠✐♥❛t✐✈❡ ♠❛❝❤✐♥❡ ❧❡❛r♥✐♥❣ ♠❡t❤♦❞s ✐s t❤❡✐r

❣❡♥❡r❛❧✐③❛t✐♦♥ ❝❛♣❛❜✐❧✐t②✿ ♣❛rts ♦❢ ♦❜❥❡❝ts ❝❛♥ ❜❡ ❧❡❛r♥t ✇✐t❤ ❛ r❡❧❛t✐✈❡❧② s♠❛❧❧ ❛♠♦✉♥t ♦❢ tr❛✐♥✐♥❣

❞❛t❛ ❛♥❞ ❝❛♥ ❜❡ ✉s❡❞ t♦ r❡❝♦❣♥✐③❡ ❛ ❧❛r❣❡ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ❝♦♥✜❣✉r❛t✐♦♥s✱ t❤❡② ❛❧s♦ ♣r♦✈✐❞❡ ❡❧❡❣❛♥t ❛♥❞

❡✣❝✐❡♥t ✇❛②s t♦ s♦❧✈❡ ♣r♦❜❧❡♠s ❧✐❦❡ ♦❝❝❧✉s✐♦♥s ❛♥❞ s❝❛❧❡✳

✶✳✷ ❈♦♥tr✐❜✉t✐♦♥s

❱✐s✉❛❧ ❣r❛♠♠❛rs t❛❦❡ ❛s ✐♥♣✉t ❛ s❡t ♦❢ ✈✐s✉❛❧ ♣r✐♠✐t✐✈❡s ✭t❡①t✉r❡✱ ❝♦r♥❡rs✱ ❝♦❧♦r ❤✐st♦❣r❛♠s ✳✳✳✮

❡①tr❛❝t❡❞ ❢r♦♠ t❤❡ ✐♠❛❣❡ ❞✉r✐♥❣ ❛ ✜rst st❡♣ ♦❢ ✐♠❛❣❡ ♣r♦❝❡ss✐♥❣✳ ❊❛❝❤ ♦♥❡ ♦❢ t❤❡s❡ ♣r✐♠✐t✐✈❡s

♣r♦✈✐❞❡s ❜② ✐ts❡❧❢ r❛t❤❡r ♣♦♦r ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ❛❜♦✉t t❤❡ ❝❧❛ss ♦❢ t❤❡ ❛r❡❛ ✐t ❝♦✈❡rs✱ ❜✉t t❤❡r❡ ✐s ♥♦ ❞♦✉❜t

❛❜♦✉t ✐ts ✈❛❧✉❡✳ ■♥ t❤✐s ♣❛♣❡r✱ ✇❡ ✇✐❧❧ s❤♦✇ ❤♦✇ ✐t ✐s ♣♦ss✐❜❧❡ t♦ ❡①t❡♥❞ t❤❡ ✈✐s✉❛❧ ❣r❛♠♠❛r ❛♣♣r♦❛❝❤

t♦ t❤❡ ❝❛s❡ ✇❤❡r❡ t❤❡ ✐♥♣✉t ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ✐s ✉♥❝❡rt❛✐♥✳ ❚❤❡ ❜❡❧✐❡❢ ❢✉♥❝t✐♦♥ t❤❡♦r② ♠❛❦❡s ✐t ♣♦ss✐❜❧❡ t♦

❞❡❛❧ ✇✐t❤ t❤✐s s✐t✉❛t✐♦♥✿ ❡✈❡r② ✐♥♣✉t ♦❢ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ❛ss♦❝✐❛t❡❞ t♦ ❛ ♣❛rt ♦❢ t❤❡ ✐♠❛❣❡ ✇❤✐❝❤ ✇✐❧❧ ❜❡

❞❡✜♥❡❞ ❛s ❛ ❜❡❧✐❡❢ ❢✉♥❝t✐♦♥✳ ❚❤✐s ❛♣♣r♦❛❝❤ ❝❛♥ ❜❡ ❡s♣❡❝✐❛❧❧② ✐♥t❡r❡st✐♥❣ ✐♥ t❤❡ ♠✉❧t✐♠♦❞❛❧ ❝❛s❡ ✇❤❡r❡

♠♦❞✉❧❡s ✉s✐♥❣ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ✐♥❝♦♠✐♥❣ ❢r♦♠ s❡✈❡r❛❧ s❡♥s♦rs ❝❛♥ ❡①tr❛❝t ✏❤✐❣❤❡r✲❧❡✈❡❧✑ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ t❤❛♥

tr❛❞✐t✐♦♥❛❧ ✈✐s✉❛❧ ♣r✐♠✐t✐✈❡s✿ ♣❛rts ♦❢ ♦❜❥❡❝ts ❝❛♥ ✐♥❞❡❡❞ ❜❡ ❞❡t❡❝t❡❞✱ ♦r ❡✈❡♥ ♦❜❥❡❝ts t❤❡♠s❡❧✈❡s✳

❚❤✐s ❝❧❛ss✐✜❝❛t✐♦♥ r❡s✉❧t ❝❛♥ ❜❡ t❛❦❡♥ ❛s ✐♥♣✉t t♦ ♦✉r ✈✐s✉❛❧ ❣r❛♠♠❛r ♠❡t❤♦❞✱ ❜✉t t❤❡ ✉♥❝❡rt❛✐♥t②

♦❢ t❤✐s ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ❤❛s t♦ ❜❡ t❛❦❡♥ ✐♥t♦ ❛❝❝♦✉♥t ❛s ❛ ♠♦❞✉❧❡ ♠❛② ❞❡t❡❝t ❛♥ ♦❜❥❡❝t ✇✐t❤ ❛ ❣✐✈❡♥

❝♦♥✜❞❡♥❝❡ ❞❡❣r❡❡✱ ♦r ♠❛② ♥♦t ❜❡ ❛❜❧❡ t♦ ❞✐s❝r✐♠✐♥❛t❡ ❜❡t✇❡❡♥ ❞✐✛❡r❡♥t ❝❧❛ss❡s ✭❛ ❣❡♥❡r❛❧ ♦❜st❛❝❧❡

❞❡t❡❝t♦r ❝❛♥♥♦t ❞✐st✐♥❣✉✐s❤ ❛ ✈❡❤✐❝❧❡ ❢r♦♠ ❛ ♣❡❞❡str✐❛♥✮✳ ❲❡ ❛❧s♦ ♣r♦♣♦s❡ ❛ ✇❛② t♦ ❞❡❛❧ ✇✐t❤ ❛♥♦t❤❡r

❦✐♥❞ ♦❢ ✉♥❝❡rt❛✐♥t②✱ ✇❤✐❝❤ ✐s ✉♥❝❡rt❛✐♥t② ✐♥ t❤❡ ♣r♦❞✉❝t✐♦♥ r✉❧❡s✳ ❲❤❡♥ t❤❡ r❡❧❛t✐✈❡ ❢r❡q✉❡♥❝✐❡s ♦❢

♦❝❝✉rr❡♥❝❡ ♦❢ ❞✐✛❡r❡♥t ♣r♦❞✉❝t✐♦♥ r✉❧❡s ❛r❡ ✉♥❦♥♦✇♥✱ r❡✇r✐t✐♥❣ t❤❡ ♣r♦❞✉❝t✐♦♥ r✉❧❡s ❛s ❝♦♥❞✐t✐♦♥❛❧

❜❡❧✐❡❢ ❢✉♥❝t✐♦♥ ❛❧❧♦✇s ✉s ♥♦t t♦ ❛❞❞ ❛rt✐✜❝✐❛❧ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ✐♥ t❤❡ ♠♦❞❡❧✳ ■♥ ❜r✐❡❢✱ ♦✉r ✇♦r❦ ✐s ❛t t❤❡

✐♥t❡rs❡❝t✐♦♥ ♦❢ t✇♦ ♣r♦♠✐s✐♥❣ ❛♣♣r♦❛❝❤❡s✿ ✈✐s✉❛❧ ❣r❛♠♠❛rs ❛♥❞ ❜❡❧✐❡❢ ❢✉♥❝t✐♦♥s✳ ❚♦ ♦✉r ❦♥♦✇❧❡❞❣❡✱

♥♦ ✇♦r❦ ❤❛s ②❡t ❢♦❝✉s❡❞ ♦♥ t❤❡ ♣♦ss✐❜✐❧✐t② t♦ ♠❛t❝❤ t❤❡s❡ t✇♦ t❤❡♦r✐❡s✳

✶✳✸ ❖✈❡r✈✐❡✇

❚❤❡ s②st❡♠ ❝♦♥s✐❞❡r❡❞ ❤❡r❡ ❝♦♥s✐sts ♦❢ s❡✈❡r❛❧ s❡♥s♦rs✱ ❧✐❦❡ ♠♦♥♦ ♦r st❡r❡♦ ❝❛♠❡r❛s ❛♥❞ ❧❛s❡r s❡♥s♦rs✱

♦❜s❡r✈✐♥❣ ❛♥ ✉r❜❛♥ ❞r✐✈✐♥❣ s❝❡♥❡✳ ■♠❛❣❡s ❛r❡ ♦✈❡r✲s❡❣♠❡♥t❡❞ ❛♥❞ t❤❡♥ ♣r♦❝❡ss❡❞ ❛t t❤❡ ❧❡✈❡❧ ♦❢

❡♥t✐r❡ s❡❣♠❡♥ts r❛t❤❡r t❤❛♥ s✐♥❣❧❡ ♣✐①❡❧s✳ ❊❛❝❤ s❡♥s♦r ♣r♦✈✐❞❡s ❞❛t❛ t♦ ♦♥❡ ♦r ♠♦r❡ ♠♦❞✉❧❡s ✇❤✐❝❤

✇✐❧❧ r✉♥ t♦t❛❧❧② ♦r ♣❛rt✐❛❧❧② ✐♥ ♣❛r❛❧❧❡❧ ❛♥❞ ❛ss✐❣♥ ❛ ❜❡❧✐❡❢ ❢✉♥❝t✐♦♥ ❛❜♦✉t t❤❡ ❝❧❛ss ❧❛❜❡❧ ♦❢ t❤❡ ✐♠❛❣❡

s❡❣♠❡♥ts✳ ❚❤❡ ♦✉t♣✉t ❜❡❧✐❡❢ ❢✉♥❝t✐♦♥s ❢r♦♠ ❞✐✛❡r❡♥t ♠♦❞✉❧❡s ❛r❡ t❤❡♥ ❢✉s❡❞ ♦♥ ❡✈❡r② s❡❣♠❡♥t ✉s✐♥❣

t❤❡ ❉❡♠♣st❡r✬s r✉❧❡ ♦❢ ❝♦♠❜✐♥❛t✐♦♥ ❬✶✶❪ ✭❝❢ ❋✐❣ ✶✮✳ ■♥ t❤✐s ❛rt✐❝❧❡✱ ✇❡ ❛✉❣♠❡♥t t❤✐s ✏❧♦❝❛❧✑ ❢✉s✐♦♥

♣r♦❝❡ss ✇✐t❤ ❛ ✏❣❧♦❜❛❧✑ ❢✉s✐♦♥ st❡♣ ❜② ♠❡r❣✐♥❣ t❤❡ s❡❣♠❡♥ts ✐♥t♦ ❧❛r❣❡r r❡❣✐♦♥s ✉s✐♥❣ ♣r❡❞❡✜♥❡❞

❝♦♠❜✐♥❛t✐♦♥ r✉❧❡s✳ ❚❤✐s ❝❛♥ ❛❝❤✐❡✈❡ t✇♦ ♠❛✐♥ ❣♦❛❧s✿ ❞✐s❛♠❜✐❣✉❛t❡ t❤❡ ❜❡❧✐❡❢ ♦♥❡ ❤❛s ♦♥ t❤❡ s❡❣♠❡♥ts

❜② ❛❞❞✐♥❣ ❝♦♥t❡①t ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥✱ ❛♥❞ ✐♥❢❡r ❝♦♠♣❧❡① ♦❜❥❡❝ts ❜② ❝♦♠❜✐♥✐♥❣ s♠❛❧❧ r❡❣✐♦♥s ❝♦rr❡s♣♦♥❞✐♥❣

t♦ ♣❛rts ♦❢ t❤❡s❡ ♦❜❥❡❝ts✳

❲❡ ✇✐❧❧ s❤♦✇ ✐♥ ❙❡❝t✐♦♥ ✹ ❤♦✇ t♦ ♣r♦♣❛❣❛t❡ t❤❡ ❜❡❧✐❡❢ ❢✉♥❝t✐♦♥s ❢r♦♠ t❤❡ s❡❣♠❡♥t ❧❡✈❡❧ t♦

t❤❡ r❡❣✐♦♥ ❛♥❞ s❝❡♥❡ ❧❡✈❡❧s✳ ❲❡ ✇✐❧❧ t❤❡♥ ❞❡✜♥❡ ❛ ❝r✐t❡r✐♦♥ ✇❤✐❝❤ ♠❛❦❡s ✐t ♣♦ss✐❜❧❡ t♦ r❛♥❦ ❛❧❧

t❤❡ ♣♦ss✐❜❧❡ ♣❛rs❡ tr❡❡s ❢♦r ❛ ❣✐✈❡♥ ✐♥♣✉t ✐♠❛❣❡✳ ❚❤❡ ✉♥❞❡rst❛♥❞✐♥❣ ♣r♦❝❡ss ✐s t❤✉s ❞❡✜♥❡❞ ❛s t❤❡

s❡❛r❝❤ ❢♦r t❤❡ ♣❛rs❡ tr❡❡ ♠✐♥✐♠✐③✐♥❣ t❤✐s ❝r✐t❡r✐♦♥✳ ❲❡ ✇✐❧❧ t❤❡♥ ♣r❡s❡♥t ❛ ❢❛st ♦♣t✐♠✐③❛t✐♦♥ ❛❧❣♦r✐t❤♠

✐♠♣❧❡♠❡♥t❛t✐♦♥ ♦❢ t❤✐s r❡s❡❛r❝❤✳ ❲❡ ❝❛❧❧ t❤✐s ❛♣♣r♦❛❝❤ ❛ ✏❢r❛♠❡✇♦r❦✑ s✐♥❝❡ ✐t ❝❛♥ ❜❡ ✉s❡❞ ❢♦r ❛♥② s❡t ♦❢ ❞❡r✐✈❛t✐♦♥ r✉❧❡s✱ s♣❛t✐❛❧ r❡❧❛t✐♦♥s❤✐♣s ❛♥❞ ❧❛❜❡❧s✳ ❚♦ ❛♣♣❧② t❤❡ ❡✈✐❞❡♥t✐❛❧ ❣r❛♠♠❛r✱ t❤❡② ❤❛✈❡

t♦ ❜❡ ✐♥st❛♥t✐❛t❡❞✳ ❊①♣❡r✐♠❡♥t❛❧ ✈❛❧✐❞❛t✐♦♥ ✐s ♣r❡s❡♥t❡❞ ✐♥ ❙❡❝t✐♦♥ ✻✱ ✉s✐♥❣ t❤❡ ♣✉❜❧✐❝❧② ❛✈❛✐❧❛❜❧❡

❑■❚❚■ ❱✐s✐♦♥ ❇❡♥❝❤♠❛r❦ ❙✉✐t❡ ❬✻❪✳

✭❛✮ ✭❜✮

❋✐❣✳ ✶✳ ✭❛✮ ●❧♦❜❛❧ ❛r❝❤✐t❡❝t✉r❡ ♦❢ t❤❡ s②st❡♠✳ ❚❤❡ ❛♣♣r♦❛❝❤ ♣r❡s❡♥t❡❞ ✐♥ t❤✐s ❛rt✐❝❧❡ ❝♦rr❡s♣♦♥❞s t♦ t❤❡

✏❣❧♦❜❛❧ ❢✉s✐♦♥ ♠♦❞✉❧❡✑ ❛t t❤❡ t♦♣ ♦❢ t❤✐s str✉❝t✉r❡✳ ✭❜✮ ❊①❛♠♣❧❡ ♦❢ ❛♥ ♦✈❡rs❡❣♠❡♥t❡❞ ✐♠❛❣❡

✷ ❊✈✐❞❡♥t✐❛❧ ❣r❛♠♠❛rs

✷✳✶ ❋♦r♠❛❧ ❣r❛♠♠❛rs ❛♥❞ st♦❝❤❛st✐❝ ❣r❛♠♠❛rs

❚❤❡ ♠♦❞❡r♥ ❢♦r♠❛❧✐③❛t✐♦♥ ♦❢ ❣r❛♠♠❛rs ❝❛♥ ❜❡ ❛ttr✐❜✉t❡❞ t♦ ❈❤♦♠s❦② ❬✷❪✳ ❆ ❣r❛♠♠❛r ✐s ❞❡✜♥❡❞ ❛s

❛ ✹✲t✉♣❧❡ {V

, V

, S, Γ } ✇❤❡r❡ V

✐s ❛ ✜♥✐t❡ s❡t ♦❢ ♥♦♥✲t❡r♠✐♥❛❧ ♥♦❞❡s✱ V

❛ ✜♥✐t❡ s❡t ♦❢ t❡r♠✐♥❛❧

♥♦❞❡s✱ S ❛ st❛rt s②♠❜♦❧ ❛t t❤❡ r♦♦t✱ ❛♥❞ Γ ✐s ❛ s❡t ♦❢ ♣r♦❞✉❝t✐♦♥ ✭♦r ❞❡r✐✈❛t✐♦♥✮ r✉❧❡s✳ ❆ ♣r♦❞✉❝t✐♦♥

r✉❧❡ γ ∈ Γ ❝❤❛♥❣❡s ❛ str✐♥❣ ♦❢ s②♠❜♦❧s ✭❝♦♥t❛✐♥✐♥❣ ❛t ❧❡❛st ♦♥❡ ♥♦♥✲t❡r♠✐♥❛❧ s②♠❜♦❧✮ ✐♥t♦ ❛♥♦t❤❡r str✐♥❣ ♦❢ s②♠❜♦❧s✳ ❚❤❡ ♣r♦❞✉❝t✐♦♥ ♣r♦❝❡ss st❛rts ✇✐t❤ t❤❡ S s②♠❜♦❧ ❛♥❞ st♦♣s ✇❤❡♥ t❤❡ str✐♥❣ ✐s

❝♦♠♣♦s❡❞ ♦♥❧② ♦❢ t❡r♠✐♥❛❧ s②♠❜♦❧s✳ ❚❤❡ s❡t ♦❢ ❛❧❧ t❤❡ ♣♦ss✐❜❧❡ str✐♥❣s ✇❤✐❝❤ ❝❛♥ ❜❡ ♣r♦❞✉❝❡❞ ❜②

❛ ❣r❛♠♠❛r ✐s ❝❛❧❧❡❞ ❛ ❧❛♥❣✉❛❣❡✳ ❚❤❡ str❡♥❣t❤ ♦❢ ❧❛♥❣✉❛❣❡ ❣r❛♠♠❛rs ❧✐❡s ✐♥ t❤❡ ❢❛❝t t❤❡ ❧❛♥❣✉❛❣❡

❣❡♥❡r❛t❡❞ ❜② ❛ ❣r❛♠♠❛r ❝❛♥ ❜❡ ❧❛r❣❡ ❡✈❡♥ ✇❤❡♥ t❤❡ ✈♦❝❛❜✉❧❛r②✱ t❤❛t ✐s t♦ s❛② V

❛♥❞ V

❝♦♥t❛✐♥

❢❡✇ ❡❧❡♠❡♥ts✳

❚♦ ❞❡❛❧ ✇✐t❤ r❡❛❧ ❞❛t❛✱ ✇❤✐❝❤ ♠❛② ✐♥❝❧✉❞❡ ❛ ❧❛r❣❡ ❛♠♦✉♥t ♦❢ ✐rr❡❣✉❧❛r ♣❛tt❡r♥s✱ ❛ ❣r❛♠♠❛r s❤♦✉❧❞

❝♦♥t❛✐♥ ❛ s✉❜st❛♥t✐❛❧ ❛♠♦✉♥t ♦❢ ❞❡r✐✈❛t✐♦♥ r✉❧❡s t♦ ❡♥s✉r❡ t❤❛t ❛t ❧❡❛st ♦♥❡ s❡q✉❡♥❝❡ ❣❡♥❡r❛t❡s t❤❡ t❡r♠✐♥❛❧ s②♠❜♦❧s ✇❤✐❝❤ ❛r❡ ❡①tr❛❝t❡❞ ✐♥ t❤❡ ❞❛t❛✳ ❲❤❡♥ s❡✈❡r❛❧ ♣♦ss✐❜❧❡ s❡q✉❡♥❝❡s ♦❢ r✉❧❡s

❝❛♥ ❣❡♥❡r❛t❡ t❤❡ t❡r♠✐♥❛❧ s②♠❜♦❧s✱ t❤❡ ❣r❛♠♠❛r ✐s s❛✐❞ t♦ ❜❡ ❛♠❜✐❣✉♦✉s✳ ❚♦ r❛♥❦ ❛❧t❡r♥❛t✐✈❡

✐♥t❡r♣r❡t❛t✐♦♥s ♦❢ ❛ ❣✐✈❡♥ ✐♠❛❣❡✱ t❤❡ ❣r❛♠♠❛r ✐s ❛✉❣♠❡♥t❡❞ ✇✐t❤ ❛ s❡t ♦❢ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t✐❡s P ❛s ❛ ✜❢t❤

❝♦♠♣♦♥❡♥t t♦ ❢♦r♠ ❛ st♦❝❤❛st✐❝ ❣r❛♠♠❛r {V

, V

, S, Γ, P }✳ ❆ s❡t ♦❢ ♥♦❞❡s ❝❛♥ t❤❡♥ ❜❡ ❞❡r✐✈❡❞ ✐♥

♦t❤❡r s❡ts ♦❢ ♥♦❞❡s ✇✐t❤ ❣✐✈❡♥ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t✐❡s✱ t❛❦✐♥❣ ✐♥t♦ ❛❝❝♦✉♥t t❤❡ s♣❛t✐❛❧ r❡❧❛t✐♦♥s❤✐♣s ❜❡t✇❡❡♥

t❤❡ ♥♦❞❡s✳ ❚❤❡② ❛r❡ ❛♥ ❡ss❡♥t✐❛❧ ❝♦♠♣♦♥❡♥t ♦❢ t❤❡ ♠♦❞❡❧ ❛♥❞ ❛r❡ ❡st✐♠❛t❡❞ ❞✉r✐♥❣ t❤❡ tr❛✐♥✐♥❣

♣r♦❝❡ss✳

✷✳✷ ❱✐s✉❛❧ ❣r❛♠♠❛rs

❚❤❡ ♠♦st ✐♠♣♦rt❛♥t ♣r♦❜❧❡♠ ✇❤❡♥ ❞❡❛❧✐♥❣ ✇✐t❤ ✐♠❛❣❡ ❣r❛♠♠❛rs ✐s t❤❡ ❧♦ss ♦❢ t❤❡ ♥❛t✉r❛❧ ❧❡❢t✲t♦✲

r✐❣❤t ♦r❞❡r✐♥❣ ✐♥ t❡①t✉❛❧ ❞❛t❛✳ ■♥ ❧❛♥❣✉❛❣❡✱ ❡✈❡r② ♣r♦❞✉❝t✐♦♥ r✉❧❡ ✐s ❛ss✉♠❡❞ t♦ ❣❡♥❡r❛t❡ ❛ ❧✐♥❡❛r❧②

♦r❞❡r❡❞ s❡q✉❡♥❝❡ ♦❢ ♥♦❞❡s ❛♥❞✱ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ t❤✐s ❞♦✇♥ t♦ t❤❡ ❧❡❛✈❡s✱ ❛ ❧✐♥❡❛r❧② ♦r❞❡r❡❞ s❡q✉❡♥❝❡ ♦❢

t❡r♠✐♥❛❧ s②♠❜♦❧s ✐s ♦❜t❛✐♥❡❞✳ ■♥ ✐♠❛❣❡s✱ t❤❡ ✐♠♣❧✐❝✐t ❧✐♥❦s ❜❡t✇❡❡♥ ♥❡✐❣❤❜♦✉r✐♥❣ ✇♦r❞s ❤❛✈❡ t♦

❜❡ r❡♣❧❛❝❡❞ ❜② ♠♦r❡ ❝♦♠♣❧❡① ❧✐♥❦s ❜❡t✇❡❡♥ t❤❡ ♥♦❞❡s✳ ■♥❞❡❡❞✱ t❤❡ s♣❛t✐❛❧ ❧✐♥❦s t❤❛t ❝❛♥ ❝♦♠❜✐♥❡

♣❛rts ♦❢ ♦❜❥❡❝ts ✐♥t♦ ❛♥ ♦❜❥❡❝t ❛r❡ ♥✉♠❡r♦✉s s✉❝❤ ❛s ✏❤✐♥❣❡✑✱ ✏❜♦r❞❡r✑✱ ✏❜✉tt✐♥❣✑✱ ✏s✉rr♦✉♥❞✑ ❛s ✇❡❧❧

❛s ✈❛r✐♦✉s ❛❧✐❣♥♠❡♥ts✳ ✸❉ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ❝❛♥ ❛❧s♦ ❜❡ ✉s❡❞ t♦ ❞❡t❡r♠✐♥❡ t❤❛t ❛♥ ♦❜❥❡❝t ✐s ✏♦❝❝❧✉❞✐♥❣✑

❛♥♦t❤❡r ♦♥❡ ♦r t❤❛t ❛♥ ♦❜❥❡❝t ✐s ✏s✉♣♣♦rt✐♥❣✑ ❛♥♦t❤❡r ♦❜❥❡❝t✳ ■♥ ✐♠❛❣❡ ❣r❛♠♠❛rs✱ ♣✐①❡❧s s❡❡♠

♥❛t✉r❛❧ ❝❛♥❞✐❞❛t❡s t♦ ❜❡ t❡r♠✐♥❛❧ s②♠❜♦❧s✱ ❜✉t ❛ s✐♥❣❧❡ ♣✐①❡❧ ❝❛rr✐❡s ✈❡r② ❧✐tt❧❡ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ❛♥❞

✉s✉❛❧❧② s♦♠❡ s❡ts ♦❢ ❧♦❝❛❧ str✉❝t✉r❡s ❛r❡ ♣r❡❢❡rr❡❞✳ ❙❡✈❡r❛❧ ✇♦r❦s ❤❛✈❡ ❢♦❝✉s❡❞ ♦♥ ♣r♦♣♦s✐♥❣ ✈✐s✉❛❧

♣r✐♠✐t✐✈❡s✱ s♦♠❡t✐♠❡s ❝❛❧❧❡❞ ❛❧s♦ t❡①t♦♥s ❬✼❪ ❛s t❡r♠✐♥❛❧ ♥♦❞❡s ❢♦r ✈✐s✉❛❧ ❣r❛♠♠❛rs✳ ❚❤❡s❡ t❡r♠✐♥❛❧

♥♦❞❡s ✉s✉❛❧❧② ❝♦rr❡s♣♦♥❞ t♦ ❝♦r♥❡rs ♦r ♣❛t❝❤❡s ♦❢ t❡①t✉r❡❀ t❤❡② ❛r❡ ❝♦♠♣✉t❡❞ ❞❡t❡r♠✐♥✐st✐❝❛❧❧②

❞✉r✐♥❣ ❛ st❡♣ ♦❢ ❢❡❛t✉r❡ ❡①tr❛❝t✐♦♥✳

■♥ t❤✐s ❛rt✐❝❧❡✱ ❛ ❢r❛♠❡✇♦r❦ ✐s ♣r♦♣♦s❡❞ t♦ ❞❡❛❧ ✇✐t❤ t❡r♠✐♥❛❧ ♥♦❞❡s ❝♦♥t❛✐♥✐♥❣ ✉♥❝❡rt❛✐♥t②✳ ❚❤✐s

❝❛♥ ❜❡ ✉s❡❞ t♦ ❝♦♠❜✐♥❡ ♦✉t♣✉ts ♦❢ ❛ s❡t ♦❢ ♠♦❞✉❧❡s ❞❡t❡❝t✐♥❣ ✈❛r✐♦✉s ♦❜❥❡❝ts✱ ♣❛rts ♦❢ ♦❜❥❡❝ts ❛♥❞

❛r❡❛s ❜✉t ✇❤✐❝❤ ❛r❡ ♥♦t ♣❡r❢❡❝t❧② r❡❧✐❛❜❧❡ s✉❝❤ ❛s✱ ❢♦r ❡①❛♠♣❧❡ ✐♥ ❞r✐✈✐♥❣ s❝❡♥❡s✱ r♦❛❞ ❡①tr❛❝t✐♦♥✱

✇❤❡❡❧ ♦r ♣❡❞❡str✐❛♥ ❞❡t❡❝t♦rs✱ ❡t❝✳ ❚❤❡ ♠❛✐♥ ✐❞❡❛ ✐s t♦ ✉s❡ ❛s t❡r♠✐♥❛❧ ♥♦❞❡s ❛ ❤✐❣❤❡r✲❧❡✈❡❧ ✈♦❝❛❜✉✲

❧❛r② t❛❦✐♥❣ ✐♥t♦ ❛❝❝♦✉♥t ✉♥❝❡rt❛✐♥t② ✐♥st❡❛❞ ♦❢ ❧♦✇✲❧❡✈❡❧ ♣r✐♠✐t✐✈❡s ✇✐t❤ ♥♦ ✉♥❝❡rt❛✐♥t②✳ ❲❡ ❜❡❧✐❡✈❡

t❤✐s t♦ ❜❡ ❡s♣❡❝✐❛❧❧② ❛ ❣♦♦❞ ❝❤♦✐❝❡ ✐♥ ♠✉❧t✐♠♦❞❛❧ s✐t✉❛t✐♦♥ ❧✐❦❡ ♦✉rs✿ t❤❡ ❡①tr❛❝t✐♦♥ ♦❢ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥

✐♥❝♦♠✐♥❣ ❢r♦♠ ✈❛r✐♦✉s s❡♥s♦rs ♠❛❦❡s ✐t r❡❧❡✈❛♥t t♦ r❡❛s♦♥ ❢r♦♠ ❛ ❤✐❣❤❡r ❧❡✈❡❧ t❤❛♥ ✐♠❛❣❡ ♣r✐♠✐t✐✈❡s✳

❍♦✇❡✈❡r✱ ♣❡❞❡str✐❛♥ ❞❡t❡❝t♦rs✱ ❢♦r ❡①❛♠♣❧❡✱ ❛r❡ ✇❡❧❧✲❦♥♦✇♥ t♦ ♣r♦✈✐❞❡ ♠❛♥② ❢❛❧s❡ ♣♦s✐t✐✈❡s ❛♥❞ ❤❛♥✲

❞❧✐♥❣ ♣r❡❝✐s❡❧② t❤❡ ✉♥❝❡rt❛✐♥t② ✐s ❛ ♠❛tt❡r ♦❢ ❤✐❣❤❡st ✐♠♣♦rt❛♥❝❡✳ ❚♦ t❤✐s ❡♥❞✱ t❤❡ ❉❡♠♣st❡r✲❙❤❛❢❡r

t❤❡♦r② ✇✐❧❧ ❜❡ ✉s❡❞ ❛♥❞ t❤❡ s❡t ♦❢ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t✐❡s ❛✉❣♠❡♥t✐♥❣ t❤❡ ♣r♦❞✉❝t✐♦♥ r✉❧❡s ✇✐❧❧ ❜❡ r❡♣❧❛❝❡❞

❜② ❛ s❡t ♦❢ ❜❡❧✐❡❢ ❢✉♥❝t✐♦♥s t♦ ❝♦♥st✐t✉t❡ ✇❤❛t ✇❡ ✇✐❧❧ ❝❛❧❧ ❤❡r❡ ❡✈✐❞❡♥t✐❛❧ ❣r❛♠♠❛rs✳

✷✳✸ ❋♦r♠❛❧✐③❛t✐♦♥ ♦❢ ❡✈✐❞❡♥t✐❛❧ ❣r❛♠♠❛rs✿

❆♥ ❡✈✐❞❡♥t✐❛❧ ❣r❛♠♠❛r ✐s ❞❡✜♥❡❞ ❛s ❛ ✺✲t✉♣❧❡ {V

, V

, S, Γ, µ} ✇❤❡r❡ t❤❡ ✜rst ❢♦✉r ❡❧❡♠❡♥ts ❝♦r✲

r❡s♣♦♥❞ t♦ t❤❡ tr❛❞✐t✐♦♥❛❧ ✹✲t✉♣❧❡ ❞❡✜♥✐♥❣ ❛ ❢♦r♠❛❧ ❣r❛♠♠❛r✳ ❚❤❡ ✜❢t❤ ❝♦♠♣♦♥❡♥t µ r❡♣❧❛❝❡s t❤❡

s❡t ♦❢ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t✐❡s ♦❢ ❛ st♦❝❤❛st✐❝ ❣r❛♠♠❛r✳ ❚❤❡ s❡t ♦❢ ♥♦♥✲t❡r♠✐♥❛❧ ❡❧❡♠❡♥ts V

❛♥❞ t❤❡ s❡t ♦❢

t❡r♠✐♥❛❧ ❡❧❡♠❡♥ts V

❝♦♥t❛✐♥ t❤❡ ❝❧❛ss❡s t❤❛t ❛r❡ ✉s❡❞ t♦ ❧❛❜❡❧ t❤❡ ✐♠❛❣❡s✳ ❚❤❡ ❡❧❡♠❡♥ts ♦❢ V

❝♦r✲

r❡s♣♦♥❞ t♦ t❤❡ ❝❧❛ss❡s ♦❢ ♦❜❥❡❝ts ✇❤✐❝❤ ❝❛♥ ❜❡ ❞❡❝♦♠♣♦s❡❞ ✐♥t♦ ❛ s❡t ♦❢ ♦t❤❡r ❡❧❡♠❡♥ts ❜❡❧♦♥❣✐♥❣ t♦

V

∪ V

✳ ❚❤❡ st❛rt✐♥❣ ❡❧❡♠❡♥t S ♦❢ t❤❡ ❣r❛♠♠❛r ✇✐❧❧ ❜❡ ✐♥t❡r♣r❡t❡❞ ❤❡r❡ ❛s t❤❡ ✏❙❝❡♥❡✑ ❛♥♥♦t❛t✐♥❣

❡✈❡r② ✐♠❛❣❡✳ Γ ❝♦♥t❛✐♥s t❤❡ ♣r♦❞✉❝t✐♦♥ r✉❧❡s ♦❢ t❤❡ ❣r❛♠♠❛r✳ ❊✈❡r② r✉❧❡ ❞❡✜♥❡s ❛ ❞❡❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥

♦❢ ❛ ❝❧❛ss ♦❢ ♦❜❥❡❝t ✐♥t♦ ❛ s❡t ♦❢ ❝❧❛ss❡s ♦❢ ♦❜❥❡❝ts ✇✐t❤ ❛ ❞❡✜♥❡❞ s♣❛t✐❛❧ ❧❛②♦✉t✱ ❛♥❞ ❡✈❡r② ❡❧❡♠❡♥t

♦❢ V

❤❛s ❛t ❧❡❛st ♦♥❡ ♣r♦❞✉❝t✐♦♥ r✉❧❡✳

▼♦r❡ ❢♦r♠❛❧❧②✱ ❧❡t A ∈ V

❜❡ ❛ ❝❧❛ss ✇✐t❤ n

(A) ♣r♦❞✉❝t✐♦♥ r✉❧❡s ✐♥t♦ k ❝♦♠♣♦♥❡♥ts ✉♥❞❡r s♣❛t✐❛❧ r❡❧❛t✐♦♥ ξ ✭A ♠❛② ❤❛✈❡ ♣r♦❞✉❝t✐♦♥ r✉❧❡s ✐♥ ♠♦r❡ ♦r ❧❡ss t❤❛♥ k ❝♦♠♣♦♥❡♥ts ❛♥❞ t❤❡s❡

❝♦♠♣♦♥❡♥ts ♠❛② ❤❛✈❡ ♦t❤❡r s♣❛t✐❛❧ ❧❛②♦✉ts t❤❛♥ ξ✮✿

✕ Γ

✿ A → A

A

. . . A

✕ ✳ ✳ ✳

✕ Γ

✿ A → A

A

. . . A

✇❤❡r❡ t❤❡ A

st❛♥❞ ❢♦r ❝❧❛ss❡s ♦❢ ♦❜❥❡❝ts ❜❡❧♦♥❣✐♥❣ t♦ V

∪ V

✳ ▲❡t ✉s ❞❡✜♥❡ t❤❡ ♣r❡❝✐s❡ ♠❡❛♥✐♥❣

♦❢ t❤❡s❡ ♣r♦❞✉❝t✐♦♥ r✉❧❡s✳

▲❡t R ❜❡ ❛ r❡❣✐♦♥ ♦❢ ❛♥ ✐♠❛❣❡ ❛♥❞ Y ❛♥ ❡✈✐❞❡♥t✐❛❧ ✈❛r✐❛❜❧❡ ❞❡s❝r✐❜✐♥❣ t❤❡ ❝❧❛ss ❝♦♥t❛✐♥❡❞ ✐♥s✐❞❡

t❤✐s r❡❣✐♦♥✳ R ✐s s✉♣♣♦s❡❞ t♦ ❜❡ s❡❣♠❡♥t❡❞ ✐♥ k r❡❣✐♦♥s R

✱ R

✱ ✳ ✳ ✳ ✱ R

❛♥❞ t❤❡ ❝❧❛ss ❝♦♥t❛✐♥❡❞ ✐♥

❡❛❝❤ r❡❣✐♦♥ R

✐s ❞❡✜♥❡❞ ❜② t❤❡ ❡✈✐❞❡♥t✐❛❧ ✈❛r✐❛❜❧❡ X

✭s❡❡ ❋✐❣ ✷✮✳ ❚❤❡ ✉s❡ ♦❢ ❡✈✐❞❡♥t✐❛❧ ✈❛r✐❛❜❧❡s

♠❛❦❡s ✐t ♣♦ss✐❜❧❡ t♦ ❞❡❛❧ ✇✐t❤ t❤❡ ✉♥❝❡rt❛✐♥t② ❛❜♦✉t t❤❡ ❝❧❛ss ♦❢ t❤❡ r❡❣✐♦♥s✳ ❍♦✇❡✈❡r✱ ❡✈❡♥ t❤♦✉❣❤

♦♥❡ ♠✐❣❤t ❤❛✈❡ ✉♥❝❡rt❛✐♥t② ♦♥ t❤❡ ✈❛❧✉❡ ♦❢ t❤❡ ❝❧❛ss ✐♥s✐❞❡ t❤❡s❡ r❡❣✐♦♥s✱ t❤❡ ✭str♦♥❣✮ ❛ss✉♠♣t✐♦♥

✐s ♠❛❞❡ t❤❛t ❡✈❡r② r❡❣✐♦♥ ❝♦♥t❛✐♥s ♦♥❡ ❛♥❞ ♦♥❧② ♦♥❡ ✐♥st❛♥❝❡ ♦❢ ❛ ❝❧❛ss✳ ❋♦r ❡①❛♠♣❧❡✱ ✐❢ ✐t ✐s ❝❡rt❛✐♥

t❤❛t Y ∈ {car, pedestrian} ✭t❤❛t ✐s t♦ s❛②✱ m

({car, pedestrian}) = 1✮✱ t❤✐s ♠❡❛♥s t❤❛t t❤❡ r❡❣✐♦♥

❝♦♥t❛✐♥s ❡✐t❤❡r ♦♥❡ ✭❢✉❧❧✮ ❝❛r ♦r ♦♥❡ ✭❢✉❧❧✮ ♣❡❞❡str✐❛♥✱ ❜✉t t❤✐s ❞♦❡s ♥♦t ♠❡❛♥ t❤❡ r❡❣✐♦♥ ❝❛♥ ❝♦♥t❛✐♥

❛ ♣❡❞❡str✐❛♥ ❛♥❞ ❛ ❝❛r✳

❚❤❡ s♣❛t✐❛❧ r❡❧❛t✐♦♥s❤✐♣ ❜❡t✇❡❡♥ t❤❡ r❡❣✐♦♥s R

✱ R

✱ ✳ ✳ ✳ R

✐s ❞❡s❝r✐❜❡❞ ❜② ❛ ❞❡t❡r♠✐♥✐st✐❝

✈❛r✐❛❜❧❡ Ξ ✭s✐♥❝❡ t❤✐s s♣❛t✐❛❧ ❧❛②♦✉t ✐♥ ❛♥ ✐♠❛❣❡ ❜❡t✇❡❡♥ ❛ s❡t ♦❢ r❡❣✐♦♥s ✐s ❛❧✇❛②s ♦❜s❡r✈❛❜❧❡✮✳ Ξ

❝❛♥ ❞❡s❝r✐❜❡ ❛ ❣❧♦❜❛❧ ❧❛②♦✉t ❜❡t✇❡❡♥ t❤❡ r❡❣✐♦♥s ✭t❤❡ r❡❣✐♦♥s ❛r❡ ✏❛❧✐❣♥❡❞✑ ♦r ✏r❛❞✐❛❧✑✮ ❛s ✇❡❧❧ ❛s ❛ s❡t ♦❢ ♣❛✐r✇✐s❡ r❡❧❛t✐♦♥s❤✐♣s✳

❚❤❡ ♣r♦❞✉❝t✐♦♥ ♣r♦❝❡ss ❞❡✜♥❡❞ ❜② t❤❡ ♣r♦❞✉❝t✐♦♥ r✉❧❡s Γ

✱✳ ✳ ✳ ✱Γ

✐s ❛ss♦❝✐❛t❡❞ t♦ ❛ ❝♦♥✲

❞✐t✐♦♥❛❧ ♠❛ss ❢✉♥❝t✐♦♥ m

✳ ❚♦ ❜❡ ❝♦♥s✐st❡♥t ✇✐t❤ t❤❡ ♣r♦❞✉❝t✐♦♥ r✉❧❡s✱ t❤❡ ♦♥❧②

♣♦ss✐❜❧❡ ❢♦❝❛❧ s❡ts ♦❢ t❤❡ ❧❛tt❡r ♠❛ss ❢✉♥❝t✐♦♥ ❛r❡ t❤❡ Ω

= {A

, A

, . . . , A

} ❛♥❞ t❤❡ s❡ts ❞❡✜♥❡❞ ❛s

✉♥✐♦♥s ♦❢ Ω

✳ ▲❡t ✉s ❡♠♣❤❛s✐③❡ t✇♦ ♣❛rt✐❝✉❧❛r ❝❛s❡s✿

✶✳ ❚❤❡ ❝❛s❡ ✇❤❡♥ t❤❡ ❢♦❝❛❧ ❡❧❡♠❡♥ts ❛r❡ t❤❡ Ω

✐s ❡q✉✐✈❛❧❡♥t t♦ t❤❡ ♣r♦❞✉❝t✐♦♥ ♣r♦❝❡ss ♦❢ ❛ st♦❝❤❛st✐❝ ❣r❛♠♠❛r✳

✷✳ ❚❤❡ ❝❛s❡ ✇❤❡♥ m

(∪

Ω

) = 1 ✐s ❛♥ ❛ss✉♠♣t✐♦♥ ♦❢ ❝♦♠♣❧❡t❡ ✐❣♥♦r❛♥❝❡

❛❜♦✉t t❤❡ r❡❧❛t✐✈❡ ❢r❡q✉❡♥❝✐❡s ♦❢ ♦✉t♣✉t ♦❢ t❤❡ ♣r♦❞✉❝t✐♦♥ ♣r♦❝❡ss✳

❋✐❣✳ ✷✳ ■❧❧✉str❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❞❡r✐✈❛t✐♦♥ ♣r♦❝❡ss✿ t❤❡ ❝❧❛ss ♦❢ t❤❡ r❡❣✐♦♥ R ✭t❤❡ ✇❤♦❧❡ r❡❝t❛♥❣✉❧❛r ❛r❡❛✮ ✐s

❞❡s❝r✐❜❡❞ ❜② ❛♥ ❡✈✐❞❡♥t✐❛❧ ✈❛r✐❛❜❧❡ Y ✳ ❚❤❡ r❡❣✐♦♥ R ✐s t❤❡♥ s❡❣♠❡♥t❡❞ ✐♥ k r❡❣✐♦♥s R

✱ R

✱ ✳ ✳ ✳ R

t❤❡

❝❧❛ss❡s ♦❢ ✇❤✐❝❤ ❛r❡ ❛❧s♦ ❞❡❝r✐❜❡❞ ❜② ❡✈✐❞❡♥t✐❛❧ ✈❛r✐❛❜❧❡s✳

❚❤❡ ❝♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ ♠❛ss m

❞❡s❝r✐❜❡s t❤❡ ❞❡r✐✈❛t✐♦♥ ♣r♦❝❡ss ♦❢ A ✐♥t♦ k ❝♦♠♣♦♥❡♥ts

✇✐t❤ s♣❛t✐❛❧ r❡❧❛t✐♦♥ ξ ✳ ❈♦♥s❡q✉❡♥t❧②✱ ❝♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ ♠❛ss ❤❛s t♦ ❜❡ ❞❡✜♥❡❞ ❢♦r ❡✈❡r② ♣♦ss✐❜❧❡ ♥✉♠❜❡r

♦❢ ❝♦♠♣♦♥❡♥ts ❛♥❞ ❡✈❡r② s♣❛t✐❛❧ ❧❛②♦✉t ✐♥ ✇❤✐❝❤ t❤❡ ❝❧❛ss ♦❢ ♦❜❥❡❝t A ❝❛♥ ❜❡ ❞❡r✐✈❡❞✳

✸ ▼♦❞❡❧ ♦❢ ❛♥ ✐♠❛❣❡ ✐♥t❡r♣r❡t❛t✐♦♥

P❛rs❡ ❤②♣❡r❣r❛♣❤s ✇✐❧❧ ❜❡ ✐♥tr♦❞✉❝❡❞ ✐♥ t❤✐s s❡❝t✐♦♥ ❛s t❤❡ str✉❝t✉r❡ ❢♦r ✐♠❛❣❡ ✐♥t❡r♣r❡t❛t✐♦♥✳ ●✐✈❡♥

❛♥ ❡✈✐❞❡♥t✐❛❧ ❣r❛♠♠❛r {V

, V

, S, Γ, µ}✱ ✇❡ ❞❡✜♥❡ Ω = V

∪ V

❛s t❤❡ s❡t ♦❢ ❧❛❜❡❧s ✇❤✐❝❤ ✇✐❧❧ ❜❡

✉s❡❞ t♦ ❛♥♥♦t❛t❡ t❤❡ ✐♠❛❣❡✳

✸✳✶ P❛rs❡ ❤②♣❡r❣r❛♣❤s

▲❡t ✉s ❝♦♥s✐❞❡r ❛ t❡st ✐♠❛❣❡ I ✇❤✐❝❤ ✐s s✉♣♣♦s❡❞ t♦ ❜❡ ♣❛rs❡❞ ❤✐❡r❛r❝❤✐❝❛❧❧② ✐♥ l ❧❛②❡rs ✭ l ≥ 2✮ ♦❢ ❛

♣❛rs❡ ❤②♣❡r❣r❛♣❤✳ ❆ ❣✐✈❡♥ ❧❛②❡r i ∈ {1, . . . , l} ✐s ❝♦♠♣♦s❡❞ ♦❢ ❛ s❡t ♦❢ n

r❡❣✐♦♥s ✇❤✐❝❤ ❛r❡ ❞❡♥♦t❡❞

{R

, . . . , R

} ✳ ❚❤❡ ❧❛②❡r l ✱ ❛t t❤❡ t♦♣ ♦❢ t❤❡ ❤✐❡r❛r❝❤②✱ ❝♦♥t❛✐♥s ❛ s✐♥❣❧❡ r❡❣✐♦♥ ✇❤✐❝❤ ✐s t❤❡ ✐♠❛❣❡

✐ts❡❧❢ I ✱ ✇❡ ❝❛♥ t❤✉s ✇r✐t❡ R

= I ✳ ■❢ t❤❡ ❧❛②❡r ✐s ♥♦t t❤❡ ❜♦tt♦♠ ♦♥❡ ✭✐❡✱ i > 1✮ ❛ r❡❣✐♦♥ R

❝❛♥

❜❡ ♣❛rt✐t✐♦♥❡❞ ✐♥ ❛ s❡t ♦❢ r❡❣✐♦♥s ♦❢ t❤❡ ❧♦✇❡r ❧❛②❡r ✭s❡❡ ❋✐❣ ✸✮✳

▼♦r❡♦✈❡r✱ ❛♥ ❡✈✐❞❡♥t✐❛❧ ✈❛r✐❛❜❧❡ ❞❡♥♦t❡❞ X

t❛❦✐♥❣ ✐ts ✈❛❧✉❡ ✐♥ Ω ✐s ✐♥tr♦❞✉❝❡❞ t♦ ❞❡s❝r✐❜❡ t❤❡

❝♦♥t❡♥t ♦❢ ❡✈❡r② r❡❣✐♦♥ R

❛♥❞ ✐s ❛ss♦❝✐❛t❡❞ t♦ t❤❡ ❜❡❧✐❡❢ ❢✉♥❝t✐♦♥ m

✳

❚❤❡ ❡✈✐❞❡♥t✐❛❧ ✈❛r✐❛❜❧❡ X

✐s ❝♦♥str❛✐♥❡❞ t♦ ❛ s✐♥❣❧❡ ✈❛❧✉❡ ✇❤✐❝❤ ✐s t❤❡ ✏❙❝❡♥❡✑ ❧❛❜❡❧✳ ✏❙❝❡♥❡✑

❝♦rr❡s♣♦♥❞s t♦ t❤❡ S s②♠❜♦❧ ♦❢ ❛♥② ❢♦r♠❛❧ ❣r❛♠♠❛r✱ ✇❤✐❝❤ ✐s t❤❡ st❛rt✐♥❣ s②♠❜♦❧ ❢r♦♠ ✇❤✐❝❤

❛❧❧ t❤❡ s❡♥t❡♥❝❡ ✐s ❞❡r✐✈❡❞ ✉♣ t♦ t❤❡ ❧❡❛✈❡s✳ ❚❤❡ ❤✐❣❤❡r✲❧❡✈❡❧ ❧❛❜❡❧s ❛r❡ ❡①♣❡❝t❡❞ t♦ ❝♦rr❡s♣♦♥❞ t♦

♠♦r❡ ❝♦♠♣❧❡① ♦❜❥❡❝ts✱ ❧✐❦❡ ✏❝❛r✑ ♦r ✏♣❡❞❡str✐❛♥✑✱ t❤❛♥ t❤❡ ❧♦✇❡r✲❧❡✈❡❧ ❧❛❜❡❧s✱ ✇❤✐❝❤ ❛r❡ ❡①♣❡❝t❡❞ t♦

❝♦rr❡s♣♦♥❞ t♦ ♣❛rts ♦❢ ♦❜❥❡❝ts ❧✐❦❡ ✏✇❤❡❡❧✑✱ ♦r ✏♣❡❞❡str✐❛♥ ❤❡❛❞✑✳ ❍♦✇❡✈❡r✱ t❤❡ s❝❛❧❡ ✐ss✉❡ ✐♠♣❧✐❡s t❤❛t ✐t ✐s ♣♦ss✐❜❧❡ ❢♦r ❛♥② ♦❜❥❡❝t t♦ ❜❡ ❧♦❝❛t❡❞ ✐♥ ❛ s♠❛❧❧ r❡❣✐♦♥ ♦❢ ❛♥ ✐♠❛❣❡✱ ♠❛❦✐♥❣ ✐t ✐♠♣♦ss✐❜❧❡ t♦

♣❛rs❡ ✐♥t♦ ✐ts ❝♦♠♣♦♥❡♥ts✳ ❈♦♥s❡q✉❡♥t❧②✱✐t ♠✉st ❜❡ ♣♦ss✐❜❧❡ ❢♦r ❛♥② s②♠❜♦❧ ✭❡①❝❡♣t S ✮ t♦ t❡r♠✐♥❛t❡

❛t ❛♥② ❧❡✈❡❧ ♦❢ t❤❡ ❧❛❜❡❧s ❤✐❡r❛r❝❤②✳ ❚❤✉s✱ t❤❡ ❡✈✐❞❡♥t✐❛❧ ❣r❛♠♠❛r {V

, V

, S, Γ, µ} ✐s ❞❡✜♥❡❞ ✇✐t❤

V

= V

✳

❆ ◆♦❞❡ N

✐s ❞❡✜♥❡❞ ❛s t❤❡ ♣❛✐r (R

, X

)✱ t❤❛t ✐s t♦ s❛② ❛ r❡❣✐♦♥ ❛♥❞ t❤❡ ❞❡s❝r✐♣t✐♦♥ ♦❢

✐ts ❝♦♥t❡♥t✳ ❚❤❡ ♥♦❞❡s ✇✐❧❧ ❜❡ ✉s❡❞ t♦ r❡♣r❡s❡♥t t❤❡ ♦r✐❡♥t❡❞ ❤②♣❡r❣r❛♣❤ str✉❝t✉r❡ ♦❢ t❤❡ ✐♠❛❣❡

✐♥t❡r♣r❡t❛t✐♦♥ ✇✐t❤ t✇♦ ❦✐♥❞s ♦❢ ❡❞❣❡s ❜❡✐♥❣ ❝♦♥s✐❞❡r❡❞✿

✶✳ ❆♥ ❡❞❣❡ ✏✐s ♣❛rt✲♦❢✴✐s ❝♦♠♣♦s❡❞✲♦❢✑✿ {N

, . . . , N

} ❛r❡ ♣❛rt✲♦❢ N ✱ ♦r r❡❝✐♣r♦❝❛❧❧② N ✐s ❝♦♠♣♦s❡❞✲

♦❢ {N

, . . . , N

} ✐❢ t❤❡ r❡❣✐♦♥s ❝♦✈❡r❡❞ ❜② {N

, . . . , N

} ❞❡✜♥❡ ❛ ♣❛rt✐t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ r❡❣✐♦♥ ❝♦✈❡r❡❞

❜② N ✳

✷✳ ❆♥ ❡❞❣❡ ❞❡s❝r✐❜✐♥❣ t❤❡ s♣❛t✐❛❧ r❡❧❛t✐♦♥s❤✐♣ ❜❡t✇❡❡♥ ❛ s❡t ♦❢ ♥♦❞❡s ❛t t❤❡ s❛♠❡ ❧❡✈❡❧✳

❚❤❡ ✜rst t②♣❡ ♦❢ ❡❞❣❡ ❞❡✜♥❡s ❛ ♣❛rs❡ tr❡❡ s✐♥❝❡ ✐t r❡♣r❡s❡♥ts t❤❡ ❞❡❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ s❝❡♥❡ ✐♥t♦

♦❜❥❡❝ts ❛♥❞ ♣❛rts ♦❢ ♦❜❥❡❝ts✳ ❇② ❛❞❞✐♥❣ t❤❡ s❡❝♦♥❞ t②♣❡ ♦❢ ❡❞❣❡ ❜❡t✇❡❡♥ ♥♦❞❡s ♦❢ t❤❡ s❛♠❡ ❧❛②❡r✱

t❤❡ ♣❛rs❡ tr❡❡ ✐s ❛✉❣♠❡♥t❡❞ t♦ ❛ ♣❛rs❡ ❤②♣❡r❣r❛♣❤✳ ■♥❞❡❡❞✱ t♦ ❞❡s❝r✐❜❡ ❝♦♠♣❧❡① r❡❧❛t✐♦♥s ❜❡t✇❡❡♥ ❛ s❡t ♦❢ ♥♦❞❡s ✭r❛❞✐❛❧ r❛②s ♦❢ ❛ ❜✐❝②❝❧❡✮✱ ❡❞❣❡s ❧✐♥❦✐♥❣ s❡✈❡r❛❧ ♥♦❞❡s s❤♦✉❧❞ ❜❡ ❝♦♥s✐❞❡r❡❞✳ ❚❤❡ s❡t ♦❢

♥♦❞❡s ❛♥❞ ❡❞❣❡s ❞❡✜♥✐♥❣ ❛♥ ✐♠❛❣❡ ✐♥t❡r♣r❡t❛t✐♦♥ ✐s ❝❛❧❧❡❞ ❛ ♣❛rs❡ ❤②♣❡r❣r❛♣❤ ♦❢ t❤❡ ✐♠❛❣❡ I ❛♥❞

✐s ❞❡♥♦t❡❞ P

(I)

✸✳✷ ❊✈✐❞❡♥t✐❛❧ ♥❡t✇♦r❦ ❝♦rr❡s♣♦♥❞✐♥❣ t♦ ❛♥ ✐♠❛❣❡ ✐♥t❡r♣r❡t❛t✐♦♥

▲❡t U = {X

, X

, ..., X

} ❜❡ t❤❡ s❡t ♦❢ ❛❧❧ t❤❡ ✈❛r✐❛❜❧❡s ✉s❡❞ ❢♦r t❤❡ ✐♠❛❣❡ ✐♥t❡r♣r❡t❛t✐♦♥ ❛♥❞

p t❤❡ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ❡❞❣❡s ✐♥ ❛ ❣✐✈❡♥ ♣❛rs❡ ❤②♣❡r❣r❛♣❤ P

(I)✳ ❆ s❡t ♦❢ ♠❛ss❡s M = {m

, . . . , m

} ✐s

✐♥tr♦❞✉❝❡❞ ✇❤❡r❡ ❡✈❡r② ♠❛ss m

✐s ❞❡✜♥❡❞ ♦♥ t❤❡ ❞✐s❝❡r♥♠❡♥t ❢r❛♠❡ U

⊂ U ✇❤❡r❡ U

✐s ❛ s❡t ♦❢

✈❛r✐❛❜❧❡s ✇❤♦s❡ ❝♦rr❡s♣♦♥❞✐♥❣ ♥♦❞❡s ❝♦♥s✐st ✐♥ ♦♥❡ ♥♦❞❡ ✇❤✐❝❤ ✐s ❧✐♥❦❡❞ t♦ s❡✈❡r❛❧ ♥♦❞❡s ✇✐t❤ t❤❡

✏♣❛rt✲♦❢✑ ❧✐♥❦ ✭❝❢ ❋✐❣ ✸✮✳ ▲❡t O = {U

, . . . , U

} ❜❡ t❤❡ s❡t ♦❢ ❛❧❧ t❤❡ ❞✐s❝❡r♥♠❡♥t ❢r❛♠❡s✳ ❚❤❡ ✸✲t✉♣❧❡

E = {U, O, M } ❞❡✜♥❡s ❛♥ ❡✈✐❞❡♥t✐❛❧ ♥❡t✇♦r❦ ❛♥❞ ♠❛t❝❤❡s t❤❡ str✉❝t✉r❡ ♦❢ t❤❡ ✐♠❛❣❡ ✐♥t❡r♣r❡t❛t✐♦♥

P

(I) ✳

❆s ❢♦r t❤❡ ❇❛②❡s✐❛♥ ♥❡t✇♦r❦ ✇❤❡r❡ t❤❡ ❣r❛♣❤✐❝❛❧ ♠♦❞❡❧ ❝♦rr❡s♣♦♥❞s t♦ ❛ s❡t ♦❢ ❝♦♥❞✐t✐♦♥❛❧

✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥❝❡s ❜❡t✇❡❡♥ r❛♥❞♦♠ ✈❛r✐❛❜❧❡s✱ t❤❡ ❡✈✐❞❡♥t✐❛❧ ♥❡t✇♦r❦ ❢❛❝✐❧✐t❛t❡s t❤❡ ✐♥❢❡r❡♥❝❡ ♦❢ t❤❡

✉♥❦♥♦✇♥ ❜❡❧✐❡❢ ❢✉♥❝t✐♦♥s s✐♥❝❡ t❤❡ ♠❛ss❡s ✐♥❝❧✉❞❡❞ ✐♥ M ♣r♦✈✐❞❡ ❛♥ ❡①♣r❡ss✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❥♦✐♥t ♠❛ss

♦❢ t❤❡ s✉❜s❡ts ♦❢ ✈❛r✐❛❜❧❡s U

✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥t❧② ♦❢ t❤❡ r❡st ♦❢ t❤❡ ❡✈✐❞❡♥t✐❛❧ ✈❛r✐❛❜❧❡s ♦❢ U ✳ ❚❤❡ ❣❧♦❜❛❧

❥♦✐♥t ♠❛ss ❢✉♥❝t✐♦♥ ❝❛♥ ❜❡ ❝♦♠♣✉t❡❞ ❛s✿

m

= M

i=1

m

,

✇❤❡r❡ m

st❛♥❞s ❢♦r t❤❡ ✈❛❝✉♦✉s ❡①t❡♥s✐♦♥ ✐♥ t❤❡ ♣r♦❞✉❝t s♣❛❝❡ ♦❢ U ✳

❚❤❡ ❜❡❧✐❡❢ ❢✉♥❝t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❧❡❛✈❡ ♥♦❞❡s ♦❢ t❤❡ ♣❛rs❡ tr❡❡ ❛r❡ ❛ss✉♠❡❞ t♦ ❜❡ ❦♥♦✇♥ ❛s ❛♥ ✐♥♣✉t

❞❛t❛ ❛♥❞ ✇❡ ✇✐s❤ t♦ ♠❛r❣✐♥❛❧✐③❡ U t♦ ❝♦♠♣✉t❡ t❤❡ ❜❡❧✐❡❢ ❢✉♥❝t✐♦♥s ♦♥ ❛❧❧ t❤❡ ♦t❤❡r ✈❛r✐❛❜❧❡s✳ ❆t t❤✐s ♣♦✐♥t✱ t✇♦ q✉❡st✐♦♥s ❝❧❡❛r❧② st❛♥❞ ♦✉t✿

✶✳ ●✐✈❡♥ t❤❡ ❤✐❡r❛r❝❤② ♦❢ r❡❣✐♦♥s✱ ❤♦✇ t♦ ♣r♦♣❛❣❛t❡ t❤❡ ❜❡❧✐❡❢ ❢✉♥❝t✐♦♥ ❢r♦♠ t❤❡ ❧❡❛✈❡s t♦ t❤❡ ✉♣♣❡r

♥♦❞❡s❄

✷✳ ❲❤❛t ❝♦✉❧❞ ❜❡ ❛ ❝r✐t❡r✐♦♥ ✇❤✐❝❤ ❝♦✉❧❞ ❧❡❛❞ ✉s t❤❡ ♠♦st r❡❛❧✐st✐❝ ✐♥t❡r♣r❡t❛t✐♦♥ ♦❢ ❛♥ ✐♠❛❣❡❄

❚❤❡s❡ q✉❡st✐♦♥s ✇✐❧❧ ❜❡ ❛❞❞r❡ss❡❞ ✐♥ t❤❡ t✇♦ ♥❡①t s❡❝t✐♦♥s✳

✭❛✮ ✭❜✮

❋✐❣✳ ✸✳ ✭❛✮ ❍✐❡r❛r❝❤② ♦❢ r❡❣✐♦♥s ❢♦r t❤❡ ✐♥t❡r♣r❡t❛t✐♦♥ ♦❢ ❛ t❡st ✐♠❛❣❡ ✭❜✮ ❊✈✐❞❡♥t✐❛❧ ♥❡t✇♦r❦ ❝♦rr❡s♣♦♥❞✐♥❣

t♦ t❤✐s ❤✐❡r❛r❝❤②✳ ❆ ❥♦✐♥t ♠❛ss ✐s ❞❡✜♥❡❞ ❢♦r ❛❧❧ t❤❡ s❡ts ♦❢ ♥♦❞❡s ❧✐♥❦❡❞ ❜② ❛ ✏♣❛rt✲♦❢✑ ❡❞❣❡ ✭t❤❡ s❡ts ❛r❡

s✉rr♦✉♥❞❡❞ ❜② ❣r❡❡♥ ❝✐r❝❧❡s✳✮

✹ ❇❡❧✐❡❢ ♣r♦♣❛❣❛t✐♦♥

✹✳✶ ❇♦tt♦♠✲✉♣ ✐♥❢❡r❡♥❝❡

●✐✈❡♥ ❛♥ ✐♥t❡r♣r❡t❛t✐♦♥ P

(I) ♦❢ ❛ t❡st ✐♠❛❣❡ I ❛♥❞ t❤❡ ❝♦rr❡s♣♦♥❞✐♥❣ ❡✈✐❞❡♥t✐❛❧ ♥❡t✇♦r❦ E = {U, O, M}✱ ❡✈❡r② ♠❛ss m

✐s ❞❡✜♥❡❞ ♦♥ ❛ s❡t ♦❢ ✈❛r✐❛❜❧❡s U

✱ t❤❡ ❝♦rr❡s♣♦♥❞✐♥❣ ♥♦❞❡s ♦❢ ✇❤✐❝❤ ❛r❡

❝♦♠♣♦s❡❞ k ♥♦❞❡s ♦❢ ❛ ❧❛②❡r j ∈ {1, . . . , l− 1} ❧✐♥❦❡❞ t♦❣❡t❤❡r ❜② ❛ s♣❛t✐❛❧ r❡❧❛t✐♦♥s❤✐♣ ξ✱ ❛♥❞ ❧✐♥❦❡❞

t♦ ♦♥❡ ♥♦❞❡ ✐♥ t❤❡ ❧❛②❡r j + 1 ❜② ❛ ✏♣❛rt✲♦❢✑ ❧✐♥❦✳ ❚❤❡ ❜❡❧✐❡❢ ❢✉♥❝t✐♦♥s ♦❢ t❤❡ ❧❡❛✈❡s ❛r❡ ❛ss✉♠❡❞

t♦ ❜❡ ❦♥♦✇♥ ❛s t❤❡ ✐♥♣✉t ♦❢ t❤❡ ♣r❡s❡♥t ❛❧❣♦r✐t❤♠✳ ❚❤❡ s❝❤❡♠❡ ✇❤✐❝❤ ✐s ♣r♦♣♦s❡❞ ❤❡r❡ ❝♦♥s✐sts ✐♥

❝♦♠♣✉t✐♥❣ t❤❡ ❜❡❧✐❡❢ ❢✉♥❝t✐♦♥s ✐t❡r❛t✐✈❡❧② ❢r♦♠ ❧❛②❡r ✷ t♦ ❧❛②❡r l ✿ t❤❡ ♥♦❞❡s ♦❢ ❧❛②❡r ✶ ❛r❡ ✉s❡❞ t♦

❝♦♠♣✉t❡ t❤❡ ❜❡❧✐❡❢ ❢✉♥❝t✐♦♥s ♦❢ t❤❡ ♥♦❞❡s ♦❢ ❧❛②❡r ✷✱ ❛♥❞ s♦ ♦♥ ✉♣ t♦ t❤❡ r♦♦t✳

■♥ ❛ ✜rst st❡♣✱ t❤❡ ✈❛❝✉♦✉s ❡①t❡♥s✐♦♥ ✐s ❛♣♣❧✐❡❞ t♦ t❤❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s m

✱ m

✱ ✳ ✳ ✳ ✱ m

✳ ❚❤❡

r❡s✉❧t✐♥❣ ❢✉♥❝t✐♦♥s ❛r❡ ❞❡♥♦t❡❞ m

✱ m

✱ ✳ ✳ ✳ ✱ m

✳ ❚❤❡s❡

❜❡❧✐❡❢ ❢✉♥❝t✐♦♥s ❝❤❛r❛❝t❡r✐③❡ t❤❡ ❝♦♥t❡♥ts ♦❢ ❞✐s❥♦✐♥t r❡❣✐♦♥s ❛♥❞ ❛r❡ t❤✉s s✉♣♣♦s❡❞ t♦ ❜❡ ✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥t

♣✐❡❝❡s ♦❢ ❡✈✐❞❡♥❝❡✳ ❚❤❡s❡ ❜❡❧✐❡❢ ❢✉♥❝t✐♦♥s ❛r❡ t❤❡♥ ❝♦♠❜✐♥❡❞ ✉s✐♥❣ ❉❡♠♣st❡r✬s r✉❧❡✿

m

1,X₂,...,Xp,Y

= M

i=1

m

.

■♥ ❛ s❡❝♦♥❞ st❡♣✱ ❛❧❧ t❤❡ N ❝♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ ❜❡❧✐❡❢ ❢✉♥❝t✐♦♥s ❝♦rr❡s♣♦♥❞✐♥❣ t♦ ❣r❛♠♠❛r r✉❧❡s ✐♥✈♦❧✈✐♥❣

t❤❡ r❡✇r✐t✐♥❣ ♦❢ ❛ s②♠❜♦❧ ✐♥t♦ p s②♠❜♦❧s ✉♥❞❡r r❡❧❛t✐♦♥ ξ ❛r❡ ❞❡❝♦♥❞✐t✐♦♥❡❞ ❛♥❞ ❛ s❡t ♦❢ N ❢✉♥❝✲

t✐♦♥s ❞❡✜♥❡❞ ♦♥ t❤❡ ♣r♦❞✉❝t s♣❛❝❡ {X

, . . . , X

, Y }✳ ❚❤❡s❡ ❜❡❧✐❡❢ ❢✉♥❝t✐♦♥s ❝♦rr❡s♣♦♥❞ t♦ ❞✐st✐♥❝t

♣r♦❞✉❝t✐♦♥ r✉❧❡s ✇❤✐❝❤ t❤❡♠s❡❧✈❡s ❡♥❝♦❞❡ ❞✐✛❡r❡♥t s❡♠❛♥t✐❝ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ❛❜♦✉t t❤❡ ❞❡❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥

♦❢ t❤❡ ♦❜❥❡❝ts ❛♥❞ t❤❡ s❝❡♥❡✳ ❚❤❡② ❛r❡ t❤✉s s✉♣♣♦s❡❞ t♦ ❜❡ ✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥t ♣✐❡❝❡s ♦❢ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ❛♥❞

❉❡♠♣st❡r✬s r✉❧❡ ♦❢ ❝♦♠❜✐♥❛t✐♦♥ ✐s ❝♦♥s❡q✉❡♥t❧② ❛♣♣❧✐❡❞✳ ❲❡ ❤❛✈❡✿

m

1,X₂,...,Xp,Y

= M

k=1

m

1,X₂,...,Xp,Y|Ξ=ξ

,

✇❤❡r❡ Ξ ✐s t❤❡ ♦❜s❡r✈❛❜❧❡ ✈❛r✐❛❜❧❡ ❞❡✜♥✐♥❣ t❤❡ s♣❛t✐❛❧ r❡❧❛t✐♦♥ ❜❡t✇❡❡♥ t❤❡ r❡❣✐♦♥s✳ ❚❤✐s ❢✉♥❝t✐♦♥

✐s t❤❡♥ ❝♦♠❜✐♥❡❞ ✇✐t❤ t❤❡ ♣r❡✈✐♦✉s ♦♥❡✱ t♦ ❣❡t ❛ ❜❡❧✐❡❢ ❢✉♥❝t✐♦♥ t❛❦✐♥❣ ✐♥t♦ ❛❝❝♦✉♥t ❛❧❧ t❤❡ ❛✈❛✐❧❛❜❧❡

✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥✿

m

= m

⊕ m

.

❚❤❡ ❥♦✐♥t ♠❛ss m

✐s ✜♥❛❧❧② ♠❛r❣✐♥❛❧✐③❡❞ t♦ ❡①tr❛❝t m

✳

✹✳✷ ❚♦♣✲❞♦✇♥ ♣r♦♣❛❣❛t✐♦♥

❖♥❝❡ ❛❧❧ t❤❡ ♠❛ss ❢✉♥❝t✐♦♥s ❤❛✈❡ ❜❡❡♥ ❝♦♠♣✉t❡❞ t❤r♦✉❣❤ t❤❡ ♣r❡✈✐♦✉s ✐♥❢❡r❡♥❝❡ ♠❡❝❤❛♥✐s♠✱ ❛ t♦♣✲❞♦✇♥ s❝❤❡♠❡ ❝❛♥ ❜❡ ♣❡r❢♦r♠❡❞ t♦ ❞✐s❛♠❜✐❣✉❛t❡ t❤❡ ♠❛ss ❢✉♥❝t✐♦♥s ❛t t❤❡ ❧♦✇❡r ❧❛②❡rs ♦❢ t❤❡

❤✐❡r❛r❝❤②✳ ❋♦r ❡✈❡r② s✉❜s❡t ♦❢ ✈❛r✐❛❜❧❡s U

= {X

, X

, . . . , X

, Y } ❛♥❞ ❛❢t❡r t❤❡ ❥♦✐♥t ♠❛ss ❤❛s

❜❡❡♥ ❝♦♠♣✉t❡❞✱ k ♠❛r❣✐♥❛❧✐③❛t✐♦♥s ❛r❡ ❛♣♣❧✐❡❞ t♦ ❝♦♠♣✉t❡ m

, m

, . . . , m

✳ ❚❤✐s ♣r♦❝❡ss ✐s

♣❡r❢♦r♠❡❞ ❢r♦♠ t❤❡ r♦♦t ❞♦✇♥ t♦ t❤❡ ❧❡❛✈❡s ❢♦r ❡✈❡r② s✉❜s❡t ♦❢ ✈❛r✐❛❜❧❡s✳ ❚❤✐s s❝❤❡♠❡ r❡s✉❧ts ✐♥ ❛

❞✐s❛♠❜✐❣✉❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ✈❛r✐❛❜❧❡s ❜② r❡✲✐♥❥❡❝t✐♥❣ t❤❡ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ❣❛t❤❡r❡❞ t❤r♦✉❣❤ t❤❡ ❝♦♠❜✐♥❛t✐♦♥s

♣❡r❢♦r♠❡❞ ❞✉r✐♥❣ t❤❡ ✐♥❢❡r❡♥❝❡ ❞♦✇♥ t♦ t❤❡ ✈❛r✐❛❜❧❡s ❝♦rr❡s♣♦♥❞✐♥❣ t♦ t❤❡ s❡❣♠❡♥t ❧❡✈❡❧ ♦❢ t❤❡

✐♠❛❣❡✳

✺ ❙❡❛r❝❤ ❢♦r t❤❡ ♦♣t✐♠❛❧ ✐♥t❡r♣r❡t❛t✐♦♥

❚❤❡ ❣r♦✉♣✐♥❣s ♦❢ ♥♦❞❡s ✇✐t❤ t❤❡ ✏♣❛rt✲♦❢✑ ❧✐♥❦s ❞❡✜♥❡ ❛ ❤✐❡r❛r❝❤② ♦❢ r❡❣✐♦♥s ❛♥❞ t❤✐s ❤✐❡r❛r❝❤② ❞❡✜♥❡

❛♥ ❡✈✐❞❡♥t✐❛❧ ♥❡t✇♦r❦✳ ❇② ✉s✐♥❣ t❤❡ s❝❤❡♠❡ ❞❡t❛✐❧❡❞ ✐♥ t❤❡ ♣r❡✈✐♦✉s s❡❝t✐♦♥✱ t❤❡ ❜❡❧✐❡❢ ❢✉♥❝t✐♦♥s ❛r❡

❝♦♠♣✉t❡❞ ❢r♦♠ t❤❡ ❧♦✇❡r ❧❡✈❡❧s ✉♣ t♦ t❤❡ r♦♦t t♦ ❣❡t ❛♥ ✐♥t❡r♣r❡t❛t✐♦♥ ♦❢ ❛♥ ✐♠❛❣❡✳ ❍♦✇❡✈❡r✱ ❛ ❧❛r❣❡

♥✉♠❜❡r ♦❢ ♣♦ss✐❜❧❡ ♣❛rs❡ tr❡❡s ❝❛♥ ❜❡ ❝♦♥s✐❞❡r❡❞ ❛♥❞ ❝♦♥s❡q✉❡♥t❧② ❛s ♠❛♥② ♣♦ss✐❜❧❡ ✐♥t❡r♣r❡t❛t✐♦♥s

♦❢ ❛ s❛♠❡ ✐♠❛❣❡✳ ❯s✐♥❣ tr❛❞✐t✐♦♥❛❧ st♦❝❤❛st✐❝ ✈✐s✉❛❧ ❣r❛♠♠❛rs✱ ✇❡ ❜✉✐❧❞ t❤❡ ♣❛rs❡ tr❡❡ ♦❢ ❛ t❡st

✐♠❛❣❡ ✇✐t❤ ♠❛①✐♠❛❧ ♣♦st❡r✐♦r ♣r♦❜❛❜✐❧✐t②✳ ❋♦r ❡✈✐❞❡♥t✐❛❧ ✈✐s✉❛❧ ❣r❛♠♠❛rs✱ ✇❡ ♣r♦♣♦s❡ t♦ ✉s❡ t❤❡

♠✐♥✐♠❛❧ ❝♦♥✢✐❝t ❛❝❝✉♠✉❧❛t❡❞ ❛t t❤❡ r♦♦t ♥♦❞❡ ❛s t❤❡ ♦♣t✐♠✐③❛t✐♦♥ ❝r✐t❡r✐♦♥ t♦ s❡❧❡❝t t❤❡ ♣❛rs❡

❤②♣❡r❣r❛♣❤✳

✺✳✶ ❖♣t✐♠✐③❛t✐♦♥ ❝r✐t❡r✐♦♥

❚❤❡ ❦❡② ✈❛❧✉❡ t❤❛t ✇✐❧❧ ❜❡ ✉s❡❞ t♦ ♠❡❛s✉r❡ ❤♦✇ r❡❧❡✈❛♥t ✐t ✐s t♦ ❣r♦✉♣ ❛ s❡t ♦❢ ♥♦❞❡s ✐s t❤❡ ❝♦♥✢✐❝t

❧♦❝❛t❡❞ ✐♥ t❤❡ ♥❡✇❧② ❝♦♥str✉❝t❡❞ ♥♦❞❡✳ ❇② ❝♦♥✢✐❝t✱ ✇❡ ♠❡❛♥ ❤❡r❡ t❤❡ ✈❛❧✉❡ ♦❢ t❤❡ ♠❛ss ❢✉♥❝t✐♦♥ ♦❢

t❤✐s ♥♦❞❡ ♦♥ t❤❡ ❡♠♣t② s❡t✳

❈♦♥s✐st❡♥❝② ♠❡❛s✉r❡ ♦❢ ❛♥ ✐♥t❡r♣r❡t❛t✐♦♥ ❚❤❡ ❞❡♣❡♥❞❡♥❝✐❡s ❜❡t✇❡❡♥ t❤❡ ✈❛r✐❛❜❧❡s ✐♥❞✉❝❡❞

❜② t❤❡ ❣r♦✉♣✐♥❣ ♦❢ ♥♦❞❡s ✇✐t❤ t❤❡ ✏♣❛rt✲♦❢✑ ❧✐♥❦ ✐♠♣❧② t✇♦ r❡♠❛r❦s✿

✶✳ ■❢ s❡✈❡r❛❧ ♥♦❞❡s N

✱ N

✱ ✳ ✳ ✳ N

❛r❡ ❧✐♥❦❡❞ t♦ ❛♥ ✉♣♣❡r ♥♦❞❡ M ❜② ❛ ✏♣❛rt✲♦❢✑ ❡❞❣❡ ✐♥ t❤❡

♣❛rs❡ tr❡❡✱ ❛♥❞ ✐❢ t❤❡✐r ♠❛ss ❢✉♥❝t✐♦♥s ❞♦♥✬t ♠❛t❝❤ ❛♥② ❞❡r✐✈❛t✐♦♥ r✉❧❡✱ t❤❡ ✉♣♣❡r ♥♦❞❡ M ✇✐❧❧

❝♦♥t❛✐♥ ❛ ❝♦♥✢✐❝t ❡q✉❛❧s t♦ ✶✳ ▼♦r❡ ❣❡♥❡r❛❧❧②✱ ❛ ♥♦❞❡ ❝♦♥t❛✐♥✐♥❣ ❛ ❤✐❣❤ ❝♦♥✢✐❝t ✐♥❞✐❝❛t❡s ❤✐❣❤

✐♥❝♦♥s✐st❡♥❝② ✐♥ t❤❡ s✉❜tr❡❡✳

✷✳ ❲❤❡♥ s❡✈❡r❛❧ ♥♦❞❡s N

✱ N

✱ ✳ ✳ ✳ N

❛r❡ ❧✐♥❦❡❞ t♦ ❛♥ ✉♣♣❡r ♥♦❞❡ M ❜② ❛ ✏♣❛rt✲♦❢✑ ❡❞❣❡ ✐♥ t❤❡

♣❛rs❡ tr❡❡✱ t❤❡ ❝♦♠❜✐♥❛t✐♦♥ ❢♦r♠✉❧❛ ✐♠♣❧✐❡s t❤❛t t❤❡ ❝♦♥✢✐❝t ♦❢ M ✐s ❜✐❣❣❡r t❤❛♥ t❤❡ ♠❛①✐♠✉♠

❝♦♥✢✐❝t ♦❢ N

✱ N

✱✳ ✳ ✳ N

✳ ❚❤✉s✱ ❛♥② ❝♦♥✢✐❝t ❛♣♣❡❛r✐♥❣ ❞✉r✐♥❣ t❤❡ ❜♦tt♦♠✲✉♣ ❜❡❧✐❡❢ ♣r♦♣❛❣❛t✐♦♥

♣r♦❝❡ss ✐♥ t❤❡ ❡✈✐❞❡♥t✐❛❧ ♥❡t✇♦r❦ ✇✐❧❧ ❛♣♣❡❛r ♦♥ t❤❡ r♦♦t ♥♦❞❡✳

❚❤❡s❡ t✇♦ r❡♠❛r❦s ❞r✐✈❡ ✉s t♦ ❝♦♥s✐❞❡r t❤❡ ❝♦♥✢✐❝t ✐♥ t❤❡ ♥♦❞❡ N

❛s t❤❡ ♠❛✐♥ ♦♣t✐♠✐③❛t✐♦♥

❝r✐t❡r✐♦♥✱ s✐♥❝❡ ❛s t❤❡ r♦♦t ♥♦❞❡ ♦❢ t❤❡ ❡✈✐❞❡♥t✐❛❧ ♥❡t✇♦r❦✱ ✐t ❛❣❣r❡❣❛t❡s ❛❧❧ t❤❡ ❝♦♥✢✐❝t ❝♦♥t❛✐♥❡❞ ✐♥

t❤❡ ❡✈✐❞❡♥t✐❛❧ ♥❡t✇♦r❦ ❛♥❞ ✐t ❣✐✈❡s ❛ ♠❡❛s✉r❡ ♦❢ t❤❡ q✉❛❧✐t② ♦❢ t❤❡ ❤✐❡r❛r❝❤②✳ ❚❤❡ ❧♦✇❡r ✐s m

(∅)

✭♦r t❤❡ ❤✐❣❤❡r ✐s m

(S) s✐♥❝❡ m

(S) = 1 − m

(∅)✮✱ t❤❡ ♠♦r❡ ❝♦♥s✐st❡♥t ✐s t❤❡ ❤✐❡r❛r❝❤②✳

❘❡♠❛r❦s ♦♥ t❤❡ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ♦♣t✐♠❛❧ ✐♥t❡r♣r❡t❛t✐♦♥s ❚❤❡ ♣r✐♥❝✐♣❧❡ ♦❢ ❝♦♥s✐st❡♥❝② ♠❛①✐♠✐③❛✲

t✐♦♥ ❞♦❡s ♥♦t ❡♥s✉r❡ t❤❛t ♦♥❧② ♦♥❡ ♦♣t✐♠❛❧ ✐♥t❡r♣r❡t❛t✐♦♥ ❡①✐sts✳ ■♥ s♦♠❡ ❝❛s❡s✱ ♠❛♥② ❛❧t❡r♥❛t✐✈❡

✐♥t❡r♣r❡t❛t✐♦♥s ♦❢ ❛♥ ✐♠❛❣❡ ❝❛♥ ❜❡ ❢♦✉♥❞ ✇❤✐❝❤ ❤❛✈❡ ♥♦ ❝♦♥✢✐❝t ❛t t❤❡ r♦♦t ♥♦❞❡✳ ❆❝t✉❛❧❧②✱ t✇♦

❢❛❝t♦rs ✐♠♣❛❝t t❤❡ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ✐♥t❡r♣r❡t❛t✐♦♥s t❤❛t ❝❛♥ ❜❡ ❡①♣❡❝t❡❞✿

✶✳ ❚❤❡ q✉❛♥t✐t② ♦❢ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ❝❛rr✐❡❞ ❜② t❤❡ ❜❡❧✐❡❢ ❢✉♥❝t✐♦♥s ♦❢ t❤❡ ✐♥♣✉t ♥♦❞❡s✳

✷✳ ❚❤❡ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ♣r♦❞✉❝t✐♦♥ r✉❧❡s ✐♥ t❤❡ ♠♦❞❡❧✳

❚❤❡ ❧❡ss ✐♥❢♦r♠❛t✐✈❡ t❤❡ ✐♥♣✉t ❜❡❧✐❡❢ ❢✉♥❝t✐♦♥s ❛r❡ ❛♥❞ t❤❡ ♠♦r❡ ♥✉♠❡r♦✉s ❛r❡ t❤❡ ♣r♦❞✉❝t✐♦♥

r✉❧❡s✱ t❤❡ ♠♦r❡ ♣♦ss✐❜❧❡ ❝♦♠❜✐♥❛t✐♦♥s t❤❡r❡ ❛r❡ t♦ ❢♦r♠ ❞✐✛❡r❡♥t ❝♦♥s✐st❡♥t ✐♥t❡r♣r❡t❛t✐♦♥s✳ ❚❤❡

♣r♦❞✉❝t✐♦♥ r✉❧❡s ❜❡✐♥❣ ❛ ♣❛rt ♦❢ t❤❡ ♠♦❞❡❧✱ t❤❡② ❤❛✈❡ t♦ ✜t ❝♦rr❡❝t❧② t❤❡ ❞❛t❛❜❛s❡✿ t♦♦ r❡str✐❝t✐✈❡

r✉❧❡s ✇✐❧❧ ❧❡❛❞ t♦ ♥♦ ❛✈❛✐❧❛❜❧❡ ✐♥t❡r♣r❡t❛t✐♦♥ s✐♥❝❡ ❛♥② ✐♥t❡r♣r❡t❛t✐♦♥ ✇✐❧❧ ❤❛✈❡ ❛ ❤✐❣❤ ❧❡✈❡❧ ♦❢ ❝♦♥✢✐❝t✳

❖♥ t❤❡ ❝♦♥tr❛r②✱ ❞❡✜♥✐♥❣ t♦♦ ♠❛♥② ❝♦♥✜❣✉r❛t✐♦♥s ♦r ❛❧❧♦✇✐♥❣ t♦♦ ♠❛♥② ♣♦ss✐❜❧❡ ❞❡❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥s ♦❢

t❤❡ ♦❜❥❡❝ts ✇✐❧❧ ❧❡❛❞ t♦ ❛♥ ♦✉t♣✉t ❝♦♥t❛✐♥✐♥❣ ♠❛♥② ✉♥s❛t✐s❢❛❝t♦r② ✐♥t❡r♣r❡t❛t✐♦♥s✳

✺✳✷ ❖♣t✐♠✐③❛t✐♦♥ ❛❧❣♦r✐t❤♠

❚❤❡ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ♣♦ss✐❜❧❡ ♣❛rs❡ ❤②♣❡r❣r❛♣❤s ✐s ✈❡r② ❧❛r❣❡ ❛♥❞ ❡①♣❧♦✐♥❣ t❤❡ ✇❤♦❧❡ s♣❛❝❡ ✐s ✉♥tr❛❝t❛❜❧❡✳

❆ ❣r❡❡❞② ❛❧❣♦r✐t❤♠ ✐s t❤✉s ✐♥tr♦❞✉❝❡❞ ❤❡r❡ t♦ ♦❜t❛✐♥ ❛ r❡❧❡✈❛♥t ✐♥t❡r♣r❡t❛t✐♦♥ ♦❢ ❛ t❡st ✐♠❛❣❡ ✐♥

r❡❛s♦♥❛❜❧❡ ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥ t✐♠❡✳ ❚❤❡ ♠❛✐♥ ✐❞❡❛ ♦❢ t❤✐s ❛❧❣♦r✐t❤♠ ✐s t♦ ✐♥✐t✐❛t❡ ❛ ❝♦♠♣❧❡① ❝♦♥✜❣✉r❛t✐♦♥

✇❤✐❝❤ ✐s s✐♠♣❧✐✜❡❞ st❡♣ ❜② st❡♣ ❛s ❧♦♥❣ ❛s t❤❡ ❝♦♥s✐st❡♥❝② ♠❡❛s✉r❡ ♦❢ t❤❡ ♣❛rs❡ tr❡❡ ❞❡❝r❡❛s❡s✿

✕ ❆ ♣❛rs❡ tr❡❡ ✐s ✜rst ✐♥✐t✐❛❧✐③❡❞ ❜② ❧✐♥❦✐♥❣ ❛❧❧ t❤❡ ♥♦❞❡s ❝♦rr❡s♣♦♥❞✐♥❣ t♦ t❤❡ s❡❣♠❡♥ts ♦❢ t❤❡ ✐♠❛❣❡

❞✐r❡❝t❧② t♦ t❤❡ r♦♦t ♥♦❞❡✳ ❚❤✐s ✐s ❡q✉✐✈❛❧❡♥t t♦ ❝♦♥s✐❞❡r✐♥❣ t❤❛t ❡✈❡r② s❡❣♠❡♥t ✐s ✐♥t❡r♣r❡t❡❞ ❛s

♦♥❡ ♦❜❥❡❝t✳

✕ ❆s ❧♦♥❣ ❛s t❤❡ ❝♦♥s✐st❡♥❝② ♠❡❛s✉r❡ ♦❢ t❤❡ ♣❛rs❡ tr❡❡ ❞❡❝r❡❛s❡s✿

• ❚❤❡ ❝♦♥s✐st❡♥❝② ♠❡❛s✉r❡ ✐s ❝♦♠♣✉t❡❞ ❢♦r ❛ s❡t ♦❢ ❛❧t❡r♥❛t✐✈❡ ❤②♣❡r❣r❛♣❤s✱ ❡❛❝❤ ♦♥❡ ❜❡✐♥❣

♦❜t❛✐♥❡❞ ❜② ❛♣♣❧②✐♥❣ ♦♥❡ s✐♥❣❧❡ ❡❧❡♠❡♥t❛r② ♠♦❞✐✜❝❛t✐♦♥ t♦ t❤❡ ❝✉rr❡♥t ♣❛rs❡ ❤②♣❡r❣r❛♣❤✳

❚❤❡ ❡❧❡♠❡♥t❛r② ♠♦❞✐✜❝❛t✐♦♥s t❤❛t ✇❡ ❝♦♥s✐❞❡r ❛r❡ t❤❡ ♠❡r❣✐♥❣ ♦❢ ❡✈❡r② ♣❛✐r ♦❢ ♥♦❞❡s ♦❢

t❤❡ s❛♠❡ ❧❡✈❡❧ ♦❢ t❤❡ ❤✐❡r❛r❝❤② ♦❢ t❤❡ ♣❛rs❡ ❣r❛♣❤✳ ■❢ t❤❡ ♥♦❞❡s ❛r❡ t❡r♠✐♥❛❧ ♥♦❞❡s✱ ❛ ♥❡✇

♥♦❞❡ ✐s ❝r❡❛t❡❞ ✇❤✐❝❤ ✐s ❧✐♥❦❡❞ ❜② t❤❡ ✏♣❛rt ♦❢✑ r❡❧❛t✐♦♥s❤✐♣ ✇✐t❤ t❤✐s ♣❛✐r ♦❢ ♥♦❞❡s✳ ■❢ t❤❡

♥♦❞❡s ❛r❡ ♥♦t t❡r♠✐♥❛❧ ♥♦❞❡s✱ ❛ ♥❡✇ ♥♦❞❡ ✐s ❝r❡❛t❡❞ ✇❤✐❝❤ ✐s ❝♦♠♣♦s❡❞ ♦❢ ❛❧❧ t❤❡ ❝❤✐❧❞r❡♥

♦❢ t❤✐s ♣❛✐r ♦❢ ♥♦❞❡s✳

• ❚❤❡ ♣❛rs❡ ❤②♣❡r❣r❛♣❤ ♠✐♥✐♠✐③✐♥❣ t❤❡ ❝♦♥s✐st❡♥❝② ♠❡❛s✉r❡ ✐s ❦❡♣t ❢♦r t❤❡ ♥❡①t ✐t❡r❛t✐♦♥✳

✕ ❚❤❡ ❧❛st ♣❛rs❡ ❤②♣❡r❣r❛♣❤ ✐s ❦❡♣t ❛s t❤❡ ♦✉t♣✉t ♦❢ t❤❡ ♠❡t❤♦❞✳

✻ ❊①♣❡r✐♠❡♥ts

❚❤❡ ❑■❚❚■ ❞❛t❛s❡t ❬✻❪ ✇❛s ✉s❡❞ t♦ ✈❛❧✐❞❛t❡ ♦✉r ❛♣♣r♦❛❝❤✳ ❚❤❡ st❡r❡♦ ❝♦❧♦r ❝❛♠❡r❛ s②st❡♠ ❛♥❞

❱❡❧♦❞②♥❡ ▲■❉❆❘ ✇❡r❡ ✉s❡❞ ❛s s❡♥s♦rs✳ ❯s✐♥❣ t❤❡ ❛❧❣♦r✐t❤♠s ♣r❡s❡♥t❡❞ ✐♥ ❬✶✶❪✱ t❤❡ ✐♠❛❣❡s ♦❢ t❤❡