Sur la conjecture de Langlands locale pour $GL_n$

J

OURNAL DE

T

HÉORIE DES

N

OMBRES DE

B

ORDEAUX

G

UY

H

ENNIART

Sur la conjecture de Langlands locale pour GL

n

Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux, tome

13, n

o

_{1 (2001),}

p. 167-187

<http://www.numdam.org/item?id=JTNB_2001__13_1_167_0>

© Université Bordeaux 1, 2001, tous droits réservés.

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Sur la

_conjecture

de

_Langlands

locale

_pour

_GLn

par GUY HENNIART

RÉSUMÉ. Nous

_développons

une variante de notre démonstration des

_conjectures

de

_Langlands

_pour

_GLn

sur les _corps

_p-adiques.

Cette variante soulève d’intéressants

_problèmes

de

_plongement

avec ramification _prescrite. Nous examinons

_également

les

pro-priétés

de naturalité de la

_{correspondance}

locale et des

consé-quences

globales

de cette variante.

ABSTRACT. We propose a variant to our

proof

of the

Langlands

conjecture for _GLn over

p-adic fields,

a variant which raises some

interesting

embedding problems

with

_prescribed

ramification. We also _investigate various

_naturality

_properties of the local

corre-spondence

and the

_global

consequences of that

proof.

1. Introduction

(1.1)

Aux Journées

_{arithmétiques}

de

_Rome,

dont

_je

tiens à remercier ici les

organisateurs, j’ai

présenté

les

_{progrès récents,}

et

_{spectaculaires,}

sur ce

qu’il

est convenu

_{d’appeler "programme}

de

_Langlands",

_qui

relie

_{représentations}

galoisiennes

et

_{représentations automorphes,}

sur les _corps

globaux.

D’une

_part

M. Harris et R.

_Taylor

ont établi

_[HaT]

la

_{correspondance}

de

_Langlands

pour

GLn

sur les _corps

p-adiques

ainsi que de nouveaux cas pour des corps de nombres. D’autre

part,

L.

_Lafforgue

_[Lf]

a

_{complètement}

démontré cette

_{correspondance}

pour les corps

globaux

de

caractéristique

non nulle. Par ailleurs encore B.

_Conrad,

lors de ces mêmes

_Journées,

annonçait

que toute courbe

elliptique

sur Q

est

modulaire,

et K. Buzzard

que certaines fonctions L d’Artin icosaédrales sont

entières,

deux résultats

qui

relèvent aussi du _programme de

_Langlands.

Cependant

le

_présent

article n’est _pas la rédaction de

_l’exposé

donné aux

Journées

_{arithmétiques.}

Le lecteur _pourra, outre les articles

_originaux,

con-sulter les

_rapports

excellents et détaillés de H.

_Carayol

_[Ca2]

et G. Laumon

[Lm]

au Séminaire Bourbaki

(voir

aussi

[He6]).

(1.2)

Je voudrais

_présenter

ici une _preuve de la

correspondance

_pour

GLn

sur les _corps

_p-adiques.

Il

_s’agit

d’une variante de la méthode de

_[He5],

méthode

_qui

est

_plus

directe et

_plus

_simple

que celle de

[HaT],

mais ne

donne _pas de modèle

_{géométrique.}

Cette variante est

_{plus naturelle,}

elle

a

quelques conséquences globales

_que nous

développerons,

et surtout elle est reliée à des

_problèmes

de

_plongement

_qui

ne semblent _pas avoir été

suffisamment

_explorés.

En

_{l’exposant,}

nous serons amenés à

rappeler

le

principe

des démonstrations de

_[HaT]

et

_[He5],

_{ainsi que} les

_principales

étapes

de

_[He5],

de sorte _que cet article

_comporte

en fait un bref

_rapport

sur les _preuves de la

_{correspondance}

locale.

(1.3)

Terminons cette

_simple

introduction _par un énoncé

précis

du résultat

à établir.

Nous fixons un nombre

_premier

_p, une extension finie K de et une

clôture

_{algébrique K}

de K. Nous notons

_WK

le _groupe de Weil de K sur K et normalisons

_{l’application}

de

_{réciprocité}

TK : K" de la

théorie des _corps de classes de _{sorte que} les substitutions de Frobenius

géométriques correspondent

aux uniformisantes de K. Enfin nous fixons un

_{quasicaractère}

additif non

_{trivial 0}

de K dans CI.

Pour

_chaque

entier n &#x3E;

_1,

nous notons

_{"-0 (n)}

l’ensemble des classes

d’isomorphisme

de

_{représentations complexes}

continues de

_Wx,

de

dimen-sion _{n, et}

_40K(n)

l’ensemble des classes

_{d’isomorphisme}

de

_{représentations}

complexes

lisses irréductibles

_{supercuspidales}

de

_GLn(K).

_{L’application}

de

_{réciprocité}

TK donne une

bijection x H

&#x3E;

7r(X)

_entre

~(1),

identifié à

l’ensemble des

_{quasicaractères}

et

_{AO (1),}

identifié à l’ensemble des

_{quasicaractères}

KX -+ CI . L’énoncé

_{suivant, expression}

des

conjec-tures de

_{Langlands, généralise}

cette

_bijection

à tout entier n &#x3E; 2.

Théorème. Il existe une

famille

(7rn)n2l

de

bijections,

de

g1(n)

sur

A’ (n),

caractérisée _par les

_propriétés

suivantes.

(i)

Pour n &#x3E; 1 et E déterminant de cl vu comme

quasicaractère

de

_{WK, correspond}

au

quasicaractère

central

_cv~(~)

de

7r(a) = 7rn(a),

_par la

théorie du _corps de classes :

Dans cet

_énoncé,

_{l’exposant v}

_indique

la

_{contragrédiente.}

Pour une

représentation

continue a de

_WK,

_{L(a, s)}

est son facteur L

_d’Artin,

et s,

x)

la constante locale définie _par

_Langlands

et

_Deligne.

Si _7T, 7r’ sont

deux

_{représentations}

lisses irréductibles de

_GLn(K)

et

_GLn~(K)

respective-ment,

les facteurs

_L(7r

x

ir, s)

et

_{é( 1f}

_{X 1f’,}

_s,

_x)

sont ceux définis _par

_Jacquet,

Piatetski-Shapiro

et Shalika

_[JPSS]

_(voir

aussi Shahidi

_[Sh]).

(1.4)

Au §

2,

nous

expliquons

le

_principe

des démonstrations de

[HaT],

[He5]

et du

_présent

article. Cette dernière

_approche

est

_développée

aux

§§

3 à

_5,

et des

_{conséquences}

_globales

données

_{au §}

6. Voir 4.5 pour des

commentaires détaillés sur la différence entre

_l’approche

_présente

_(basée

sur

[He7])

et celle de

_[He5].

_{Le §}

7 énonce des

_propriétés

de fonctorialité de la

correspondance

locale.

2. Le

_{principe local-global}

(2.1)

Notre résultat sera obtenu _par une méthode

globale,

analogue

à la

dérivation de la théorie locale du _corps de classes à

_partir

de

_l’approche

classique

de la théorie

_globale

_(voir

par

exemple

[Lg]).

Tant dans

[HaT]

que dans

[He5]

et

ici-même,

l’idée est

d’obtenir,

pour certains corps de

nombres

_F,

des cas faibles de la

correspondance globale

conjecturée

_par

Langlands,

et d’en déduire le résultat local

_complet.

Plus

_{précisément,}

fixons un _corps de nombres totalement réel

F+,

un corps

quadratique imaginaire E,

et posons F =

F+E.

Grâce à

l’étude,

par

R. Kottwitz

_[Ko],

de certaines variétés de Shimura sur F en des

_places

de

bonne

_réduction,

Clozel a montré

[Cll,

C12,

voir aussi

CL]

qu’à

certaines

représentations automorphes cuspidales

II de

_GLn(AF)

on

_peut

associer

des

_{représentations}

_galoisiennes

dont les facteurs L en _presque toutes les

places

correspondent

à ceux de II. Plus

_exactement,

si l’on fixe un nombre

premier Ê

et une identification de

Qi

à

C,

on

_peut

associer à certaines

représentations

II comme

plus

haut une

représentation galoisienne ~-adique

~ _ de

_{Gal(Q/F) ,}

de dimension un

_multiple

an de n

(autrement

dit un

homomorphisme

continu de dans non ramifiée

presque

partout,

et telle

_qu’en

_presque toute

_place

finie v de F où II est E

sont non ramifiées on ait

/ B

L’idée est _que d’abord on doit

_pouvoir

prendre

a = 1 et

_{qu’ensuite,}

même

en une

_place

finie fixée v de F où

_IIv

est

_ramifiée,

le _composant

_£v,

à

isomorphisme

près,

ne devrait

dépendre

_que de

Hv,

et non de la situation

globale

considérée,

et

_correspondre

à

IIv

par la

correspondance

locale

con-jecturée

pour

Fv, correspondance

légèrement

modifiée pour tenir

compte

du

_décalage

de la variable s dans l’identité

_(L)

_plus

haut. Il faut aussi

espérer

obtenir suffisamment

_d’exemples

de

_paires

_{(II, E)}

vérifiant

_(L)

_pour

(2.2)

Ce

_principe,

connu

depuis longtemps,

n’avait _pas

connu, jusqu’à

récemment, d’applications

au-delà de

_GL2.

Les travaux de M. Harris lui

ont redonné

_vigueur.

Dans

_[Hal],

_poursuivant

un _programme suscité _par

H.

_Carayol

_[Cal],

Harris montre _que l’étude de variétés de Shimura sur F

bien choisies

_mène,

en une

place

finie fixée v de

_F,

à un modèle

_{géométrique}

local

_qui

_permet

d’associer à un élément 7r de

(n)

une

représentation

semisimple

a(7r)

du _groupe de Weil absolu de

_F,,

bien définie à

isomor-phisme près.

Des

_arguments

de

_comptage

et de fonctorialité

_[He3,

_He4,

BHK]

montrent alors _que

_a(1r)

est irréductible et

_qu’on

obtient une

bi-jection

naturelle 7r H

a(7r)

de

(n)

sur

"-0

(n)

_qui

possède

toutes les

propriétés exigées

dans le théorème

_1.3,

sauf

_peut-être

la

_{préservation}

des facteurs

_epsilon

_(rive).

Dans

_[Ha2],

Harris tire

_avantage

du

_{comportement,}

vis-à -vis du

change-ment de base et de l’induction

_automorphe,

de la construction

pour montrer que cette

propriété

(iv~)

est

vérifiée,

pourvu que n et n’ soient

_premiers

à _p. Cela donne la

_conjecture

de

_Langlands

_{pour n p,} c’est-à-dire _que le théorème 1.3 est valable _pour une famille de

_bijections

de

_Ç)(n)

sur

4’ (n),

_pour n _p. De

plus

et

surtout,

M. Harris _{y montre}

que pour prouver l’identité

(ive)

dans tous les cas, il "sufht" d’obtenir des

renseignements

supplémentaires

sur la

géométrie

des variétés de

Shimura,

en les

_places

de mauvaise réduction.

(2.3)

M. Harris et R.

_Taylor,

dans

_[HaT],

_remplissent

avec succès ce pro-gramme.

S’inspirant

de constructions données par

Deligne

dans le cas

n =

2,

ils considèrent _en fait d’autres variétés de Shimura du même

_type,

qui

mènent à un modèle

géométrique

local

différent,

mais _pour

lesquelles

ils

réussissent à

_analyser

_presque

_{complètement}

la mauvaise réduction. Cette

prouesse leur

permet,

non seulement de _prouver le théorème

_1.3,

mais

_aussi,

comme le

suggérait Carayol

[Cal],

de _{montrer que} la

_{correspondance}

lo-cale 1r

H ~ (~r) ,

se réalise dans certains _espaces de

_cycles

évanescents à la

Berkovich,

sur des _espaces de modules de _groupes formels construits _par

Drinfeld.

(2.4)

En décembre

_1998,

en donnant

_quelques

_exposés

sur une

_première

version de

_[HaT],

_je

me suis aperçu

qu’analyser

la mauvaise réduction des

variétés de Shimura n’est _pas nécessaire _pour obtenir le théorème

_{1.3 ;}

on

peut

procéder

directement à

_partir

des résultats de

_Clozel,

en utilisant les constructions de

_[Ha2].

Bien

_entendu,

on ne trouve _pas alors de modèle

géométrique

pour la

correspondance

locale,

ni non

plus

de

_{renseignements}

nouveaux sur les variétés de Shimura. Mais cette démonstration

[He5]

est assez

_{satisfaisante,}

en ce

_qu’elle

_{montre que} le

_principe

local-global esquissé

en 2.1 suffit bien à obtenir des résultats locaux

complets.

Dans les

_§§

_suivants,

nous décrivons une variante de la _preuve de

[He5],

qui

a

quelques

conséquences

globales

prouvées

au

_§

6. Les détails

_techniques

de la preuve sont concentrés au

§

5.

3. Preuve du théorème

_{principal :}

_arguments

locaux

(3.1)

Rappelons

tout d’abord

_qu’une

famille de

_bijections

arn de

9OK(n)

sur

vérifiant les

_propriétés

du théorème 1.3 est

_forcément

_unique.

En

effet,

la

_propriété

_(i)

_implique

que xi est donnée par la théorie du corps

de

_classes,

et le résultat

_principal

de

_[He4]

dit _{que, si} n est un

_entier,

n &#x3E;

_2,

_{et que} l’on a construit des

bijections

1rr :

~K (r) ~ Ao (r),

pour

r =

1, ... , n - 1,

vérifiant les

propriétés

(i)

à

(iii),

alors il existe _au

plus

une

application

xn :

9OK(n) ----&#x3E; Ao (n)

qui

vérifie,

quel

que soit l’entier

n’,

1 n’ n - 1 et

_quels

_que soient au E

9OK(n)

et ~’ E

9OK(n’),

l’identité D’autre

_part,

les

_arguments

de

_comptage

de

_[He2]

_{impliquent qu’il}

suffit de

construire des

_{applications injectives}

xn de

Ç)(n)

dans

40(n),

vérifiant

les

_propriétés

_(i)

à

_{(iv) :}

elles sont alors

_{automatiquement}

_bijectives.

(3.2)

Dans

_l’approche

de

_[Ha2],

et ici

_également,

il est essentiel de ne _pas se limiter aux

représentations

irréductibles de

Wx.

Nous considérons

plus

généralement

des

_{représentations}

_semisimples,

et nous notons le

groupe de Grothendieck

correspondant,

que nous identifions au Z-module

libre de base l’union

_disjointe

_~K

des

_~(~)?

n &#x3E; 1.

Ce _groupe est muni d’un certain nombre de structures intéressantes.

Pour a E on définit son

degré

deg(o,),

sa

_{contragrédiente}

ol

E

Rg(K),

son déterminant det Q E

~K(1),

son facteur

_L,

L (u, s)

_{et, pour tout}

caractère additif non

trivial 0

de

K,

son facteur _s,

~) :

on

procède

_par

íl-linéarité à

_partir

des définitions

_déjà

données sur

90K.

De

_plus

_{7Zç (K)}

est muni du

_produit

tensoriel des

_{représentations}

_semisimples

de

_WK,

et d’un

produit

scalaire

_{( , ) G}

_pour

_lequel

la base

_go

est orthonormée. Notons _que

pour

0-,0-’

E

_Rg(K),

le

_produit

scalaire

_(o-,o-’)g

n’est _{autre que} l’ordre du

pôle

en s = 0 du facteur

L(Q

₀

o-’v,

s) :

c’est clair

pour 0-, 0-’ E et le cas

général

s’en déduit _par Z-linéarité.

(3.3)

On effectue des constructions

_analogues

sur l’autre versant. On note

le Z-module libre de base l’union

_disjointe

des

_40K(n),

_pour

n &#x3E;

_1,

et _pour x e on définit son

_degré

_deg(1r)

_(qui

vaut n _pour x E

A1(n)),

K(

₎₎

sa

_{contragrédiente}

1rv,

son caractère central _úJ1r.

_{Pour X}

E

,A.K ( 1 )

on note _xx l’élément de

_RA(K)

obtenu par torsion de 1r _par

x o det.

Toutes ces constructions sont linéaires en 7r. Pour _7r, 7r’ dans

_{R A(K)}

on

définit aussi les facteurs

_{L( 1r}

x

x’,

_s)

et x

~r’,

_s,

_~)

_par leur valeur sur

la base et Z-bilinéarité. On munit

_RA(K)

du

_produit

scalaire

_{( , ),~}

_pour

autre _que l’ordre du

_pôle

en s = 0 de

L( 1r

x

7r’ ,

_{s) :}

cela découle de

_[JPSS,

Prop.

8.1]

pour

1r, 1r’

dans et le cas

_général

s’en déduit _par Z-bilinéarité.

(3.4)

Nous allons _{prouver, par} voie

_globale,

le résultat suivant :

Théorème. Il existe un

homomorphisme

de _groupes

injectif

m--~ de

Rç(K)

dans

_RA(K)

_qui

_vérifie

les conditions suivantes

(i)

Pour a E

_Rç(K)

et X E

AK(1),

on a :

et pour tout caractère

_additif

non

_trivial

de

_K,

(3.5)

Montrons _que le théorème 1.3 en est une

_{conséquence.}

Soit Q E

çK(n).

On a

(a, a)g

= 1 d’où

(7r(a),7r(a))A

= 1

également,

_et

:l:7r(a)

_appartient

à Comme on a aussi =

deg,

_on voit

que

appartient

à

_AK(n).

Si a’ est un autre élément de

_9OK(n)

tel _que

_{~r(Q) _}

_7r(a’),

alors

_(7r(a),

= 1 d’où

(a, u’)ç

= 1 et u = a’. On obtient

donc,

par

restriction,

pour

chaque

entier n &#x3E;

1,

une

application

injective

a - de

!JOK (n)

dans

_A7«n),

et cette famille

_{d’applications}

vérifie bien les

_propriétés

(i)

à

_(iv)

du théorème 1.3. Par ce

_qui

a été

rappelé

en

3.1,

cela

implique

le

théorème 1.3 en entier.

4. Du

_global

au local

(4.1)

Nous _prouvons le théorème 3.4 _par voie

_globale,

_prenant

comme _corps

de base un _corps de nombres F dont un

complété

est K. Nous verrons F

comme _sous-corps du

corps Q

des nombres

complexes algébriques

sur

Q,

et noterons

_WF

le _groupe de Weil

_{de Q}

sur

_F,

et TF :

WF ~

A;’/Fx

l’application

de

_{réciprocité}

_(normalisée

de

_{façon compatible}

à la

normali-sation

_locale).

_Enfin,

nous fixons un caractère additif non trivial W de

_AF,

trivial sur F.

(4.2)

Soient E une

_{représentation complexe}

continue de

_degré

n de

WF,

et H une

représentation

automorphe

de

GLn(AF) .

On dit _que E et H sont

associées

_si,

_{pour presque} toute

_place

finie v de F où les _composants locaux

Ev

et

11~

sont non

_ramifiés,

on a

L(Ev, s)

=

L(IIv,

s).

Autrement

dit,

_en presque toute

place v

de

F,

Ev

et

11~

se

_{correspondent}

_par la

correspon-dance de

_Langlands

non ramifiée. Cela

implique

immédiatement _que les

cvn est le caractère central de II. De

_plus,

_{si X}

est un

quasicaractère

de

alors

_(x

o

TF)

(X

o

det)

₀ 1-1 sont associées.

Si :E est fixée il

_existe,

à

_isomorphisme

_près,

au

plus

une

représentation

automorphe

isobare de

_{GLn (A F )}

associée à E. Si II est

_fixée,

il

_existe,

à

iso-morphisme près,

au

plus

une

représentation

complexe

continue

semisimple

de

_degré

de

_WF,

associée à II.

(4.3)

Le résultat suivant est tiré dans

_[He5]

des considérations sur les fonc-tions L de

_{[He2, § 3],}

dans le cas où E et ~’ sont

_{irréductibles,}

et

_II,

II’

cuspidales.

La

_{généralisation présente}

n’est _pas nécessaire à la preuve du

théorème

_3.4,

mais elle est

_importante

_pour les

_applications

_globales

du

_§

6.

La _preuve est une variante facile de celle de

_{[He5] ;}

elle est donnée en 4.4.

Théorème.

_{Soient £, £’}

deux

_{représentations complexes}

continues

unitai-res de

_WF,

de

_{degrés respectifs n}

et

_n’,

et soient

_1-I,

1-I’ deux

_{représentations}

automorphes unztazres,

induises de

_cuspidales

au sens de

[ACIII],

de et

_GLn,(AF)

_{respectivement.}

On _suppose

_{que S}

et II d’une

_part,

~’ et II’ d’autre

_part,

sont associées.

_Alors,

pour toute

place

finie

v de

_F,

on a

Remarque.

Si X

et

_x’

sont des

_{quasicaractères}

de alors le résultat du théorème reste vrai _pour

_(X

o

TF)

_0~,

(x’

o

TF)

₀

~’,

(X

o

det) 0

II,

(x’

o

det)

0 II’

_{respectivement.}

En effet un

quasicaractère

de est

produit

d’un caractère

_(unitaire)

_par un

_{quasicaractère}

réel z -

IxIF’

où se traduit

simplement

_par un

décalage s

H s + a de la variable s dans

les facteurs L et e de

_{paires ,}

du côté

_galoisien

comme du côté

automorphe.

(4.4)

Prouvons le théorème 4.3. On suit le raisonnement de

_[He5,

_§

_2],

et on voit

qu’il

sufht de _prouver le résultat suivant.

Théorème. Soient F un _corps de

_nombres,

F une clôture

_algébrique

de

_F,

et

WF

le _groupe de Weil de F sur F. Soient £ une

représentation

continue unitaire de

_{degré n}

de

_WF,

et II une

représentation

automorphe

unitaire

induite de

_cuspidales

au sens de

[AC,III].

Supposons

et Il soient

associées.

_Alors,

_{pour toute}

_{place finie}

v de

F, IIv

est induite

_parabolique

d’une

_{représentation supercuspidales}

unitaire d’un _sous-groupe de Levi de

GLn(Fv).

Pour obtenir ce

théorème,

on suit la démonstration de

[He5, Appendice],

qui

établit le résultat dans le cas

_particulier

où £ est irréductible et II

cuspidale.

Comme en

[He5, A.l],

le fait _que

£v

soit unitaire

_impose

_que

le facteur

_--y(IIv

x _s,

_lbv)

ait un zéro en s =

zéro ni

_pôle

en tout autre nombre réel. D’autre

_part,

comme II est unitaire et induite de

_cuspidales,

_IIv

est unitaire et

_générique.

Le raisonnement de

[He5,

A.2 et

_A.3]

_s’applique

alors à

_{l’identique.}

(4.5)

Considérons l’ensemble

_r(F)

des

_couples

de la forme

_((x

o

TF )

®

_S’,

_(X

o

det)

Q9

_1-l),

_{où X}

est un

quasicaractère

de E’ une

représentation complexe

continue unitaire de dimension n de

_WF,

et II’

une

représentation automorphe

unitaire de

GLn (AF),

induite de

cuspidales,

telle _que Z/ et II’ soient

_{associées ;}

alors E et II le sont aussi.

Soit

_{(£, H)}

E

_r(F).

En une

_place

finie v de

_F,

le

_composant

Ev

est

semisimple,

et on

_peut

considérer sa classe

[£v]

dans le _groupe de

Grothen-dieck on la note

_{II) .}

De

_même,

le

_composant

I1v

est induite

parabolique

de

_{supercuspidales :}

il existe une

_partition

n = de _n

et, pour i =

1, ... ,

_{r, une}

représentation

lisse irréductible

supercuspidale

_7~

de

_{GLni (Fv)}

telles _que

_IIv

soit

_induite,

à

_partir

du _sous-groupe

_triangulaire

supérieur

dont les blocs

_diagonaux

sont de tailles successives _{nl, ... , nr,} de la

_{représentation}

définie _par 7rl 0... La somme

1-7r,]

+ ... + dans

où

_désigne

la classe de ~r2 dans est déterminée par on la note ou

V,4 (E,

Il)

-On a ainsi défini deux

_applications

_pç et de

_{r (F)}

dans et

respectivement.

(4.6)

En suivant

_{[He5, 2.8]}

on _prouve alors

aussitôt,

grâce

au théorème

_4.3,

le résultat suivant.

Théorème. Soient F un _corps de

nombres,

et v une

place finie

de F.

Notons

_{Rg (F,, F)}

le _sous-groupe de

_engendré

_par

_l’image

de _pç,

et

_{RA(Fv, F)}

le _sous-groupe de

_RA(Fv)

_engendré

par celle de VA. Alors

il existe un

_{unique isomorphisme}

de _{groupes a -} de

Rç(Fv,

F)

dans

qu’on ait

=

pour

(S, 11)

E

_{r (F) .}

De

plus,

pour a E

_{7Zç (F,, F),}

on a

pour tout

quasicaractère

et pour tout caractère

_additif

non

trivial 0

de

Fv,

(4.7)

Pour obtenir le théorème

_3.4,

il sufht maintenant de voir

_qu’il

existe un

cp de

Fv

sur

K,

tels _que

F)

soit

Rg(Fv)

tout entier : le théorème 3.4

se déduit du théorème 4.6 _par

_transport

de structure via cp.

Nous _prouverons cette

_{propriété au §}

_5,

_quand

_p est

_impair,

en nous

appuyant

sur les résultats de

[He7].

Le cas où _{p vaut} 2 sera un _peu

_plus

compliqué,

les résultats de

_[He7]

étant moins

_{précis :}

voir ci-dessous 4.8 et

4.9.

C’est ici que la démonstration

_présente

diff’ere sensiblement de celle de

[He5].

Dans

_[He5],

on montrait

_simplement

_{que pour} une

_partie

fixée J

quelconque

de

_90K

on

pouvait trouver F,

v, cp comme

plus

haut,

de sorte que

Rg(Fv,

F)

donne,

par

transport

de structure via p, une

_partie

de

7Zç (K)

contenant J. On obtenait ainsi une

_{application partielle a -}

7r(a)

de J

dans

_RA(K).

Il fallait ensuite prouver que l’on

pouvait

faire croître

J,

en

changeant

éventuellement

_{F, v}

et _~p, de

_façon

_que

_{l’application a H}

_7r(a)

ne

dépende

pas de ces choix

changeants.

Cela entraînait une démonstration peu naturelle.

Même si elle utilise les résultats assez élaborés de

[He7]

(mais

ceux-là sont des résultats de théorie

_algébrique

des

_{nombres, n’ayant}

a

_priori

rien

à voir avec les

représentations

automorphes),

la variante

proposée

ici est

plus

directe.

_Surtout,

elle

_permet

d’obtenir des

_{conséquences globales}

_pour

un _corps de nombres fixé

(voir

§

6),

ce _que la _preuve de

[He5]

ne

permettait

pas.

(4.8)

Expliquons

maintenant comment les résultats

_{du §}

5

_permettent

d’ob-tenir le théorème 4.6

et,

du _coup, notre résultat

_{principal 1.3, quand}

_p

vaut 2.

Reprenons

la situation de 4.1

_(avec

_p

_quelconque

_pour

_l’instant)

et

con-sidérons une extension

_cyclique

F’ de F

_{dans Q ;}

notons

_WF,

le _groupe de Weil

_{de Q}

sur F’. Si E est une

_{représentation}

_complexe

continue unitaire de

WF,

sa restriction

EFI

à

WF,

est une

représentation

complexe

continue uni-taire de

_WF,.

Si H est une

représentation automorphe

unitaire de

GLn(AF),

induite de

_cuspidales,

alors son

changement

de base

_HF,

[AC,III]

est une

représentation automorphe

unitaire de induite de

_cuspidales.

On en déduit aussitôt _que si

(2;, TI)

est un élément de

r(F),

alors le

couple

appartient

à

_r(F’).

Soient v une

_place

finie de F et v’ une

place

de F’ au-dessus de v. Alors la

restriction à

_WF,

des

_{représentations}

de

_WFv

induit une

application

Res $&#x3E;

v

v~

de dans

_{7Z~ (Fv, ),}

et, de manière

_parallèle,

la théorie locale du

changement

de base

_[AC,

_chap.

_I]

induit une

_application

BCF;

de

, ~

v

dans

_{IZ-4 (Fv,).}

Pour

_{(~, II)}

E

_r(F),

on _a, en

_désignant

encore _{par ~p~} et

et

C’est évident _{pour pç,} et _{pour VA} cela découle de la

_{compatibilité}

entre

changement

de base

_global

et

_changement

de base local

_[AC,

_Chap.

_III].

Si l’inclusion de

Fv

dans

_Fv,

est un

_{isomorphisme,}

alors on

_peut

se

per-mettre d’identifier à _" via et à via

, "

Des formules

_{précédentes,}

on déduit alors _que

F’)

con-Fl

tient

_Rg(Fv,

_F),

_que

_F’)

contient

_{RA(Fv, F)}

et _que

_{l’application}

~ H

~(~)

de

F’)

dans

F’),

obtenue à

_partir

de

r(F’),

prolonge l’application a -

7r(a)

de

_{Rç (Fv, F)}

dans

_{RA (Fv,}

_F)

obtenue à

partir

de

_r(F).

(4.9)

Supposons

maintenant que p vaille

2,

c’est-à-dire _que K soit une extension finie de

_~2.

Nous montrerons au

§

5

qu’on

_peut

trouver un _corps de nombres

_F,

une

place

finie v de

_F,

et un

_{isomorphisme topologique p}

de

_Fv

sur

K, qui

vérifient la

_propriété

_(P)

suivante :

(P)

Soit ,S’ une

partie

finie de Alors il existe une suite finie F =

Fo

C ... C

Fr

d’extensions

quadratiques

successives

dans Q

et pour i =

0, ... ,

r une

place v2

de Fi

avec vo = v, vérifiant

(i)

et

_(ii)

_ci-après.

(i)

Pour i =

_{0, ... , r -1,}

v2+1 est au-dessus

de v2

et l’inclusion de dans

Fi+,,vi+l

est un

isomorphisme.

(ii)

La

_partie

S est incluse dans le sous-module

Dans les conditions

_{précédentes,}

on note

_7r(a)

_l’image

de Q E S _par

l’applica-tion déduite de Comme le

_composé

de deux extensions de F obtenues

par extensions

quadratiques

successives est aussi obtenu par extensions

quadratiques

successives,

on voit aussitôt _que

1r( a)

ne

dépend

_pas des

choix effectués. Faisant croître

_S,

on définit

_{l’application}

m--&#x3E;

7r(a)

de

dans

_RA(Fv)

et on la

_transporte

de

_Rg(K)

dans

_RA(K).

Grâce

au théorème

_4.5,

et aux faits

rappelés

en

4.1,

l’application

de

Rg(K)

dans

_{R A(K)}

ainsi obtenue a toutes les

_{propriétés requises}

_{pour prouver} le théorème 1.3.

Remarque.

Des considérations

_développant

les

_{précédentes}

donneront les résultats

_globaux

du

_§

6. D’autre

part

le

_comportement

de la

corres-pondance

de

_Langlands

vis-à-vis du

_changement

de base et de l’induction

5. Constructions

_globales

(5.1)

Dans ce

§

5,

nous

rappelons

les constructions de

[Ha2,§ 4],

et nous montrons comment elles

_permettent,

en

_appliquant

[He6],

de _prouver les

résultats annoncés en 4.7 et 4.9.

On fixe un _corps de nombres totalement réel

_F+,

muni d’une

place

finie v

de

_{caractéristique}

résiduelle _{p, et} un _corps

quadratique

imaginaire

I,

scindé en _p. On note F’ le _corps

_F+I,

et on choisit une

place

de

F’,

encore notée _v,

au-dessus de la

_{place v}

de

_{F+ .}

On choisit

_également

un _corps

quadratique

réel

_R,

scindé en _{p et} linéairement

disjoint

de

_F+,

et on note F le corps

F’R

=

F+IR,

et v, v’ les deux

places

de F au-dessus de la

place v

de F’.

Les constructions de

_{[Ha2,§ 4]}

donnent alors le résultat suivant.

Théorème. Soit

_L+

un _corps de nombres totalement

réel,

extension

ga-loisienne

_finie

de

_F+.

Posons L’ =

_L+I,

L =

L’R,

et supposons

L+

et

R linéairement

_{disjoints. Supposons qu’au-dessus}

de la

_place

v de

F+, L+

n’ait

_qu’une

seule

_place,

encore notée _v, dont le _groupe de

_{décomposition}

soit

_Gal(L+/F+)

tout entier. Notons encore v

l’unique

place

de L au-dessus

de la

_place

v de F. Alors tout élément de

7Zç (F,)

qui

est induit à

partir

d’un caractère du groupe de Weil d’une extension intermédiaire entre

Fv

et

Lv

appartient

Voir

_[He5,§

_3,

_HaT,

_§

_12]

et aussi ci-dessous 5.5 _{et sq. pour}

_quelques

commentaires sur les

_arguments

de

[Hal]

et

[Ha2]

menant à cette assertion.

(5.2)

Soit K le _corps local

_qui

nous

_intéresse,

extension finie de

_Qp.

On

peut

certainement trouver un _corps de nombres totalement réel

_F+,

muni

d’une

_place

finie v et d’un

_isomorphisme

_cp de

_(F+)v

avec K

_[Hel,

lemme

3.6].

Donnons-nous une extension

galoisienne

finie de

K,

_{ou ,} ce

_qui

revient au

_même,

une extension

_galoisienne

finie L de

_(F+)v.

Comme en

_5.1,

fixons un _corps

quadratique imaginaire

I scindé en _{p, et} une

_{place v}

de F’ =

_F+I

au-dessus de la

_{place v}

de

_F+.

(5.3)

Dans un

_premier

_temps,

_{supposons p}

_impair

et fixons un _corps

quadra-tique

réel R scindé en _p, linéairement

disjoint

de

F+,

et une

place v

de F =

F’R

au-dessus de la

place v

de F’.

Alors, d’après

[He6],

il existe un _corps de nombres totalement réel

E+,

extension

_galoisienne

finie de

_F+,

linéairement

_disjoint

de

_F+R,

_qui

n’ait

qu’une

seule

_place

_(encore

notée

_v)

au-dessus de la

_{place v}

de

_F+,

dont le _groupe de

_{décomposition}

soit

_{Gal (E+ /F+ )}

tout

_entier,

et tel

_qu’enfin

l’extension

_(E+)v

de

_(F+)v

soit

_isomorphe

via p à l’extension L de K.

Grâce au théorème

_5.1,

on déduit _{que tout} élément de

_qui

est

in-duit à

_partir

d’un caractère du _groupe de Weil d’une extension intermédiaire

la

_{place v}

de

_F),

_appartient

à le sous-module de

_{Rç (Fv)}

en-gendré

par de tels éléments est donc tout entier contenu dans

Rg (Fv,

F).

Faisant varier

_L,

on voit donc _que

Rg(Fv, F)

=

7Zç (Fv ) .

Mais

p induit un

isomorphisme

de

_Fv

sur

K ;

_par

_transport

de

_structure,

on obtient bien le

résultat annoncé en 4.7.

(5.4)

Supposons

maintenant p

= 2.

Alors, d’après

[He6],

il existe une suite finie de _corps de nombres totale-ment réels

et _{pour i} =

0, ... ,

r une

_place

finie _v2 de

_Fi,

avec _vo = _{v, et} vérifiant

(i)

et

(ii)

ci-après :

(i)

Pour i =

0, ... ,

_{r -}

1,

l§+1

est une extension

quadratique

de

Fi,

_v2+1 est une

_place

au-dessus

_{de v2 et}

l’inclusion de dans est un

isomorphisme.

(ii)

Il existe un _corps de nombres totalement réel

E+,

extension

galoisi-enne finie de

_{Fr ,}

_{n’ayant qu’une}

seule

place

au-dessus de _{vr ,} de _groupe de

décomposition

Gal ( E+ /Fr )

et de

_{complété isomorphe}

_{via ~p} à l’extension L

de

_{Fr,vr =}

_(F+)v.

Choisissons maintenant un _corps

quadratique

réel R scindé en _{p et} liné-airement

_disjoint

de

_E+,

et _posons E =

E+IR

et F =

FrI R.

Si _on note encore v une

place

de F au-dessus de la

place vr

de

Fr,

l’inclusion de

( F+ ) v

dans

_Fv

est un

_{isomorphisme,}

_par

_lequel

on

_peut

identifier

à Comme

_{précédemment,}

on voit _{que tout} élement de

qui

est induit à

_partir

d’un caractère du _groupe de Weil d’une extension

intermédiaire entre

_(F+)v

et

_{L, appartient}

à Comme _{pour toute}

partie

finie ,S’ de on

_peut

trouver une extension

_galoisienne

finie L de

_{( F+ ) v}

telle _que tout élément de S soit combinaison linéaire de telles

induites,

on a bien

prouvé

la

propriété

annoncée en

4.9,

ce

_qui

termine la preuve du théorème 1.3.

( 5.5 )

R.

_Taylor,

_{et je}

l’en

_remercie,

m’a

_signalé

deux

_points

à

_préciser

sur

la preuve du théorème 5.1 donnée dans

[Ha2,

§

4].

Le

_premier

concerne le résultat

_global

de

départ,

_qui

est un théorème dû

pour l’essentiel à Clozel

~Cll,

C12,

CL],

et utilisant les travaux de Kottwitz

sur la bonne réduction des variétés de Shimura

[Ko].

L’énoncé est le

_suivant,

où

_F+

est un _corps de nombres totalement

_réel,

I un _corps

quadratique

imaginaire,

F le _corps

_F+I

dont on note c la

conjugaison

complexe.

On

fixe aussi un nombre

premier

et un

isomorphisme

de C sur le _corps

Qi,

clôture

_algébrique

de

_Qt.

Théorème. Soit TI une

représentation

automorphe cuspidale

de

GLn (AF ) .

Faisons les

_hypothèses

suivante

(ii)

II est

_algébrique

à

_l’infini,

et

_{régulier ;}

(iii)

à une

_place

finie

au

_moins,

de

_{caractéristique}

résiduelle scindée dans

I,

le

_composant

de II est une série discrète.

Alors il existe un entier a &#x3E; 1 et une

_{représentation é-adique}

_semisimple

E :

_{Gal(F/F) - GLan(Qt)}

telle _que, à _{presque toute}

_{place finie}

v de

F,

on

ait

Remarque.

L’hypothèse d’algébricité

de

_(ii)

_peut

encore

s’énoncer,

comme

dans

_[HaT],

en disant _que

_{Ih a}

même caractère infinitésimal

_qu’une

repré-sentation

_algébrique

de

_Resf/i

_{GLn .}

La

_{régularité signifie}

alors _que le caractère infinitésimal est

_régulier.

L’article

_[Hal]

_présente

un

_argument,

dû à R.

Taylor,

_{pour montrer que}

l’on

_peut

_prendre

a = 1. Mais cet

argument

nécessite des

_{renseignements}

sur la théorie de

Hodge-Tate ~-adique,

_{qui peut-être}

ne _{sont pas} établis

dans la littérature dans la

_{généralité}

sufflsante. D’aute

_part

_supposer a = 1

n’est absolument _pas nécessaire _pour obtenir le théorème 5.1. Il convient

donc de se _passer de cette

_hypothèse.

(5.6)

Le deuxième

_point

est dans

_[Ha2],

où on considère la situation sui-vante. On a une extension

_cyclique

E+/F+

de _corps totalement

_réels,

et

on

pose E

=

E+I.

On

part

d’une

_{représentation}

_{automorphe cuspidale}

T

de

_{GLn (AL )}

vérifiant les

_hypothèses

du théorème

_5.5,

et on _{suppose que}

l’induite

_automorphe

II de T

(dans

l’extension

cyclique

L/F),

au sens de

[AC,III,

§

6],

est

_cuspidale

et vérifie

_(iii).

_Alors,

_(i)

est vérifiée

_mais,

_pour des raisons de

_parité

de n et

_d,

il

_peut

arriver que

(ii)

ne le soit _pas, ce

_qui

pose

problème

lors des

arguments

de

_[Ha2,

_§

_4].

Ces deux

_points

sont éclaircis dans

_{[HaT,§ 12],}

_qui

montre

_qu’ils

n’ont

pas de vraie influence sur la _preuve de

[Ha2, §

4].

Nous _reprenons

ci-dessous cette

_démarche,

_{parce que notre contexte est} différent du contexte

géométrique

de

_[HaT].

La suite de ce

§ reprend

brièvement les démonstra-tions de

_[Ha2,

_§

_4]

et

_[He5,

_§

_3],

en

_précisant

la _{preuve pour} les

_points

signalés

plus

haut.

(5.7)

Plaçons-nous

donc dans les conditions du théorème 5.1. Choisissons

une extension intermédiaire

_M+

entre

_F+

et

_L+,

et _{posons M} =

M+IR.

Notons encore v la

place

de

_M+

au-dessus de la

place v

de

L+

et la

_place

de M au-dessus de la

_{place v}

de L =

L+I R.

Donnons-nous _un caractère

quelconque À

de

_{(M+ )) cr}

_{Mv .}

Grâce à

_{[Ha2 §}

_4,

voir aussi He5 lemme

_3]

on

_peut

trouver un caractère

x de

qui

vérifie les conditions suivantes :

est

_algébrique

et

_régulier

à l’infini

_{(condition (2)}

de

_{[He5, 3.4]) ;}

cela

signifie

que pour

chaque plongement

T de M dans

C,

définissant donc une

place

infinie T de

_M,

on _{a, pour z} E

_M,

=

pour un entier pT, les entiers pT étant distincts

quand

T

_parcourt

les

plongements

de M

dans C

_prolongeant

un même

_plongement

de

_{F ;}

(iii)

le stabilisateur dans

_{de X}

o est réduit à

Gal(Lv’

/Mv~ ) (bien

sûr on a noté v’ la

place

de M au-dessus de la

place

v’

de

_{F) ;}

(iv)

xv diffère de À par un caractère non ramifié.

On note E la

_{représentation}

de

_WF

induite _par le

_{caractère X}

o _TM de

WM ;

par la condition

(iii)

son

_composant

E,,

est irréductible et £ l’est donc aussi. Tout le

_problème

est de montrer

_qu’il

existe une

_{représentation}

automorphe cuspidale

II de

_(AF)

associée à £ :

_{alors S,}

est tordue

par un caractère non ramifié de la

représentation

induite _par À.

(5.8)

On choisit une suite de _corps

chacun

_cyclique

de

_degré

_premier

sur le

_précédent.

C’est clairement

_possible

puisque

le _groupe de Galois de

_L+

sur

F+

est le même que celui de

(L+)v

sur

( F+ ) v ,

qui

est résoluble.

On raisonne par récurrence sur

l’entier j,

0 j Ç

r, en

_prouvant

_que

la

_{représentation}

_Ey

de

_{W MFj}

induite

_{de x}

o _TM

_appartient

à un

couple

+

de

_{Pour j}

_{= r,} il

_n’y

a rien à

démontrer,

et

_{pour j}

=

0,

on obtient le résultat.

En

_fait,

_{pour que} la récurrence

_fonctionne,

on va démontrer un résultat

plus

précis :

à toute

_place

à l’infini w de

_{Fj =}

_FF+,

les

_composants

et sont associés par la

correspondance

de

Langlands

pour les corps

archimédiens.

_Remarquons

_que, comme

_Eq

est

_isomorphe

à

_EY

par la

condition

_(i)

_imposée

à _x, on a aussi

_Ih

o c cr

TIf.

De

plus,

comme est irréductible _par la condition

_(iii)

_imposée

à _x, le

_composant

_£;,v,

est

supercuspidal. Enfin,

la

_{correspondance}

de

_Langlands

à l’infini n’est _pas rationnelle

_(cf.

_~Cll~,

_§

_3),

de sorte _que

_Ih

n’est pas

toujours

algébrique

à

l’infini ;

en

fait,

on vérifie aisément _{que, si aj}

désigne

le caractère norme de

A fx ,

c’est

_Ih

0

_(aj

o

det) (J )/

_qui

est

_algébrique

_(et

_régulière)

à

_l’infini,

:J ,

où l’on a

[Mj :

_Mj

=

MF+ .

(5.9)

Pour _passer

_{de j}

+ 1

_(où

_{0 j r - 1 ) à j ,}

deux cas se

_{présentent :}

ou bien

_Mj+l

=

M; ,

ou bien est une extension

_cyclique

de même

degré

premier

que

Traitons d’abord le

_premier

cas. Alors

_Ej

est l’induite de de à Notons

_Ih

l’induite

automorphe

de dans l’extension

_cyclique

Fj+l/ Fj,

au sens de

~AC,III~ .

Il est clair _que

_Ej

et

_Ih

sont

_{associées, puisque}

et

_Ih+1

le sont.

_Que

_Ej

et

_Ih

se

_{correspondent}

à l’infini découle alors

de

_[AC,

_III,

_§

5 et

_6].

Dans le second cas, est la restriction de

Ej

à Il est clair que

_Ih+1

est invariante par

Gal(Fj+l/ Fj)

donc

provient,

par

changement

de

_base,

d’une

_{représentation automorphe cuspidale}

II de Par

suite,

Ej

et II se

correspondent

à l’infini. Par

[Ha2,

§

_1,

_preuve du lemme

1.6],

II est

_tordue,

par un caractère d’ordre

_{fini IL}

de d’une

représenta-,

&#x3E; tion II’

_qui

vérifie rI’ o c =

(5.10)

Supposons

d’abord dj

impair.

Alors II’ est

_algébrique

et

_régulière

à l’infini et on

_peut

lui

_appliquer

le théorème 5.6 : il existe un entier a &#x3E; 1 et une

_{représentation}

_{Sadique semisimple}

non ramifiée _presque

_partout,

telle

qu’en

_presque toute

place w

de on ait

Considérons la restriction U de T à

_{Gal(Q /F;+i ) ;}

on a _{pour presque} toute

place

w de

/ _1 , B a

Par suite la

_{représentation}

_é-adique

U de et la

_{représentation}

complexe

somme de a

_composants

isomorphes

à

« aJ~;1)/2

0

_Ej+l

ont les mêmes facteurs _{L presque}

_partout

via

_{l’isomorphisme}

de

_lji

et (C du théorème 5.6. Il s’ensuit

_qu’il

existe une

_{représentation}

com-plexe

semisimple ET

de

_qui

_{ait presque}

_partout

les mêmes facteurs L

que

T,

et

qu’elle

est de la forme

où

_{chaque x2}

est un caractère de trivial sur les normes de à

Fj

Fj.

De

_{l’égalité}

_(*)

_plus

_haut,

on déduit _que la fonction

L(ET

0

_EV,

_s)

a un

pôle

d’ordre

a2

en s =

0,

ce

_qui

n’est

possible

_que si tous les _x2 sont

_égaux

à

un même caractère _x. On voit donc _que les

représentations

et sont

_associées,

ce

_qui

implique

_que

Ej

et

(X-1

011 le sont aussi :

on

_peut

donc _poser

_{Ih -}

(X-1

o Q9

_{II, qui}

est associée à

_Ej

et lui

(5.11)

Supposons

maintenant

_{que dj}

soit

_pair.

Le raisonnement est

ana-logue,

mais il faut

_prendre

_garde

_que II’ n’est

_{plus algébrique}

à l’infini. Choisissons un caractère _cp de

AFx / FX

tel _{que Sp} o c =

cp-l,

et tel _que pour tout

plongement

T de F dans

C,

on ait =

pour

z E F

_(ici

la valeur absolue est la valeur absolue

_ordinaire).

Nous montrerons

_{plus loin,}

en

_5.12,

l’existence d’un tel caractère. Si l’on pose 1Z" _

(p

o o

_det)

_®

IT,

alors II" est

_algébrique

et

_régulière

à

l’infini,

et vérifie II" o c ~ On

_applique

alors le théorème 5.6 à la

représentation

II",

et on

_remplace

II’ _par II" dans le raisonnement de 5.10. La conclusion est la même.

(5.12)

Il nous reste à _prouver l’existence de _p,

_qui

n’est _pas immédiate. Soient x E

_{F£, y}

E

_{F X , z}

E

_AFX

tels _que x = _{y - z - cz ;} alors on a

cx/x

=

cy/y,

_ce

qui

implique

c~ =

y, ex = _x. Notant Fc le

sous-corps de F fixé _{par c,} on

_{obtient y}

E

_{Fcx, x}

E

_{F§g .}

Notons 17

le caractère

_quadratique

de définissant l’extension

quadratique

FIFC.

On a = = 1 d’où = 1.

Choisissons un caractère de

F~

tel _{que pour}

chaque plongement

T

de F on ait

’Pr(z) =

_{pour z E F ;}

alors _poo étend le

car-actère de

_{Fc ,}

de sorte _{que, par} ce

_qui

_précède,

_poo est trivial sur le noyau H de

l’application

F~ -~

et définit donc un

car-actère du _sous-groupe

_{F~ / H}

de Le _groupe

_{F~ / H}

est

compact,

et en

_particulier

est un sous-groupe fermé de

On

_peut

donc étendre le caractère donné de

_F~/H

en un caractère de ce

qui

donne bien un caractère _cp de vérifiant Sp o c =

cp-1

_et dont le

composant

à l’infini est

_cqfd.

6.

_{Conséquences globales}

(6.1)

A l’heure

_actuelle,

on ne

_peut

_{guère espérer}

obtenir des

_exemples

de

la

_{correspondance}

de

_Langlands

sur un _corps de nombres

_F,

c’est-à-dire des

_couples

_{(£, H)}

dans

_F(F)

comme en

4.5,

en dehors des cas où F est un _corps totalement réel ou un _corps CM. Sous cette

hypothèse,

si

(~, II)

appartient

à

_r(F),

il est naturel de se demander

_si,

en toute

_place

finie v de

_F,

les éléments

_[£v]

de et de se

correspondent

bien par la

correspondance

locale _pour

_Fv.

Noter _que dans le cadre de

_[HaT],

où les auteurs font

_correspondre

à certaines

_{représentations}

_{automorphes cuspidales}

II de

_{GLn (AF)}

une

représentation

ils montrent bien

_{[HaT, § 11]}

_qu’en

une

place

finie v de

_F,

la classe

_{d’isomorphisme}

de la

_{semisimplifiée}

de

_Ev

se

déduit de

_{11~ grâce}

à la

_{correspondance}

locale de

_{[HaT, § 12].}

Nous démontrons

_ici,

en nous

_inspirant

d’ailleurs de

[HaT, §11],

un

Théorème. Soit F un _corps de nombres. On _{suppose que} F est un _corps

totalement réel ou un _corps CM. Soit E

_{r(F) .}

_Alors,

_{pour toute}

place finie

v de

F,

la classe

[Ev]

de

Sv

dans

Rç(Fv)

et la classe

[H,]

de

TIv

dans se

_{correspondent}

par la

_{correspondance}

locale _pour

Fv.

(6.2)

Supposons

d’abord _que F soit de la forme

_{F+ I ,}

où

_F+

est un _corps

de nombres totalement réel et I un _corps

quadratique

imaginaire,

scindé en _p. Choisissons un _corps

quadratique

réel

_R,

_également

scindé en _{p, et}

linéairement

_disjoint

de

_F+,

et fixons une

_place

v’ de FR au-dessus de la

place v

de F. Si

_appartient

à

_{r (F)}

alors _par

_changement

de base de F à

_FR,

on obtient un

couple

(EFR, IIFR)

dans

r(FR).

D’après

le

§ 5, l’application a -

~r (~)

de dans est

donnée _par la

_{correspondance}

locale _pour

_{( FR) v~ .}

Mais l’inclusion de

Fv

dans

_{(F R)v’}

est un

_{isomorphisme.}

On en déduit que

[E,] (qui

s’identifie à

correspond

à

(identifié

à

[(EFR)v’])

par la

correspondance

de

Langlands

pour

Fv .

(6.3)

Supposons

ensuite que F soit totalement réel. On choisit alors un corps

quadratique

imaginaire

I scindé en _p. Choisissant une

place

v’ de

F’ = FI au-dessus de la

_{place v}

de

_F,

l’inclusion de

Fv

dans

_Fv,

est un

isomorphisme.

Si on

applique

le résultat de 6.2 au

couple

de on voit que

correspond

à

( ~F~ ) v~ ~

_par la

correspondance

de

Langlands

pour ce

_qui

revient à dire _que et

_[E,]

se

_{correspondent}

par la

correspondance

de

Langlands

pour

Fv .

(6.4)

Supposons

enfin _que F soit un _corps CM. Choisissons alors un _corps

quadratique

imaginaire

I scindé en _p

_disjoint

de

_F,

et _posons F’ = FI. Notant par un indice + les _corps fixés _par la

_conjugaison

_complexe,

on a le

diagramme

suivant

F’

Le corps F’ a deux

places

_vl et v2 au-dessus de v. Le _groupe de