Revêtements du demi-plan de Drinfeld et correspondance de Langlands p-adique

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correspondance de Langlands p-adique

Gabriel Dospinescu, Arthur-César Le Bras

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Gabriel Dospinescu, Arthur-César Le Bras. Revêtements du demi-plan de Drinfeld et correspondance de Langlands p-adique. Annals of Mathematics, Princeton University, Department of Mathematics, 2017. �hal-01399890�

CORRESPONDANCE DE LANGLANDS p-ADIQUE par

Gabriel Dospinescu & Arthur-César Le Bras

Résumé. — Nous décrivons le complexe de de Rham des revêtements du demi-plan de Drinfeld pour GL2(Qp). Cette description, conjecturée par Breuil et Strauch, fournit une réalisation géométrique de la correspondance de Langlands locale p-adique pour certaines représentations de de Rham de dimension2deGal(Qp/Qp).

Abstract. — We describe the de Rham complex of the étale coverings of Drinfeld’sp-adic up- per half-plane forGL2(Qp). Conjectured by Breuil and Strauch, this description gives a geometric realization of thep-adic local Langlands correspondence for certain two-dimensional de Rham repre- sentations ofGal(Qp/Qp).

Table des matières

1. Introduction. . . . 2

1.1. Les résultats principaux. . . . 3

1.2. Survol de la preuve. . . . 7

1.3. Compléments. . . 10

1.4. Plan de l’article. . . 11

1.5. Remerciements.. . . 11

2. Notations et conventions. . . 12

3. Revêtements du demi-plan de Drinfeld et fibrés vectoriels. . . 13

3.1. L’espace de Drinfeld et ses revêtements. . . 13

3.2. Quelques rappels sur les espaces Stein. . . 14

3.3. Le caractère localement analytique deO(Σn)^∗. . . 15

3.4. Numérologie et lissité deH_dR,c¹ (Σn). . . 17

4. Uniformisationp-adique et cohomologie de de Rham. . . 18

4.1. Formes modulaires quaternioniques classiques etp-adiques. . . 19

4.2. Laπ-partie de la cohomologie de de Rham à supports deΣn. . . 21

5. Construction d’un morphismeG-équivariant. . . 23

5.1. Compatibilité local-global (d’après Emerton). . . 23

5.2. Nouvelle application du théorème d’uniformisationp-adique. . . 26

5.3. Preuve du théorème 5.1. . . 28

6.(ϕ,Γ)-modules sur l’anneau de Robba et équations différentiellesp-adiques. . . 29

7. Représentations localement analytiques deGet modèle de Kirillov-Colmez. . . 33

7.1.(ϕ,Γ)-modules et représentations deG. . . 33

7.2. L’action infinitésimale deG. . . 34

7.3. VecteursP-finis et modèle de Kirillov. . . 35

7.4. Dualité et modèle de Kirillov. . . 36

7.5. Une description utile deΠ^lisse. . . 37

8. LeG-moduleΠ(π,0). . . 39

8.1. Points fixes deψet leG-moduletNrig(V)P¹. . . 39

8.2. La représentationΠ(π,0). . . 41

9. Structure deO(Ω)-module surΠ(π,0)^∗. . . 43

9.1. Construction de l’opérateur∂surΠ(π,0)^∗. . . 43

9.2. Construction de la structure deO(Ω)-module. . . 47

10. Surjectivité deΦ. . . 50

10.1. Les tours jumelles. . . 51

10.2. Un résultat d’analyse fonctionnelle. . . 54

11. Injectivité deΦet fin de la preuve. . . 56

11.1. La représentationΠ(π,2). . . 56

11.2. Le noyau deu⁺ surΠ(π,2). . . 56

11.3. Démonstrations des théorèmes 1.2 et 1.4. . . 62

12. Compléments : quelques corollaires et une question. . . 65

12.1. Preuves des théorèmes 1.9 et 1.10. . . 65

12.2. Le complexe de de Rham dans la catégorie dérivée desD(G)-modules. . . 65

12.3. Fonctions au bord deΣnet faisceauU→tNrigU. . . 67

13. Appendice : compatibilité local-global (d’après Emerton). . . 67

Références. . . 71

1. Introduction

La correspondance de Langlands locale "classique" pour GLn entretient un lien étroit avec la cohomologie du demi-espace de Drinfeld de dimensionn−1 et de ses revêtements : la théorie de Lubin-Tate non abélienne de Carayol [9] prédit que la correspondance pour les représentations supercuspidales se réalise dans la cohomologie étale`-adique de la tour de Drinfeld [30] (ou de Lubin-Tate, selon les goûts, cf. [34] [35]) et la mise en forme de ce principe joue un rôle crucial dans la preuve d’Harris et Taylor [48] de la correspondance.

Par contraste, l’existence de la correspondance de Langlandsp-adique, qui n’est à l’heure actuelle formulée et prouvée que pour le groupeG= GL2(Qp), repose [16] sur la théorie de Fontaine [39]

des(ϕ,Γ)-modules. Elle n’a donc à première vue aucune relation avec la géométrie des revêtements du demi-plan de Drinfeld⁽¹⁾. Pourtant, le cas classique laisse espérer que celle-ci puisse expliquer la structure des représentations deG associées aux représentations galoisiennes de de Rham non triangulines. Cet article se propose de montrer que c’est effectivement le cas. Les résultats obtenus ont été directement inspirés par une conjecture non publiée de Breuil et Strauch [8], qui donnait un sens précis à cet espoir, en décrivant le complexe de de Rham de ces revêtements⁽²⁾ en termes de la correspondance de Langlandsp-adique⁽³⁾. Les résultats obtenus, que nous décrivons plus en détail dans la suite de cette introduction, indiquent que le problème analogue pour GL2(F) (F

1. Pour certaines représentations galoisiennes, on sait cependant que la correspondance se réalise dans la coho- mologie complétée de la tour des courbes modulaires [31] ; ceci joue d’ailleurs un rôle capital dans cet article.

2. Plus précisément, la conjecture était faite pour le premier revêtement.

3. La conjecture de Breuil-Strauch et les résultats de ce travail ne disent rien sur les représentations de de Rham triangulines : pour une explication, voir la remarque 1.5.

étant une extension non triviale deQp) ne sera pas une mince affaire, mais suggèrent des pistes de recherche intéressantes...

1.1. Les résultats principaux. — Nous aurons besoin de quelques préliminaires pour énon- cer notre premier résultat principal. Soit D l’unique algèbre de quaternions ramifiée sur Q_p (à isomorphisme près),O_D son unique ordre maximal et soit$_D une uniformisante deD. SoitM˘_n l’espace rigide analytique surQd^nr_p , fibre générique du schéma formel classifiant les déformations par quasi-isogénie OD-équivariante d’un OD-module formel spécial de dimension 2 et hauteur 4 sur Fp, avec structure de niveau 1 +pⁿOD. Les espaces M˘n forment une tour d’espaces analytiques, les morphismes de transitionM˘n+1 →M˘n étant finis étales. Chacun⁽⁴⁾ de ces espaces est muni d’actions qui commutent des groupes G = GL2(Qp) et D^∗, compatible avec les morphismes de transitionM˘n+1→M˘n. De plus, les espacesM˘n sont munis de données de descente canoniques à la Weil, qui ne sont pas effectives, mais qui le deviennent sur le quotient⁽⁵⁾deM˘_nparp^Z. On note Σn le modèle dep^Z\M˘n surQp qui s’en déduit. L’espace rigide analytiqueΣn est un revêtement étale deΣ0, de groupe de Galois le quotient

Gal(Σn/Σ0) =O^∗_D/(1 +pⁿOD).

SoitΩle demi-plan de Drinfeld, un espace rigide surQpdont les Cp-points sont Ω(Cp) =P¹(Cp)−P¹(Qp).

Il admet une action de G, via l’action naturelle de G sur P¹(C_p), donnée par g.z = ^az+b_cz+d si g = ^{a b}_{c d}

∈ G, où z est "la" variable sur P¹. L’espace Σ0 n’est pas bien mystérieux : il s’agit simplement de deux copies de Ω, avec action triviale de O^∗_D, l’élément $D permutant les deux copies. L’action deg∈Gest l’action naturelle surΩet échange ou non les deux copies deΩselon que le déterminant degest impair ou pair. La géométrie des revêtementsΣn et l’action deG×D^∗ surΣn sont par contre bien plus compliquées.

Fixons maintenant une représentation lisse supercuspidale π deG, de caractère central trivial (pour simplifier) et notons

ρ= JL(π)

la représentation lisse irréductible (de dimension finie) deD^∗ qui lui est attachée par la correspon- dance de Jacquet-Langlands locale. Il existe une extension finieLdeQptelle que ces représentations soient définies sur L. Il est sous-entendu dans la suite que le corps des coefficients de toutes les représentations qui apparaissent est L; en particulier, si X est un espace rigide surQp et F est un faisceau cohérent surX, on notera simplementF(X)pourH⁰(X,F)⊗Q_pL.

Soit Ban^adm(G)la catégorie des représentations deG sur desL-espaces de BanachΠ, qui ont un réseau ouvert, borné et G-invariant, dont la réduction modulo p est lisse admissible au sens usuel (i.e. le sous-espace des vecteurs invariants par un sous-groupe ouvert compact arbitraire de

4. L’action "horizontale", i.e. sur chaque étage de la tour, est celle deG, le groupeD^∗agissant "verticalement"

sur la tour". Puisque1 +pⁿOD est distingué dans D^∗, l’action par correspondances de Hecke deD^∗sur la tour préserve chaqueM˘n.

5. On voitpcomme élément du centre deG.

Gest fini). SiΠ ∈Ban^adm(G), on noteΠ^an (resp.Π^lisse) le sous-espace de Π formé des vecteurs localement analytiques (resp. localement constants), i.e. des vecteurs dont l’application orbite⁽⁶⁾ est localement analytique (resp. localement constante). Les espacesΠ^an etΠ^lisse sont stables sous l’action deGet Π^anest dense dansΠ[68] (alors queΠ^lisseest la plupart du temps nul).

Définition 1.1. — On note V(π) l’ensemble des représentations absolument irréductibles Π ∈ Ban^adm(G)telles queΠ^lisse'π.

La correspondance de Langlands locale p-adique pour G fournit une description complète de V(π)(voir la discussion suivant la remarque 1.3).

Le théorème suivant, qui est le premier résultat principal de ce texte, fournit une description géométrique de la représentation localement analytique Π^an/Π^lisse quand Π∈ V(π). Alternative- ment, on peut le voir comme une description de laG×D^∗ représentationO(Σ_n)en termes de la correspondance de Jacquet-Langlands et surtout de la correspondance de Langlandsp-adique.

Théorème 1.2. — Soitπune représentation supercuspidale deG= GL₂(Q_p), à caractère central trivial, et soitρ= JL(π)comme ci-dessus. Pour toutΠ∈ V(π)et pour toutnassez grand (il suffit queρsoit triviale sur1 +pⁿOD), il existe un isomorphisme deG-modules topologiques⁽⁷⁾, unique à scalaire près

(O(Σn)^ρ)^∗'Π^an/Π^lisse.

Remarque 1.3. — a) Au lieu de partir de π, on aurait pu plus généralement partir d’une repré- sentation localement algébrique de la formeπ⊗Sym^k, avecπsupercuspidale⁽⁸⁾. Tous les résultats de ce texte s’étendent sans difficulté, à condition de considérer des fibrés vectoriels différents sur Σn : voir la remarque 11.12. De même, l’hypothèse que le caractère central de π est trivial n’est pas essentielle, contrairement à l’hypothèse queπ est supercuspidale (voir la remarque 1.5 pour plus de détails concernant ce dernier point).

b) Une conséquence importante du théorème 1.2 est que (O(Σ_n)^ρ)^∗ est une G-représentation localement analytique admissible, au sens de Schneider et Teitelbaum [68]. Le caractère localement analytique s’établit sans trop de mal, mais l’admissibilité semble nettement plus délicate. Qu’en est-il pour GL₂(F), ou mêmeGL_n(F)? Notre méthode ne fournit aucune approche pour ce pro- blème. On peut espérer que la théorie desD-modulesp-adiques permette de dire quelque chose de l’admissibilité de ces représentations indépendamment de la correspondance de Langlandsp-adique (le cas du premier revêtement de la tour de Drinfeld pourGL2(F)-ce qui correspond à Σ1/2 avec nos notations...-est traité dans [60] et dans [58] pour GL₂(Q_p)).

Le théorème 1.2 affirme en particulier que le quotient Π^an/Π^lisse ne dépend pas du choix de Π∈ V(π). Pour comprendre ce que cela signifie, il convient d’expliciter davantage l’ensembleV(π).

La correspondance de Langlands "classique"⁽⁹⁾ pourGcombinée avec une recette de Fontaine [40]

6. Siv∈Πest un tel vecteur, son application orbite estG→Π,g7→g.v.

7. SiV est unL-espace vectoriel localement convexe, on noteV^∗ son dual topologique. On pose aussiσ^ρ = HomD^∗(ρ, σ)pour touteL-représentationσdeG×D^∗.

8. Côté Galois, cela revient à passer des poids de Hodge-Tate0,1aux poids0, k+ 1, comme on le verra plus bas.

9. Normalisée à la Tate.

permet d’associer àπ un(ϕ,GQp := Gal(Qp/Qp))-moduleM(π), libre de rang 2 surL⊗QpQ^nr_p , ainsi qu’unL-espace vectoriel de dimension2

M_dR(π) = (Q_p⊗Q^nr_p M(π))^GQp.

Un des résultats principaux de [22] (qui utilise la compatibilité entre les correspondances de Lan- glands "classique" etp-adique [31]) montre que le foncteur de Colmez [16] induit une bijection

Π→V(Π)

entreV(π)et l’ensemble desL-représentations absolument irréductiblesV de dimension2deGQ_p, potentiellement cristallines à poids de Hodge-Tate0,1 et telles que

Dpst(V)'M(π).

On adetV(Π) =χcycpour toutΠ∈ V(π), car le caractère central deπest trivial (aussi innocente qu’elle puisse paraître, cette assertion est en fait la partie la plus technique de [22]...). En combinant cela avec le théorème de Colmez-Fontaine [21], on en déduit une bijection canonique

V(π)'Proj(M_dR(π)), Π7→Fil⁰(D_dR(V(Π))),

en considérantFil⁰(DdR(V(Π)))comme uneL-droite deMdR(π)via l’isomorphismeDdR(V(Π))' M_dR(π)induit par⁽¹⁰⁾ D_pst(V(Π))'M(π). Notons L →Π_L l’inverse de cette bijection. Ainsi,L est la filtration de Hodge surDdR(V(Π_L)).

Ce qu’implique donc le théorème 1.2, c’est que la G-représentation Π^an_L /Π^lisse_L ne dépend pas de la filtration de HodgeLsurMdR(π). Ce résultat d’indépendance est surprenant et n’a rien de gratuit : la représentationΠ^anpermet de récupérerΠ, et donc la filtration de Hodge surM_dR(π), grâce au résultat principal de [23], tandis que le quotient par les vecteurs lisses ne dépend que de M(π). Autrement dit, les représentations Π^anpour Π∈ V(π)sont des extensions

0→π→Π^an→Π(π,0)→0

d’une représentationΠ(π,0) qui ne dépend que deM(π), par π. La filtration de Hodge encode cette extension. Nous verrons plus loin comment récupérer cette filtration.

Ce qui précède n’est cependant que de la poudre aux yeux : la preuvedu théorème 1.2 utilise de manière essentielle cette indépendance, qui avait été démontrée par voie très détournée par Colmez [16] (voir aussi le travail en cours de Colmez [20] pour une preuve nettement plus simple ; nous en donnons une aussi dans cet article). En effet, elle nous permet de choisir un Π ∈ V(π) convenable, et ainsi d’utiliser des méthodes globales pour montrer l’existence d’un morphisme non nul entre les deux objets du théorème. Nous montrons ensuite par voie locale que tout tel morphisme est un isomorphisme, et qu’il est unique à scalaire près : c’est le coeur technique de l’article, voir la section suivante pour plus de détails.

10. Ce dernier isomorphisme est unique à scalaire près, dont tout est "canonique à scalaire près" dans ce qui précède, et l’identificationV(π)'Proj(MdR(π))est canonique tout court....

La description géométrique de Π^an/Π^lisse étant acquise grâce au théorème 1.2, nous voulons maintenant décrireΠ^angéométriquement, et récupérer ainsi la filtration de Hodge. C’est ici qu’in- tervient le complexe de de Rham deΣn.

L’espaceΣn est Stein, ce qui fournit une suite exacte d’espaces de Fréchet avec action deD^∗×G 0→H_dR⁰ (Σn)→ O(Σn)→Ω¹(Σn)→H_dR¹ (Σn)→0.

En passant aux composantes ρ := JL(π)-isotypiques, on obtient une suite exacte de G- représentations sur des espaces de Fréchet

0→ O(Σn)^ρ→Ω¹(Σn)^ρ→H_dR¹ (Σn)^ρ→0.

Théorème 1.4. — Il existe un isomorphisme canonique (à scalaire près) de G-modules topolo- giques

H_dR¹ (Σn)^ρ'M_dR^∗ ⊗Lπ^∗,

tel que pour touteL-droiteLdeM_dR, l’image inverse deL^⊥⊗Lπ^∗⊂H_dR¹ (Σ_n)^ρ dansΩ¹(Σ_n)^ρest isomorphe à(Π^an_L)^∗ et la suite exacte

0→ O(Σn)^ρ→(Π^an_L)^∗→ L^⊥⊗Lπ^∗'π^∗→0 qui s’en déduit est duale de celle fournie par le théorème 1.2.

Ce théorème, qui est le deuxième résultat principal de l’article, donne donc une recette géomé- trique simple pour construireΠ^anà partir de la donnée de M(π)(ou de façon équivalente, deπ) et de la filtration de Hodge, à partir du complexe de de Rham. C’était l’objet de la conjecture originale de Breuil-Strauch [8] (qui était toutefois formulée de manière un peu différente, voir la remarque 11.13).

Remarque 1.5. — Si πest une représentation de la série principale, etΠ∈Ban^adm(G)contient π, on ne dispose pas d’une telle description géométrique deΠ^an: la situation est bien sûr similaire à celle de la correspondance de Langlands locale classique, où les représentations de la série principale n’apparaissent pas dans la cohomologie`-adique à supports de la tour de Drinfeld. Siπest un twist de la Steinberg, les premiers travaux de Breuil [6] sur la correspondance de Langlands p-adique fournissent une description partielle de Π^an utilisant le demi-plan Ω, mais la situation est plus compliquée : il ne suffit pas de copier les énoncés précédents avec ρ triviale. Cela s’explique en partie par le fait que dans ce cas la cohomologie de de Rham est non triviale aussi en degré0, cf.

le paragraphe 12.2.

Toutefois, dans ces deux cas, la représentation galoisienne attachée à une telleΠest trianguline, et on dispose donc d’une description très précise des vecteurs localement analytiques [19] [55].

Remarque 1.6. — Remplaçons Σ_n par le premier revêtement Σ_1+$DOD et considérons comme dans l’énoncé du théorème le dual de l’image inverse de L^⊥ ⊗L π^∗ ⊂ H_dR¹ (Σ1+$_DOD)^ρ dans Ω¹(Σ1+$_DO_D)^ρ, pourρreprésentation lisse irréductible non triviale deD^∗, triviale sur1 +$DOD. Dans un travail récent [58] et dans une formulation un peu différente, Lue Pan montre que le complété unitaire universel de cette représentation est admissible et que sa réduction moduloπL

coïncide avec la réduction moduloπL deV(Π_L)par la correspondance de Langlands semi-simple

"modulop". Sa preuve exploite la géométrie d’un modèle formel explicite deΣ1+$DOD.

1.2. Survol de la preuve. — Comme nous l’avons déjà précisé, la preuve du théorème 1.2 combine des arguments globaux et locaux. La plupart des ingrédients apparaissant dans sa preuve sont aussi utilisés pour démontrer le théorème 1.4, donc nous allons nous concentrer uniquement sur la preuve du théorème 1.2 dans la suite.

Commençons par la partie globale. Le but est de construire dans un premier temps un mor- phisme non nul,G-équivariant et continu, de(Ω¹(Σn)^ρ)^∗dansΠ^an, pour uncertain⁽¹¹⁾ Π∈ V(π).

Considérons une algèbre de quaternions B sur Qramifiée en pet déployée à l’infini. Elle donne naissance à une tour de courbes de Shimura(Sh_K)_K indexée par les sous-groupes ouverts compacts KdeB^∗(Af)(on voitB^∗comme un groupe algébrique surQdans la suite). Fixons un sous-groupe ouvert compact suffisamment petitK^pdeB^∗(A^p_f)et considéronsK= (1+pⁿOD)K^p⊂B^∗(Af). Le théorème d’uniformisation de Cerednik-Drinfeld (plus quelques contorsions topologiques) permet d’obtenir un isomorphisme

Ω¹(ShK)^ρ'Hom^cont_G ((Ω¹(Σn)^ρ)^∗,LA(X(K^p))), (1)

où

X(K^p) = ¯B^∗(Q)\B¯^∗(A_f)/K^p,

B¯ étant l’algèbre de quaternions surQayant les mêmes invariants que Baux places différentes de pet ∞, et des invariants échangés en ces places (B¯ est donc compacte modulo centre à l’infini).

L’espace X(K^p) est une variété analytique, au sens naïf du terme, compacte, avec une action localement analytique deG. L’espaceLA(X(K^p))des fonctions localement analytiques surX(K^p) à valeurs dansL est muni d’une action de l’algèbre de Hecke hors p, et cette action commute à l’action deG.

Ce qui précède n’utilise pas le fait qu’on travaille avec GL2(Qp), mais à partir de maintenant nous allons pleinement exploiter ce qu’on connaît sur ce groupe. Le point clé est de comprendre les espaces Hecke-propres dansLA(X(K^p)). CommeB¯ est déployée enp, cela se fait en reprenant mot à mot les arguments qui ont permis à Emerton [31] de comprendre la cohomologie complétée de la tour des courbes modulaires. En fait, en globalisant convenablement⁽¹²⁾ la représentationπ nous pouvons nous placer dans une situation relativement simple - mais qui demande quand même toute la force de la correspondance de Langlands localep-adique ! Ainsi, en regardant les espaces p-propres des deux côtés de l’isomorphisme (1) pour un idéal maximal convenablepde l’algèbre de Hecke sphérique et en utilisant la version⁽¹³⁾du théorème de compatibilité local-global d’Emerton pour comprendre l’espace propreLA(X(K^p))[p], on obtient un morphismeG-équivariant non nul continu (Ω¹(Σn)^ρ)^∗ → Π^an, pour un certain Π ∈ V(π), ce qui induit par dualité un morphisme (Π^an)^∗ →Ω¹(Σn)^ρ. On vérifie sans mal que ce morphisme se restreint en un morphisme non nul G-équivariant continu

Φ : (Π^an/Π^lisse)^∗→ O(Σ_n)^ρ.

11. Ce genre de stratégie avait été employée par Emerton [31] pour démontrer la compatibilité entre les corres- pondances de Langlands localep-adique et classique pourG.

12. De telle sorte que la représentation galoisienne associée à la forme automorphe globalisantπsoit irréductible en réduction modpet en restriction àG_Qp

13. Notons que l’on a besoin d’une version forte de cette compatibilité.

D’après les résultats de Colmez évoqués plus haut, le membre de gauche, tout comme le membre de droite, ne dépend que de M (ou, de façon équivalente, de π, ou de ρ), et pas du choix de Π∈ V(π): on notera désormaisΠ(π,0) = Π^an/Π^lisse.

La suite de la preuve, qui représente la partie la plus technique de l’article, consiste à montrer que Φest un isomorphisme, et qu’il est unique à scalaire près. L’argument est un peu acrobatique. Nous commençons par munirΠ(π,0)^∗ d’une structure de O(Ω)-module telle queΦ soit O(Ω)-linéaire.

Cela se fait en exploitant la construction explicite deΠvia les(ϕ,Γ)-modules, et la comprehension de l’action de l’algèbre de Lie gl₂ de G sur Π^an. Pour motiver un peu la construction, notons que l’opérateur ∂ : O(Σn)^ρ → O(Σn)^ρ de multiplication par z ∈ O(Ω) encode la structure de O(Ω)-module deO(Σn)^ρ, et est uniquement caractérisé par l’égalité d’opérateurs surO(Σn)^ρ

a⁺−1 =u⁺◦∂, oùa⁺ (respectivement u⁺) désigne l’action infinitésimale de

Z^∗_p1 0 1

(respectivement ¹_{0 1}^Zp ) sur O(Σn)^ρ. Notons que l’opérateuru⁺ agit comme−_dz^d.

Le point est alors de refaire ces constructions du côté des(ϕ,Γ)-modules (tout cela est fortement inspiré d’un travail en cours de Colmez [20]). On démontre ainsi l’existence d’un automorphisme

∂duL-espace vectoriel topologiqueΠ(π,0)^∗ uniquement caractérisé par le fait que a⁺−1 =u⁺◦∂.

L’existence de∂ est un théorème délicat de Colmez [20], dont on donne une nouvelle preuve. La notation∂ peut paraître pour le moins étrange, sachant qu’il s’agit d’un opérateur de "multipli- cation par z" : elle vient du fait que ∂ encode la connexion sur le (ϕ,Γ)-module (sur l’anneau de Robba) attaché àV(Π). Au vu des remarques précédentes, le théorème suivant ne devrait pas surprendre le lecteur, mais nous insistons sur le fait qu’il requiert un certain nombre d’estimées pas totalement triviales et qu’il joue un rôle décisif dans la preuve des résultats principaux de l’article.

Théorème 1.7. — Pour toutΠ∈ V(π)il existe une unique structure deO(Ω)-module surΠ(π,0)^∗ qui étend sa structure deL-espace vectoriel, et telle quez∈ O(Ω)agit comme ∂.

Un ingrédient crucial dans la preuve de ce théorème est la dualité de Morita ([65], par exemple), i.e. l’isomorphisme deG-modules topologiques

Ω¹(Ω)'(St^an)^∗, µ∈(St^an)^∗7→ωf= Z

P¹(Qp)

1 z−xµ(x)

! dz.

Ici z est "la" variable sur P¹, St^an est la Steinberg localement analytique, quotient de l’espace LA(P¹(Q_p)) des fonctions localement analytiques sur P¹(Q_p) par les fonctions constantes. La structure deO(Ω)-module du théorème précédent est alors donnée par

Z

P¹(Qp)

1 z−xµ(x)

!

·l= Z

P¹(Qp)

(∂−x)⁻¹(l)µ(x),

pour toutl∈(Π^an/Π^lisse)^∗.

Un résultat frappant que l’on obtient, comme corollaire du résultat final, est que Π(π,0)^∗ est localement libre de rangdim_L(ρ) commeO(Ω)-module. Cela semble très délicat à démontrer, et même à deviner, en utilisant seulement la théorie des(ϕ,Γ)-modules, qui sert à construireΠ(π,0) et l’opérateur∂.

Une fois le théorème 1.7 démontré, nous montrons que Φ : Π(π,0)^∗ → O(Σn)^ρ est surjectif.

Cela se fait en deux étapes : nous montrons d’abord queΦest d’image dense, et ensuite qu’il est surjectif. La densité de l’image de Φ vient de l’irréductibilité du fibréG-équivariant sur Ω dont les sections globales sontO(Σn)^ρ, résultat qui se démontre en utilisant les résultats de Kohlhaase [54], qui permettent de "transférer le problème" sur la tour de Lubin-Tate : via ce transfert, l’irréductibilité se ramène à l’irréductibilité du fibréD^∗-équivariantρ^∗⊗ OPˇ¹, qui est nettement plus facile à établir⁽¹⁴⁾.

Expliquons enfin rapidement l’argument pour l’injectivité deΦ. On noteO(k)(Σn)la représen- tation deGsurO(Σ_n)obtenue en tordant l’action naturelle comme suit⁽¹⁵⁾

a b c d

∗kf = (a−cz)^−k· ^{a b}_{c d} .f

.

PuisqueΣnest étale surΣ0, on a une trivialisationΩ¹(Σn)' O(Σn)dz, qui induit un isomorphisme deG-représentations

Ω¹(Σn)' O(2)(Σn)⊗det.

On peut faire les mêmes constructions purement à partir des (ϕ,Γ)-modules, ce qui permet de définir une représentationΠ(π,2)^∗ en faisant agirGsurΠ(π,0)^∗ par

a b c d

∗v:= detg·(a−c∂)^{−2 a b}_{c d} .v.

Le morphisme Φ étant O(Ω)-linéaire, G-équivariant et surjectif, il induit un morphisme G- équivariant continu et surjectifΦ : Π(π,2)^∗→Ω¹(Σn), et il suffit de démontrer que ce morphisme est injectif. Cela se fait en plusieurs étapes. D’abord, nous utilisons encore une fois l’uniformi- sation de Cerednik-Drinfeld et un argument avec la suite spectrale de Hochschild-Serre comme dans [47] et [36] pour montrer que H_dR¹ (Σ_n)^ρ admet deux copies de π^∗ comme quotient. En- suite, la "théorie du modèle de Kirillov" de Colmez permet⁽¹⁶⁾ de montrer que le conoyau de u⁺ : Π(π,0)^∗ → Π(π,2)^∗ est canoniquement (à scalaire près) isomorphe à M_dR^∗ ⊗π^∗. On déduit de ce qui précède que le morphisme

Φ : Π(π,2)^∗/u⁺(Π(π,0))^∗→Ω¹(Σn)/d(O(Σn)^ρ) est forcément un isomorphisme, ce qui fournit au passage un isomorphisme⁽¹⁷⁾

H_dR¹ (Σ_n)^ρ'M_dR^∗ ⊗π^∗.

14. Mais qui utilise de manière cruciale le fait queρest irréductible etlisse.

15. CommeO(Σn)est unO(Ω)' O(Σ0)^D∗ (l’isomorphisme étant donné par le plongement diagonal de O(Ω) dansO(Σ₀)), et comme(a−cz)^−k∈ O(Ω), la formule précédente a un sens.

16. Cela fait bon usage d’anneaux de Fontaine, de l’équation différentielle attachée par Berger à une représentation de de Rham, ainsi que des résultats de [26] et [16, chap VI].

17. Une méthode plus naturelle serait d’utiliser la cohomologie d’Hyodo-Kato d’un modèle deΣn, mais cela pose un certain nombre de problèmes...

De cela on déduit assez facilement l’injectivité deΦ, en prouvant qu’il n’existe pas de sous-espace G-stable dans∩_n≥0(u⁺)ⁿ(Π(π,2)^∗). Ce dernier espace est en fait nul (cela découle de [20] ou [29]

et utilise de manière cruciale le fait que les représentations auxquelles on travaille ne sont pas triangulines), ce qui joue un rôle important dans la preuve du théorème 1.10 ci-dessous.

Ce qui précède montre que l’application u⁺ : Π(π,0)^∗ → Π(π,0)^∗ induit une suite exacte de G-modules de Fréchet

0→Π(π,0)^∗→Π(π,2)^∗→M_dR^∗ ⊗Lπ^∗→0

et que l’isomorphismeΠ(π,0)^∗' O(Σ_n)^ρ induit un isomorphisme deG-modules topologiques Ω¹(Σn)^ρ'Π(π,2)^∗.

Le théorème 1.4 s’en déduit en suivant soigneusement ces identifications.

Remarque 1.8. — Colmez a démontré [20] que la représentation Π(π,0) est (topologiquement) irréductible, ce qui fournit une preuve directe de l’injectivité. Nous avons toutefois besoin de tous les ingrédients ci-dessus pour la preuve du théorème 1.4.

1.3. Compléments. — Nombre des objets construits à l’aide des (ϕ,Γ)-modules mentionnés précédemment trouvent donc une interprétation géométrique, à l’exception notable du faisceau G-équivariant U → tNrig U sur P¹(Qp) construit par Colmez⁽¹⁸⁾, dont l’espace des sections globales contient Π(π,0)^∗ et qui joue un rôle capital dans la théorie. Dans la dernière section de cet article, nous proposons une interprétation géométrique naturelle de ce faisceau, qui prolonge naturellement la conjecture de Breuil-Strauch. Le lecteur est renvoyé à 12.3 pour un énoncé précis.

Contentons-nous pour finir cette partie de citer deux autres conséquences de nos résultats.

SoitD(Γ)l’algèbre des distributions sur Γà valeurs dansL. SiV est une représentation de de Rham de G_K := Gal(Q_p/K), avec K une extension finie de Q_p, on note H_e¹(G_K, V) l’image de l’exponentielle de Bloch-Kato. Soit maintenantV ∈ V(π). On dispose d’applications naturelles

Z

1+pⁿZp

:H¹(GQ_p, D(Γ)⊗LV)→H¹(GF_n, V), oùFn=Qp(µpⁿ).

Théorème 1.9. — Il existe un isomorphisme deD(Γ)-modules libres de rang2 (O(Σn)^ρ)

p0 0 1

=1' {µ∈H¹(GQ_p, D(Γ)⊗LV)| Z

1+pⁿZp

µ∈H_e¹(GF_n, V) ∀n≥0}.

Enfin, la trivialisation Ω¹(Σn) = O(Σn)dz permet de définir une application _dz^d : O(Σn) → O(Σ_n). On dit qu’une fonction f ∈ O(Σ_n) est infiniment primitivable si f est dans l’image de (_dz^d)^◦k pour toutk. En d’autres termes,f est infiniment primitivable sif ∈ ∩_k≥0(u⁺)^k(O(Σn)).

Théorème 1.10. — Soit f ∈ O(Σn) une fonction infiniment primitivable sur Σn. Alors f ∈ O(Ω).

18. Pour une définition, voir le § 8.1.

Remarque 1.11. — Dans un article ultérieur [25] nous discuterons le lien entre O(Σn)^ρ et la courbe de Fargues-Fontaine : soitO(Σ_n)^ρ_∞le sous-espace deO(Σ_n)^ρ des fonctionsf telles que

lim

v_p(b)→−∞(¹_{0 1}^b)f = 0.

Géométriquement, O(Σn)^ρ_∞ est le sous-espace de O(Σn)^ρ formé des fonctions qui "s’annulent au point∞du bord". Soient

B˜⁺_rig= \

n≥0

ϕⁿ(B⁺_cris), HQp= Gal(Q_p/Q^cyc_p ).

On démontre alors [25] qu’il existe un isomorphisme de représentations deB =_Q^∗

pQ_p 0 Q^∗_p

O(Σ_n)^ρ_∞'( ˜B⁺_rig⊗_Qnr

p M(π))^HQp⊗δ, oùδ :B →Q^∗_p est le caractère δ ^{a b}_0d

= ^a_d. Précisons simplement que l’action de

Z^∗_p0 0 1

sur le terme de droite se fait à travers l’action naturelle de Γ = Gal(Q^cyc_p /Qp), via l’isomorphisme Z^∗_p0

0 1

' Γ induit par le caractère cyclotomique. L’action de ^p_{0 1}⁰

correspond à l’action du Frobenius sur( ˜B⁺_rig⊗Q^nr_p M(π))^HQp. Notons aussi que tous les objets dans l’énoncé précédent ont un sens pourGL2(F). On peut naturellement se demander si c’est plus qu’une coïncidence...

1.4. Plan de l’article. — L’enchaînement des chapitres de ce texte suit essentiellement le che- minement de la preuve esquissée ci-dessus, dont nous reprenons les notations. La construction du morphismeΦ : (Π^an/Π^lisse)^∗ → O(Σn)^ρ est l’objet de la section 5. Les deux chapitres précédents contiennent des résultats préliminaires à cette construction : description de la tour de Drinfeld et propriétés de l’action des groupes Get D^∗ sur la tour (section 3) ; théorème d’uniformisation p-adique (section 4), rappels sur les formes automorphes sur les algèbres de quaternions (section 4) et enfin le calcul de laπ-partie de la cohomologie de Rham à supports compacts des revêtements de Drinfeld qui sera utile plus tard. La preuve du théorème de compatibilité local-global (d’après Emerton) est repoussée en appendice. Le chapitre 6 est constitué de quelques rappels standard sur la théorie des (ϕ,Γ)-modules, tandis que le chapitre 7 contient des rappels, moins standard et fondamentaux pour la suite, sur la correspondance de Langlands p-adique : en particulier, la description de l’action infinitésimale de G sur les vecteurs localement analytiques et la théorie du modèle de Kirillov de Colmez. Ces résultats sont pleinement utilisés dans la section 8 pour construireΠ(π,0), puis dans la section 9 pour munirΠ(π,0)^∗d’un opérateur∂et d’une structure de O(Ω)-module. La démonstration de la surjectivité de Φ est alors possible et exposée dans le chapitre 10. La fin de la preuve des théorèmes principaux est l’objet du chapitre 11 et fait encore appel aux résultats du chapitre 7. Enfin, la section 12 contient quelques corollaires et une question.

1.5. Remerciements.— Nous tenons à remercier chaleureusement Christophe Breuil, qui nous a expliqué sa conjecture avec Matthias Strauch et a suivi nos progrès avec intérêt et attention. Il est évident que cet article n’aurait jamais vu le jour sans les articles monumentaux [16, 31] de Pierre Colmez et Matthew Emerton. Nous remercions Pierre Colmez et Laurent Fargues pour des

longues et fréquentes discussions, ainsi que pour leurs suggestions et encouragements : en particulier la prépublication [20] et une remarque de Fargues ont joué un rôle décisif dans l’élaboration de ce travail. Pour des discussions utiles, nous tenons également à remercier Konstantin Ardakov, Elmar Grosse-Klönne, Vincent Pilloni, Peter Scholze, Matthias Strauch, Jared Weinstein, et tout spécialement Benjamin Schraen. G.D. voudrait remercier l’IHES (en particulier Ahmed Abbes et Benjamin Schraen) et le M.S.R.I. pour les excellentes conditions de travail, ainsi que l’A.N.R Percolator pour le financement.

2. Notations et conventions

(1) On fixe une clôture algébriqueQ_pdeQpet on noteCpson complété. Toutes les extensions deQ_p considérées dans la suite seront à l’intérieur deC_p. On note Q_p2 l’unique extension non ramifiée quadratique de Qp, et on note Q˘p le complété de l’extension maximale non ramifiéeQ^nr_p deQ_p dansQ_p. Pourn≥1, on noteF_n =Q_p(µ_pn)et Q^cyc_p le complété de la réunion desF_n. On pose, enfin,

GQ_p = Gal(Qp/Qp), HQ_p= Gal(Qp/Q^cyc_p ), Γ = Gal(Q^cyc_p /Qp).

(2) Dans tout le texte,G= GL₂(Q_p). On note G₀= GL₂(Z_p)etG_n= 1 +pⁿM₂(Z_p), pour tout n≥1. On note aussiB le sous-groupe de Borel (supérieur) de Get P =

Q^∗_pQp

0 1

le mirabolique. Enfin, on poseg=gl₂= Lie(G)et on considère la base degdonnée par

a⁺= (^{1 0}_{0 0}), a⁻= (^{0 0}_{0 1}), u⁺= (^{0 1}_{0 0}), u⁻= (^{0 0}_{1 0}). On noteh=a⁺−a⁻ ∈U(g).

(3) On fait la convention importante que toutes les actions de G seront à gauche. En par- ticulier, siGagit sur un espace rigide analytique (ou un schéma)X, on transforme l’action naturelle à droite deGsur les sections globales d’un fibréG-équivariant surX en une action à gauche (via l’anti-involutiong→g⁻¹deG).

(4) On noteD l’unique algèbre de quaternions non déployée surQp (à isomorphisme près), O_D son unique ordre maximal,D₀=O^∗_D, etD_n= 1 +pⁿO_D, pour toutn≥1. Fixons, une fois pour toutes, un plongement deQ_p2 dansD. Soit$Dune uniformisante deOD telle que

OD=Zp²[$D], $_D² =p, et $Dx=σ(x)$D, ∀x∈Qp², oùσest le Frobenius deQ_p2.

(5) La représentation supercuspidale π, de caractère central trivial et définie sur une ex- tension finieL de Qp (qui grandira selon les besoins...) sera fixée une fois pour toutes. La représentation irréductible deD^∗ attachée àπpar la correspondance de Jacquet-Langlands locale sera notéeρ= JL(π). Noter queρest aussi à caractère central trivial.

(6) Si X est un espace rigide analytique sur Qp, on note O(X) = L⊗Q_p H⁰(X,OX) et Ω¹(X) =L⊗Q_pH⁰(X,Ω¹_X). Même convention pourH_dR¹ (X)(on n’utilisera la cohomologie de de Rham que pour des espaces rigides analytiques lisses et de Stein).

(7) SoitX est une variété analytiquep-adique avec action localement analytique deG. SiV est un Z_p-module topologique, on noteC⁰(X, V)(resp.LC(X, V)) l’ensemble des fonctions continues (resp. localement constantes)φ:X→V. On note simplementC⁰(X)(resp.LC(X), resp.LA(X)) au lieu deC⁰(X, L)(resp.LC(X, L), resp. les fonctions localement analytiques φ:X →L). Tous ces espaces de fonctions sont munis d’actions naturelles (à gauche) deG.

(8) SiH est un groupe de Liep-adique, on écritD(H)pour l’algèbre des distributions sur H à valeurs dansL. C’est le dual topologique fort de LA(H).

(9) SiB est une L-représentation de Banach de G, on noteB^an (resp.B^alg, resp.B^lisse) le sous-espace de B formé des vecteurs v tels que l’application G → B, g 7→ g.v soit locale- ment analytique (resp. localement polynomiale, resp. localement constante). Si Alg(G) est l’ensemble des (classes d’isomorphisme de) représentations algébriques irréductibles de G définies surL, alorsBalg est l’image du morphisme naturel (injectif)

M

W∈Alg(G)

W⊗LHomg(W,B^an)→ B^an,

oùg= Lie(G), alors que B^lisseest le sous-espace(B^an)^g=0 deB^andes vecteurs tués par tout élément deg. Enfin, siKpest un sous-groupe ouvert compact deG, on noteBK_p−alg l’image du morphisme

M

W∈Alg(G)

W⊗LHomK_p(W,B)→ B.

3. Revêtements du demi-plan de Drinfeld et fibrés vectoriels

Nous rappelons dans ce chapitre un certain nombre de résultats relativement standard sur la tour de Drinfeld et nous établissons le caractère localement analytique de l’action de G sur O(Σn), ainsi que le caractère lisse de la G-représentationH_dR,c¹ (Σn). Le lecteur pourra consulter [4, 24, 30, 35, 61] pour plus de détails concernant la tour de Drinfeld.

3.1. L’espace de Drinfeld et ses revêtements. — Soit S un Z˘p-schéma. Un OD-module formel spécial surS est un groupe formelp-divisibleX surS, de dimension 2et hauteur 4, muni d’une action de OD telle que l’action induite de Zp² sur l’algèbre de Lie de X fait de celle-ci unO_S⊗_ZpZ_p2-module localement libre de rang1. Il existe une unique classe deO_D-isogénie de OD-modules formels spéciaux surF¯p. Fixons un telOD-module formel spécialX. Le foncteur des déformations deXpar quasi-isogéniesOD-équivariantes⁽¹⁹⁾ est représentable [61] par un schéma formelp-adique surZ˘_p. On note M˘0 la fibre générique rigide de ce schéma formel. Un théorème fondamental de Drinfeld [30] fournit un isomorphisme

M˘0'Ω˘×Z,

19. Il s’agit du foncteur qui àSunZ˘p-schéma sur lequelpest nilpotent associe l’ensemble des classes d’isomor- phisme de couples(X, ρ), avecXunO_D-module formel spécial surSetρune quasi-isogénieO_D-équivariante entre XS¯ etXS¯; iciS¯est le sous-schéma fermé deSdéfini parp= 0.

oùΩ = Ω ˆ˘ ⊗QpQ˘p et Ωest le demi-plan de Drinfeld, un espace rigide sur Qp dont les Cp-points sont

Ω(C_p) =P¹(C_p)−P¹(Q_p).

L’espaceM˘0est muni d’une action à gauche de Gdonnée par g.(X, ρ) = (X, ρ◦g⁻¹),

qui correspond par l’isomorphisme de Drinfeld à l’action usuelle par homographies de G sur le demi-plan et au décalage par−v_p(detg)sur Z, ainsi que d’une donnée de descente à la Weil⁽²⁰⁾, qui correspond via l’isomorphisme de Drinfeld au composé de la donnée de descente canonique et du décalage par1. Elle n’est donc pas effective, mais pour tout entier t >0, cette donnée de descente sur le quotientp^tZ\M˘0deM˘0par l’action de l’élémentp^tdu centre deGdevient effective.

En prenantt= 1, on obtient un modèleΣ₀ dep^Z\M˘₀ surQ_p.

SoitX^un le groupep-divisible rigide universel surM˘0. Sin≥1, on définit M˘n =X^un[pⁿ]−X^un[$_D²ⁿ⁻¹].

C’est un revêtement étale galoisien deM˘0 de groupe de GaloisO^∗_D/(1 +pⁿOD). Une fois encore, son quotient par l’action dep^tZ descend àQp pour toutt >0. Pour t= 1, cela fournit un modèle Σn dep^Z\M˘n surQp. Il est muni d’actions à gauche deGet à droite deD^∗, qui commutent.

3.2. Quelques rappels sur les espaces Stein. — Nous renvoyons le lecteur à [44, 45, 52, 64]

pour les preuves des résultats énoncés dans ce paragraphe.

SoitK un corps de caractéristique0, complet pour une valuation discrète, et soitX un espace rigide Stein surK. Rappelons que cela veut dire queXadmet un recouvrement croissant admissible (X_n)_n≥0 par des ouverts affinoïdes tels queO(Xn+1)→ O(Xn) soit d’image dense pour toutn.

Dans ce cas, la flèche naturelle O(X) → lim

←−ⁿO(Xn) est un isomorphisme d’espaces vectoriels topologiques, ce qui fait que O(X) est naturellement un K-espace de Fréchet. Le théorème de Kiehl [52] montre que les faisceaux cohérents surX n’ont pas de cohomologie en dégré>0.

Supposons en outre que X est lisse. D’après le théorème de Kiehl mentionné ci-dessus, la co- homologie de de Rham deX se calcule comme la cohomologie du complexe des sections globales du complexe de de Rham deX. De plus, les différentiellesd^k_X : Ω^k(X)→Ω^k+1(X)sont des mor- phismes stricts d’image fermée. En particulier, les groupes de cohomologie de de Rham deX sont des espaces de Fréchet (voir [44, cor.3.2] pour tout ceci). Sid= dimX, alors H_c^k(X,F) = 0pour tout fibréFsurXet toutk < d. On définit alorsH_dR,c^k+d(X)comme lek-ème groupe de cohomologie du complexe

· · · →H_c^d(X,Ω^k)→H_c^d(X,Ω^k+1)→. . .

La dualité de Serre pour les variétés Stein [12] montre que ce complexe est dual du complexe des sections globales du complexe de de Rham deX, tordu parΩ^d(X). Cela permet de montrer [45, th. 4.11] que siX est pure de dimensiond, alors pour toutkon a des isomorphismes canoniques

H_dR^k (X)'H_dR,c^2d−k(X)^∗ et H_dR,c^k (X) =H_dR^2d−k(X)^∗,

20. Pour mémoire, une donnée de descente à la Weil sur un schémaX surZ˘pest un isomorphisme de schémas X→σ∗X=X⊗Z˘p,σZ˘psurZ˘p, oùσest le Frobenius.

les duaux étant topologiques (comme toujours dans cet article). La preuve de [44, cor.3.2] montre que pour toutil’espace vectoriel topologiqueH_dR^k (X)est isomorphe à la limite inverse d’une suite (Vn)nd’espaces de dimension finie surK. En particulierH_dR^k (X)est un Fréchet réflexif et son dual topologiqueH_dR,c^2d−k(X)est la limite inductive desV_n^∗. On en déduit queH_dR^k (X)est aussi le dual algébrique deH_dR,c^2d−k(X). Puisque Ωest un espace Stein⁽²¹⁾, il en est de même de Σ₀ et puisque Σn est un revêtement étale fini de Σ0, on obtient la

Proposition 3.1. — Pour toutn≥0, l’espace rigideΣn est un espace Stein.

Notonsτn la composée du morphismeΣn →Σ0et de la rétraction deΣ0sur l’arbre de Bruhat- Tits, dont on fixe l’origine en le réseau standard et B_i la boule centrée en l’origine de rayon i dans l’arbre. Alors la famille des U_i = τ_n⁻¹(B_i) (n est sous-entendu dans la notation) forme un recouvrement de Stein deΣn. De plus,Ui est stable par l’action deGi= 1 +pⁱM2(Zp)pour tout i≥1.

3.3. Le caractère localement analytique de O(Σn)^∗. — Soit n ≥ 0 et k ∈ Z. On note O(k)(Σn)l’espace des fonctions rigides analytiques surΣn, muni de l’action deG

g.f = 1

(a−cz)^k ·(g.f), si g= ^{a b}_{c d}

∈G

oùg.f (dans le terme à droite) est l’action naturelle de g ∈G surO(Σn) déduite de l’action de Gsur Σ_n. On a utilisé la structure naturelle de O(Ω)-module deO(Σ_n) pour donner un sens à la multiplication par _(a−cz)¹ k ∈ O(Ω). Comme Σn est Stein, O(k)(Σn) est l’espace des sections globales d’un fibréG-équivariant surΣn, notéO(k).

Notons qu’en tout niveau le faisceau O(2)⊗det est simplement le faisceau des différentielles Ω¹ : on le voit facilement en niveau0et en niveau plus grand le faisceauΩ¹est simplement le tiré en arrière du faisceauΩ¹ en niveau0, puisque le revêtement est étale.

Théorème 3.2. — L’action de Gsur O(k)(Σn)^∗ est localement analytique, pour tout k∈Z. De manière équivalente,O(k)(Σ_n)est unD(G)-module séparément continu pour toutk. En particulier, H_dR¹ (Σn)est unD(G)-module séparément continu.

Démonstration. — Il suffit de démontrer que O(Σn)est un D(G)-module séparément continu, le reste s’en déduit facilement.

Soit g₁, ..., g₄ une famille génératrice minimale de G₂ = 1 + p²M₂(Z_p). Notons pour α = (α1, ..., α4)∈N⁴

b^α= (g1−1)^α1...(g4−1)^α4 ∈Zp[G2].

Les éléments deD(G2)(l’algèbre de distributions sur G2 à valeurs dans L) s’écrivent de manière unique

λ= X

α∈N⁴

aαb^α

avecaα∈Letlim_α→∞vp(α) +r|α|=∞pour toutr >0, où|α|=α1+...+α4. On veut montrer queaαb^αf tend vers0 dans O(Σn) pour toute telle suite(aα)α et toutf ∈ O(Σn). Considérons

21. Voir la discussion suivant la proposition 3.1 pour une explication de ce fait standard.